ज्यामिति की मूल बातें

ज्यामिति आकृतियों के आकार, आकार, स्थिति और आयामों के गुणों से संबंधित है।

SSC के लिए महत्वपूर्ण विषय:

1. रेखाएं और कोण
2. त्रिभुज (सबसे महत्वपूर्ण!)
3. वृत्त
4. चतुर्भुज
5. बहुभुज

रेखाएं और कोण

मूलभूत परिभाषाएं

• पूरक कोण: योग = 90°
• पूरक कोण: योग = 180°
• रैखिक युग्म: योग = 180° (संलग्न कोण)
• शीर्षाभिमुख कोण: समान

अनुप्रस्थ रेखाएं सहित समांतर रेखाएं

जब एक अनुप्रस्थ रेखा समांतर रेखाओं को काटती है:

• संगत कोण समान होते हैं
• वैकल्पिक आंतरिक कोण समान होते हैं
• सह-आंतरिक कोणों का योग 180° होता है

त्रिभुज (उच्च प्राथमिकता!)

त्रिभुजों के प्रकार

भुजाओं के अनुसार:

• समबाहु: सभी भुजाएं समान
• समद्विबाहु: 2 भुजाएं समान
• विषमबाहु: सभी भुजाएं भिन्न

कोणों के अनुसार:

• न्यूनकोण: सभी कोण < 90°
• समकोण: एक कोण = 90°
• अधिक कोण: एक कोण > 90°

महत्वपूर्ण त्रिभुज प्रमेय

1. कोण योग गुणधर्म

त्रिभुज में सभी कोणों का योग = 180°

2. बाह्य कोण प्रमेय

बाह्य कोण = दो विपरीत आंतरिक कोणों का योग

3. पाइथागोरस प्रमेय (समकोण त्रिभुज)

(कर्ण)² = (आधार)² + (ऊंचाई)² h² = b² + p²

4. महत्वपूर्ण पाइथागोरस ट्रिपलेट्स

3, 4, 5 5, 12, 13 8, 15, 17 7, 24, 25 9, 40, 41

5. त्रिभुज असमानता

किन्हीं 2 भुजाओं का योग > तीसरी भुजा किन्हीं 2 भुजाओं का अंतर < तीसरी भुजा

त्रिभुज के केंद्र (SSC पसंदीदा!)

1. केंद्रक

• माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन
• माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है

2. परिकेन्द्र

• लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन
• सभी शीर्षों से समान दूरी पर

3. अंतःकेंद्र

• कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन
• सभी भुजाओं से समान दूरी पर

4. लंबकेंद्र

• ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन

समरूप त्रिभुज

जब त्रिभुज समरूप होते हैं:

• संगत कोण समान होते हैं
• संगत भुजाएँ आनुपातिक होती हैं

AAA, SAS, SSS समरूपता मानदंड

वृत्त

बुनियादी सूत्र

परिधि = 2πr = πd क्षेत्रफल = πr²

चाप की लंबाई = (θ/360°) × 2πr वृत्तखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²

महत्वपूर्ण वृत्त प्रमेय

1. जीवा प्रमेय

• समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं
• केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है

2. स्पर्श रेखा प्रमेय

• स्पर्श रेखा ⊥ स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या
• बाहरी बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ समान होती हैं

3. अर्धवृत्त में कोण

• अर्धवृत्त में कोण = 90°

4. चक्रीय चतुर्भुज

• विपरीत कोणों का योग 180° होता है

चतुर्भुज

प्रकार और गुण

आयत:

• विपरीत भुजाएँ समान
• सभी कोण = 90°
• विकर्ण समान और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं

वर्ग:

• सभी भुजाएँ समान
• सभी कोण = 90°
• विकर्ण समान, लंब, एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं

समांतर चतुर्भुज:

• विपरीत भुजाएँ समान और समांतर
• विपरीत कोण समान
• विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं

समचतुर्भुज:

• सभी भुजाएँ समान
• विपरीत कोण समान
• विकर्ण लंब और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं

ट्रैपेज़ियम:

• एक युग्म समांतर भुजाओं का

महत्वपूर्ण शॉर्टकट

शॉर्टकट 1: त्रिभुज का क्षेत्रफल (हीरोन का सूत्र)

s = (a+b+c)/2 क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]

शॉर्टकट 2: 30-60-90 त्रिभुज

भुजाओं का अनुपात = 1 : √3 : 2
यदि सबसे छोटी भुजा = x
तो भुजाएँ = x, x√3, 2x

शॉर्टकट 3: 45-45-90 त्रिभुज

भुजाओं का अनुपात = 1 : 1 : √2
यदि बराबर भुजाएँ = x
तो कर्ण = x√2

शॉर्टकट 4: विकर्णों की संख्या

n-भुजीय बहुभुज में n(n-3)/2 विकर्ण होते हैं
त्रिभुज (n=3): 0 विकर्ण
वर्ग (n=4): 2 विकर्ण
पंचभुज (n=5): 5 विकर्ण

हल किए गए उदाहरण

Q1: त्रिभुज के दो कोण 50° और 60° हैं। तीसरा कोण ज्ञात कीजिए।

हल:

कोणों का योग = 180°
तीसरा कोण = 180° - 50° - 60° = 70°

Q2: समकोण त्रिभुज में, यदि आधार = 6 सेमी, ऊँचाई = 8 सेमी, तो कर्ण ज्ञात कीजिए।

हल:

h² = 6² + 8²
h² = 36 + 64 = 100
h = 10 सेमी

Q3: 60° त्रिज्यखंड द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण ज्ञात कीजिए।

हल:

सीधे दिया गया: 60°
(चालाकी भरा प्रश्न - त्रिज्यखंड का कोण ही केंद्रीय कोण है!)

📖 अगले कदम

1. अभ्यास प्रश्न: अपनी समझ को अभ्यास परीक्षणों से परखें
2. अध्ययन सामग्री: व्यापक अध्ययन संसाधनों का अन्वेषण करें
3. पिछले प्रश्नपत्र: परीक्षा पत्रों की समीक्षा करें
4. **दैनिक क्विज़]: आज का क्विज़ लें