1.1 அறிமுகம்

நான்காம் வகுப்பில், உங்கள் உண்மையான எண்களின் உலகத்தை ஆராய்ந்து, முடிவிலி எண்களை நேரடியாக அறிந்துகொண்டீர்கள். இந்த அ஧ம் இலக்கில், உண்மையான எண்களைப் பற்றிய எங்கள் விவாதத்தை தொடர்ந்து விரிவாக்குகிறோம். இங்கு நாம் இரண்டு மிக முக்கியமான இலக்கணங்களை இலக்கணங்களின் 1.2 மற்றும் 1.3 இலக்கங்களில் தொடங்குகிறோம், அதாவது யுகிலிட்டினின் வரிசை வகுப்புதல் விதிகள் மற்றும் கணித அடிப்படை உடைமை உச்சரிப்பு.

யுகிலிட்டினின் வரிசை வகுப்புதல் விதிகள் என்பது பெயரைப் போலவே, எண்களின் வகுத்தல் பற்றியது. எளிய மொழிகளில் சொல்வதாவது, எந்த ஒரு நேர்மறை எண் $a$ இனை மற்றொரு நேர்மறை எண் $b$ ஆல் வகுப்பிடப்பட்டால், $r$ என்ற சிறியதான மீதியை எட்டும் வகையில் வகுப்பிடப்பட முடியும். பெரும்பாலானவர்கள் இதை பொதுவான நீண்ட வகுப்பிடல் செயல்முறையாக அறிந்திருப்பதாகத் தெரிகிறது. இந்த முடிவு சொல்லும் மற்றும் புரிந்துகொள்ளும் வகையில் எளிதானதாக இருந்தாலும், இது எண்களின் வகுத்தல் பண்புகளைப் பற்றிய பல பயன்களைக் கொண்டுள்ளது. இதில் சிலவற்றை நாம் அறிந்துகொள்வோம், மேலும் இதை இரண்டு நேர்மறை எண்களின் பொது மயமான எண்ணை (HCF) கணக்கிடுவதில் முதன்மையாகப் பயன்படுத்துவோம்.

கணித அடிப்படை உடைமை உச்சரிப்பு, மறுபடியும், நேர்மறை எண்களின் பெருக்கல் பற்றியது. ஒவ்வொரு சிகப்பு எண்ணையும் பிரெய்ம்ஸ் எண்களின் பெருக்கலாக ஒரு ஒவ்வொரு வகையிலும் வெளிப்படுத்தலாம் என்பதை நீங்கள் ஏற்கனவே அறிந்திருப்பீர்கள் - இந்த முக்கியமான உண்மை இது கணித அடிப்படை உடைமை உச்சரிப்பாகும். மீண்டும், இதை சொல்லும் மற்றும் புரிந்துகொள்ளும் வகையில் எளிதானதாக இருந்தாலும், இது கணிதத்தின் துறையில் சில மிகவும் ஆழமான மற்றும் முக்கியமான பயன்களைக் கொண்டுள்ளது. இதை இரண்டு முக்கியமான பயன்களுக்காகப் பயன்படுத்துவோம். முதலில், நான்காம் வகுப்பில் நீங்கள் ஆராய்ந்த பல எண்களின் முடிவிலியல்பை நாம் நிரூபிக்க இதைப் பயன்படுத்துவோம், உதாரணமாக $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ மற்றும் $\sqrt{5}$. இரண்டாம் வகையான இதை ஒரு இலக்கண எண், உதாரணமாக $\dfrac{p}{q}(q \neq 0)$ இன் தசம விரிவாக்கம் என்ன வகையானது என்பதை சரியாக ஆராய்வதற்காகப் பயன்படுத்துவோம், அது சொந்த பிரெய்ம் காரணிகளை வெளிப்படுத்தும் பகுப்பாய்வு $q$ இன் மீதி $\dfrac{p}{q}$ ஆல் பார்ப்பதன் மூலம். நீங்கள் பார்ப்பீர்கள், $q$ இன் பிரெய்ம் காரணிகளை வெளிப்படுத்துவது முழுமையான வகையில் $\dfrac{p}{q}$ இன் தசம விரிவாக்கத்தின் உணர்வை வெளிப்படுத்தும்.

ஆகவே, எங்கள் ஆராய்ச்சியைத் தொடங்குவோம்.

1.2 கணித அடிப்படை உடைமை உச்சரிப்பு

நீங்கள் முந்தைய வகுப்புகளில் இருந்து புலம்பெயர்ந்த எண்களை எப்போதும் அவற்றின் பிரெய்ம் காரணிகளால் பெருக்கலாம் என்பதைப் பார்த்தீர்கள். உதாரணமாக, $2=2,4=2 \times 2,253=11 \times 23$, மேலும் போன்றவை. இப்போது, நாம் புலம்பெயர்ந்த எண்களை மற்றொரு வழியில் பார்ப்போம். அதாவது, எந்த ஒரு புலம்பெயர்ந்த எண்ணையும் பிரெய்ம் எண்களை பெருக்குவதன் மூலம் பெறமுடியுமா? நாம் பார்ப்போம்.

பிரெய்ம் எண்களின் எந்த ஒரு தொகுப்பையும் எடுத்துக்கொள்வோம், உதாரணமாக $2,3,7,11$ மற்றும் 23. இந்த எண்களில் சில அல்லது அனைத்தையும் நாம் விருப்பமான அளவு வரை மீண்டும் பெருக்கினால், நேர்மறை எண்களின் ஒரு பெரிய தொகுப்பை நாம் உருவாக்கலாம் (உண்மையில், முடிவிலி எண்கள்). இதை நாம் சில எண்களால் பட்டியலிட்டுக்கொள்வோம்:

$ \begin{matrix} 7 \times 11 \times 23=1771 & 3 \times 7 \times 11 \times 23=5313 \\ 2 \times 3 \times 7 \times 11 \times 23=10626 & 2^{3} \times 3 \times 7^{3}=8232 \\ 2^{2} \times 3 \times 7 \times 11 \times 23=21252 & \end{matrix} $

மேலும் போன்றவை.

இப்போது, உங்கள் பிரெய்ம் எண்களின் தொகுப்பில் அனைத்து சாத்தியமான பிரெய்ம்ஸ் எண்களும் இருப்பதை நினைவில் கொள்க. இந்த தொகுப்பின் அளவு பற்றிய உங்கள் கருத்து என்ன? இது ஒரு முடிவிலி எண்ணை மட்டுமே கொண்டிருக்குமா, அல்லது முடிவிலி எண்களை கொண்டிருக்குமா? உண்மையில், பிரெய்ம்ஸ் எண்கள் முடிவிலி எண்கள். எனவே, நாம் அனைத்து பிரெய்ம்ஸ் எண்களையும் அனைத்து சாத்தியமான வகையில் இணைத்தால், நாம் முடிவிலி எண்கள் மற்றும் அனைத்து பிரெய்ம்ஸ் எண்களின் சாத்தியமான பெருக்குகளையும் பெறுவோம். வினாவும் இது - நாம் இப்படியாக அனைத்து சிகப்பு எண்களையும் உருவாக்கமுடியுமா? நீங்கள் என்ன எண்ணுகிறீர்கள்? நீங்கள் பிரெய்ம்ஸ் எண்களின் அடிப்படைகளில் ஒரு சிகப்பு எண் இருக்கலாம் என்று நினைவில் கொள்கிறீர்களா?

இதற்கு முன் நாம் இதற்கு பதிலளிக்கும், நாம் இப்போது நேர்மறை எண்களை பிரிவினையிடுவோம், அதாவது, நாம் இப்போது செய்திருந்தோம் என்பதை மாற்றிக்கொள்வோம்.

நாம் அனைவரும் அறிந்துகொண்டிருக்கிற காரணி மரத்தைப் பயன்படுத்துவோம். ஒரு பெரிய எண்ணை எடுத்துக்கொள்வோம், உதாரணமாக, 32760, மேலும் அதை காட்டிலும் செய்வோம்.

எனவே, நாம் 32760 ஐ $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13$ என்ற பிரெய்ம் எண்களின் பெருக்கலாக பிரிவினையிட்டோம், அதாவது, $32760=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 13$ என்ற பிரெய்ம் எண்களின் அடிப்படைகளாக பிரிவினையிட்டோம். மற்றொரு எண்ணை நாம் முயற்சிப்போம், உதாரணமாக, 123456789. இது $3^{2} \times 3803 \times 3607$ ஆக இருக்கலாம். நீங்கள் 3803 மற்றும் 3607 என்பவை பிரெய்ம்ஸ் எண்கள் என்பதை சரிபார்க்க வேண்டும்! (பல புலம்பெயர்ந்த எண்களுக்காக நீங்கள் செய்யுங்கள்.) இது ஒவ்வொரு சிகப்பு எண்ணையும் பிரெய்ம் எண்களின் அடிப்படைகளால் பெருக்கலாக எழுதலாம் என்ற கருத்தை நமக்கு வழங்குகிறது. உண்மையில், இந்த வாக்கியம் உண்மையானது, மேலும் இது எண்களைப் பற்றிய ஆய்வில் அடிப்படையான முக்கியமான முக்கியத்துவத்தைக் கொண்டுள்ளதால் கணித அடிப்படை உடைமை உச்சரிப்பாக அழைக்கப்படுகிறது. இப்போது இந்த உச்சரிப்பை நம்மால் அறிவிப்போம்.

உச்சரிப்பு 1.1 (கணித அடிப்படை உடைமை உச்சரிப்பு): ஒவ்வொரு சிகப்பு எண்ணையும் பிரெய்ம் எண்களின் பெருக்கலாக வெளிப்படுத்தலாம் (பிரிவினையிடலாம்), மேலும் இந்த பிரிவினையிடல் ஒரு மட்டுமே முடிவிலி எண்ணாக இருக்கும், பிரெய்ம் காரணிகள் என்னும் வகையில் இருக்கும்.

உச்சரிப்பு 1.2 இன் ஒரு ஒப்பீட்டளவை யுகிலிட்டினின் எலக்ட்ஸில் புத்தகம் IX இன் பிராசிசப் 14 ஆக முதலில் பதிவு செய்யப்பட்டது, இது கணித அடிப்படை உடைமை உச்சரிப்பாக அறியப்படும் முன்னர். இருப்பினும், முதல் சரியான நிரூபணம் கார்ல் பிரீட்ரிக் காஸ் ஆல் அவரது டிஸ்குர்சியன்ஸ் ஆரித்மெடிகே இல் வழங்கப்பட்டது.

கார்ல் பிரீட்ரிக் காஸ் மிகவும் முக்கியமான கணிஞர்களாக அழைக்கப்படுகிறார் ‘கணிதம் ஆசிரியரின் மனைவி’ என்று மற்றும் அரிசியம் மற்றும் நியூட்டன் உடன் அனைத்து காலத்திலும் மிகவும் முக்கியமான மூன்று கணிஞர்களில் ஒருவராகக் கருதப்படுகிறார். இவர் கணிதம் மற்றும் அறிவியல் ஆகிய இரண்டிலும் அடிப்படையான பங்களிப்புகளை செய்துள்ளார்.

கார்ல் பிரீட்ரிக் காஸ் (1777 - 1855)

கணித அடிப்படை உடைமை உச்சரிப்பு ஒவ்வொரு சிகப்பு எண்ணையும் பிரெய்ம் எண்களின் பெருக்கலாக பிரிவினையிடலாம் என்று கூறுகிறது. உண்மையில் இது மேலும் பலவற்றையும் கூறுகிறது. ஒரு சிகப்பு எண்ணை வழங்கியால், அது பிரெய்ம் எண்களின் பெருக்கலாக ஒரு ‘ஒவ்வொரு’ வகையில் பிரிவினையிடப்படும், பிரெய்ம் எண்கள் என்னும் வகையில் இருக்கும். அதாவது, ஒரு சிகப்பு எண்ணை வழங்கியால் அது பிரெய்ம் எண்களின் பெருக்கலாக ஒரு மட்டுமே முடிவிலி எண்ணாக எழுதப்படும், நாம் பிரெய்ம் எண்கள் என்னும் வகையில் இருக்கும். எனவே, உதாரணமாக, நாம் $2 \times 3 \times 5 \times 7$ ஐ $3 \times 5 \times 7 \times 2$ அல்லது இந்த பிரெய்ம் எண்கள் எழுதப்படும் மற்றொரு சாத்தியமான வரிசையில் ஒரு ஒவ்வொரு ஒப்புக்கொள்கிறோம். இந்த உண்மையை இப்படியும் சொல்லலாம்:

ஒரு புலம்பெயர்ந்த எண்ணின் பிரெய்ம் காரணிகள் ஒவ்வொரு காரணிகளின் வரிசையில் இல்லாமல் ஒரு மட்டுமே முடிவிலி எண்ணாக இருக்கும்.

பொதுவாக, ஒரு சிகப்பு எண் $x$ ஐ வழங்கியால், நாம் $x=p_1 p_2 \ldots p_n$ ஆக அதை பிரிவினையிடுவோம், அங்கு $p_1, p_2, \ldots, p_n$ என்பவை பிர