हमें वर्तमान में प्रारंभिक भारतीय गणितज्ञों की उपलब्धियों और उनके प्रति हमारी ऋणात्मकता के बारे में बहुत कम ज्ञान है। प्राचीन काल में भारतीयों द्वारा गणित में किए गए कार्यों को देखकर व्यक्ति उनकी उपलब्धियों पर आश्चर्य करता है। यह भी हमें यह अनुभव कराता है कि प्राचीन भारत में इसे कितना महत्वपूर्ण माना जाता था। उदाहरण के लिए, यह अब सामान्य रूप से स्वीकार किया जाता है कि दशमलव स्थान मान प्रणाली की संख्या संकेतन पद्धति का आविष्कार और प्रथम उपयोग भारतीयों द्वारा किया गया था।

यह अध्याय ईसवी सन् की सत्रहवीं शताब्दी तक के प्रारंभिकतम ज्ञात समय से भारत में गणित के कुछ प्रमुख क्षेत्रों की वृद्धि और विकास के बारे में एक उचित विचार प्रदान करेगा।

प्राचीन भारत की एक झलक

मोहनजोदड़ो में खोजों से पता चलता है कि 3000 ई.पू. के आसपास ही सिंधु की भूमि के निवासी एक अत्यंत संगठित जीवन जीते थे। वास्तव में, वे उस काल के किसी अन्य लोगों की तुलना में अधिक उन्नत थे। वेदों के बाद आने वाली ब्राह्मण साहित्य (2000 ई.पू.) आंशिक रूप से कर्मकांडी और आंशिक रूप से दार्शनिक है। इस ब्राह्मण काल के बाद दो हजार वर्षों से अधिक समय तक निरंतर प्रगति और शानदार उपलब्धियां हुईं। गणित या किसी अन्य ज्ञान शाखा के विज्ञान की संस्कृति को आध्यात्मिक ज्ञान में बाधा नहीं माना जाता था।

गणित (गणिता) की संस्कृति को महत्व जैनों द्वारा भी दिया गया है। उनके धार्मिक साहित्य में गणित अनुयोग शामिल है। सांख्यान के ज्ञान को कहा गया है कि

ब्राह्मण ग्रंथ चारों वेदों की ऋचाओं पर टीकाओं वाले प्राचीन भारतीय ग्रंथों का संग्रह हैं।

जैन पुरोहित की प्रमुख उपलब्धियों में से एक होना। बौद्ध साहित्य में भी अंकगणित (गणना-समिख्यान) को पहली और श्रेष्ठतम कलाओं में माना गया है। ये सब गणित के संस्कार को प्राचीन भारत में दी गई महत्ता और मूल्य की एक स्पष्ट झलक देते हैं।

संख्यात्मक प्रतीकों का विकास

बहुत प्रारंभिक समय से ही भारत में दस को संख्या-गणना का आधार बनाया गया है। यह भी भारत की विशेषता है कि यहाँ बहुत बड़ी संख्याओं के नामों की एक लंबी श्रृंखला मिली है। यजुर्वेद संहिता और अन्य कई वैदिक ग्रंथों में 10¹² जितनी विशाल संख्याओं के प्रयोग के संदर्भ इस निष्कर्ष के लिए पर्याप्त आधार देते हैं कि उस दूरदराज़ काल में भी भारतीयों के पास संख्यात्मक प्रतीकों की एक सुपरिचित प्रणाली रही होगी। अशोक की शिलालेखों पर लिखावट दर्शाती है कि उसके समय भारत में संख्यात्मक प्रतीकों का प्रयोग सामान्य बात थी।

संख्यात्मक चिह्नों के रूपों में विविधताएँ सुझाती हैं कि प्रतीक लंबे समय से प्रयोग में थे। ब्राह्मी संख्यात्मक चिह्न केवल भारतीय आविष्कार हैं। इन प्रतीकों का हमारा ज्ञान सम्राट अशोक के समय (ई.पू. 300) तक जाता है, जिसका विशाल साम्राज्य पूरे भारत को समेटे हुए था और उत्तर में मध्य एशिया तक फैला था। संख्यात्मक चिह्नों वाली कई शिलालेखें ईस्वी पहली या दूसरी शताब्दी की हैं, जो तत्कालीन बॉम्बे प्रेसीडेंसी के नासिक जिले की एक गुफा में मिली हैं। ब्राह्मी संकेतन में 1, 2 और 3 को एक-दूसरे के नीचे रखी गई एक, दो और तीन क्षैतिज रेखाओं से दर्शाया गया था।

आर्यभट्ट

अब यह स्पष्ट है कि भारत की गणित की एक लंबी परंपरा है। हालांकि, ईस्वी 500-1200 की अवधि अत्यंत रोचक है क्योंकि इसे भारतीय गणित की स्वर्ण (सिद्धांतिक) अवधि के रूप में जाना जाता है। यह आर्यभट्ट प्रथम से प्रारंभ होती है, जिनका जन्म ई. 496 में हुआ था, एक अग्रणी गणितज्ञ जो ज्ञान के व्यवस्थित संग्रह और संगठन के लिए जाने जाते हैं, और भास्कर द्वितीय पर समाप्त होती है जिनका जन्म ई. 1114 में हुआ था और जिन्होंने गणित के ज्ञान को एक दृढ़ आधार पर रखा। इनके बीच के गणितज्ञ — वराहमिहिर (ई. 505), भास्कर प्रथम (ई. 600), ब्रह्मगुप्त (ई. 628), महावीर (ई. 850), श्रीधर (ई. 850), श्रीपति (ई. 1039) — समान रूप से प्रसिद्ध थे।

आर्यभट प्रथम की आर्यभटीय दो खंडों में विभाजित है—दशगीतिका (दशमलव पैमाने पर कुछ आवश्यक मापदंड और शून्य की खोज, त्रिकोणमिति के तत्व) और गणित (आठ मूलभूत संक्रियाएँ, समतलीय ज्यामिति, बीजीय समीकरण और उनके हल)। ब्रह्मगुप्त ने अपने ब्रह्मस्फुटसिद्धांत में दो खंड बनाए हैं—गणित (गणित) और कुट्टक (कुट्टक), जबकि भास्कर द्वितीय ने दो अलग-अलग ग्रंथ लिखे, लीलावती (गणित) और बीजगणित (बीजगणित), जो दर्शाते हैं कि इस अवधि में गणित का ज्ञान किस प्रकार आयतन में विस्तारित हुआ है।

शून्य का प्रतीक आर्यभट प्रथम (जन्म ई.सं. 496) ने संख्याओं की दशमलव अभिव्यक्ति के संदर्भ में खोजा था। आर्यभट प्रथम कहते हैं, “रिक्त स्थानों को एक वृत्त से भरना चाहिए” जो “शून्य” जैसा दिखता है। इसे उनके टीकाकार भास्कर प्रथम (ई.सं. 600) ने स्पष्ट किया है। इसने वास्तव में गणनात्मक गणित में क्रांति ला दी और नौ संख्यात्मक प्रतीकों और शून्य के साथ संख्याओं को व्यक्त करने की पूरी तकनीक को सरल बना दिया।

अंकगणित

अंकगणित पाटीगणित का प्रमुख भाग बनाता है। पाटीगणित शब्द पाटी और गणित नामक दो शब्दों से मिलकर बना है, जिनमें पाटी का अर्थ है ‘पट्ट’ या ‘तख्ता’ और गणित का अर्थ है ‘गणना का विज्ञान’। इस प्रकार इसका अर्थ है वह गणना का विज्ञान जिसमें लेखन सामग्री (तख्ता) का प्रयोग आवश्यक होता है। गणितीय गणनाओं को कभी-कभी धूलिकर्म (‘धूल-कार्य’) कहा जाता था, क्योंकि अंक धूल पर फैलाए गए तख्ते या भूमि पर लिखे जाते थे। ब्रह्मगुप्त के अनुसार पाटीगणित में बीस संक्रियाएँ और आठ निर्धारण होते हैं। वह कहता है: “जो व्यक्ति स्पष्ट रूप से और पृथक-पृथक रूप से बीस लॉजिस्टिक्स, अर्थात् योग आदि, और आठ निर्धारणों जिनमें छाया द्वारा मापन सम्मिलित है, को जानता है, वह गणितज्ञ है।” आर्यभट्ट प्रथम (ई. 499) अपने सिद्धांत, आर्यभटीय में गणित के एक अनुभाग को सम्मिलित करने वाला प्रथम व्यक्ति था। ब्रह्मगुप्त (ई. 628) ने इस दृष्टि से आर्यभट्ट का अनुसरण किया और उसके पश्चात् सिद्धांत ग्रंथ में गणित का एक अनुभाग सम्मिलित करना सामान्य प्रचलन बन गया।

भारत में संक्षिप्त रचना, विशेषकर वैज्ञानिक विषयों में, विद्वानों की दृष्टि में अधिक मूल्यवान थी। इसी कारण से भारतीय ग्रंथों में केवल ज्ञात सूत्रों और परिणामों का संक्षिप्त कथन होता है, जो कभी-कभी इतनी संक्षिप्त अभिव्यक्ति में होता है कि समझना कठिन हो जाता है। यह संक्षिप्तता प्राचीनतर ग्रंथों में अधिक प्रमुख है; उदाहरणार्थ, आर्यभटीय में प्रस्तुति उत्तरतर ग्रंथों की तुलना में अधिक संक्षिप्त है।

ब्रह्मगुप्त

प्राचीन गणित के आठ मूलभूत संक्रियाएँ हैं: (1) योग, (2) व्यवकलन, (3) गुणा, (4) भाग, (5) वर्ग, (6) वर्गमूल, (7) घन और (8) घनमूल। आर्यभट्ट प्रथम ने केवल वर्ग और घनमूल निकालने के नियम दिए, जबकि ब्रह्मगुप्त ने केवल घनमूल का नियम दिया।

यह बात कि सभी गणितीय संक्रियाएँ योग और व्यवकलन की दो मूलभूत संक्रियाओं के रूपांतर हैं, भारतीय गणितज्ञों ने प्रारंभिक काल से ही मान ली थी। भास्कर प्रथम कहता है कि—“सभी अंकगणितीय संक्रियाएँ दो श्रेणियों में समाहित हो जाती हैं, यद्यपि सामान्यतः इन्हें चार माना जाता है। दो मुख्य श्रेणियाँ हैं वृद्धि और ह्रास। योग वृद्धि है और व्यवकलन ह्रास है। ये दो प्रकार की संक्रियाएँ सम्पूर्ण गणित (गणिता) में व्याप्त हैं।” इसलिए पूर्व के आचार्यों ने कहा है: “गुणन और वर्गमूल योग की विशेष प्रकार की संक्रियाएँ हैं; और भाग तथा घन व्यवकलन की। वास्तव में प्रत्येक गणितीय संक्रिया वृद्धि और ह्रास में ही समाहित होगी।”

योग

आर्यभट्ट द्वितीय ने योग को इस प्रकार परिभाषित किया है- “अनेक संख्याओं को एक बनाना योग है।” योग का प्राचीन नाम संकलित (साथ में बनाया गया) है। अन्य समानार्थक शब्द जो सामान्यतः प्रयुक्त होते हैं वे हैं संकलन (साथ में बनाना), मिश्रण (मिलाना), संमेलन (साथ में मिलना), प्रक्षेपण (साथ में फेंकना), संयोजन (साथ में जोड़ना), एकीकरण (एक में बनाना), युक्ति, योग (योग) और अभ्यास आदि। संकलित शब्द का प्रयोग कुछ लेखकों द्वारा श्रेणी के योग के सामान्य अर्थ में किया गया है।

सभी गणितीय और खगोलीय ग्रंथों में योग की प्रक्रिया का ज्ञान स्वतः मान लिया जाता है। इसका बहुत संक्षिप्त उल्लेख कुछ बाद के प्रारंभिक स्वरूप के ग्रंथों में किया गया है। इस प्रकार भास्कर द्वितीय लीलावती में कहते हैं: “सीधे या उल्टे क्रम में समान स्थानों के अंकों को जोड़ो।” उपरोक्त में संदर्भित सीधी योग प्रक्रिया में, जिन संख्याओं को जोड़ना होता है उन्हें एक के नीचे एक लिखा जाता है, और नीचे एक रेखा खींची जाती है, जिसके नीचे योग लिखा जाता है। पहले इकाई के स्थान पर खड़ी संख्याओं का योग लिखा जाता है, इस प्रकार योग का प्रथम अंक प्राप्त होता है। फिर दहाई के स्थान की संख्याओं को एक साथ जोड़ा जाता है और उनका योग रेखा के नीचे खड़े आंशिक योग के दहाई के स्थान के अंक में जोड़ा जाता है और परिणाम उसके स्थान पर रखा जाता है। इस प्रकार योग का दहाई का अंक प्राप्त होता है, और इसी प्रकार आगे बढ़ा जाता है।

जोड़ की प्रतिलोम प्रक्रिया में, अंतिम स्थान (अत्यंत बाएँ) में खड़ी संख्याओं को एक साथ जोड़ा जाता है और परिणाम इस अंतिम स्थान के नीचे रखा जाता है। फिर अगले स्थान की संख्याओं को जोड़ा जाता है और यह प्रक्रिया चलती रहती है। आंशिक योग की संख्याओं को, यदि आवश्यक हो, तब सुधारा जाता है जब अगली ऊर्ध्वाधर पंक्ति के अंक जोड़े जाते हैं। उदाहरण के लिए,
यदि अंतिम स्थान की संख्याओं का योग 12 हो, तो 12 को निचली रेखा के नीचे रखा जाता है, 2 को सीधे जोड़ी गई संख्याओं के नीचे; फिर, यदि अगले स्थान की संख्याओं का योग 13 (मान लीजिए) हो, तो 3 को जोड़े गए अंकों के नीचे रखा जाता है और 1 को बाएँ ले जाया जाता है। इस प्रकार, आंशिक योग 12 के अंक 2 को मिटा कर 3 से प्रतिस्थापित किया जाता है। आइए $26+57$ ज्ञात करें।

प्रत्यक्ष प्रक्रिया

$ \begin{array}{ll} & \text{चरण 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{चरण 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{चरण 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{चरण 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

प्रतिलोम प्रक्रिया

$ \begin{array}{ll} & \text{चरण 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{चरण 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{चरण 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{चरण 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

प्र. निम्नलिखित योगफलों को उपरोक्त विधियों से कीजिए। अपने उत्तरों को आजकल के तरीके से जाँचिए।

(i) $37+49 \hspace{5 mm}$ (ii) $57+69 \hspace{5 mm}$ (iii) $74+36$

व्यवकलन

आर्यभट्ट द्वितीय (ई. 950) व्यवकलन को इस प्रकार परिभाषित करते हैं:

“सर्वधन (कुल) में से (किसी संख्या) को बाहर निकालना व्यवकलन है; जो बचता है उसे शेष कहा जाता है।” व्युत्कलित (अलग किया गया), व्युत्कलन (अलग करना), शोधन (साफ़ करना), पतन (गिराना), वियोग (पृथक्करण) आदि शब्दों का प्रयोग व्यवकलन के लिए किया गया है। शेष (अवशेष) और अंतर (अंतर) शब्दों का प्रयोग शेषफल के लिए किया गया है। घट्य को सर्वधन या वियोज्य और घातक को वियोजक कहा गया है।

भास्कर द्वितीय ने घटाने की विधि इस प्रकार दी है: “संख्याओं को उनके स्थानों के अनुसार सीधे या उलटे क्रम में घटाएँ।” सीधी प्रक्रिया को एक उदाहरण, मानें 1000-360, की सहायता से समझाया गया है। दहाई के स्थान पर खड़े शून्य से छह नहीं घटाया जा सकता, इसलिए दस लेकर उससे छह घटाया जाता है, शेष (चार) नीचे (छह) के नीचे रखा जाता है, और यह दस अगले स्थान से घटाया जाना है।

क्योंकि, जैसे इकाई आदि के स्थान दस के गुणक होते हैं, इसलिए वह घटाने वाली संख्या का अंक जिसे घटाने वाली संख्या के संगत अंक से नहीं घटाया जा सकता, उसे दस से घटाया जाता है, शेष लिया जाता है और यह दस अगले स्थान से काट लिया जाता है। इस प्रकार यह दस अंतिम स्थान तक ले जाया जाता है जब तक कि वह अंतिम अंक के साथ समाप्त न हो जाए। दूसरे शब्दों में, नौ तक की संख्याएँ एक स्थान घेरती हैं, स्थानों का भेद दस से प्रारंभ होता है, इसलिए यह ज्ञात होता है कि किसी दी गई संख्या में कितने दस हैं, और इसलिए, वह संख्या जिसे उसके अपने स्थान से नहीं घटाया जा सकता, उसे अगले दस से घटाया जाता है, और शेष लिया जाता है।"

उलटी प्रक्रिया इसी प्रकार है, केवल अंतर इतना है कि “यह घटाने वाली संख्या के अंतिम स्थान से प्रारंभ होती है, और पहले प्राप्त आंशिक अंतरों को, यदि आवश्यक हो, सुधारा जाता है। यह प्रक्रिया पाटी (तख्ते) पर काम करने के लिए उपयुक्त है जहाँ अंकों को आसानी से मिटाया और सुधारा जा सकता है।”

प्र. घटाव कीजिए:

(i) 4000-230 $\hspace{5 mm}$ (ii) 4325 - 567 $\hspace{5 mm}$ (iii) 345-56

गुणा

भारत में गुणा के लिए प्रचलित नाम गुणन है। यह शब्द सबसे प्राचीन प्रतीत होता है क्योंकि यह वैदिक साहित्य में प्रकट होता है। हनन, वध, क्षय आदि शब्द, जिनका अर्थ ‘मारना’ या ‘नष्ट करना’ है, का प्रयोग भी गुणा के लिए किया गया है। ये शब्द दशमलव स्थान-मान संख्या प्रणाली के साथ गुणा की नई विधि के आविष्कार के बाद प्रचलित हुए; क्योंकि इस नई विधि में गुण्य के अंक क्रमशः मिटाए (नष्ट किए) जाते थे और उनके स्थान पर गुणनफल के अंक लिखे जाते थे। हनन (मारना) के पर्यायवाची शब्दों का प्रयोग आर्यभट्ट प्रथम (ई. 499), ब्रह्मगुप्त (ई. 628), श्रीधर (ई. 750) और बाद के लेखकों ने किया है। ये शब्द बख्शाली पाण्डुलिपि में भी प्रकट होते हैं। प्राचीन पारिभाषिक शब्दावली सिद्ध करती है कि गुणा की परिभाषा थी ‘गुण्य को गुणक के समान बार बार दोहराने पर आधारित योग की प्रक्रिया।’ यह परिभाषा भास्कर प्रथम द्वारा लिखित आर्यभटीय की टीका में प्रकट होती है।

गुण्य को गुण्य और गुणक को गुणक या गुणकार कहा जाता था। गुणनफल को गुणन-फल (गुणा का परिणाम) या प्रत्युत्पन्न (‘पुनः उत्पन्न’, इसलिए अंकगणित में ‘गुणा द्वारा पुनः उत्पन्न’) कहा जाता था।

गुणा की विधियाँ

ब्रह्मगुप्त चार विधियों का उल्लेख करते हैं: (1) गोमूत्रिका, (2) खण्ड, (3) भेद, और (4) इष्ट। आर्यभट्ट द्वितीय (ई. सं. 950) ने विधि का नाम नहीं बताया और कहा: “गुणक के प्रथम अंक को गुण्य के अंतिम अंक के ऊपर रखो, फिर गुणक के सभी अंकों को गुण्य के प्रत्येक अंक से क्रमिक रूप से गुणा करो।”

श्रीपति (ई. सं. 1039) कपाट-संधि नाम देते हैं और कहते हैं: “गुण्य को गुणक के नीचे दो दरवाजों के संधि की भाँति रखकर, सीधे या उल्टे क्रम में (गुणक को) चलाते हुए (गुण्य के अंकों को) क्रमिक रूप से गुणा करो।”

निम्नलिखित उदाहरण कपाट-संधि योजना के अनुसार गुणा की दो प्रक्रियाओं को समझाते हैं:

सीधी प्रक्रिया: यह कार्य करने की विधि लोकप्रिय प्रतीत नहीं होती है। ग्यारहवीं शताब्दी के बाद के लेखकों ने इसका उल्लेख नहीं किया है, श्रीपति (ई. सं. 1039) इसका उल्लेख करने वाले अंतिम लेखक हैं।

उदाहरण: 135 को 12 से गुणा करें।

संख्याओं को पाटी पर इस प्रकार लिखा जाता है:

12: 135: गुण्य का प्रथम (अर्थात् दायें से बायाँ) अंक (5) लिया जाता है और गुणक के अंकों से गुणा किया जाता है। इस प्रकार

$5 \times 2=10 ; 0 को 2 के नीचे लिखा जाता है, और 1 को आगे बढ़ाया जाता है।

फिर $5 \times 1=5$; 1 (आगे बढ़ाया गया) जोड़ने पर, हमें 6 मिलता है। संख्या 5, जिसकी अब आवश्यकता नहीं है, मिटा दी जाती है और 6 उसके स्थान पर लिखा जाता है। इस प्रकार, हमारे पास है:

12: 1360: फिर गुणक को एक स्थान बायीं ओर सरकाया जाता है, और हमारे पास है:

12:
1360:
अब, 12 को 3 से गुणा किया जाता है। विवरण इस प्रकार है: $3 \times 2=6$; यह 6, 2 के नीचे लिखे 6 में जोड़ने पर 12 देता है। 6 मिटा दिया जाता है और उसके स्थान पर 2 लिखा जाता है। 1 को carry over किया जाता है। फिर $3 \times 1=3$; 3 में 1 (carry over) जोड़ने पर $=4$। 3 मिटा दिया जाता और 4 लिखा जाता है। गुणक 12 को बाईं ओर एक स्थान और खिसकाने के बाद, पाटी पर अंक इस प्रकार होते हैं:

12:
1420:
फिर, $1 \times 2=2 ; 2+4=6 ; 4$ मिटा दिया जाता है और 6 लिखा जाता है। $1 \times 1=1$, जिसे 6 के बाईं ओर लिखा जाता है।

चूँकि संक्रिया समाप्त हो चुकी है, 12 मिटा दिया जाता है और पाटी पर गुणनफल 1620 रहता है।

इस प्रकार संख्याएँ 12 और 135 नष्ट हो जाती हैं और एक नई संख्या 1620 उत्पन्न होती है (प्रत्युत्पन्न)।

विलोम प्रक्रिया: विलोम विधि की दो किस्में प्रतीत होती हैं।

(a) पहली में, संख्याएँ इस प्रकार लिखी जाती हैं:

12:
135:
गुणन multiplicand के अंतिम (अर्थात् सबसे बाईं ओर के) अंक से प्रारंभ होता है।

इस प्रकार $1 \times 2=2 ; 1$ मिटा दिया जाता है और 2 लिखा जाता है; फिर $1 \times 1=1$, यह बाईं ओर लिखा जाता है; गुणक 12 को अगले अंक पर खिसका दिया जाता है। पाटी पर कार्य अब इस प्रकार होगा:

12 1235

फिर, $3 \times 2=6 ; 3$ मिटा दिया जाता है और 6 लिखा जाता है; फिर $3 \times 1=3$ और $3+2=5 ; 2$ मिटा दिया जाता है और उसके स्थान पर 5 लिखा जाता है। गुणक को खिसकाने के बाद, पाटी पर कार्य अब इस प्रकार है:

12:
1565:
अब, $5 \times 2=10 ; 5$ को मिटा दिया जाता है और उसके स्थान पर 0 लिखा जाता है; फिर $5 \times 1=5 ; 5+1=6 ; 6+6=12 ; 6$ को मिटा दिया जाता है और उसके स्थान पर 2 लिखा जाता है, और 1 को आगे ले जाया जाता है; फिर $1+5=6, 5$ को मिटा दिया जाता है और उसके स्थान पर 6 लिखा जाता है। पाटी में अब गुणनफल (प्रत्युत्पन्न) के रूप में 1620 है। आगे ले जाने वाले अंक पाटी के एक अलग हिस्से पर नोट किए जाते हैं और जोड़ने के बाद मिटा दिए जाते हैं।

(b) दूसरी विधि में, आंशिक गुणन (अर्थात गुण्य के अंकों से गुणन) सीधे तरीके से किए जाते हैं। ये आंशिक गुणन, हालांकि, उलटे क्रम में किए जाते प्रतीत होते हैं, यह सामान्य शैली रही है।

निम्नलिखित संख्याओं को सीधे और परोक्ष प्रक्रिया से गुणा कीजिए। आधुनिक गुणन तकनीक का उपयोग कर उत्तर की जाँच कीजिए:

(i) $345 \times 27$

(ii) $678 \times 45$

(iii) $756 \times 98$

भाग

भाग को गुणन का व्युत्क्रम माना जाता था। इस संक्रिया के सामान्य भारतीय नाम भागहर, भाजन, हरण, छेदन आदि हैं। इन सभी शब्दों का शाब्दिक अर्थ है ‘टुकड़ों में तोड़ना’, अर्थात ‘भाग देना’, सिवाय हरण के, जिसका अर्थ है ‘ले जाना’। यह शब्द भाग को घटाव से संबंधित दिखाता है। भाज्य को भाज्य, हार्य आदि कहा जाता है, भाजक को भाजक, भागहर या सरलतः हर, और भागफल को लब्धि कहा जाता है, जिसका अर्थ है ‘जो प्राप्त हुआ’ या लब्ध।

लंबी भाग विधि

निम्नलिखित उदाहरण पाटी पर संक्रिया करने की भारतीय विधि को स्पष्ट करेगा:

उदाहरण: 1620 को 12 से विभाजित करें।

भाजक 12 को भाज्य के नीचे इस प्रकार रखा जाता है: 1620

12:
प्रक्रिया भाज्य के अति-बायें से प्रारम्भ होती है, जो इस स्थिति में 16 है। इस 16 को 12 से विभाजित किया जाता है। भागफल 1 को एक पृथक पंक्ति में रखा जाता है। इस प्रकार, आंशिक भागफल 1 लिखे जाने के बाद प्रक्रिया इस प्रकार है:

1620:
12:
1:
भागफलों की पंक्ति

16 को मिटा दिया जाता है और शेष 4 को उसके स्थान पर रखा जाता है। घटाव इस प्रकार किया जाता है कि प्रत्येक अंक को क्रमशः मिटाया जाता है जैसे ही घटाए जाने वाले गुणनफल का प्रत्येक अंक प्राप्त होता है, पाटी पर अंक इस प्रकार होते हैं:

420:
12:
$$\frac{1}{\text{भागफलों की पंक्ति}}$$

अब भाजक 12 को एक स्थान दायें की ओर स्थानांतरित किया जाता है, जिससे प्राप्त होता है: 420

12:
$$ \frac{1}{\text{भागफलों की पंक्ति}} $$

फिर 42 को 12 से विभाजित किया जाता है। परिणामी भागफल 3 को ‘भागफलों की पंक्ति’ में रखा जाता है, 42 को मिटा दिया जाता है और शेष 6 को उसके स्थान पर रखा जाता है। अब अंक इस प्रकार खड़े होते हैं:

12:
$$ \begin{equation*} \frac{13}{\text{भागफलों की पंक्ति}} \tag{60} \end{equation*} $$

भाजक को एक स्थान दायें की ओर स्थानांतरित करने पर, हमारे पास है 60

12:
पहले की तरह भाग करने के बाद, परिणामी भागफल 5 को ‘भागफलों की पंक्ति’ में रखा जाता है और 60 को मिटा दिया जाता है जिससे कोई शेष नहीं बचता। भागफलों की पंक्ति में 135 है, जो अभीष्ट परिणाम है।

उपरोक्त प्रक्रिया, जब आकृतियाँ मिटाई नहीं जातीं और क्रमिक चरणों को एक के नीचे एक लिखा जाता है, तो यह आधुनिक लंबी विभाजन विधि बन जाती है। ऐसा प्रतीत होता है कि यह विधि भारत में चौथी शताब्दी ईस्वी के आसपास, यदि पहले से नहीं, तो अविष्कृत हुई थी।

(i) 1771 को 23 से विभाजित करें

(ii) 9728 को 32 से विभाजित करें

(iii) 6930 को 45 से विभाजित करें

भिन्न

सबसे प्राचीन ज्ञात ग्रंथ, ऋग्वेद में, आधा (अर्ध) और तीन-चौथाई (त्रि-पाद) भिन्न आते हैं। मैत्रायणी संहिता के एक पद में, सोलहवाँ (कला), बारहवाँ (कुष्ठ), आठवाँ (सफ) और चौथाई (पाद) भिन्नों का उल्लेख है। सबसे प्राचीन ज्ञात गणितीय ग्रंथ, शुल्बसूत्र में, भिन्नों का केवल उल्लेख ही नहीं किया गया है, बल्कि उनका उपयोग समस्याओं के कथन और हल में भी किया गया है।

ऋग्वेद में तीन-चौथाई भिन्न का प्रयोग सम्भवतः हमारे ज्ञात संयुक्त भिन्नों का सबसे प्राचीन उल्लेख है। संस्कृत समास त्रि-पाद का शाब्दिक अर्थ है ‘तीन पैर’। संख्या के रूप में प्रयुक्त, यह दर्शाता है कि विचारित भाग का पूरे से वही अनुपात है जो चौपाये के तीन पैरों का उसके कुल पैरों से होता है। पद शब्द, हालाँकि, एक-चौथाई के लिए एक शब्द-संख्या है, और त्रि-पाद समास ठीक उसी नियम पर बना है जैसे अंग्रेज़ी शब्द three-fourth। शुल्ब में इकाई भिन्नों को किसी संख्यावाचक संज्ञा के साथ भाग या अंश शब्द लगाकर दर्शाया गया है; इस प्रकार पञ्च-दश-भाग (पंद्रह भाग) एक-पंद्रहवें के समतुल्य है, सप्त-भाग (सात भाग) एक-सातवें के समतुल्य है, और इसी प्रकार आगे। क्रमवाचक संख्या के साथ भाग या अंश शब्द का प्रयोग भी बहुत सामान्य है, उदाहरणस्वरूप पञ्चम-भाग (पाँचवाँ भाग) एक-पाँचवें के समतुल्य है। कभी-कभी भाग शब्द छोड़ दिया जाता है, सम्भवतः छन्द की सुविधा के लिए। संयुक्त भिन्न जैसे $3 / 8$ और $2 / 7$ को क्रमशः त्रि-अष्टम (तीन-आठवें) और द्वि-सप्तम (दो-सातवें) कहा जाता है।

वर्ग

वर्ग के लिए संस्कृत शब्द वर्ग या कृति है। वर्ग शब्द का शाब्दिक अर्थ है ‘पंक्तियाँ’ या ‘दल’ (समान वस्तुओं के)। परंतु गणित में यह ‘सामान्यतः वर्ग घात और वर्ग आकृति या उसके क्षेत्रफल को दर्शाता है’। इस प्रकार आर्यभट्ट प्रथम कहते हैं: “चार समान भुजाओं की वर्गाकृति और (उसके क्षेत्रफल को दर्शाने वाली) संख्या को वर्ग कहा जाता है। दो समान राशियों का गुणनफल भी वर्ग है।”

कृति शब्द का शाब्दिक अर्थ है ‘करना’, ‘बनाना’ या ‘क्रिया’। इसमें विशिष्ट प्रदर्शन की भावना है, संभवतः आलेखीय निरूपण की। दोनों शब्द वर्ग और कृति का उपयोग गणितीय ग्रंथों में किया गया है, परंतु वर्ग शब्द को प्राथमिकता दी गई है।

निम्नलिखित पाटी पर कार्य करने की विधि है, प्रक्रिया अंतिम स्थान से प्रारंभ होती है, श्रीधर, महावीर, भास्कर द्वितीय और अन्य के अनुसार:

उदाहरण: 125 का वर्ग ज्ञात कीजिए।

संख्या लिखी जाती है:

125: बायें से अंतिम अंक 1 है। इसका वर्ग स्वयं के ऊपर रखा जाता है।

1: 125: फिर अंतिम अंक (अर्थात् 1) का दुगुना है $2 \times 1=2$; इसे शेष अंकों के नीचे (2 के नीचे या 5 के नीचे, गुणा की प्रत्यक्ष या व्युत्क्रम विधि के अनुसार, जो भी प्रयोग की जाए) रखकर अंतिम अंक 1 को मिटा दिया जाता है, पाटी पर कार्य इस प्रकार दिखता है:

1: 25: 2: 2 से गुणन करते हुए (नीचे, अर्थात् $25 \times 2=50$) और परिणामों को संबंधित अंकों के ऊपर रखते हुए, 2 को हटा देते हैं, हमें प्राप्त होता है:

150:
25:
एक चक्र संचालन पूरा हो गया है। अगला, शेष अंकों अर्थात् 25 को एक स्थान दायें खिसकाने पर हमें मिलता है:

150:
25:
अब प्रक्रिया दोहराई जाती है, अर्थात् अंतिम अंक (2) का वर्ग उसी पर रखा जाता है (0 को मिटाकर) जिससे मिलता है:

154:
25:
फिर, अंतिम अंक का दुगुना (अर्थात् $2 \times 2=4$) शेष अंकों के नीचे रखा जाता है और फिर 2 को मिटा दिया जाता है, जिससे हमें मिलता है:

154:
5:
4:
गुणा करने पर, $4 \times 5=20$, और इसे संगत अंक 5 के ऊपर रखने पर (अर्थात् 0 को 5 के ऊपर और 2 को बायें स्थानांतरित), पाटी पर कार्य इस प्रकार दिखाई देता है:

1560:
5:
इस प्रकार, संचालन का दूसरा चक्र पूरा हो गया। फिर 5 को खिसकाने पर हमें मिलता है:

1560:
5:
5 का वर्ग करने पर हमें 25 मिलता है, और इसे 5 के ऊपर रखने पर, 0 को प्रतिस्थापित करते हुए (अर्थात् 5 को 5 के ऊपर और 2 को बायें स्थानांतरित), हमें मिलता है: 15625 5

चूँकि कोई शेष अंक नहीं बचे हैं, कार्य समाप्त होता है।

5 को मिटा देने पर, पाटी पर 15625 बचता है, जो अभीष्ट वर्ग है।

प्र. निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग उपरोक्त विधि से ज्ञात कीजिए। उत्तरों की जाँच वर्तमान कालीन वर्ग ज्ञात करने की विधि से कीजिए।

(i) 234

(ii) 356

(iii) 487

(iv) 753

(v) 269

वर्ग-मूल

‘मूल’ के लिए हिंदी शब्द मूल और पाद हैं। संस्कृत साहित्य में मूल शब्द का सामान्य अर्थ किसी पौधे या वृक्ष की ‘जड़’ है; परंतु रूपकात्मक रूप से यह किसी वस्तु का पाद या निम्नतम भाग या तल है। इसके अन्य अर्थ हैं आधार, नींव, कारण, उद्गम आदि। पाद शब्द का अर्थ है ‘पैर का निचला भाग’ (रूपकात्मक रूप से किसी वस्तु का निचला भाग या आधार), पैर, भाग, अंश, पक्ष, स्थान, कारण, शतरंज के बोर्ड पर एक वर्ग आदि। दोनों शब्दों में समान अर्थ हैं—पैर, किसी वस्तु का निम्नतम भाग या आधार, कारण या उद्गम। अतः यह पूर्णतः स्पष्ट है कि भारतीय वर्ग-मूल (वर्गमूल) पद से वर्ग का कारण या उद्गम या वर्ग (आकृति) की भुजा अभिप्रेत करते थे।

वर्गमूल ज्ञात करने की विधि का वर्णन आर्यभटीय में अत्यंत संक्षेप में इस प्रकार दिया गया है:

“सदा सम स्थान को द्विगुने वर्गमूल (पूर्ववर्ती विषम स्थान तक) से भाग दें; विषम स्थान से भागफल के वर्ग को घटाने के पश्चात् भागफल को अगले स्थान पर (मूल की पंक्ति में) रखने पर मूल प्राप्त होता है।” यह विधि इस प्रकार दिखाई जा सकती है:

उदाहरण: 54756 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

विषम और सम स्थानों को ऊध्र्वाधर और क्षैतिज रेखाओं से चिह्नित किया जाता है। विभिन्न चरण तब इस प्रकार दिखाए जाते हैं।

प्रक्रिया समाप्त होती है। मूल 234 है।

ज्यामिति

अस्तित्व में आने वाले सबसे प्राचीन गणितीय ग्रंथ बौधायन, आपस्तम्ब और कात्यायन के शुल्बसूत्र हैं, जो कि बाद के वैदिक युग के सूत्र काल के साहित्य का भाग हैं। शुल्बसूत्रों के 800 ई.पू. के आसपास रचित होने का अनुमान लगाया गया है। परंतु इन सूत्रों में दर्ज गणितीय ज्ञान कहीं अधिक प्राचीन है; क्योंकि शुल्ब लेखक इस बात पर बल देते हैं कि वे केवल उन तथ्यों को कह रहे हैं जो प्रारंभिक वैदिक युग के ब्राह्मणों और संहिताओं के रचनाकारों को पहले से ज्ञात थे। शुल्बसूत्र गणित के उन परिणामों का संकलन देते हैं जिनका उपयोग विभिन्न सुरुचिपूर्ण वैदिक अग्नि वेदियों की रचना और निर्माण के लिए किया गया था। वेदियों को प्रतीकात्मक महत्व था और इन्हें सटीकता से बनाना आवश्यक था। कई ईंट-वेदियों की रचनाएँ काफी रोचक हैं, उदाहरण के लिए, उड़ान भरते बाज़ की घुमावदार पंखों वाली आकृति, पूरी तरह से तीलियों के साथ रथ-पहिया या फिर बाहर निकले सिर और पैरों वाला कछुआ। शुल्बसूत्र में त्रिभुजों के प्रकार, अर्थात् सम, द्विसम और विषमत्रिभुज, मूलतः समबाहु, समद्विबाहु और विषमबाहु त्रिभुज थे।

बौधायन

इतिहास भर में, समतलीय ज्यामिति को दो महत्वपूर्ण स्तंभों पर खड़ा जाना जाता है जिनके अनुप्रयोग हैं: (i) परिणाम जिसे लोकप्रिय रूप से ‘पाइथागोरस प्रमेय’ कहा जाता है, और (ii) समरूप आकृतियों के गुण। सुल्बसूत्रों में, पाइथागोरस प्रमेय का एक कथन देखा जा सकता है साथ ही विभिन्न ज्यामितीय रचनाओं में इसके अनुप्रयोग, जैसे कि दो दिए गए वर्गों के योग या अंतर के बराबर क्षेत्रफल का एक वर्ग बनाना, या एक आयत बनाना।

आर्यभट्ट प्रथम ने सभी सामान्य ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल या परिमाप के लिए सही सूत्र दिए, जबकि ब्रह्मगुप्त ने त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सही सूत्र दिए; साथ ही चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल जब भुजाएँ ज्ञात हों, और चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण।

बीजगणित

भारत में बीजगणित विज्ञान का भारतीय नाम बीजगणित है। बीज का अर्थ है ‘अवयव’ या ‘विश्लेषण’ और गणित का अर्थ है ‘गणना का विज्ञान’। इस प्रकार बीजगणित का शाब्दिक अर्थ है ‘अवयवों के साथ गणना का विज्ञान’ या ‘विश्लेषणात्मक गणना का विज्ञान’। ब्रह्मगुप्त (ई. 628) बीजगणित को कुट्टकगणित या सरलतः कुट्टक कहते हैं। कुट्टक शब्द, जिसका अर्थ है ‘पीसने वाला’, बीजगणित के विज्ञान की एक शाखा को संदर्भित करता है जो विशेष रूप से प्रथम कोटि के अनिश्चित समीकरणों के विषय से संबंधित है। यह जानना रोचक है कि इस विषय को भारतीयों ने इतना महत्वपूर्ण माना कि सातवीं शताब्दी के प्रारंभ में सम्पूर्ण बीजगणित विज्ञान का नाम इसी के नाम पर रखा गया। बीजगणित को अव्यक्त-गणित या ‘अज्ञातों के साथ गणना का विज्ञान’ (अव्यक्त = अज्ञात) भी कहा जाता है, जो कि व्यक्त-गणित या ‘ज्ञातों के साथ गणना का विज्ञान’ (व्यक्त = ज्ञात) नाम से विपरीत है जो अंकगणित, ज्यामिति और क्षेत्रमिति को सम्मिलित करता है।

बीजगणित का महत्व

प्राचीन भारतीय बीजगणित को एक अत्यंत उपयोगी विज्ञान मानते थे। बीजगणित पर अपने ग्रंथ के प्रारंभिक श्लोकों में ब्रह्मगुप्त कहते हैं:

“चूंकि बीजगणित के बिना प्रश्नों को जानना (अर्थात् हल करना) दुर्लभ है, इसलिए मैं उदाहरणों सहित बीजगणित का वर्णन करूंगा। कुट्टक, शून्य, ऋणात्मक और धनात्मक राशियों, अज्ञातों, मध्यपद-हरण, एक अज्ञात वाले समीकरण, फैक्टम और वर्ग-प्रकृति को जानकर कोई विद्वानों में विद्वान प्राध्यापक (आचार्य) बन जाता है।”

इसी प्रकार भास्कर द्वितीय (1150 ई.) लिखते हैं—“जिसे विद्वान गणक (संख्यापक) बुद्धि की उत्पत्तिकर्ता कहते हैं, जो किसी विवेकी सत्ता (सत्पुरुष) के निर्देशन से कार्य करती है और जो केवल सभी व्यक्त (व्यक्त) वस्तुओं की मूल कारण (बीज) है, मैं उस अदृश्य ईश्वर तथा अज्ञातों की गणना-विज्ञान को वंदन करता हूँ… चूँकि प्रश्न बिना बीजगणितीय तर्क के दुर्बुद्धि लोगों द्वारा कदापि हल नहीं किए जा सकते, अतः मैं विश्लेषण की क्रियाओं का वर्णन करूँगा।” इस प्रकार भास्कर द्वितीय के अनुसार बीजगणित को वह विज्ञान कहा जा सकता है जो प्रतीकों द्वारा व्यक्त संख्याओं का अध्ययन करता है और जिसमें बुद्धिमान युक्तियों तथा चतुर उपायों के लिए पर्याप्त गुंजाइश और प्राथमिक आवश्यकता होती है।

भारत में बीजगणित की उत्पत्ति

भारत में बीजगणित की उत्पत्ति सुल्ब (800-500 ई.पू.) और ब्राह्मण (2000 ई.पू.) काल तक जाती है। परंतु तब यह प्रायः ज्यामितीय था। वर्ग को दी गई भुजा वाले आयत में रूपांतरित करने की ज्यामितीय विधि, जो प्रमुख सुल्ब में वर्णित है, स्पष्टतः एक अज्ञात राशि वाले रैखिक समीकरण $a x=c^{2 n}$ के हल के समतुल्य है। द्विघात समीकरण का समकक्ष किसी दी गई आकृति (वेदी) के समरूप परंतु क्षेत्रफल में निर्धारित अंतर वाली आकृति की रचना में दिखता है। उस समस्या को हल करने की सामान्य विधि आकृति की रैखिक मापों की माप-इकाई को बढ़ाना था।

आर्यभट्ट प्रथम ने द्विपद प्रसार में भी महत्वपूर्ण योगदान दिए। इनका उपयोग घातांक, वर्ग, वर्गमूल, घन, घनमूल आदि पर संक्रियाएँ ज्ञात करने के लिए किया गया।

त्रिकोणमिति

बीजगणित की संकल्पनाओं के विकास के अतिरिक्त, भारतीयों ने त्रिकोणमिति की संकल्पनाओं को भी व्यवस्थित रूप से विकसित किया जो इसके आधुनिक रूप से मेल खाती थीं। उन्होंने इसके आगामी विकास में बीजगणित का उपयोग किया।

यद्यपि यूनानियों ने त्रिकोणमिति की स्थापना की, उनकी प्रगति पर्याप्त बीजगणितीय यंत्र और संकेतों की अनुपस्थिति के कारण रुक गई। भारतीयों ने साइन और कोसाइन फलनों की खोज की, अधिकांश मानक सूत्रों और पहचानों की खोज की, जिसमें $\sin (A \pm B)$ का मूलभूत सूत्र भी शामिल है और अपेक्षाकृत सटीक साइन सारणियाँ बनाईं। ब्रह्मगुप्त (ई. 628) और गोविन्दस्वामी (ई. 880) ने साइन सारणियों से मध्यवर्ती कोणों के साइनों की गणना के लिए अंतर्वेशन सूत्र दिए — ये न्यूटन-स्टर्लिंग और न्यूटन-गॉस द्वितीय कोर अंतर के सूत्रों के विशेष मामले हैं (जो उच्च कक्षाओं में पढ़ाए जाते हैं)। भारतीय ग्रंथों में उल्लेखनीय सन्निकटन दिए गए हैं जिनमें आर्यभट्ट प्रथम (ई. 499) का 3.1416, माधव (ई. 1500) का 3.14159265359 और नीलकंठ (ई. 1500) का 355/113 शामिल है।

आर्यभट्ट प्रथम ने पहली बार एक चतुर्थ-वृत्त के भीतर समकोण त्रिभुज को परिभाषित किया और लंब तथा आधार को कोण के फलन के रूप में व्यक्त किया, और लंब, ज्या या जीवा को $R \operatorname{Sin} \theta$ के रूप में तथा आधार, को-ज्या को $R \operatorname{Cos} \theta$ के रूप में व्यक्त किया, जो सम्बन्ध $(R \operatorname{Sin} \theta)^{2}+(R \operatorname{Cos} \theta)^{2}=R^{2}$ को संतुष्ट करता है, जहाँ $R$ वृत्त की त्रिज्या है। उन्होंने मान दिए, $R$ Sin $0^{\circ}=0, R \operatorname{Sin} 30^{\circ}=R / \sqrt{ } 3$, $R \operatorname{Sin} 45^{\circ}=R / \sqrt{ } 2, R \operatorname{Sin} 60^{\circ}=R \sqrt{3} / 2, R \operatorname{Sin} 90^{\circ}=R$।

उन्होंने आगे सुझाव दिया कि Sine के मान अंतराल $0 \leq \theta \leq 1$ में बढ़ते हैं, और Cosine के मान उसी प्रकार घटते हैं, अर्थात् $\mathrm{R} \operatorname{Cos} 0^{\circ}=\mathrm{R}$ और $\operatorname{Cos} 90^{\circ}=0$। ये सभी तथ्य आधुनिक त्रिकोणमिति में भी अध्ययन किए जाते हैं।

अभ्यास

1. प्राचीन गणितज्ञों को कितनी मूलभूत संक्रियाएँ ज्ञात थीं? वे कौन-सी हैं?

2. प्राचीन भारतीय गणितज्ञों के नाम और उनकी अवधि बताइए, जिन्होंने ज्यामिति और त्रिकोणमिति में कार्य किया।

क्या आपको प्राचीन गणितीय संकल्पनाओं और वर्तमान में आपके द्वारा अध्ययन की जा रही बीजगणित, ज्यामिति और त्रिकोणमिति की संकल्पनाओं के बीच कोई समानता दिखाई देती है? (आप संदर्भों में दिए गए साहित्य का भी उल्लेख कर सकते हैं)।

3. (क) क्या आपको लगता है कि संख्याओं पर मूलभूत संक्रियाएँ करने की प्रक्रिया में प्राचीन काल और आज आपने जो पद्धति पढ़ी है, उसमें कोई अंतर है?

(ख) आपको कौन-सी प्रक्रिया आसान लगती है? क्यों? अपने मित्रों से चर्चा कीजिए।

4. कम-से-कम तीन ऐसे पद लिखिए जो प्राचीन गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त होते थे और उनके अर्थ दीजिए:

(क) योग
(ख) व्यवकलन
(ग) गुणा
(घ) भाग

5. साहित्य से ऐसी गणितीय संकल्पनाएँ खोजिए जो इस अध्याय में चर्चित नहीं की गई हैं और भारतीय गणितज्ञों द्वारा विकसित की गई हैं।

शब्दावली

गणित अनुयोग: गणित के सिद्धांतों का प्रतिपादन

कपट-संधि: संख्याओं को गुणा करने की एक विधि

सांख्यान: संख्याओं का विज्ञान, जिसका अर्थ है अंकगणित और खगोलशास्त्र

शुल्बसूत्र: संस्कृत नाम ‘शुल्बसूत्र’ या ‘शुल्व सूत्र’ सर्वेक्षण करने वालों की उस प्रथा से लिया गया है जिसमें वे ज़मीन के समीप डोरियों से खूँटियाँ जोड़कर सीधी रेखाएँ खींचते थे। हम आज भी ईंटों का काम करने वालों को यह कला अपनाते देख सकते हैं, यदि वे यह सुनिश्चित करना चाहें कि दीवार सीधी है।

यजुर्वेद संहिता: यजुर्वेद-संहिताएँ अध्वर्यु पुजारी के लिए प्रार्थना-पुस्तकें हैं, जिन्हें यज्ञ में लगभग सभी कर्मकांडीय कार्य करने होते हैं।

📖 अगले चरण

1. अभ्यास प्रश्न: अभ्यास परीक्षणों के साथ अपनी समझ की जाँच करें
2. अध्ययन सामग्री: व्यापक अध्ययन संसाधनों का अन्वेषण करें
3. पिछले प्रश्नपत्र: परीक्षा पत्रों की समीक्षा करें
4. दैनिक प्रश्नोत्तरी: आज की प्रश्नोत्तरी लें