5.1 পরিচিতি

আপনি ইতিমধ্যে এমন একটি আকৃতিতে বিভিন্ন রেখা, রেখাংশ এবং কোণ চিহ্নিত করার উপায় জানেন। আপনি কি নিম্নলিখিত আকৃতিগুলিতে গঠিত বিভিন্ন রেখাংশ এবং কোণ চিহ্নিত করতে পারেন? (আকৃতি 5.1)

আপনি কি এছাড়াও তৈরি হওয়া কোণগুলি তীক্ষ্ণ, বড় বা সমকোণ কিনা চিহ্নিত করতে পারেন?

যেহেতু একটি রেখাংশে দুটি শেষ বিন্দু রয়েছে। যদি দুটি শেষ বিন্দুকে উভয় দিকে অসীম পর্যন্ত বর্ধিত করি, তাহলে আমরা একটি রেখা পাই। অতএব, আমরা বলতে পারি যে রেখার কোনো শেষ বিন্দু নেই। অন্যদিকে, যেহেতু একটি কেন্দ্রবিন্দুর একটি শেষ বিন্দু (অর্থাৎ তার শুরুর বিন্দু) রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, নিচের আকৃতিগুলি দেখুন:

এখানে, আকৃতি 5.2 (i) একটি রেখাংশ দেখায়, আকৃতি 5.2 (ii) একটি রেখা দেখায় এবং আকৃতি 5.2 (iii) একটি কেন্দ্রবিন্দু দেখায়। একটি রেখাংশ $PQ$ সাধারণত $\overline{PQ}$ চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়, একটি রেখা $AB$ চিহ্ন $\overrightarrow{{}AB}$ দিয়ে প্রকাশ করা হয় এবং কেন্দ্রবিন্দু OP চিহ্ন $\stackrel{\text{ UP }}{OP}$ দিয়ে প্রকাশ করা হয়। আপনার দৈনন্দিন জীবন থেকে কিছু রেখাংশ এবং কেন্দ্রবিন্দুর উদাহরণ দিন এবং আপনার বন্ধুদের সাথে এগুলি আলোচনা করুন।

আবার মনে করুন যে দুটি রেখা বা রেখাংশের মিলনে একটি কোণ গঠিত হয়। আকৃতি 5.1-এ, কোণার কোণ দেখুন। এই কোণগুলি দুটি রেখা বা রেখাংশের একটি বিন্দুতে মিলনের ফলে গঠিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, নিচের আকৃতিগুলি দেখুন:

আকৃতি 5.3 (i)-এ, রেখাংশ $AB$ এবং $BC$ বিন্দু $B$-এ মিলন করে কোণ $A B C$ গঠন করে, আবার রেখাংশ $B C$ এবং $A C$ বিন্দু $C$-এ মিলন করে কোণ $ACB$ গঠন করে এবং এমনকি চলে। অন্যদিকে, আকৃতি 5.3 (ii)-এ, রেখা $PQ$ এবং $RS$ বিন্দু $O$-এ মিলন করে চারটি কোণ POS, SOQ, QOR এবং ROP গঠন করে। একটি কোণ ABC $\angle ABC$ চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়। অতএব, আকৃতি 5.3 (i)-এ, গঠিত তিনটি কোণ $\angle ABC, \angle BCA$ এবং $\angle BAC$, এবং আকৃতি 5.3 (ii)-এ, গঠিত চারটি কোণ $\angle POS, \angle SOQ, \angle QOR$ এবং $\angle POR$। আপনি ইতিমধ্যে

চেষ্টা করুন

আপনার পাশের দশটি আকৃতি তালিকাভুক্ত করুন এবং তাদের মধ্যে তীক্ষ্ণ, বড় এবং সমকোণ চিহ্নিত করুন। কোণগুলি তীক্ষ্ণ, বড় বা সমকোণ হিসাবে শ্রেণীবিভাগ করার উপায় নিয়ে আলোচনা করেছেন।

দ্রষ্টব্য: একটি কোণ $ABC$ এর পরিমাপ সম্পর্কে উল্লেখ করার সময়, আমরা $m \angle ABC$ কে শুধুমাত্র $\angle ABC$ হিসাবে লিখব। প্রসঙ্গ অনুযায়ী স্পষ্ট হবে যে আমরা কোণ নাকি তার পরিমাপ সম্পর্কে বলছি।

5.2 সম্পর্কিত কোণ

5.2.1 প্রতিপাক্ষিক কোণ

যখন দুটি কোণের পরিমাপের যোগফল $90^{\circ}$, তখন এই কোণগুলিকে প্রতিপাক্ষিক কোণ বলা হয়।

এই দুটি কোণ প্রতিপাক্ষিক কোণ কি?

আকৃতি 5.4

না: যখনই দুটি কোণ প্রতিপাক্ষিক, তখন প্রতিটি কোণকে অন্য কোণের প্রতিপাক্ষিক বলা হয়। উপরের আঁকার উপর ভিত্তি করে (আকৃতি 5.4), ‘$30^{\circ}$ কোণ’ হল ‘$60^{\circ}$ কোণ’ এর প্রতিপাক্ষিক এবং উল্লিখিত বিপরীতেও সত্য।

চিন্তা করুন, আলোচনা করুন এবং লিখুন

1. দুটি তীক্ষ্ণ কোণ কি প্রতিপাক্ষিক হতে পারে?

2. দুটি বড় কোণ কি প্রতিপাক্ষিক হতে পারে?

3. দুটি সমকোণ কি প্রতিপাক্ষিক হতে পারে?

চেষ্টা করুন

1. নিম্নলিখিত কোণগুলির কোনগুলি প্রতিপাক্ষিক? (আকৃতি 5.5)

2. নিম্নলিখিত প্রতিটি কোণের প্রতিপাক্ষিক কোণের পরিমাপ কত?

(i) $45^{\circ}$

(ii) $65^{\circ}$

(iii) $41^{\circ}$

(iv) $54^{\circ}$

3. দুটি প্রতিপাক্ষিক কোণের পরিমাপের পার্থক্য $12^{\circ}$। এই দুটি কোণের পরিমাপ নির্ণয় করুন।

5.2.2 পরিপূরক কোণ

এখন আমরা নিম্নলিখিত কোণের জোড়াগুলি (আকৃতি 5.6) দেখি:

আপনি কি দেখেছেন যে উপরের প্রতিটি জোড়া (আকৃতি 5.6) এর কোণগুলির পরিমাপের যোগফল $180^{\circ}$ হয়? এই ধরনের কোণের জোড়াকে পরিপূরক কোণ বলা হয়। যখন দুটি কোণ পরিপূরক, তখন প্রতিটি কোণকে অন্য কোণের পরিপূরক বলা হয়।

চিন্তা করুন, আলোচনা করুন এবং লিখুন

1. দুটি বড় কোণ কি পরিপূরক হতে পারে?

2. দুটি তীক্ষ্ণ কোণ কি পরিপূরক হতে পারে?

3. দুটি সমকোণ কি পরিপূরক হতে পারে?

চেষ্টা করুন

1. আকৃতি 5.7 এ পরিপূরক কোণগুলি খুঁজুন:

2. নিম্নলিখিত প্রতিটি কোণের পরিপূরক কোণের পরিমাপ কত হবে?

(i) $100^{\circ}$

(ii) $90^{\circ}$

(iii) $55^{\circ}$

(iv) $125^{\circ}$

3. দুটি পরিপূরক কোণের মধ্যে বড় কোণের পরিমাপ ছোট কোণের পরিমাপ থেকে $44^{\circ}$ বেশি। এদের পরিমাপ নির্ণয় করুন।

অনুশীলন 5.1

1. নিম্নলিখিত প্রতিটি কোণের প্রতিপাক্ষিক কোণ নির্ণয় করুন:

2. নিম্নলিখিত প্রতিটি কোণের পরিপূরক কোণ নির্ণয় করুন:

(iii)

3. নিম্নলিখিত কোণের জোড়াগুলির মধ্যে কোনগুলি প্রতিপাক্ষিক এবং কোনগুলি পরিপূরক তা চিহ্নিত করুন।

(i) $65^{\circ}, 115^{\circ}$

(ii) $63^{\circ}, 27^{\circ}$

(iii) $112^{\circ}, 68^{\circ}$

(iv) $130^{\circ}, 50^{\circ}$

(v) $45^{\circ}, 45^{\circ}$

(vi) $80^{\circ}, 10^{\circ}$

4. যে কোণটি তার প্রতিপাক্ষিক কোণের সমান তা নির্ণয় করুন।

5. যে কোণটি তার পরিপূরক কোণের সমান তা নির্ণয় করুন।

6. প্রদত্ত আকৃতিতে, $\angle 1$ এবং $\angle 2$ পরিপূরক কোণ।

$\angle 1$ কে কমালে, $\angle 2$-এ কী পরিবর্তন হতে হবে যাতে উভয় কোণই এখনও পরিপূরক থাকে।

7. যদি উভয় কোণই হয়, তবে কি দুটি কোণ পরিপূরক হতে পারে:

(i) তীক্ষ্ণ?

(ii) বড়?

(iii) সমকোণ?

8. একটি কোণ $45^{\circ}$ থেকে বড়। তার প্রতিপাক্ষিক কোণ $45^{\circ}$ থেকে বড় হবে কিনা না $45^{\circ}$ সমান হবে কিনা না $45^{\circ}$ থেকে ছোট হবে কিনা?

9. ফাঁকা স্থানগুলি পূরণ করুন:

(i) যদি দুটি কোণ প্রতিপাক্ষিক, তবে তাদের পরিমাপের যোগফল হবে _______

(ii) যদি দুটি কোণ পরিপূরক, তবে তাদের পরিমাপের যোগফল হবে _______

(iii) যদি দুটি একবর্গ পরিপূরক কোণ, তবে তারা গঠন করবে _______

10. সংযুক্ত আকৃতিতে, নিম্নলিখিত কোণের জোড়াগুলির নাম দিন।

(i) বড় উল্লম্ব বিপ্রতীপ কোণ

(ii) একবর্গ প্রতিপাক্ষিক কোণ

(iii) সমান পরিপূরক কোণ

(iv) অসমান পরিপূরক কোণ

(v) একবর্গ কোণ যা একটি রেখাজোড়া গঠন করে না

5.3 রেখাজোড়া

5.3.1 আলোচিত রেখা

আকৃতি 5.8

তুলসী প্রতিষ্ঠানের স্ট্যান্ড, রেখাংশের দ্বারা গঠিত অক্ষর Y এবং জানালার গ্রিল-ডোর (আকৃতি 5.8), এগুলির মধ্যে কী সাধারণ বিষয়? এগুলি আলোচিত রেখার উদাহরণ।

দুটি রেখা $l$ এবং $m$ যদি একটি বিন্দু নিয়ে সামঞ্জস্য করে, তবে তাদের বলা হয় আলোচিত। এই সামঞ্জস্যপ্রাপ্ত বিন্দু $O$ হল তাদের আলোচনার বিন্দু।

চিন্তা করুন, আলোচনা করুন এবং লিখুন

আকৃতি 5.9-এ, $AC$ এবং $BE$ $P$-এ আলোচিত।

$AC$ এবং $BC$ $C, AC$-এ আলোচিত এবং $EC$ আলোচিত।

আরও দশটি আলোচিত রেখাংশের জোড়া খুঁজে নিন।

কোনো দুটি রেখা বা রেখাংশ অবশ্যই আলোচিত হতে হবে কি? আপনি আকৃতিতে দুটি আলোচিত নয় রেখাংশের জোড়া খুঁজতে পারেন?

দুটি রেখা একাধিক বিন্দুতে আলোচিত হতে পারে কি? এ বিষয়ে চিন্তা করুন।

আকৃতি 5.9

চেষ্টা করুন

1. আপনার পরিবেশ থেকে রেখাগুলি সমকোণে আলোচিত হওয়ার উদাহরণ খুঁজুন।

2. সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুতে আলোচিত রেখাগুলির কোণগুলির পরিমাপ নির্ণয় করুন।

3. যেকোনো আয়তক্ষেত্র আঁকুন এবং চারটি শীর্ষবিন্দুতে আলোচিত রেখাগুলির কোণগুলির পরিমাপ নির্ণয় করুন।

4. যদি দুটি রেখা আলোচিত হয়, তবে কি তারা সর্বদা সমকোণে আলোচিত হয়?

5.3.2 ট্রান্সভার্সাল

আপনি সম্ভবত একটি সড়ক দুটি বা তার থেকে বেশি সড়ক অতিক্রম করে দেখেছেন বা রেলপথ অন্যান্য রেখাগুলি অতিক্রম করে দেখেছেন (আকৃতি 5.10)। এগুলি একটি ট্রান্সভার্সালের ধারণা দেয়।

দুটি বা তার বেশি রেখাগুলি বিভিন্ন বিন্দুতে অতিক্রম করে এমন একটি রেখাকে ট্রান্সভার্সাল বলা হয়।

আকৃতি 5.11-এ, $p$ হল রেখাগুলি $l$ এবং $m$ এর জন্য একটি ট্রান্সভার্সাল।

আকৃতি 5.12-এ রেখা $p$ ট্রান্সভার্সাল নয়, যদিও এটি দুটি রেখা $l$ এবং $m$ অতিক্রম করে। আপনি ‘কেন’ বলতে পারেন?

5.3.3. ট্রান্সভার্সাল দ্বারা গঠিত কোণ

আকৃতি 5.13-এ, আপনি রেখাগুলি $l$ এবং $m$ ট্রান্সভার্সাল $p$ দ্বারা অতিক্রম করে দেখছেন। চলবিন্দু 1 থেকে 8 পর্যন্ত চিহ্নিত আটটি কোণের তাদের বিশেষ নাম রয়েছে:

আকৃতি 5.13

চেষ্টা করুন

1. যদি দুটি রেখা থাকে। এই রেখাগুলির জন্য আপনি কতগুলি ট্রান্সভার্সাল আঁকতে পারেন?

2. যদি একটি রেখাটি তিনটি রেখার জন্য ট্রান্সভার্সাল হয়, তবে কতগুলি আলোচনার বিন্দু থাকে?

3. আপনার পরিবেশে কয়েকটি ট্রান্সভার্সাল চিহ্নিত করার চেষ্টা করুন।

দ্রষ্টব্য: সংশ্লিষ্ট কোণ (যেমন $\angle 1$ এবং $\angle 5$ আকৃতি 5.14-এ) অন্তর্ভুক্ত করে

(i) বিভিন্ন শীর্ষবিন্দু

(ii) ট্রান্সভার্সালের একই দিকে অবস্থিত এবং

(iii) দুটি রেখার প্রাপ্ত স্থানে ‘সংশ্লিষ্ট’ অবস্থানে (উপর বা নিচে, বাম বা ডান)

বিপরীত অভ্যন্তরীণ কোণ (যেমন $\angle 3$ এবং $\angle 6$ আকৃতি 5.15-এ)

(i) বিভিন্ন শীর্ষবিন্দু সম্পন্ন

(ii) ট্রান্সভার্সালের বিপরীত দিকে অবস্থিত এবং

(iii) দুটি রেখার মধ্যে অবস্থিত।

আকৃতি 5.15

চেষ্টা করুন

প্রতিটি আকৃতিতে কোণের জোড়াগুলির নাম দিন:

5.3.4 সমান্তরাল রেখাগুলির ট্রান্সভার্সাল

আপনি কি সমান্তরাল রেখাগুলি কী তা মনে করেন? এগুলি এমন রেখা যা কোনো কারণে প্ল্যানে কোনো কোণে পৌঁছায় না। আপনি নিম্নলিখিত আকৃতিগুলি (আকৃতি 5.16) থেকে সমান্তরাল রেখা চিহ্নিত করতে পারেন?

সমান্তরাল রেখাগুলির ট্রান্সভার্সাল অনেক আকর্ষক ফলাফল তৈরি করে।

এটি করুন

একটি রুলড শীট নিন। দুটি সমান্তরাল রেখা $l$ এবং $m$ গভীর রঙের মধ্যে আঁকুন।

রেখাগুলি $l$ এবং $m$ এর জন্য একটি ট্রান্সভার্সাল $t$ আঁকুন। $\angle 1$ এবং $\angle 2$ নিচে চিহ্নিত করুন [আকৃতি 5.17(i)]। আঁকা আকৃতির উপর একটি ট্রেসিং পেপার রাখুন। রেখাগুলি $l, m$ এবং $t$ ট্রেস করুন।

ট্রেসিং পেপারটি $t$ এর সাথে সামঞ্জস্য রাখে যতক্ষণ না $l$ $m$ এর সাথে মেলে।

আপনি পাবেন যে $\angle 1$ ট্রেস করা আকৃতির $\angle 2$ আসল আকৃতির সাথে মেলে।

এই ধরনের ট্রেসিং এবং স্লাইডিং কার্যক্রমের মাধ্যমে আপনি শুধুমাত্র নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি দেখতে পারেন।

(i) $\angle 1=\angle 2\quad$ (ii) $\angle 3=\angle 4$

(iii) $\angle 5=\angle 6\quad$ (iv) $\angle 7=\angle 8$

এই কার্যক্রম নিম্নলিখিত বিষয়টি ব্যাখ্যা করে:

যদি দুটি সমান্তরাল রেখা একটি ট্রান্সভার্সাল দ্বারা অতিক্রম করে, তবে প্রতিটি সংশ্লিষ্ট কোণের পরিমাপ সমান।

এই ফলাফলটি ব্যবহার করে আমরা আরও একটি আকর্ষক ফলাফল পাই। আকৃতি 5.18 দেখুন।

যখন $t$ সমান্তরাল রেখাগুলি $l, m$ অতিক্রম করে, আমরা $\angle 3=\angle 7$ (উল্লম্ব বিপ্রতীপ কোণ) পাই।

কিন্তু $\angle 7=\angle 8$ (সংশ্লিষ্ট কোণ)। অতএব, $\angle 3=\angle 8$

আপনি একইভাবে দেখতে পারেন $\angle 1=\angle 6$। অতএব, আমরা নিম্নলিখিত ফলাফল পাই:

যদি দুটি সমান্তরাল রেখা একটি ট্রান্সভার্সাল দ্বারা অতিক্রম করে, তবে প্রতিটি বিপরীত অভ্যন্তরীণ কোণের পরিমাপ সমান।

দ্বিতীয় ফলাফলটি আরও একটি আকর্ষক গুণগত বৈশিষ্ট্য তৈরি করে। আবার, আকৃতি 5.18 থেকে।

$\angle 3+\angle 1=180^{\circ}$ ($\angle 3$ এবং $\angle 1$ একটি রেখাজোড়া গঠন করে)

কিন্তু $\angle 1=\angle 6$ (বিপরীত অভ্যন্তরীণ কোণের জোড়া)। অতএব, আমরা বলতে পারি $\angle 3+\angle 6=180^{\circ}$।

একইভাবে, $\angle 1+\angle 8=180^{\circ}$। অতএব, আমরা নিম্নলিখিত ফলাফল পাই:

যদি দুটি সমান্তরাল রেখা একটি ট্রান্সভার্সাল দ্বারা অতিক্রম করে, তবে ট্রান্সভার্সালের একই দিকে অবস্থিত প্রতিটি অভ্যন্তরীণ কোণের পরিপূরক।

আপনি এই ফলাফলগুলি যদি প্রাসঙ্গিক ‘আকৃতি’ খুঁজে পান তবে খুব সহজেই মনে রাখতে পারবেন।

এটি করুন

একটি সমান্তরাল রেখাজোড়া এবং একটি ট্রান্সভার্সাল আঁকুন। প্রকৃতভাবে কোণগুলি মাপে উপরের তিনটি বিধান যাচাই করুন।

চেষ্টা করুন

5.4 সমান্তরাল রেখা যাচাই

যদি দুটি রেখা সমান্তরাল, তবে আপনি জানেন যে একটি ট্রান্সভার্সাল সংশ্লিষ্ট সমান কোণ, বিপরীত অভ্যন্তরীণ সমান কোণ এবং ট্রান্সভার্সালের একই দিকে অবস্থিত অভ্যন্তরীণ কোণের পরিপূরক গঠন করে।

দুটি রেখা দেওয়া থাকলে, তাদের সমান্তরাল কিনা তা যাচাই করার কোনো পদ্ধতি আছে কি না? আপনার অনেক জীবনসম্পর্কিত পরিস্থিতিতে এই দক্ষতা প্রয়োজন।

একজন ড্রাফটসম্মন্ন একটি কারপেন্টারের বর্গকার এবং একটি স্ট্রেইট এজ (রিজার) ব্যবহার করে এই রেখাংশগুলি আঁকে (আকৃতি 5.19)। সে দাবি করে যে এগুলি সমান্তরাল। কিভাবে?

আপনি কি দেখতে পান যে সে সংশ্লিষ্ট কোণগুলি সমান রাখেন? (এখানে ট্রান্সভার্সাল কী?)

অতএব, যখন একটি ট্রান্সভার্সাল দুটি রেখাগুলি অতিক্রম করে, যদি সংশ্লিষ্ট কোণের জোড়া সমান, তবে রেখাগুলি অবশ্যই সমান্তরাল হবে।

অক্ষর Z দেখুন (আকৃতি 5.20)। এখানে স্থূল রেখাংশগুলি সমান্তরাল, কারণ বিপরীত কোণগুলি সমান।

যখন একটি ট্রান্সভার্সাল দুটি রেখাগুলি অতিক্রম করে, যদি বিপরীত অভ্যন্তরীণ কোণের জোড়া সমান, তবে রেখাগুলি অবশ্যই সমান্তরাল হবে।

আকৃতি 5.19

আকৃতি 5.20

একটি রেখা $l$ আঁকুন (আকৃতি 5.21)।

একটি রেখা $m$, $l$ এর সাথে সম্পূর্ণরূপে লম্বা আঁকুন। আবার একটি রেখা $p$ আঁকুন, যাতে $p$ $m$ এর সাথে সম্পূর্ণরূপে লম্বা।

অতএব, $p$ একটি লম্বা রেখার সাথে সম্পূর্ণরূপে লম্বা হয়েছে $l$।

আপনি পাবেন $p | l$। কিভাবে? কারণ আপনি $p$ আঁকেন যাতে $\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$।

আকৃতি 5.21

অতএব, যখন একটি ট্রান্সভার্সাল দুটি রেখাগুলি অতিক্রম করে, যদি ট্রান্সভার্সালের একই দিকে অবস্থিত অভ্যন্তরীণ কোণের জোড়া পরিপূরক, তবে রেখাগুলি অবশ্যই সমান্তরাল হবে।

চেষ্টা করুন

অনুশীলন 5.2

1. প্রতিটি বিধানের জন্য ব্যবহৃত গুণগত বৈশিষ্ট্যটি উল্লেখ করুন?

(i) $a || b$ হলে $\angle 1=\angle 5$।

(ii) $\angle 4=\angle 6$ হলে $a \ || b$।

(iii) $\angle 4+\angle 5=180^{\circ}$ হলে $a \ || b$।

2. সংযুক্ত আকৃতিতে নির্দেশিত করুন

(i) সংশ্লিষ্ট কোণের জোড়া।

(ii) বিপরীত অভ্যন্তরীণ কোণের জোড়া।

(iii) ট্রান্সভার্সালের একই দিকে অবস্থিত অভ্যন্তরীণ কোণের জোড়া।

(iv) উল্লম্ব বিপ্রতীপ কোণ।

3. সংযুক্ত আকৃতিতে, $p || q$। অজানা কোণগুলি নির্ণয় করুন।

4. $l || m$ হলে নিম্নলিখিত আকৃতিগুলিতে $x$ এর মান নির্ণয় করুন।

5. প্রদত্ত আকৃতিতে, দুটি কোণের শারীরিক অংশগুলি সমান্তরাল।

$\angle ABC=70^{\circ}$ হলে

(i) $\angle DGC$

(ii) $\angle DEF$

6. নিচের প্রদত্ত আকৃতিগুলিতে, ⟦146�