5.1 પરિચય

તમે પહેલેથી જ જાણો છો કે તમે ત્યાં જોવામાં આવેલા આકારમાં વિવિધ રેખાઓ, રેખાક્ષો અને કોણોને કેવી રીતે ઓળખવું. શું તમે નીચેના આકૃતિઓમાં (ચિત્ર 5.1) બનાવાયેલા વિવિધ રેખાક્ષો અને કોણોને ઓળખી શકો છો?

શું તમે તે કોણોને પણ ઓળખી શકો છો કે તે ત્રિકોણી, વિષમ કોણ કે લંબ કોણ છે?

રેખાક્ષ બે અંત બિંદુઓનો હોય છે તે યાદ કરો. જો અમે બે અંત બિંદુઓને કોઈપણ દિશમાં અનંતમાં વિસ્તારીએ, તો અમે રેખા મેળવી શકીએ છીએ. તેથી, અમે કહી શકીએ છીએ કે રેખા કોઈપણ બાજુએ અંત બિંદુઓ નથી ધરાવતો. એક બાજુથી બીજી બાજુએ તો યાદ કરો કે કોણ એક અંત બિંદુ (તેનો શરૂઆતનો બિંદુ) ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચે આપેલા ચિત્રોનું નજર રાખો:

અહીં, ચિત્ર 5.2 (i) એ રેખાક્ષનું ઉદાહરણ છે, ચિત્ર 5.2 (ii) એ રેખાનું છે અને ચિત્ર 5.2 (iii) એ કોણનું છે. રેખાક્ષ $PQ$ સામાન્ય રીતે ચિહ્ન $\overline{PQ}$ દ્વારા દર્શાવાય છે, રેખા $AB$ ચિહ્ન $\overrightarrow{{}AB}$ દ્વારા દર્શાવાય છે અને કોણ OP ચિહ્ન $\stackrel{\text{ UP }}{OP}$ દ્વારા દર્શાવાય છે. તમારા દૈનિક જીવનમાંથી કેટલાક રેખાક્ષો અને કોણોના ઉદાહરણો આપો અને તેમને તમારા મિત્રો સાથે ચર્ચા કરો.

ફરી યાદ કરો કે જ્યારે રેખાઓ અથવા રેખાક્ષો મળે છે ત્યારે કોણ બને છે. ચિત્ર 5.1માં, કોણોનું નજર રાખો. આ કોણો બે રેખાઓ અથવા રેખાક્ષો એક બિંદુએ એકબીજાને છેલ્લા રેખાઓ સાથે મળતા બનાવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચે આપેલા ચિત્રોનું નજર રાખો:

ચિત્ર 5.3 (i)માં રેખાક્ષો $AB$ અને $BC$ બિંદુ $B$ પર એકબીજાને છેલ્લા રેખાઓ સાથે મળીને કોણ $A B C$ બનાવે છે, અને ફરી રેખાક્ષો $B C$ અને $A C$ બિંદુ $C$ પર એકબીજાને છેલ્લા રેખાઓ સાથે મળીને કોણ $ACB$ બનાવે છે અને આ રીતે કેટલાક. જ્યારે કે, ચિત્ર 5.3 (ii)માં રેખાઓ $PQ$ અને $RS$ બિંદુ $O$ પર એકબીજાને છેલ્લા રેખાઓ સાથે મળીને ચાર કોણો POS, SOQ, QOR અને ROP બનાવે છે. કોણ ABC ચિહ્ન $\angle ABC$ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે. તેથી, ચિત્ર 5.3 (i)માં બનાવાયેલા ત્રણ કોણો $\angle ABC, \angle BCA$ અને $\angle BAC$ છે, અને ચિત્ર 5.3 (ii)માં બનાવાયેલા ચાર કોણો $\angle POS, \angle SOQ, \angle QOR$ અને $\angle POR$ છે. તમે પહેલેથી જ જાણો છો કે તમે તે કોણોને ત્રિકોણી, વિષમ કોણ કે લંબ કોણ તરીકે વર્ગીકરણ કરવામાં આવ્યા છે.

આ કરો

તમારા આસપાસ તેની દેખાવ છે તેના ચિત્રોની યાદી બનાવો અને તેમાંથી ત્રિકોણી, વિષમ કોણ અને લંબ કોણોને ઓળખો.

નોંધ: કોણ $ABC$ની કદને સંદર્ભ કરતી વખતે, અમે $m \angle ABC$ ને સરળતરીથી $\angle ABC$ તરીકે લખીએ છીએ. સંદર્ભ તેને સ્પષ્ટ કરશે, કોણ કોણની કદ છે કે કોણ છે.

5.2 સંબંધિત કોણો

5.2.1 પૂરક કોણો

જ્યારે બે કોણોની કદોનો સરવાળ $90^{\circ}$ થાય, ત્યારે તે કોણો પૂરક કોણો તરીકે ઓળખાય છે.

શું આ બે કોણો પૂરક કોણો છે?

ચિત્ર 5.4

નહીં: જ્યારેય બે કોણો પૂરક કોણો હોય ત્યારે, દરેક કોણને બીજા કોણનો પૂરક તરીકે કહેવામાં આવે છે. ઉપરોક્ત ચિત્ર (ચિત્ર 5.4)માં, ‘$30^{\circ}$ કોણ’ એ ‘$60^{\circ}$ કોણ’નો પૂરક છે અને ઉલટો પણ સત્ય છે.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

1. શું બે ત્રિકોણી કોણો એકબીજાના પૂરક હોઈ શકે?

2. શું બે વિષમ કોણો એકબીજાના પૂરક હોઈ શકે?

3. શું બે લંબ કોણો એકબીજાના પૂરક હોઈ શકે?

આ કરો

1. નીચેના કોણોના જોડાણોમાંથી કયા જોડાણો પૂરક કોણો છે? (ચિત્ર 5.5)

2. નીચેના દરેક કોણોના પૂરકની કદ શું છે?

(i) $45^{\circ}$

(ii) $65^{\circ}$

(iii) $41^{\circ}$

(iv) $54^{\circ}$

3. બે પૂરક કોણોની કદોનો તફાવત $12^{\circ}$ છે. કોણોની કદો શોધો.

5.2.2 પૂરકાંતર કોણો

ચાલો હવે નીચેના કોણોના જોડાણો (ચિત્ર 5.6)નું નજર રાખીએ:

શું તમે નોંધ્યું છે કે ઉપરોક્ત દરેક જોડાણમાં (ચિત્ર 5.6) કોણોની કદોનો સરવાળ $180^{\circ}$ થાય છે? આ રીતેના કોણોના જોડાણો પૂરકાંતર કોણો તરીકે ઓળખાય છે. જ્યારે બે કોણો પૂરકાંતર કોણો હોય ત્યારે, દરેક કોણને બીજા કોણના પૂરકાંતર તરીકે કહેવામાં આવે છે.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

1. શું બે વિષમ કોણો પૂરકાંતર કોણો હોઈ શકે?

2. શું બે ત્રિકોણી કોણો પૂરકાંતર કોણો હોઈ શકે?

3. શું બે લંબ કોણો પૂરકાંતર કોણો હોઈ શકે?

આ કરો

1. ચિત્ર 5.7માં પૂરકાંતર કોણોના જોડાણો શોધો:

2. નીચેના દરેક કોણોના પૂરકાંતરની કદ શું હશે?

(i) $100^{\circ}$

(ii) $90^{\circ}$

(iii) $55^{\circ}$

(iv) $125^{\circ}$

3. બે પૂરકાંતર કોણોમાંથી મોટા કોણની કદ નાના કોણની કદથી $44^{\circ}$ વધુ છે. તેમની કદો શોધો.

અભ્યાસકૃત 5.1

1. નીચેના દરેક કોણોના પૂરકની કદ શોધો:

2. નીચેના દરેક કોણોના પૂરકાંતરની કદ શોધો:

(iii)

3. નીચેના કોણોના જોડાણોમાંથી કયા જોડાણો પૂરક કોણો છે અને કયા જોડાણો પૂરકાંતર કોણો છે.

(i) $65^{\circ}, 115^{\circ}$

(ii) $63^{\circ}, 27^{\circ}$

(iii) $112^{\circ}, 68^{\circ}$

(iv) $130^{\circ}, 50^{\circ}$

(v) $45^{\circ}, 45^{\circ}$

(vi) $80^{\circ}, 10^{\circ}$

4. તે કોણ શોધો જે તેના પૂરકની સમાન છે.

5. તે કોણ શોધો જે તેના પૂરકાંતરની સમાન છે.

6. આપેલ ચિત્રમાં, $\angle 1$ અને $\angle 2$ પૂરકાંતર કોણો છે.

જો $\angle 1$ ઘટાડવામાં આવે, તો $\angle 2$માં કેટલોક બદલાવ થવો જોઈએ કે જેથી બે કોણો પણ હજુ પૂરકાંતર રહે.

7. શું બે કોણો પૂરકાંતર કોણો હોઈ શકે જો તે બેબે તે:

(i) ત્રિકોણી?

(ii) વિષમ?

(iii) લંબ?

8. એક કોણ $45^{\circ}$ કરતા મોટો છે. તેના પૂરક કોણ $45^{\circ}$ કરતા મોટો છે કે જેટલો સમાન છે કે જેટલો નાનો છે?

9. ખાલી જગ્યાઓ ભરો:

(i) જો બે કોણો પૂરક કોણો હોય ત્યારે, ત્યારે તેમની કદોનો સરવાળ ______ છે

(ii) જો બે કોણો પૂરકાંતર કોણો હોય ત્યારે, ત્યારે તેમની કદોનો સરવાળ ______ છે

(iii) જો બે સરહદ પર કોણો પૂરકાંતર કોણો હોય ત્યારે, ત્યારે તેમને ______ બનાવે છે

10. આપેલ ચિત્રમાં, નીચેના કોણોના જોડાણોનું નામ આપો.

(i) વિષમ ઊભા વિરુદ્ધ કોણો

(ii) સરહદ પર પૂરક કોણો

(iii) સમ પૂરકાંતર કોણો

(iv) અસમ પૂરકાંતર કોણો

(v) સરહદ પર કોણો જે લિનિયર જોડો બનાવતા નથી

5.3 જોડાણોના રેખાઓ

5.3.1 છેલ્લા રેખાઓ

ચિત્ર 5.8

તેના સ્ટેન્ડ પર કાળી પટ્ટી, રેખાક્ષોથી બનેલી અક્ષર Y અને વિંડોની ગ્રીલ-ડોર (ચિત્ર 5.8), આ બધામાં શું સામાન છે? તે છેલ્લા રેખાઓના ઉદાહરણો છે.

બે રેખાઓ $l$ અને $m$ જો તેમાંથી એક બિંદુ સામેનો હોય તો તે છેલ્લા રેખાઓ છે. આ સામેનો બિંદુ $O$ તેમનો છેલ્લો બિંદુ છે.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

ચિત્ર 5.9માં, $AC$ અને $BE$ બિંદુ $P$ પર છેલ્લા રેખાઓ છે.

$AC$ અને $BC$ બિંદુ $C, AC$ પર છેલ્લા રેખાઓ છે અને $EC$ અને $C$ બિંદુ $C$ પર છેલ્લા રેખાઓ છે.

તમે બીજા દસ જોડાણોના રેખાક્ષોને શોધવાનો પ્રયત્ન કરો.

શું દરેક રેખાઓ અથવા રેખાક્ષો કરતાં વધુ ક્રમમાં છેલ્લા રેખાઓ હોવી જોઈએ? તમે આ ચિત્રમાં બે જોડાણોના રેખાક્ષોને છેલ્લા રેખાઓ નહીં શોધી શકો છો?

શું બે રેખાઓ એકથી વધુ બિંદુઓમાં છેલ્લા રેખાઓ હોઈ શકે? તમે તે વિશે વિચારો.

ચિત્ર 5.9

આ કરો

1. તમારા આસપાસમાં જ્યાં રેખાઓ લંબ કોણોમાં છેલ્લા રેખાઓ હોય ત્યાંથી ઉદાહરણો શોધો.

2. સમાનલંબી ત્રિકોણના શેરીઓ પર છેલ્લા રેખાઓ દ્વારા બનાવાયેલા કોણોની કદો શોધો.

3. કોઈપણ આયત આકાર ક્રાય અને છેલ્લા રેખાઓ દ્વારા ચાર શેરીઓ પર બનાવાયેલા કોણોની કદો શોધો.

4. જો બે રેખાઓ છેલ્લા રેખાઓ હોય તો, તે હંમેશાં લંબ કોણોમાં છેલ્લા રેખાઓ હોય છે?

5.3.2 સંકેતરેખા

તમે ક્રોસિંગ બે કે ત્રણ રસ્તાઓ કે જ્યાં એક રેલવે લાઇન અને અનેક અન્ય રેખાઓ ક્રોસ કરે છે (ચિત્ર 5.10) તેનું નજર રાખીને સંકેતરેખાનું ધારણ કરી શકો છો.

બે કે ત્રણ વધુ રેખાઓને વિભાજિત કરતી એક રેખા સંકેતરેખા તરીકે ઓળખાય છે.

ચિત્ર 5.11માં, $p$ એ રેખાઓ $l$ અને $m$ માટે એક સંકેતરેખા છે.

ચિત્ર 5.12માં રેખા $p$ એ સંકેતરેખા નથી, જોકે તે રેખાઓ $l$ અને $m$ ને વિભાજિત કરે છે. શું તમે કહી શકો, ‘શા માટે’?

5.3.3. સંકેતરેખા દ્વારા બનાવાયેલા કોણો

ચિત્ર 5.13માં, તમે રેખાઓ $l$ અને $m$ ને સંકેતરેખા $p$ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. ચિહ્નિત આઠ કોણો 1 થી 8 તરીકે તેમનું વિશિષ્ટ નામ ધરાવે છે:

ચિત્ર 5.13

આ કરો

1. જો બે રેખાઓ આપવામાં આવે છે. તે રેખાઓ માટે તમે કેટલા સંકેતરેખાઓ ક્રાય શકો છો?

2. જો એક રેખા ત્રણ રેખાઓ માટે સંકેતરેખા હોય તો, ત્યાં કેટલા બિંદુઓએ છેલ્લા રેખાઓ હોય છે?

3. તમારા આસપાસમાં કેટલાક સંકેતરેખાઓને ઓળખવાનો પ્રયત્ન કરો.

નોંધ: સંસ્થાપિત કોણો (ચિત્ર 5.14માં $\angle 1$ અને $\angle 5$ જેવા) માટે

(i) વિભિન્ન શેરીઓ

(ii) સંકેતરેખાની એક બાજુએ છે

(iii) બે રેખાઓ માટે ‘સંસ્થાપિત’ જગ્યાએ છે (ઉપર કે નીચે, ડાબી કે જમણી)

વિકલ્પિત આંતરિક કોણો (ચિત્ર 5.15માં $\angle 3$ અને $\angle 6$ જેવા)

(i) વિભિન્ન શેરીઓ ધરાવે છે

(ii) સંકેતરેખાના વિરુદ્ધ બાજુઓએ છે

(iii) બે રેખાઓ ‘વચ્ચે’ રહે છે.

ચિત્ર 5.15

આ કરો

દરેક ચિત્રમાં કોણોના જોડાણોનું નામ આપો:

5.3.4 સમાનલંબી રેખાઓના સંકેતરેખા

તમે સમાનલંબી રેખાઓ શું છે તે વિશે તમે યાદ કરો છો? તે એવી રેખાઓ છે જે એક પ્લેન પર ક્રમમાં મળતી નથી. શું તમે નીચેના ચિત્રોમાં (ચિત્ર 5.16) સમાનલંબી રેખાઓને ઓળખી શકો છો?

સમાનલંબી રેખાઓના સંકેતરેખાઓ અત્યંત રસપ્રદ પરિણામો આપે છે.

આ કરો

એક રૂલિંગ શીટ લઈએ. ત્રણ સમાનલંબી રેખાઓ $l$ અને $m$ ક્રાય કરીએ (મોટા રંગીન રંગથી).

રેખાઓ $l$ અને $m$ માટે સંકેતરેખા $t$ ક્રાય કરીએ. $\angle 1$ અને $\angle 2$ જેવી રીતે લખીએ [ચિત્ર 5.17(i)]. આકાર ક્રાય કરેલા ચિત્ર પર એક ટ્રેસિંગ શીટ મૂકીએ. રેખાઓ $l, m$ અને $t$ ને ટ્રેસ કરીએ.

ટ્રેસિંગ શીટ ને $t$ પર સ્લાઇડ કરીએ, જ્યાં સુધી $l$ $m$ સાથે સરખો નહીં થાય.

તમે શોધી શકો છો કે ટ્રેસ કરેલ ચિત્રમાં $\angle 1$ એ મૂળ ચિત્રની $\angle 2$ સાથે સરખો થાય.

શાબ્દિક રીતે, તમે એવી જ ટ્રેસિંગ અને સ્લાઇડિંગ પ્રવૃત્તિ દ્વારા નીચેના દાખલા બનાવી શકો છો.

(i) $\angle 1=\angle 2\quad$ (ii) $\angle 3=\angle 4$

(iii) $\angle 5=\angle 6\quad$ (iv) $\angle 7=\angle 8$

આ પ્રવૃત્તિ નીચેના સત્યને સમજાવે છે:

જો બે સમાનલંબી રેખાઓ સંકેતરેખા દ્વારા વિભાજિત થયા તો, દરેક જોડાણના સંસ્થાપિત કોણોની કદ સમાન હોય છે.

અમે આ પરિણામનો ઉપયોગ બીજા રસપ્રદ પરિણામ મેળવવા માટે કરીએ છીએ. ચિત્ર 5.18નું નજર રાખો.

જ્યારે $t$ સમાનલંબી રેખાઓ $l, m$ ને વિભાજિત કરે છે, ત્યારે અમે $\angle 3=\angle 7$ (ઊભા વિરુદ્ધ કોણો) મેળવી શકીએ છીએ.

પણ $\angle 7=\angle 8$ (સંસ્થાપિત કોણો). તેથી, $\angle 3=\angle 8$

તમે એવી જ રીતે પણ દર્શાવી શકો છો કે $\angle 1=\angle 6$. તેથી, અમે નીચેનું પરિણામ મેળવ્યું છે :

જો બે સમાનલંબી રેખાઓ સંકેતરેખા દ્વારા વિભાજિત થયા તો, દરેક જોડાણના વિકલ્પિત આંતરિક કોણોની કદ સમાન હોય છે.

આ બીજું પરિણામ બીજી રસપ્રદ ગુણવત્