6.1 அறிமுகம்

விட்டுகள் மற்றும் அவற்றின் பல பண்புகளை உங்கள் முந்தைய வகுப்புகளில் நீங்கள் அறிந்திருக்கிறீர்கள். பதினாறாம் வகுப்பில், நீங்கள் விட்டுகளின் ஒப்பீட்டை (congruence) விரிவாக ஆராய்ந்திருக்கிறீர்கள். இரு படிமங்களும் ஒரே மாதிரியான உயரமும் ஒரே அளவும் கொண்டிருந்தால், அவை ஒப்பீட்டளவில் உள்ளன என்று கூறப்படுகிறது. இந்த அத்தியாயத்தில், ஒரே மாதிரியான உயரம் இல்லாமல், ஒரே மாதிரியான உயரம் இருக்கக்கூடிய படிமங்களை ஆராய்வோம். ஒரே மாதிரியான உயரம் (மற்றும் ஒரே அளவு இல்லாமல்) கொண்ட இரு படிமங்கள் ஒப்பீட்டளவில் உள்ளன என்று அழைக்கப்படுகிறது. குறிப்பாக, விட்டுகளின் ஒப்பீட்டை ஆராய்வோம் மற்றும் முந்தையவாறு கற்ற பைதாக்கச் சட்டத்திற்கு ஒரு எளிய நிராகரிப்பை வழங்குவோம்.

பன்னாட்டு மலைகளின் (எடுத்துக்காட்டாக எவர்ஸ்ட்) உயரங்கள் அல்லது சில நீண்ட தொலைவிலுள்ள பொருட்களின் (எடுத்துக்காட்டாக நிலவு) தொலைவுகள் எவ்வாறு கண்டுபிடிக்கப்படுகின்றன? அவை நேரடியாக அளவையும் உதவியாக ஒரு அளவையும் பயன்படுத்தி அளவிடப்பட்டதா என்று நினைக்கிறீர்களா? அசல், அனைத்து உயரங்களும் தொலைவுகளும் ஒப்பீட்டளவில் உள்ள படிமங்களின் அடிப்படையில் உள்ள மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளது (உதாரணம் 7, பிரிவு 6.3 இன் கேள்வி 15 மற்றும் இந்த புத்தகத்தின் அத்தியாயங்கள் 8 மற்றும் 9 ஆகியவற்றிலும் பார்க்கவும்).

6.2 ஒப்பீட்டளவில் உள்ள படிமங்கள்

பதினாறாம் வகுப்பில், ஒரே அளவிலான அனைத்து வட்டங்களும் ஒப்பீட்டளவில் உள்ளன என்று, ஒரே அளவிலான அனைத்து நீள்கோட்டுகளும் ஒப்பீட்டளவில் உள்ளன என்று, ஒரே அளவிலான அனைத்து சமவிட்டுகளும் ஒப்பீட்டளவில் உள்ளன என்று நீங்கள் பார்த்திருக்கிறீர்கள்.

படம் 6.1

இப்போது இரு (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) வட்டங்களை (படம் 6.1 (i) இல் காட்டப்பட்டுள்ளவற்றை) பார்க்கலாம். அவை ஒப்பீட்டளவில் உள்ளனவா? அவைகள் அனைத்தும் ஒரே அளவிலான ஆரம் இல்லை என்பதால், அவை ஒட்டுமொத்தத்தில் ஒப்பீட்டளவில் இல்லை. சில படிமங்கள் ஒப்பீட்டளவில் இருப்பதையும், சில படிமங்கள் ஒப்பீட்டளவில் இல்லையென்பதையும் கவனியுங்கள், ஆனால் அவைகள் அனைத்தும் ஒரே மாதிரியான உயரம் கொண்டவை. எனவே, அவை அனைத்தும், நாங்கள் அழைக்கிறோம், ஒப்பீட்டளவில் உள்ளன. இரு ஒப்பீட்டளவில் உள்ள படிமங்களும் ஒரே மாதிரியான உயரம் கொண்டவை, ஆனால் ஒரே அளவு கொண்டவை இல்லை. எனவே, அனைத்து வட்டங்களும் ஒப்பீட்டளவில் உள்ளன. இரு (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) நீள்கோட்டுகள் அல்லது இரு (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) சமவிட்டுகள் பற்றி என்ன சொல்ல முடியும்? (படம் 6.1 (ii) மற்றும் (iii) இல் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளவற்றை) வட்டங்களின் விசாரணையைப் போலவே, இங்கும் அனைத்து நீள்கோட்டுகளும் ஒப்பீட்டளவில் உள்ளன மற்றும் அனைத்து சமவிட்டுகளும் ஒப்பீட்டளவில் உள்ளன.

மேலே கூறியதைப் பொருட்படுத்திப் பார்க்கலாம், அனைத்து ஒப்பீட்டளவில் உள்ள படிமங்களும் ஒப்பீட்டளவில் உள்ளன, ஆனால் ஒப்பீட்டளவில் உள்ள படிமங்கள் ஒப்பீட்டளவில் இருக்கக்கூடியதில்லை.

ஒரு வட்டம் மற்றும் ஒரு நீள்கோட்டு ஒப்பீட்டளவில் இருக்கலாமா? ஒரு விட்டு மற்றும் ஒரு நீள்கோட்டு ஒப்பீட்டளவில் இருக்கலாமா? இந்த கேள்விகளை படம் 6.1 இல் பார்ப்பதன் மூலம் பதிலளிக்க முடியும். தெளிவாக, இந்த படிமங்கள் ஒப்பீட்டளவில் இல்லை. (ஏன்?)

படம் 6.2

இரு நான்குகோட்டுகள் $A B C D$ மற்றும் $P Q R S$ பற்றி நீங்கள் என்ன சொல்ல முடியும்? (படம் 6.2 இல் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளவற்றை) அவை ஒப்பீட்டளவில் உள்ளனவா? இந்த படிமங்கள் ஒப்பீட்டளவில் இருக்க வேண்டும் என்று தெளிவாக தெரியவில்லை. எனவே, இரு படிமங்களை ஒப்பீட்டளவில் உள்ளதா அல்லது இல்லையா என்பதை தீர்மானிக்க நாங்கள் ஒரு படிமங்களின் ஒப்பீட்டளவை வரைபடத்தில் வழங்குவதற்குத் தேவைப்படுகிறது மற்றும் இதன் அடிப்படையில் இரு கொடுக்கப்பட்ட படிமங்கள் ஒப்பீட்டளவில் உள்ளனவா அல்லது இல்லையா என்பதை தீர்மானிக்க சில விதிகளுக்கு நாங்கள் அவசியமாக இருப்போம். இதற்கு, படம் 6.3 இல் கொடுக்கப்பட்ட புகைப்படங்களைப் பார்ப்போம்:

படம் 6.3

நீங்கள் உடனடியாக அவை ஒரே கட்டிடத்தின் (தாஜ் மகால்) புகைப்படங்கள் என்று சொல்ல முடியும், ஆனால் அவை வெவ்வேறு அளவில் உள்ளன. இந்த மூன்று புகைப்படங்கள் ஒப்பீட்டளவில் உள்ளனவா என்று நீங்கள் சொல்ல முடியுமா? ஆம், அவை ஒப்பீட்டளவில் உள்ளன.

ஒரு நபரின் ஒரே அளவிலான இரு புகைப்படங்கள் பற்றி நீங்கள் என்ன சொல்ல முடியும், ஒன்று 10 வயதிலும் மற்றொன்று 40 வயதிலும் எடுக்கப்பட்டது? இந்த புகைப்படங்கள் ஒப்பீட்டளவில் உள்ளனவா? இந்த புகைப்படங்கள் ஒரே அளவில் இருப்பதையும், அவை அடிப்படையில் ஒரே மாதிரியான உயரம் கொண்டவை இல்லை என்பதையும் கவனியுங்கள். எனவே, அவை ஒப்பீட்டளவில் இல்லை.

ஒரு புகையிலைஞர் ஒரு சேதுபொறி இருந்து வெவ்வேறு அளவிலான புகைப்படங்களை எழுதும்போது அவர் என்ன செய்கிறார்? நீங்கள் சீட் அளவு, பாஸ்போர்ட் அளவு மற்றும் போஸ்ட்கார்ட் அளவு புகைப்படங்கள் பற்றி செய்திகளில் கேள்விப்பட்டிருக்கிறீர்கள். அவர் பொதுவாக ஒரு சிறிய அளவிலான படத்தை எடுக்கிறார், எடுத்துக்காட்டாக 35 மிலி அளவு, பின்னர் அதை பின்னர் பெரிய அளவில் அளவைப்படுத்துகிறார், எடுத்துக்காட்டாக 45 மிலி (அல்லது 55 மிலி). எனவே, சிறிய புகைப்படத்தில் (படிமத்தில்) உள்ள ஏதேனும் ஒரு நீள வரியைக் கருதுகிறார்கள், அதனுடன் பெரிய புகைப்படத்தில் (படிமத்தில்) உள்ள அதனுடன் உள்ள நீள வரி அதன் நீள வரியின் $\dfrac{45}{35}$ (அல்லது $.\dfrac{55}{35}$) ஆகும். இது உண்மையில் சிறிய புகைப்படத்தின் ஒவ்வொரு நீள வரியும் 35:45 (அல்லது 35:55) விகிதத்தில் அளவைப்படுத்தப்படுகிறது (அதிகரிக்கிறது). இதனையும், பெரிய புகைப்படத்தின் ஒவ்வொரு நீள வரியும் 45:35 (அல்லது 55:35) விகிதத்தில் சிறிதளவ சிறிதளவ குறைக்கப்படுகிறது (குறைக்கப்படுகிறது) என்று கூறலாம். மேலும், இரு வெவ்வேறு அளவிலான புகைப்படங்களில் உள்ள ஏதேனும் ஒரு நீள வரிகளுக்கு இடையேயான மேலும் (அல்லது கோணங்கள்) நீங்கள் கருதும்போது, இந்த மேலும் (அல்லது கோணங்கள்) எப்போதும் சமமாக இருக்கின்றன. இது இரு படிமங்களின் ஒப்பீட்டளவின் அடிப்படையாகும் மற்றும் குறிப்பாக, இரு பொலிகான்களின் ஒப்பீட்டளவின் அடிப்படையாகும். நாங்கள் சொல்வோம்:

ஒரே எண்ணிக்கையிலான ஓரளவுகளைக் கொண்ட இரு பொலிகான்கள் ஒப்பீட்டளவில் உள்ளன, என்பதை (i) அவற்றின் ஒப்புதல் கோணங்கள் சமமாக இருந்தாலும் மற்றும் (ii) அவற்றின் ஒப்புதல் ஓரளவுகள் ஒரே விகிதத்தில் (அல்லது விகிதத்தில்) இருந்தாலும்.

ஒப்புதல் ஓரளவுகளின் ஒரே விகிதம் பொலிகான்களுக்கான அளவையும் (அல்லது பிரதிநிதித்துவ பிரிவையும்) குறிக்கப்படுகிறது. உலகளாவிய வரைபடங்கள் (அதாவது உலகளாவிய வரைபடங்கள்) மற்றும் ஒரு கட்டிடத்தைக் கட்டும் பணிக்கான பிரூட்பிளாண்ட்ஸ் ஒரு பொருத்தமான அளவையும் சில விதிமுறைகளைப் பின்பற்றி உருவாக்கப்பட்டதை நீங்கள் செய்திகளில் கேள்விப்பட்டிருக்கிறீர்கள்.

படிமங்களின் ஒப்பீட்டளவை மேலும் தெளிவாக புரிந்துகொள்ள, இதைப் பின்வருமாறு செயல்படுத்துவோம்:

செயல்பாடு 1: உங்கள் அறிவியல் அறிமுக அலுவலகத்தில் மேசையின் மேலே ஒரு ஒளிரும் மறைவியை ஒரு புள்ளியில் வைத்து, அதற்கு நேரடியாக கீழே ஒரு மேசையை வைக்கவும். ஒரு பூனைவினைப் போன்ற ஒரு பொலிகான், எடுத்துக்காட்டாக நான்குகோட்டு பொலிகான் $ABCD$, ஒரு பிரிவினையிலிருந்து எடுத்து இடையே இருக்கும் பூனைவினையிலிருந்து எடுத்து, ஒளிரும் மறைவி மற்றும் மேசை இடையே இந்த பிரிவினையை உலர்ந்த நிலத்தினுடன் வைக்�