4.1 அறிமுகம்

அத்தியாயம் 2-ல், பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வெவ்வேறு வகைகளைப் பற்றி நீங்கள் படித்தீர்கள். ஒரு வகை $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ வடிவத்தின் இருபடிக் கோவையாகும். இந்தப் பல்லுறுப்புக்கோவையை பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமப்படுத்தும்போது, நமக்கு ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு கிடைக்கிறது. பல நிஜ வாழ்க்கைச் சூழ்நிலைகளைக் கையாளும்போது இருபடிச் சமன்பாடுகள் எழுகின்றன. உதாரணமாக, ஒரு தொண்டு நம்பிக்கை 300 சதுர மீட்டர் கம்பளப் பரப்பளவு கொண்ட ஒரு வழிபாட்டு அரங்கத்தைக் கட்ட முடிவு செய்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதன் நீளம் அதன் அகலத்தைப் போல இருமடங்கை விட ஒரு மீட்டர் அதிகமாக உள்ளது. அரங்கத்தின் நீளமும் அகலமும் என்னவாக இருக்க வேண்டும்? அரங்கத்தின் அகலம் $x$ மீட்டர் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அப்படியானால், அதன் நீளம் $(2 x+1)$ மீட்டர் இருக்க வேண்டும். இந்தத் தகவலை படம் 4.1-ல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி படவடிவில் சித்தரிக்கலாம்.

படம். 4.1

$ \text{இப்போது, அரங்கத்தின் பரப்பளவு }=(2 x+1) \cdot x m^{2}=(2 x^{2}+x) m^{2} $

$\text{So,}\quad 2 x^{2}+x=300 \quad \quad \quad $ (கொடுக்கப்பட்டது)

$ \text{எனவே,}\quad 2 x^{2}+x-300=0 $

எனவே, அரங்கத்தின் அகலம் $2 x^{2}+x-300=0$ என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்ய வேண்டும், இது ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு ஆகும்.

பாபிலோனியர்கள்தான் முதன்முதலில் இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தார்கள் என்று பலர் நம்புகிறார்கள். உதாரணமாக, கொடுக்கப்பட்ட நேர்மத் தொகை மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட நேர்மப் பெருக்கற்பலன் கொண்ட இரண்டு நேர்ம எண்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பது அவர்களுக்குத் தெரியும், மேலும் இந்தச் சிக்கல் $x^{2}-p x+q=0$ வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்குச் சமமானது. கிரேக்க கணிதவியலாளர் யூக்ளிட், நீளங்களைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு வடிவியல் அணுகுமுறையை உருவாக்கினார், அவை நமது தற்கால சொற்களில், இருபடிச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளாகும். பொதுவான வடிவத்தில் இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, பெரும்பாலும் பண்டைய இந்திய கணிதவியலாளர்களுக்குக் காரணம் கற்பிக்கப்படுகிறது. உண்மையில், பிரம்மகுப்தர் (கி.பி.598-665) $a x^{2}+b x=c$ வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு வெளிப்படையான சூத்திரத்தைக் கொடுத்தார். பின்னர்,

சிறீதராச்சாரியார் (கி.பி. 1025) ஒரு சூத்திரத்தைப் பெற்றெடுத்தார், இப்போது இருபடிச் சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, (பாஸ்கர II-ஆல் மேற்கோள் காட்டப்பட்டது) ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டை வர்க்கத்தை நிறைவு செய்யும் முறையால் தீர்ப்பதற்காக. ஒரு அரபுக் கணிதவியலாளர் அல்-குவாரிஸ்மி (கி.பி. 800 சுமார்) வெவ்வேறு வகையான இருபடிச் சமன்பாடுகளையும் படித்தார். ஆபிரகாம் பார் ஹிய்யா ஹா-நாசி, தனது ‘லிபர் எம்படோரம்’ என்ற புத்தகத்தில் கி.பி. 1145-ல் ஐரோப்பாவில் வெளியிட்டார், வெவ்வேறு இருபடிச் சமன்பாடுகளின் முழுமையான தீர்வுகளைக் கொடுத்தார்.

இந்த அத்தியாயத்தில், நீங்கள் இருபடிச் சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் மூலங்களைக் கண்டறிவதற்கான பல்வேறு வழிகளைப் படிப்பீர்கள். நாள்தோறும் வாழ்க்கைச் சூழ்நிலைகளில் இருபடிச் சமன்பாடுகளின் சில பயன்பாடுகளையும் நீங்கள் காண்பீர்கள்.

4.2 இருபடிச் சமன்பாடுகள்

$x$ என்ற மாறியில் ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு என்பது $a x^{2}+b x+c=0$ வடிவத்தின் ஒரு சமன்பாடு ஆகும், இங்கு $a, b, c$ என்பன மெய்யெண்கள், $a \neq 0$. உதாரணமாக, $2 x^{2}+x-300=0$ என்பது ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு. இதேபோல், $2 x^{2}-3 x+1=0,4 x-3 x^{2}+2=0$ மற்றும் $1-x^{2}+300=0$ ஆகியவையும் இருபடிச் சமன்பாடுகளே.

உண்மையில், $p(x)=0$ வடிவத்தின் எந்தச் சமன்பாடும், இங்கு $p(x)$ என்பது பட்டம் 2 கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை, ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு ஆகும். ஆனால் நாம் $p(x)$-ன் உறுப்புகளை அவற்றின் பட்டங்களின் இறங்கு வரிசையில் எழுதும்போது, சமன்பாட்டின் நிலையான வடிவம் கிடைக்கிறது. அதாவது, $a x^{2}+b x+c=0$, $a \neq 0$ என்பது ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் நிலையான வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இருபடிச் சமன்பாடுகள் நம்மைச் சுற்றியுள்ள உலகின் பல சூழ்நிலைகளிலும் மற்றும் கணிதத்தின் வெவ்வேறு புலங்களிலும் எழுகின்றன. சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 : பின்வரும் சூழ்நிலைகளைக் கணித ரீதியாகக் குறிப்பிடவும்:

(i) ஜான் மற்றும் ஜிவந்தி இருவருக்கும் சேர்த்து 45 கோலிகள் உள்ளன. அவர்கள் இருவரும் தலா 5 கோலிகளை இழந்தனர், மேலும் இப்போது அவர்களிடம் உள்ள கோலிகளின் எண்ணிக்கையின் பெருக்கற்பலன் 124 ஆகும். தொடக்கத்தில் அவர்களிடம் எத்தனை கோலிகள் இருந்தன என்பதைக் கண்டறிய விரும்புகிறோம்.

(ii) ஒரு குடிசைத் தொழில் ஒரு நாளில் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான பொம்மைகளை உற்பத்தி செய்கிறது. ஒவ்வொரு பொம்மையின் உற்பத்திச் செலவு (ரூபாயில்) ஒரு நாளில் உற்பத்தி செய்யப்படும் பொம்மைகளின் எண்ணிக்கையைக் கழித்தால் 55 ஆகக் கண்டறியப்பட்டது. ஒரு குறிப்பிட்ட நாளில், மொத்த உற்பத்திச் செலவு ₹ 750 ஆக இருந்தது. அந்த நாளில் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொம்மைகளின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறிய விரும்புகிறோம்.

தீர்வு :

(i) ஜானிடம் இருந்த கோலிகளின் எண்ணிக்கை $x$ ஆக இருக்கட்டும்.

அப்படியானால் ஜிவந்தியிடம் இருந்த கோலிகளின் எண்ணிக்கை $=45-x$ (ஏன்?).

ஜான் 5 கோலிகளை இழந்தபோது, அவனிடம் மீதமுள்ள கோலிகளின் எண்ணிக்கை $=x-5$

ஜிவந்தி 5 கோலிகளை இழந்தபோது, அவளிடம் மீதமுள்ள கோலிகளின் எண்ணிக்கை $=45-x-5$

$$ =40-x $$

எனவே, அவற்றின் பெருக்கற்பலன் $=(x-5)(40-x)$

$ \begin{aligned} & =40 x-x^{2}-200+5 x \\ & =-x^{2}+45 x-200 \end{aligned} $

எனவே, $\quad-x^{2}+45 x-200=124 \quad$ (பெருக்கற்பலன் $=124$ என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது)

அதாவது, $\quad-x^{2}+45 x-324=0$

அதாவது, $\quad x^{2}-45 x+324=0$

எனவே, ஜானிடம் இருந்த கோலிகளின் எண்ணிக்கை, பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது

$$ x^{2}-45 x+324=0 $$

இது சிக்கலின் தேவையான கணிதப் பிரதிநிதித்துவம் ஆகும்.

(ii) அந்த நாளில் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொம்மைகளின் எண்ணிக்கை $x$ ஆக இருக்கட்டும்.

எனவே, அந்த நாளில் ஒவ்வொரு பொம்மையின் உற்பத்திச் செலவு (ரூபாயில்) $=55-x$

எனவே, அந்த நாளின் மொத்த உற்பத்திச் செலவு (ரூபாயில்) $=x(55-x)$

எனவே, $ \quad \quad x(55-x)=750$

அதாவது, $\quad \quad 55 x-x^{2}=750$

அதாவது, $ \quad \quad -x^{2}+55 x-750=0 $

அதாவது, $ \quad \quad x^{2}-55 x+750=0 $

எனவே, அந்த நாளில் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொம்மைகளின் எண்ணிக்கை பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது

$ x^{2}-55 x+750=0 $

இது சிக்கலின் தேவையான கணிதப் பிரதிநிதித்துவம் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2 : பின்வருவன இருபடிச் சமன்பாடுகளா எனச் சரிபார்க்கவும்:

(i) $(x-2)^{2}+1=2 x-3$

(ii) $x(x+1)+8=(x+2)(x-2)$

(iii) $x(2 x+3)=x^{2}+1$

(iv) $(x+2)^{3}=x^{3}-4$

தீர்வு :

(i) இடப்பக்கம் $=(x-2)^{2}+1=x^{2}-4 x+4+1=x^{2}-4 x+5$

எனவே, $(x-2)^{2}+1=2 x-3$ என்பதை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்

$$ x^{2}-4 x+5=2 x-3 $$

$$ \text{ i.e., } \quad \quad x^{2}-6 x+8=0 $$

இது $a x^{2}+b x+c=0$ வடிவத்தில் உள்ளது.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு ஆகும்.

(ii) $x(x+1)+8=x^{2}+x+8$ மற்றும் $(x+2)(x-2)=x^{2}-4$ என்பதால்

எனவே, $\quad x^{2}+x+8=x^{2}-4$

அதாவது, $ \quad \quad x+12=0 $

இது $a x^{2}+b x+c=0$ வடிவத்தில் இல்லை.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு அல்ல.

(iii) இங்கே,$ \quad \quad \quad \text{ LHS }=x(2 x+3)=2 x^{2}+3 x$

$ \begin{aligned} \text{எனவே, } \quad \quad \quad \quad &x(2 x+3) =x^{2}+1 \text{ என்பதை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம் } \\ &2 x^{2}+3 x =x^{2}+1 \end{aligned} $

எனவே, நமக்கு $x^{2}+3 x-1=0$ கிடைக்கிறது

இது $a x^{2}+b x+c=0$ வடிவத்தில் உள்ளது.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு ஆகும்.

(iv) இங்கே, $ \quad \quad \quad \text{ LHS }=(x+2)^{3}=x^{3}+6 x^{2}+12 x+8 $

எனவே, $(x+2)^{3}=x^{3}-4$ என்பதை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்

$ x^{3}+6 x^{2}+12 x+8=x^{3}-4 $

$ \text {அதாவது,} \quad \quad \quad 6 x^{2}+12 x+12=0 \quad \text{ அல்லது, } \quad x^{2}+2 x+2=0 $

இது $a x^{2}+b x+c=0$ வடிவத்தில் உள்ளது.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு ஆகும்.

குறிப்பு : கவனமாக இருங்கள்! மேலே உள்ள (ii)-ல், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு போல் தோன்றுகிறது, ஆனால் அது ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு அல்ல.

மேலே உள்ள (iv)-ல், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு ஒரு முப்படிச் சமன்பாடு (பட்டம் 3 கொண்ட சமன்பாடு) போல் தோன்றுகிறது, இருபடிச் சமன்பாடு அல்ல. ஆனால் அது ஒரு இருபடிச் சமன்பாடாக மாறிவிடுகிறது. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, பெரும்பாலும் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு இருபடியா இல்லையா என முடிவு செய்வதற்கு முன் அதை எளிமைப்படுத்த வேண்டும்.

4.3 காரணிப்படுத்தல் மூலம் ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வு

$2 x^{2}-3 x+1=0$ என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். இந்தச் சமன்பாட்டின் இடப்பக்கத்தில் $x$-க்குப் பதிலாக 1-ஐப் பிரதியிட்டால், நமக்கு $(2 \times 1^{2})-(3 \times 1)+1=0=$ சமன்பாட்டின் வலப்பக்கம் கிடைக்கிறது. 1 என்பது $2 x^{2}-3 x+1=0$ என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் என்று நாம் கூறுகிறோம். இதன் பொருள் 1 என்பது $2 x^{2}-3 x+1$ என்ற இருபடிப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு பூஜ்ஜியம் என்பதும் ஆகும்.

பொதுவாக, ஒரு மெய்யெண் $\alpha$ என்பது $a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0$ என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, என்றால் $a \alpha^{2}+b \alpha+c=0$. $\boldsymbol{{}x}=\boldsymbol{{}\alpha}$ என்பது இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரு தீர்வு என்றோ, அல்லது $\alpha$ இருபடிச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது என்றோ நாம் கூறுகிறோம். $a x^{2}+b x+c$ என்ற இருபடிப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் பூஜ்ஜியங்களும் $a x^{2}+b x+c=0$ என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களும் ஒன்றே என்பதைக் கவனிக்கவும்.

அத்தியாயம் 2-ல், ஒரு இருபடிப் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு அதிகபட்சம் இரண்டு பூஜ்ஜியங்கள் இருக்க முடியும் என்பதை நீங்கள் கவனித்தீர்கள். எனவே, எந்த இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கும் அதிகபட்சம் இரண்டு மூலங்கள் இருக்க முடியும்.

இருபடிப் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை அவற்றின் நடு உறுப்புகளைப் பிரித்து எவ்வாறு காரணிப்படுத்துவது என்பதை நீங்கள் வகுப்பு IX-ல் கற்றுக்கொண்டீர்கள். ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களைக் கண்டறிவதற்கு இந்த அறிவைப் பயன்படுத்துவோம். எப்படி என்று பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 3 : $2 x^{2}-5 x+3=0$ என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்களை, காரணிப்படுத்தல் மூலம் கண்டறியவும்.

தீர்வு : முதலில் நடு உறுப்பான $-5 x$-ஐ $-2 x-3 x$ எனப் பிரிப்போம் [ஏனெனில் $(-2 x) \times(-3 x)=$ $.6 x^{2}=(2 x^{2}) \times 3$].

எனவே, $2 x^{2}-5 x+3=2 x^{2}-2 x-3 x+3=2 x(x-1)-3(x-1)=(2 x-3)(x-1)$

இப்போது, $2 x^{2}-5 x+3=0$ என்பதை $(2 x-3)(x-1)=0$ என மீண்டும் எழுதலாம்.

எனவே, $x$-ன் எந்த மதிப்புகளுக்கு $2 x^{2}-5 x+3=0$ என்பது சரியோ, அதே மதிப்புகளுக்கு $(2 x-3)(x-1)=0$, அதாவது, $2 x-3=0$ அல்லது $x-1=0$.

இப்போது, $2 x-3=0$ என்பது $x=\dfrac{3}{2}$-ஐத் தருகிறது மற்றும் $x-1=0$ என்பது $x=1$-ஐத் தருகிறது.

எனவே, $x=\dfrac{3}{2}$ மற்றும் $x=1$ ஆகியவை சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் ஆகும்.

வேறுவிதமாகக் கூறினால், 1 மற்றும் $\dfrac{3}{2}$ ஆகியவை $2 x^{2}-5 x+3=0$ என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் ஆகும்.

இவை கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் மூலங்கள் என்பதைச் சரிபார்க்கவும்.

$2 x^{2}-5 x+3=0$-ஐ $2 x^{2}-5 x+3$ என இரண்டு நேரியல் காரணிகளாகக் காரணிப்படுத்தி, ஒவ்வொரு காரணியையும் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமப்படுத்துவதன் மூலம் $2 x^{2}-5 x+3=0$-ன் மூலங்களைக் கண்டறிந்துள்ளோம் என்பதைக் கவனிக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 4 : $6 x^{2}-x-2=0$ என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு : நம்மிடம் உள்ளது

$ \begin{aligned} 6 x^{2}-x-2 & =6 x^{2}+3 x-4 x-2 \\ & =3 x(2 x+1)-2(2 x+1) \\ & =(3 x-2)(2 x+1) \end{aligned} $

$6 x^{2}-x-2=0$-ன் மூலங்கள் என்பது $x$-ன் எந்த மதிப்புகளுக்கு $(3 x-2)(2 x+1)=0$ என்பது சரியோ அந்த மதிப்புகள் ஆகும்.

எனவே, $3 x-2=0$ அல்லது $2 x+1=0$,

அதாவது, $\quad \quad \quad x=\dfrac{2}{3} \quad \text{ or } \quad x=-\dfrac{1}{2}$

எனவே, $6 x^{2}-x-2=0$-ன் மூலங்கள் $\dfrac{2}{3}$ மற்றும் $-\dfrac{1}{2}$ ஆகும்.

$\dfrac{2}{3}$ மற்றும் $-\dfrac{1}{2}$ ஆகியவை $6 x^{2}-x-2=0$-ஐ நிறைவு செய்கின்றன எனச் சரிபார்ப்பதன் மூலம் மூலங்களைச் சரிபார்க்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 5 : $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=0$ என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு : $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=3 x^{2}-\sqrt{6} x-\sqrt{6} x+2$

$ \begin{aligned} & =\sqrt{3} x(\sqrt{3} x-\sqrt{2})-\sqrt{2}(\sqrt{3} x-\sqrt{2}) \\ & =(\sqrt{3} x-\sqrt{2})(\sqrt{3} x-\sqrt{2}) \end{aligned} $

எனவே, சமன்பாட்டின் மூலங்கள் என்பது $x$-ன் எந்த மதிப்புகளுக்கு

$ (\sqrt{3} x-\sqrt{2})(\sqrt{3} x-\sqrt{2})=0 $

என்பது சரியோ அந்த மதிப்புகள் ஆகும்.

இப்போது, $\sqrt{3} x-\sqrt{2}=0$ என்பது $x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$-க்கு சரி.

எனவே, இந்த மூலம் $\sqrt{3} x-\sqrt{2}$ என்ற ஒவ்வொரு மீளும் காரணிக்காகவும் இருமுறை மீளும்.

எனவே, $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=0$-ன் மூலங்கள் $\sqrt{\dfrac{2}{3}}, \sqrt{\dfrac{2}{3}}$ ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 6 : பிரிவு 4.1-ல் விவாதிக்கப்பட்ட வழிபாட்டு அரங்கத்தின் பரிமாணங்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு : பிரிவு 4.1-ல், அரங்கத்தின் அகலம் $x m$ என்றால், $x$ என்பது $2 x^{2}+x-300=0$ என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது எனக் கண்டறிந்தோம். காரணிப்படுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்தி, இந்தச் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு எழுதுகிறோம்

$ \begin{aligned} 2 x^{2}-24 x+25 x-300 & =0 \\ 2 x(x-12)+25(x-12) & =0 \\ \text{ அதாவது, } \quad(x-12)(2 x+25) & =0 \end{aligned} $

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் மூலங்கள் $x=12$ அல்லது $x=-12.5$ ஆகும். $x$ என்பது அரங்கத்தின் அகலம் என்பதால், அது எதிர்மமாக இருக்க முடியாது.

எனவே, அரங்கத்தின் அகலம் $12 m$ ஆகும். அதன் நீளம் $=2 x+1=25 m$.

4.4 மூலங்களின் தன்மை

$a x^{2}+b x+c=0$ என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளன

$ x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} $

$b^{2}-4 a c>0$ என்றால், நமக்கு இரண்டு தனித்த மெய் மூலங்கள் $-\dfrac{b}{2 a}+\dfrac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ மற்றும் $-\dfrac{b}{2 a}-\dfrac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ கிடைக்கும்.

$b^{2}-4 a c=0$ என்றால், அப்போது $x=-\dfrac{b}{2 a} \pm 0$, அதாவது, $x=-\dfrac{b}{2 a}$ அல்லது $-\dfrac{b}{2 a}$.

எனவே, $a x^{2}+b x+c=0$ என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் இரண்டும் $\dfrac{-b}{2 a}$ ஆகும்.

எனவே, இந்த நிலையில் $a x^{2}+b x+c=0$ என்ற இருபடிச் சமன்பாடு இரண்டு சமமான மெய் மூலங்களைக் கொண்டுள்ளது என்று நாம் கூறுகிறோம்.

$b^{2}-4 a c<0$ என்றால், அப்போது யாருடைய வர்க்கம் $b^{2}-4 a c$ ஆக இருக்கும் என்ற மெய்யெண் இல்லை. எனவே, இந்த நிலையில் கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு மெய் மூலங்கள் இல்லை.

$b^{2}-4 a c$ என்பது $a x^{2}+b x+c=0$ என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு மெய் மூலங்கள் உள்ளதா இல்லையா என்பதைத் தீர்மானிப்பதால், $b^{2}-4 a c$ இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டின் தன்மைகாட்டி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எனவே, ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு $a x^{2}+b x+c=0$ க்கு

(i) இரண்டு தனித்த மெய் மூலங்கள் உள்ளன, என்றால் $b^{2}-4 a c>0$,

(ii) இரண்டு சமமான மெய் மூலங்கள் உள்ளன, என்றால் $b^{2}-4 a c=0$,

(iii) மெய் மூலங்கள் இல்லை, என்றால் $b^{2}-4 a c<0$.

சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 7 : $2 x^{2}-4 x+3=0$ என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் தன்மைகாட்டியைக் கண்டறிந்து, அதன் மூலங்களின் தன்மையைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு : கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு $a x^{2}+b x+c=0$ வடிவத்தில் உள்ளது, இங்கு $a=2, b=-4$ மற்றும் $c=3$. எனவே, தன்மைகாட்டி

$ b^{2}-4 a c=(-4)^{2}-(4 \times 2 \times 3)=16-24=-8<0 $

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு மெய் மூலங்கள் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 8 : 13 மீட்டர் விட்டம் கொண்ட ஒரு வட்டப் பூங்காவின் எல்லையில் ஒரு கம்பத்தை, எல்லையில் உள்ள இரண்டு விட்டத்துக்கு எதிரான நிலையான வாயில்கள் A மற்றும் B ஆகியவற்றிலிருந்து அதன் தூரங்களின் வித்தியாசம் 7 மீட்டர் இருக்கும் வகையில், ஒரு புள்ளியில் நிறுவ வேண்டும். இதைச் செய்ய முடியுமா? ஆம் என்றால், இரண்டு வாயில்களிலிருந்து எவ்வளவு தூரத்தில் கம்பம் நிறுவப்பட வேண்டும்?

தீர்வு : முதலில் வரைபடத்தை வரைவோம் (படம் 4.2 ஐப் பார்க்கவும்).

படம். 4.2

$P$ என்பது கம்பத்தின் தேவையான இடமாக இருக்கட்டும். வாயில் $B$-லிருந்து கம்பத்தின் தூரம் $x m$ ஆக இருக்கட்டும், அதாவது, $BP=x m$. இப்போது கம்பத்தின் இரண்டு வாயில்களிலிருந்தும் உள்ள தூரங்களின் வித்தியாசம் $=AP-BP($ அல்லது, $BP-AP)=$ $7 m$. எனவே, $AP=(x+7) m$.

இப்போது, $AB=13 m$, மேலும் $AB$ ஒரு விட்டம் என்பதால்,

$$ \angle APB=90^{\circ} \quad(\text{ Why? }) $$

எனவே, $ \quad \quad \quad AP^{2}+PB^{2}=AB^{2} \quad(\text{ By Pythagoras theorem }) $

அதாவது, $ \quad \quad \quad (x+7)^{2}+x^{2}=13^{2}$

அதாவது, $ \quad \quad \quad x^{2}+14 x+49+x^{2}=169 $

அதாவது, $ \quad \quad \quad 2 x^{2}+14 x-120=0 $

எனவே, வாயில் $B$-லிருந்து கம்பத்தின் ’ $x$ ’ என்ற தூரம் $x^{2}+7 x-60=0$ என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது

எனவே, இந்தச் சமன்பாட்டிற்கு மெய் மூலங்கள் இருந்தால், கம்பத்தை வைப்பது சாத்தியமாகும். இது சாத்தியமா இல்லையா என்பதைப் பார்க்க, அதன் தன்மைகாட்டியைக் கருத்தில் கொள்வோம். தன்மைகாட்டி

$ b^{2}-4 a c=7^{2}-4 \times 1 \times(-60)=289>0 . $

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு மெய் மூலங்கள் உள்ளன, மேலும் பூங்காவின் எல்லையில் கம்பத்தை நிறுவுவது சாத்தியமாகும்.

$x^{2}+7 x-60=0$ என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டை, இருபடிச் சூத்திரத்தால் தீர்ப்பதன் மூலம், நமக்குக் கிடைக்கிறது

$$ x=\dfrac{-7 \pm \sqrt{289}}{2}=\dfrac{-7 \pm 17}{2} $$

எனவே, $x=5$ அல்லது -12 .

$x$ என்பது கம்பத்திற்கும் வாயில் B-க்கும் இடையே உள்ள தூரம் என்பதால், அது நேர்மமாக இருக்க வேண்டும். எனவே, $x=-12$ புறக்கணிக்கப்பட வேண்டும். எனவே, $x=5$.

எனவே, கம்பம் பூங்காவின் எல்லையில், வாயில் $B$-லிருந்து $5 m$ தூரத்திலும், வாயில் $A$-லிருந்து $12 m$ தூரத்திலும் நிறுவப்பட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 9 : $3 x^{2}-2 x+\dfrac{1}{3}=0$ என்ற சமன்பாட்டின் தன்மைகாட்டியைக் கண்டறிந்து, அதன் மூலங்களின் தன்மையைக் கண்டறியவும். அவை மெய்யெண்களாக இருந்தால், அவற்றைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு : இங்கே $a=3, b=-2$ மற்றும் $c=\dfrac{1}{3}$.

எனவே, தன்மைகாட்டி $b^{2}-4 a c=(-2)^{2}-4 \times 3 \times \dfrac{1}{3}=4-4=0$.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு சமமான மெய் மூலங்கள் உள்ளன.

மூலங்கள் $\dfrac{-b}{2 a}, \dfrac{-b}{2 a}$, அதாவது, $\dfrac{2}{6}, \dfrac{2}{6}$, அதாவது, $\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}$.

4.5 சுருக்கம்

இந்த அத்தியாயத்தில், நீங்கள் பின்வரும் புள்ளிகளைப் படித்துள்ளீர்கள்:

1. $x$ என்ற மாறியில் ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு $a x^{2}+b x+c=0$ வடிவத்தில் உள்ளது, இங்கு $a, b, c$ என்பன மெய்யெண்கள் மற்றும் $a \neq 0$.

2. ஒரு மெய்யெண் $\alpha$ என்பது $a x^{2}+b x+c=0$ என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் என்று கூறப்படுகிறது, என்றால் $a \alpha^{2}+b \alpha+c=0$. $a x^{2}+b x+c$ என்ற இருபடிப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் பூஜ்ஜியங்களும் $a x^{2}+b x+c=0$ என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களும் ஒன்றே.

3. நாம் $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$-ஐ இரண்டு நேரியல் காரணிகளின் பெருக்கற்பலனாகக் காரணிப்படுத்த முடிந்தால், $a x^{2}+b x+c=0$ என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களை ஒவ்வொரு காரணியையும் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமப்படுத்துவதன் மூலம் கண்டறியலாம்.

4. இருபடிச் சூத்திரம்: $a x^{2}+b x+c=0$ என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் $\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$