4.1 পরিচিতি

জ্যামিতিক ধারণার একটি দীর্ঘ ও সমৃদ্ধ ইতিহাস রয়েছে। ‘জ্যামিতি’ শব্দটি গ্রিক শব্দ ‘জিওমেট্রোন’ এর ইংরেজি প্রতিবর্তী। ‘জিও’ অর্থ আমাদের ভূমি এবং ‘মেট্রোন’ অর্থ পরিমাপ। ইতিহাসবিদরা বলেন, জ্যামিতিক ধারণাগুলি প্রাচীনকালে গড়ে উঠেছিল, সম্ভবত শিল্প, স্থাপত্য এবং পরিমাপের প্রয়োজনে। এগুলির মধ্যে ছিল যখন চাষাবাদি ভূমির সীমানা চিহ্নিত করতে হতো যেন অভিযোগ করা যায় না। মহান প্রাসাদ, মন্দির, লেক, ড্যাম এবং শহরের নির্মাণ, শিল্প ও স্থাপত্য এই ধারণাগুলিকে সমর্থন করেছিল। আজও জ্যামিতিক ধারণাগুলি শিল্পের বিভিন্ন রূপে, পরিমাপ, স্থাপত্য, প্রকৌশল, কাপড় ডিজাইনের মতো বিভিন্ন ক্ষেত্রে প্রতিফলিত হয়। আপনি এবং আপনি বিভিন্ন বস্তু দেখে ব্যবহার করেন যেমন বাক্স, টেবিল, বই, আপনার স্কুলে দুপুরের খাবারের জন্য নিয়ে যাওয়া টিফিন বাক্স, আপনি খেলার জন্য যে বল এবং এমনকি অনেক কিছু ব্যবহার করেন। এই সমস্ত বস্তুর সব গুলি ভিন্ন আকৃতির। আপনি যে রুলার ব্যবহার করেন, আপনি যে পেন্সিল দিয়ে লিখেন সেগুলি সরল। ব্যাঙ্গের ছবি, এক রুপেয়ে কাউন্ট বা বলের ছবি গোছানো মনে হয়।

এখানে, আপনি আপনার চারপাশের আকৃতি সম্পর্কে আরও আকর্ষক তথ্য যা আপনাকে আরও আকৃতি সম্পর্কে জানতে সাহায্য করবে শিখবেন।

4.2 বিন্দু

একটি ভারী পেন্সিলের ভীষণ ভীষণ সূচক দিয়ে কাগজে একটি বিন্দু চিহ্নিত করুন। সূচক যত ভীষণ, বিন্দুটি তত সুক্ষ্ম হবে। এই চুড়ানো অত্যন্ত ছোট বিন্দুটি আপনাকে একটি বিন্দুর ধারণা দেবে।

একটি বিন্দু একটি অবস্থান নির্ধারণ করে।

এই কিছু বিন্দুর মডেল হলো :

আপনি কাগজে তিনটি বিন্দু চিহ্নিত করলে, আপনাকে তাদের আলাদা করতে হবে। এজন্য তাদের চিহ্নিত করা হয়

এই বিন্দুগুলি পয়েন্ট এ, পয়েন্ট বি এবং পয়েন্ট সি হিসাবে পড়া হবে।

অবশ্যই, বিন্দুগুলি অদৃশ্য হতে হবে।

চেষ্টা করুন

1. একটি ভারী পেন্সিলের সূচক দিয়ে কাগজে চারটি বিন্দু চিহ্নিত করুন এবং তাদের অক্ষর অক্ষরে নাম দিন। এই বিন্দুগুলি ভিন্ন ভিন্ন উপায়ে নাম দেওয়ার চেষ্টা করুন। একটি উপায় হতে পারে এমনঃ

2. আকাশের একটি তারা আমাদের একটি বিন্দুর ধারণা দেয়। আপনার দৈনন্দিন জীবনে কমপক্ষে পাঁচটি এমন পরিস্থিতি খুঁজুন।

4.3 একটি রেখাংশ

একটি কাগজের টুকরা ফুলে ফুলে ফেলুন। আপনি একটি ফোল দেখেন? এটি একটি রেখাংশের ধারণা দেয়। এটি একটি শুরু বিন্দু এবং একটি শেষ বিন্দু আছে।

<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_snip_images_xYDfzkv8UUfF0A0BRp8OySvf4-vBe5wZovP33RscWw0_original_fullsize_png.jpg"/ width=“250px”>

একটি সুক্ষ্ম ধাগা নিন। এর দুটি শেষ ধরে তা তোলুন যেন কোনো স্ল্যাক না থাকে। এটি একটি রেখাংশ প্রতিফলিত করে। হাত দিয়ে ধরা শেষগুলি হল রেখাংশের শেষ বিন্দু।

এই কিছু হল রেখাংশের মডেল :

আপনার পাশাপাশি থেকে রেখাংশের আরও কিছু উদাহরণ খুঁজে বের করুন।

কাগজের একটি পত্রে যেকোনো দুটি বিন্দু এবং বিন্দুকে চিহ্নিত করুন। আপনাকে একটি থেকে অন্যটিতে সব সম্ভব পথ দিয়ে সংযুক্ত করতে হবে। (আকৃতি 4.1)

$A$ থেকে $B$ এর মধ্যে কী হল সবচেয়ে ছোট পথ?

এখানে দেখানো সবচেয়ে ছোট পথ $A$ থেকে $B$ ($A$ এবং $B$ সহ) একটি রেখাংশ। এটি $\overline{AB}$ অথবা $\overline{BA}$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। বিন্দু $A$ এবং $B$ এই রেখাংশের শেষ বিন্দু বলে করা হয়।

চেষ্টা করুন

1. আকৃতি 4.2 এ রেখাংশগুলি নাম দিন। $A$, প্রতিটি রেখাংশের শেষ বিন্দু কি?

4.4 একটি রেখা

$A$ থেকে $B$ (অর্থাৎ $\overline{AB}$) এর একটি রেখাংশ কে ছোট ছোট দুই দিকে অসীম পর্যন্ত বর্ধিত করুন এবং এক দিকে $A$ এর বাইরে এবং অন্য দিকে $B$ এর বাইরে অনেক দূর পর্যন্ত বর্ধিত করুন যেন কোনো শেষ না থাকে (আকৃতি দেখুন)। আপনি এখন একটি রেখার মডেল পাবেন।

আপনি কি একটি রেখাটির সম্পূর্ণ ছবি আঁকতে পারবেন? না। (কেন?)

দুটি বিন্দু $A$ এবং $B$ এর মধ্যে একটি রেখা $\overline{{}A B}$ দ্বারা লেখা হয়। এটি উভয় দিকে অসীম পর্যন্ত বর্ধিত। তাই এটি অসীম সংখ্যক বিন্দু ধারণ করে। (এটি সম্পর্কে চিন্তা করুন)।

দুটি বিন্দু একটি রেখাটি নির্ধারণ করতে পর্যাপ্ত। আমরা ‘দুটি বিন্দু একটি রেখাটি নির্ধারণ করে’ বলি।

পাশাপাশি আকৃতি (আকৃতি 4.3) হল একটি রেখা পিকিউ যা $\overline{PQ}$ দ্বারা লেখা হয়। কখনো কখনো একটি রেখা একটি অক্ষরের মতো $l, m$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

4.5 ছেদপৃষ্ঠ রেখা

আকৃতি 4.4 এ দেখুন। দুটি রেখা $l_1$ এবং $l_2$ দেখানো হয়েছে। উভয় রেখাই বিন্দু $P$ এ অতিক্রম করে। আমরা $l_1$ এবং $l_2$ বিন্দু $P$ এ ছেদ করে বলি। যদি দুটি রেখার একটি সাধারণ বিন্দু থাকে, তাহলে তাদের বলা হয় ছেদপৃষ্ঠ রেখা।

এই কিছু হল একটি জোড়ার ছেদপৃষ্ঠ রেখা (আকৃতি 4.5):

একটি জোড়ার ছেদপৃষ্ঠ রেখার আরও কিছু মডেল খুঁজে বের করুন।

এটি করুন

একটি কাগজের পত্র নিন। একটি জোড়ার ছেদপৃষ্ঠ রেখা প্রতিফলন করার জন্য দুটি ফোল (এবং তাদের ক্রিয়েস) করুন এবং আলোচনা করুন :

(ক) দুটি রেখা একাধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে কি?
(খ) একাধিক রেখা একটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে কি?

4.6 সমান্তরাল রেখা

এই টেবিল দেখুন (আকৃতি 4.6)। টপ এবিসিডি সমতল। আপনি কি কিছু বিন্দু এবং রেখাংশ দেখতে পাচ্ছেন?

ছেদপৃষ্ঠ রেখাংশ আছে কি?

হ্যাঁ, এবি এবং সিবি বিন্দু বি এ ছেদ করে।

বিন্দু এ ছেদ করে কোন রেখাংশ? বিন্দু সি ছেদ করে কোন রেখাংশ? বিন্দু ডি ছেদ করে কোন রেখাংশ?

রেখা এডি এবং সিডি ছেদ করে কি?

রেখা $\overline{AD}$ এবং $\overline{BC}$ ছেদ করে কি?

আপনি টেবিলের উপরের উপাত্তে দেখবেন যে কোনো পর্যন্ত বর্ধিত করা হলেও ছোট হবে না এমন রেখাংশ আছে। $\overline{{}AD}$ এবং $\overline{BC}$ একটি এমন জোড়া গঠন করে। আপনি কি টেবিলের উপরে একটি আরও এমন রেখা (যা ছোট হবে না) খুঁজে পাবেন?

এই ধরনের রেখাগুলি যা ছোট হয় না, তাদের বলা হয় সমান্তরাল; এবং তাদের সমান্তরাল রেখা বলা হয়।

চিন্তা করুন, আলোচনা করুন এবং লিখুন

আপনি আরও কোথায় সমান্তরাল রেখা দেখেন? দশটি উদাহরণ খুঁজে বের করার চেষ্টা করুন।

যদি দুটি রেখা $\overline{{}AB}$ এবং $\overline{{}CD}$ সমান্তরাল হয়, তাহলে আমরা $\overline{{}AB} \| \overline{{}CD}$ লিখি।

যদি দুটি রেখা $l_1$ এবং $l_2$ সমান্তরাল হয়, তাহলে আমরা $l_1 \| l_2$ লিখি।

আপনি এই আকৃতিগুলিতে সমান্তরাল রেখা খুঁজে পাবেন কি?

4.7 কেন্দ্রবিন্দু

এই কিছু হল একটি কেন্দ্রবিন্দুর মডেল:

একটি রেখার একটি অংশ হল কেন্দ্রবিন্দু। এটি একটি বিন্দু থেকে শুরু হয় (যা শুরু বিন্দু বা প্রাথমিক বিন্দু বলা হয়) এবং একটি দিকে অসীম পর্যন্ত যায়।

এই আকৃতি 4.7 এ দেখানো কেন্দ্রবিন্দুর আকৃতি দেখুন। কেন্দ্রবিন্দুতে দুটি বিন্দু দেখানো হয়েছে। তাদের (ক) এ, শুরু বিন্দু (খ) $P$, কেন্দ্রবিন্দুর পথে একটি বিন্দু।

আমরা $\overline{{}AP}$ দ্বারা এটি চিহ্নিত করি।

চেষ্টা করুন

1. এই চিত্র (আকৃতি 4.8) এ প্রদত্ত কেন্দ্রবিন্দুগুলি নাম দিন।

2. $T$ এই প্রতিটি কেন্দ্রবিন্দুর শুরু বিন্দু কি?

আকৃতি 4.8

চিন্তা করুন, আলোচনা করুন এবং লিখুন

$\overline{{}PQ}$ একটি কেন্দ্রবিন্দু হলে,

(ক) এর শুরু বিন্দু কী?

(খ) বিন্দু $Q$ কেন্দ্রবিন্দুর উপরে কোথায় অবস্থিত?

(গ) আমরা কি বলতে পারি যে $Q$ এই কেন্দ্রবিন্দুর শুরু বিন্দু?

এখানে একটি কেন্দ্রবিন্দু $\overline{{}OA}$ (আকৃতি 4.9)। এটি $O$ থেকে শুরু হয় এবং বিন্দু $A$ অতিক্রম করে। এটি বিন্দু $B$ অতিক্রম করে এছাড়াও।

আপনি কি $\overline{{}OB}$ হিসাবে এটি নাম দিতে পারবেন? কেন?

$\overline{{}OA}$ এবং $\overline{{}OB}$ এখানে একই।

আমরা $\overline{{}OA}$ কি $\overline{{}AO}$ হিসাবে লিখতে পারি? কেন অথবা কেন নয়?

পাঁচটি কেন্দ্রবিন্দু আঁকুন এবং তাদের জন্য উপযুক্ত নাম লিখুন।

এই প্রতিটি কেন্দ্রবিন্দুর উপর তীরচিহ্ন কী দেখায়?

প্র্যাকটিস 4.1

1. আকৃতি ব্যবহার করে নাম দিন :

(ক) পাঁচটি বিন্দু
(খ) একটি রেখা
(গ) চারটি কেন্দ্রবিন্দু
(ঘ) পাঁচটি রেখাংশ

2. চারটি থেকে শুধু দুটি অক্ষর বাছাই করে দেওয়া হয়েছে এমন সব পদ্ধতিতে দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয়েছে এমন দেওয়া হয