2.1 পরিচিতি

আগের শ্রেণিতে আপনি বেশ কিছু বীজগণিতের অভিব্যক্তি এবং সমীকরণের সাথে পরিচিত হয়েছেন।

আমরা যা অভিব্যক্তি পর্যন্ত কাজ করেছি তার কিছু উদাহরণ হলো:

$ 5 x, 2 x-3,3 x+y, 2 x y+5, x y z+x+y+z, x^{2}+1, y+y^{2} $

সমীকরণের কিছু উদাহরণ হলো: $5 x=25,2 x-3=9,2 y+\frac{5}{2}=\frac{37}{2}, 6 z+10=-2$

আপনি মনে করবেন যে সমীকরণে সমতা (=) চিহ্ন ব্যবহার করা হয়; অভিব্যক্তিতে এটি অনুপস্থিত।

এই প্রদত্ত অভিব্যক্তিগুলির মধ্যে অনেকগুলিতে একাধিক চলক রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, $2 x y+5$ দুটি চলক রয়েছে। তবে আমরা সমীকরণ গঠনের সময় শুধুমাত্র একটি চলক বিশিষ্ট অভিব্যক্তি নির্বাচন করি। এছাড়াও, আমরা যে অভিব্যক্তিগুলি সমীকরণ গঠনের জন্য ব্যবহার করি তারা রৈখিক। অর্থাৎ, অভিব্যক্তিতে উপস্থিত চলকের সর্বোচ্চ ক্ষমতা 1।

এই অভিব্যক্তিগুলি রৈখিক:

$ 2 x, 2 x+1,3 y-7,12-5 z, \frac{5}{4}(x-4)+10 $

এই অভিব্যক্তিগুলি রৈখিক নয়:

$ x^{2}+1, y+y^{2}, 1+z+z^{2}+z^{3} \quad(\text{ কারণ চলকের সর্বোচ্চ ক্ষমতা }>1) $

এখানে আমরা শুধুমাত্র একটি চলক বিশিষ্ট রৈখিক অভিব্যক্তি বিশিষ্ট সমীকরণের সাথে পরিচিতি লাভ করব। এই ধরনের সমীকরণগুলিকে একক চলকের মধ্যে রৈখিক সমীকরণ বলা হয়। আপনি যা সমীকরণ গঠনের সময় আগের শ্রেণিতে গঠন করেছিলেন তারা সব এই ধরনের।

আমরা যা জানি তা সংক্ষেপে পুনরাবৃত্তি করা যাক:

(a) বীজগণিতের একটি সমীকরণ হলো চলক সম্পর্কে সমতা। এটিতে একটি সমতা চিহ্ন রয়েছে। সমতা চিহ্নের বাম পাশের অভিব্যক্তিকে বাম পাশের অঙ্ক (LHS) বলা হয়। সমতা চিহ্নের ডান পাশের অভিব্যক্তিকে ডান পাশের অঙ্ক (RHS) বলা হয়।

(b) একটি সমীকরণে বাম পাশের অভিব্যক্তি এবং ডান পাশের অভিব্যক্তির মান সমান। এটি শুধুমাত্র চলকের কিছু নির্দিষ্ট মানের জন্য সত্য হয়। এই মানগুলি হলো সমীকরণের সমাধান।

(c) একটি সমীকরণের সমাধান কীভাবে পাওয়া যায়?

আমরা ধারণা করি যে সমীকরণের উভয় পাশ সমতাবদ্ধ। আমরা সমীকরণের উভয় পাশে একই গণিতীয় পদ্ধতি প্রয়োগ করি, যাতে সমতা বিচ্যুত না হয়। এই ধাপগুলির মাধ্যমে সমাধান পাওয়া যায়। $x=5$ হলো সমীকরণের সমাধান

$2 x-3=7$। এর জন্য,

LHS $=2 \times 5-3=7=$ RHS

অন্যদিকে $x=10$ হলো সমীকরণের সমাধান নয়। $x=10$ এর জন্য, LHS $=2 \times 10-3=17$। এটি RHS এর সমান নয়

2.2 উভয় পাশে চলক থাকা সমীকরণ সমাধান করা

একটি সমীকরণ হলো দুটি অভিব্যক্তির মানের সমতা। সমীকরণ $2 x-3=7$ এ, দুটি অভিব্যক্তি হলো $2 x-3$ এবং 7। আমরা যে সব উদাহরণে পর্যন্ত দেখেছি তার অধিকাংশে ডান পাশে শুধুমাত্র একটি সংখ্যা থাকে। তবে এটি সবসময় এমন হয় না; উভয় পাশেই চলক বিশিষ্ট অভিব্যক্তি থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ $2 x-3=x+2$ এ উভয় পাশে চলক বিশিষ্ট অভিব্যক্তি রয়েছে; বাম পাশের অভিব্যক্তি হলো $(2 x-3)$ এবং ডান পাশের অভিব্যক্তি হলো $(x+2)$।

• আমরা এখন এমন সমীকরণ সমাধান করার পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করছি যেখানে উভয় পাশে চলক বিশিষ্ট অভিব্যক্তি রয়েছে।

উদাহরণ 1 : $2 x-3=x+2$ সমাধান করুন

সমাধান: আমরা সমীকরণের উভয় পাশে থেকে কিছু করেছি, সংখ্যা (ধ্রুবক) নয়, বরং চলক সম্পর্কিত পদক্ষেপ। আমরা এটি করতে পারি কারণ চলকও সংখ্যা। এছাড়াও, উভয় পাশে $x$ থেকে বাদ দেওয়ার অর্থ $x$ কে বাম পাশে স্থানান্তর করা।

উদাহরণ 2 : $5 x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-14$ সমাধান করুন

সমাধান: আমরা সমীকরণের উভয় পাশে 2 দিয়ে গুণ করি। আমরা পাই

$ 2 \times(5 x+\frac{7}{2})=2 \times(\frac{3}{2} x-14) $

$ (2 \times 5 x)+(2 \times \frac{7}{2})=(2 \times \frac{3}{2} x)-(2 \times 14) $

অথবা: $ \hspace{10 mm}10 x+7=3 x-28 $

অথবা: $ \hspace{10 mm}10 x-3 x+7=-28 \quad(\text{ 3 x কে বাম পাশে স্থানান্তর করা) } $

অথবা: $ \hspace{10 mm}7 x+7=-28 $

$ \begin{aligned} \text{অথবা }\hspace{10 mm}& 7 x=-28-7 \\ \text{অথবা }\hspace{10 mm}& 7 x=-35 \end{aligned} $

অথবা $\quad x=\frac{-35}{7}$

অথবা $\quad x=-5 $

ব্যাচ 2.1

নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি সমাধান করুন এবং আপনার ফলাফল যাচাই করুন।

1. $3 x=2 x+18$

2. $5 t-3=3 t-5$

3. $5 x+9=5+3 x$

4. $4 z+3=6+2 z$

5. $2 x-1=14-x$

6. $8 x+4=3(x-1)+7$

7. $x=\frac{4}{5}(x+10)$

8. $\frac{2 x}{3}+1=\frac{7 x}{15}+3$

9. $2 y+\frac{5}{3}=\frac{26}{3}-y$

10. $3 m=5 m-\frac{8}{5}$

2.3 সমীকরণকে সহজ আকারে পরিবর্তন করা

উদাহরণ 16 : $\frac{6 x+1}{3}+1=\frac{x-3}{6}$ সমাধান করুন

সমাধান: আমরা সমীকরণের উভয় পাশে 6 দিয়ে গুণ করি,

$\boxed{\text{Why 6 ? Because it is the smallest multiple (or LCM) of the given denominators.}} $ অথবা

$ \begin{gathered} & \frac{6(6 x+1)}{3}+6 \times 1 = \frac{6(x-3)}{6} \\ \text{অথবা } & 2(6 x+1)+6 = x-3 \\ \end{gathered} $

$ \begin{gathered} \text{অথবা } & 12 x+2+6 = x-3 \quad \text{ (ব্র্যাকেট খোলা) } \\ \text{অথবা } & 12 x+8 = x-3 \\ \text{অথবা } & 12 x-x+8 = -3 \\ \text{অথবা } & 11 x+8 = -3 \\ \text{অথবা } & 11 x = -3-8 \\ \text{অথবা } & 11 x = -11 \\ & x = -1 \quad \text{ (প্রয়োজনীয় সমাধান) } \end{gathered} $

যাচাই: $LHS=\frac{6(-1)+1}{3}+1=\frac{-6+1}{3}+1=\frac{-5}{3}+\frac{3}{3}=\frac{-5+3}{3}=\frac{-2}{3}$

$ \begin{aligned} & \text{ RHS }=\frac{(-1)-3}{6}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3} \\ & \text{ LHS }=\text{ RHS. } \quad \text{ (যেমন প্রয়োজন) } \end{aligned} $

উদাহরণ 17 : $5 x-2(2 x-7)=2(3 x-1)+\frac{7}{2}$ সমাধান করুন

সমাধান: আমরা ব্র্যাকেট খোলিয়ে দেখি,

$ \begin{array}{ll} \text{ LHS }=5 x-4 x+14=x+14 \\ RHS=6 x-2+\frac{7}{2}=6 x-\frac{4}{2}+\frac{7}{2}=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ সমীকরণ হলো } & x+14=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ অথবা } & 14=6 x-x+\frac{3}{2} \\ \text{ অথবা } & 14=5 x+\frac{3}{2} \\ & 14-\frac{3}{2}=5 x & (\text{ \frac{3}{2} কে স্থানান্তর করা})\\ & \frac{28-3}{2}=5 x \\ & \frac{25}{2}=5 x \\ & x=\frac{25}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{5 \times 5}{2 \times 5}=\frac{5}{2} \end{array} $

অতএব, প্রয়োজনীয় সমাধান হলো $x=\frac{5}{2}$।

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{আপনি কি দেখেছেন যে আমরা কীভাবে দেওয়া সমীকরণের আকার সহজ করেছি? এখানে, আমাদের সমীকরণের উভয় পাশে গুণ করতে হয়েছি} \\ \text{সমীকরণের অভিব্যক্তিগুলির পদক্ষেপের জবাবের সর্বনিম্ন সামগ্রিক (LCM) }\\ \hline \end{array}$

যাচাই $:$ LHS $=5 \times \frac{5}{2}-2(\frac{5}{2} \times 2-7)$

$ \begin{aligned} & \quad=\frac{25}{2}-2(5-7)=\frac{25}{2}-2(-2)=\frac{25}{2}+4=\frac{25+8}{2}=\frac{33}{2} \\ & \text{ RHS }=2(\frac{5}{2} \times 3-1)+\frac{7}{2}=2(\frac{15}{2}-\frac{2}{2})+\frac{7}{2}=\frac{2 \times 13}{2}+\frac{7}{2} \\ &=\frac{26+7}{2}=\frac{33}{2}=\text{ LHS. (যেমন প্রয়োজন) } \end{aligned} $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{লক্ষ্য করুন, এই উদাহরণে আমরা সমীকরণকে সহজ আকারে পরিবর্তন করেছি} \\ \text{ব্র্যাকেট খোলা এবং সমীকরণের উভয় পাশে একই ধরনের পদক্ষেপ একত্রিত করে।}\\ \hline \end{array}$

ব্যাচ 2.2

নিম্নলিখিত রৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করুন।

1. $\frac{x}{2}-\frac{1}{5}=\frac{x}{3}+\frac{1}{4}$

2. $\frac{n}{2}-\frac{3 n}{4}+\frac{5 n}{6}=21$

3. $x+7-\frac{8 x}{3}=\frac{17}{6}-\frac{5 x}{2}$

4. $\frac{x-5}{3}=\frac{x-3}{5}$

5. $\frac{3 t-2}{4}-\frac{2 t+3}{3}=\frac{2}{3}-t$

6. $m-\frac{m-1}{2}=1-\frac{m-2}{3}$

নিম্নলিখিত রৈখিক সমীকরণগুলি সহজ করে সমাধান করুন।

7. $3(t-3)=5(2 t+1)$

8. $15(y-4)-2(y-9)+5(y+6)=0$

9. $3(5 z-7)-2(9 z-11)=4(8 z-13)-17$

10. $0.25(4 f-3)=0.05(10 f-9)$

আমরা কী আলোচনা করেছি?

1. বীজগণিতের একটি সমীকরণ হলো চলক সম্পর্কে একটি সমতা। এটি বলে যে সমতা চিহ্নের এক পাশের অভিব্যক্তির মান সমান হলে অন্য পাশের অভিব্যক্তির মান।

2. আমরা যা শ্রেণি VI, VII এবং VIII এ আলোচনা করি তারা একক চলকের মধ্যে রৈখিক সমীকরণ। এই ধরনের সমীকরণে, সমীকরণ গঠনের জন্য ব্যবহৃত অভিব্যক্তিগুলিতে শুধুমাত্র একটি চলক রয়েছে। এছাড়াও, সমীকরণগুলি রৈখিক, অর্থাৎ, সমীকরণে উপস্থিত চলকের সর্বোচ্চ ক্ষমতা 1।

3. একটি সমীকরণে উভয় পাশে রৈখিক অভিব্যক্তি থাকতে পারে। আমরা যে সমীকরণ গঠন করেছি তার অধিকাংশ শ্রেণি VI এবং VII এ শুধুমাত্র একটি সংখ্যা বাম পাশে রাখে।

4. সংখ্যাগুলির মতো, চলকগুলিও সমীকরণের এক পাশ থেকে অন্য পাশে স্থানান্তর করা যায়।

5. প্রায়শই, সমীকরণ গঠনের অভিব্যক্তিগুলি সাধারণ পদ্ধতির দ্বারা সমাধান করার আগে সহজ করতে হয়। কিছু সমীকরণ প্রারম্ভিক আকারে রৈখিক নয়, কিন্তু সমীকরণের উভয় পাশে উপযুক্ত অভিব্যক্তি দিয়ে গুণ করে এটি রৈখিক আকারে পরিবর্তন করা যায়।

6. রৈখিক সমীকরণের উপযোগীতা তাদের বিভিন্ন প্রয়োগে দেখা যায়; সংখ্যা, বয়, পরিধি, মুদ্রা নোটের সমন্বয় এবং এমনকি অন্যান্য বিষয়ে সমস্যা সমাধান করা যায়।