৭.১ ভূমিকা

নবম শ্রেণিতে, তোমরা পড়েছ যে একটি সমতলে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করতে আমাদের একজোড়া স্থানাঙ্ক অক্ষের প্রয়োজন হয়। একটি বিন্দুর $y$-অক্ষ থেকে দূরত্বকে তার $\boldsymbol{{}x}$-স্থানাঙ্ক, বা ভুজ বলে। একটি বিন্দুর $x$-অক্ষ থেকে দূরত্বকে তার $y$-স্থানাঙ্ক, বা কোটি বলে। $x$-অক্ষের উপর অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x, 0)$ আকারের হয়, এবং $y$-অক্ষের উপর অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0, y)$ আকারের হয়।

এখানে তোমার জন্য একটি খেলা রয়েছে। একটি গ্রাফ পেপারে একজোড়া লম্ব অক্ষ আঁকো। এখন নিম্নলিখিত বিন্দুগুলি স্থাপন করো এবং নির্দেশ অনুসারে যুক্ত করো: বিন্দু $A(4,8)$ কে $B(3,9)$ এর সাথে, $B(3,9)$ কে $C(3,8)$ এর সাথে, $C(3,8)$ কে $D(1,6)$ এর সাথে, $D(1,6)$ কে $E(1,5)$ এর সাথে, $E(1,5)$ কে $F(3,3)$ এর সাথে, $F(3,3)$ কে $G(6,3)$ এর সাথে, $G(6,3)$ কে $H(8,5)$ এর সাথে, $H(8,5)$ কে $I(8,6)$ এর সাথে, $I(8,6)$ কে $J(6,8)$ এর সাথে, $J(6,8)$ কে $K(6,9)$ এর সাথে, $K(6,9)$ কে $L(5,8)$ এর সাথে, এবং $L(5,8)$ কে $A$ এর সাথে যুক্ত করো। তারপর বিন্দু $P(3.5,7), Q(3,6)$ এবং $R(4,6)$ কে যুক্ত করে একটি ত্রিভুজ গঠন করো। আরও বিন্দু $X(5.5,7), Y(5,6)$ এবং $Z(6,6)$ কে যুক্ত করে একটি ত্রিভুজ গঠন করো। এখন $S(4,5), T(4.5,4)$ এবং $U(5,5)$ কে যুক্ত করে একটি ত্রিভুজ গঠন করো। শেষে $S$ কে বিন্দু $(0,5)$ এবং $(0,6)$ এর সাথে যুক্ত করো এবং $U$ কে বিন্দু $(9,5)$ এবং $(9,6)$ এর সাথে যুক্ত করো। তুমি কী চিত্র পেয়েছ?

এছাড়াও, তোমরা দেখেছ যে দুটি চলরাশিতে একটি রৈখিক সমীকরণ, যা $a x+b y+c=0,(a, b$ আকারের (যেখানে a এবং b একই সাথে শূন্য নয়), গ্রাফিকভাবে উপস্থাপন করলে একটি সরলরেখা দেয়। আরও, অধ্যায় 2-তে, তোমরা $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ এর লেখচিত্র দেখেছ, যা একটি পরাবৃত্ত। বাস্তবে, স্থানাঙ্ক জ্যামিতি জ্যামিতিক চিত্র অধ্যয়নের জন্য একটি বীজগাণিতিক সরঞ্জাম হিসেবে বিকশিত হয়েছে। এটি বীজগণিতের সাহায্যে জ্যামিতি অধ্যয়ন করতে এবং জ্যামিতির সাহায্যে বীজগণিত বুঝতে আমাদের সহায়তা করে। এই কারণে, স্থানাঙ্ক জ্যামিতি পদার্থবিদ্যা, প্রকৌশল, নেভিগেশন, ভূকম্পনবিদ্যা এবং শিল্পের মতো বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যাপকভাবে প্রয়োগ করা হয়!

এই অধ্যায়ে, তোমরা শিখবে কীভাবে প্রদত্ত স্থানাঙ্ক বিশিষ্ট দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করতে হয়, এবং তিনটি প্রদত্ত বিন্দু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হয়। তোমরা আরও শিখবে কীভাবে সেই বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে হয় যা দুটি প্রদত্ত বিন্দুকে যুক্তকারী রেখাংশকে একটি প্রদত্ত অনুপাতে বিভক্ত করে।

৭.২ দূরত্ব সূত্র

আসুন নিম্নলিখিত পরিস্থিতি বিবেচনা করি:

একটি শহর B, শহর A এর $36 km$ পূর্বে এবং 15 $km$ উত্তরে অবস্থিত। তুমি কীভাবে প্রকৃত পরিমাপ না করে শহর A থেকে শহর B এর দূরত্ব নির্ণয় করবে? দেখা যাক। এই পরিস্থিতি চিত্র ৭.১-এ দেখানো হিসাবে গ্রাফিকভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। তুমি এই দূরত্ব গণনা করতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারো।

চিত্র ৭.১

এখন, মনে করো দুটি বিন্দু $x$-অক্ষের উপর অবস্থিত। আমরা কি তাদের মধ্যকার দূরত্ব নির্ণয় করতে পারি? উদাহরণস্বরূপ, চিত্র ৭.২-এ দুটি বিন্দু $A(4,0)$ এবং $B(6,0)$ বিবেচনা করো। A এবং B বিন্দু দুটি $x$-অক্ষের উপর অবস্থিত।

চিত্র থেকে তুমি দেখতে পাচ্ছ যে $OA=4$ একক এবং $OB=6$ একক।

অতএব, $B$ এর থেকে $A$ এর দূরত্ব, অর্থাৎ $AB=OB-OA=6-4=2$ একক।

সুতরাং, যদি দুটি বিন্দু $x$-অক্ষের উপর অবস্থিত হয়, আমরা সহজেই তাদের মধ্যকার দূরত্ব নির্ণয় করতে পারি।

এখন, মনে করো আমরা $y$-অক্ষের উপর অবস্থিত দুটি বিন্দু নিই। তুমি কি তাদের মধ্যকার দূরত্ব নির্ণয় করতে পারো? যদি বিন্দু $C(0,3)$ এবং $D(0,8)$ $y$-অক্ষের উপর অবস্থিত হয়, একইভাবে আমরা পাই যে $CD=8-3=5$ একক (চিত্র ৭.২ দেখো)।

চিত্র ৭.২

পরবর্তীতে, তুমি কি A থেকে C এর দূরত্ব নির্ণয় করতে পারো (চিত্র ৭.২-এ)? যেহেতু OA $=4$ একক এবং $OC=3$ একক, তাই $A$ থেকে $C$ এর দূরত্ব, অর্থাৎ $AC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ একক। একইভাবে, তুমি $B$ থেকে $D=BD=10$ এর দূরত্ব $D=BD=10$ একক পেতে পারো।

এখন, যদি আমরা স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর অবস্থিত নয় এমন দুটি বিন্দু বিবেচনা করি, আমরা কি তাদের মধ্যকার দূরত্ব নির্ণয় করতে পারি? হ্যাঁ! আমরা এটি করতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করব। আসুন একটি উদাহরণ দেখি।

চিত্র ৭.৩-এ, বিন্দু $P(4,6)$ এবং $Q(6,8)$ প্রথম চতুর্ভুজে অবস্থিত। আমরা কীভাবে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে তাদের মধ্যকার দূরত্ব নির্ণয় করব? আসুন $x$-অক্ষ থেকে $P$ এবং $Q$ এর উপর যথাক্রমে PR এবং QS লম্ব আঁকি। আরও, $P$ থেকে $QS$ এর উপর একটি লম্ব আঁকি যা $QS$ কে $T$ এ ছেদ করে। তাহলে $R$ এবং $S$ এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $(4,0)$ এবং $(6,0)$। সুতরাং, $RS=2$ একক। আরও, $QS=8$ একক এবং $TS=PR=6$ একক।

চিত্র ৭.৩

অতএব, $QT=2$ একক এবং $PT=RS=2$ একক।

এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা পাই

$ \begin{aligned} PQ^{2} & =PT^{2}+QT^{2} \\ & =2^{2}+2^{2}=8 \end{aligned} $

সুতরাং, $P Q=2 \sqrt{2} \text{ units }$

আমরা কীভাবে দুটি ভিন্ন চতুর্ভুজে অবস্থিত দুটি বিন্দুর মধ্যকার দূরত্ব নির্ণয় করব?

বিন্দু $P(6,4)$ এবং $Q(-5,-3)$ বিবেচনা করো (চিত্র ৭.৪ দেখো)। $x$-অক্ষের উপর QS লম্ব আঁকো। আরও বিন্দু $P$ থেকে QS (বর্ধিত) এর উপর একটি লম্ব PT আঁকো যা $y$-অক্ষকে R বিন্দুতে ছেদ করে।

চিত্র ৭.৪

তাহলে $\mathrm{PT}=11$ একক এবং $\mathrm{QT}=7$ একক। (কেন?)

সমকোণী ত্রিভুজ PTQ-তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে, আমরা পাই $PQ=\sqrt{11^{2}+7^{2}}=\sqrt{170}$ একক।

আসুন এখন যেকোনো দুটি বিন্দু $P(x_1, y_1)$ এবং $Q(x_2, y_2)$ এর মধ্যকার দূরত্ব নির্ণয় করি। $PR$ এবং QS কে $x$-অক্ষের উপর লম্ব আঁকো। বিন্দু $P$ থেকে $QS$ এর উপর একটি লম্ব আঁকা হয় যা এটিকে $T$ বিন্দুতে ছেদ করে (চিত্র ৭.৫ দেখো)।

চিত্র ৭.৫

তাহলে, $\quad OR=x_1, OS=x_2$। সুতরাং, $RS=x_2-x_1=PT$।

আরও, $\quad SQ=y_2, \quad ST=PR=y_1 . \quad$। সুতরাং, $\quad QT=y_2-y_1$।

এখন, $\triangle PTQ$-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে, আমরা পাই

$ \begin{aligned} PQ^{2} & =PT^{2}+QT^{2} \\ & =(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2} \end{aligned} $

অতএব, $P Q=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$

লক্ষ্য করো যে যেহেতু দূরত্ব সর্বদা অঋণাত্মক, আমরা কেবল ধনাত্মক বর্গমূল নিই। সুতরাং, বিন্দু $P(x_1, y_1)$ এবং $Q(x_2, y_2)$ এর মধ্যকার দূরত্ব হল

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}, $

যাকে দূরত্ব সূত্র বলা হয়।

মন্তব্য :

১. বিশেষভাবে, একটি বিন্দু $P(x, y)$ এর মূলবিন্দু $O(0,0)$ থেকে দূরত্ব দেওয়া হয়

$ OP=\sqrt{x^{2}+y^{2}} . $

২. আমরা এটাও লিখতে পারি, $PQ=\sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$। (কেন?)

উদাহরণ ১ : বিন্দুগুলি $(3,2),(-2,-3)$ এবং $(2,3)$ কি একটি ত্রিভুজ গঠন করে? যদি হয়, গঠিত ত্রিভুজের ধরন নাম করো।

সমাধান : দূরত্ব সূত্র প্রয়োগ করে PQ, QR এবং PR দূরত্বগুলি নির্ণয় করি, যেখানে $P(3,2), Q(-2,-3)$ এবং $R(2,3)$ প্রদত্ত বিন্দু। আমাদের আছে

$ \begin{aligned} & PQ=\sqrt{(3+2)^{2}+(2+3)^{2}}=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{50}=7.07 \text{ (প্রায়) } \\ & QR=\sqrt{(-2-2)^{2}+(-3-3)^{2}}=\sqrt{(-4)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{52}=7.21 \text{ (প্রায়) } \\ & PR=\sqrt{(3-2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}=1.41 \text{ (প্রায়) } \end{aligned} $

যেহেতু এই দূরত্বগুলির যেকোনো দুটির যোগফল তৃতীয় দূরত্বের চেয়ে বেশি, অতএব, বিন্দুগুলি $P, Q$ এবং $R$ একটি ত্রিভুজ গঠন করে।

আরও, $PQ^{2}+PR^{2}=QR^{2}$, পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত দ্বারা, আমরা পাই $\angle P=90^{\circ}$। অতএব, $PQR$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

উদাহরণ ২ : দেখাও যে বিন্দুগুলি $(1,7),(4,2),(-1,-1)$ এবং $(-4,4)$ একটি বর্গের শীর্ষবিন্দু।

সমাধান : ধরা যাক A $(1,7), B(4,2), C(-1,-1)$ এবং $D(-4,4)$ প্রদত্ত বিন্দু। $A B C D$ কে একটি বর্গ প্রমাণ করার একটি উপায় হল এই বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা যে এর সব বাহু সমান হতে হবে এবং এর উভয় কর্ণও সমান হতে হবে। এখন,

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(1-4)^{2}+(7-2)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34} \\ & BC=\sqrt{(4+1)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34} \\ & CD=\sqrt{(-1+4)^{2}+(-1-4)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34} \\ & DA=\sqrt{(1+4)^{2}+(7-4)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34} \\ & AC=\sqrt{(1+1)^{2}+(7+1)^{2}}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68} \\ & BD=\sqrt{(4+4)^{2}+(2-4)^{2}}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68} \end{aligned} $

যেহেতু, $A B=B C=C D=D A$ এবং $A C=B D$, চতুর্ভুজ $ABCD$ এর চারটি বাহুই সমান এবং এর কর্ণ $AC$ এবং $BD$ ও সমান। অতএব, $ABCD$ একটি বর্গ।

বিকল্প সমাধান : আমরা চারটি বাহু এবং একটি কর্ণ, ধরা যাক $AC$, উপরের মতো নির্ণয় করি। এখানে $AD^{2}+DC^{2}=$ $34+34=68=$ AC $^{2}$। অতএব, পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত দ্বারা, $\angle D=90^{\circ}$। একটি চতুর্ভুজ যার সব বাহু সমান এবং একটি কোণ $90^{\circ}$, তা একটি বর্গ। সুতরাং, ABCD একটি বর্গ।

উদাহরণ ৩ : চিত্র ৭.৬ একটি শ্রেণিকক্ষে ডেস্কের বিন্যাস দেখায়। আশিমা, ভারতী এবং কমেলা যথাক্রমে $A(3,1)$, $B(6,4)$ এবং $C(8,6)$ এ বসে আছেন। তুমি কি মনে কর তারা একই সরলরেখায় বসে আছেন? তোমার উত্তরের কারণ দাও।

চিত্র ৭.৬

সমাধান : দূরত্ব সূত্র ব্যবহার করে, আমরা পাই

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(6-3)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \\ & BC=\sqrt{(8-6)^{2}+(6-4)^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \\ & AC=\sqrt{(8-3)^{2}+(6-1)^{2}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2} \end{aligned} $

যেহেতু, $A B+B C=3 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}=5 \sqrt{2}=A C$, আমরা বলতে পারি যে বিন্দুগুলি $A, B$ এবং $C$ সমরেখ। অতএব, তারা একই সরলরেখায় বসে আছেন।

উদাহরণ ৪ : $x$ এবং $y$ এর মধ্যে একটি সম্পর্ক নির্ণয় কর যাতে বিন্দু $(x, y)$, বিন্দু $(7,1)$ এবং $(3,5)$ থেকে সমদূরবর্তী হয়।

সমাধান : ধরা যাক $P(x, y)$, বিন্দু $A(7,1)$ এবং $B(3,5)$ থেকে সমদূরবর্তী।

আমরা জানি যে $AP=BP$। সুতরাং, $AP^{2}=BP^{2}$

অর্থাৎ, $\quad (x-7)^{2}+(y-1)^{2}=(x-3)^{2}+(y-5)^{2}$

অর্থাৎ, $\quad x^{2}-14 x+49+y^{2}-2 y+1=x^{2}-6 x+9+y^{2}-10 y+25$

অর্থাৎ, $\quad x-y=2$

যা কাঙ্ক্ষিত সম্পর্ক।

মন্তব্য : লক্ষ্য করো যে সমীকরণ $x-y=2$ এর লেখচিত্র একটি সরলরেখা। তোমার আগের পড়া থেকে, তুমি জান যে একটি বিন্দু যা A এবং B থেকে সমদূরবর্তী, তা $A B$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের উপর অবস্থিত। অতএব, $x-y=2$ এর লেখচিত্র হল $AB$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক (চিত্র ৭.৭ দেখো)।

চিত্র ৭.৭

উদাহরণ ৫ : $y$-অক্ষের উপর একটি বিন্দু নির্ণয় কর যা বিন্দু $A(6,5)$ এবং $B(-4,3)$ থেকে সমদূরবর্তী।

সমাধান : আমরা জানি যে $y$-অক্ষের উপর একটি বিন্দুর আকার $(0, y)$। সুতরাং, ধরা যাক বিন্দু $P(0, y)$, $A$ এবং $B$ থেকে সমদূরবর্তী। তাহলে

$$ (6-0)^{2}+(5-y)^{2}=(-4-0)^{2}+(3-y)^{2} $$

অর্থাৎ, $\quad 36+25+y^{2}-10 y=16+9+y^{2}-6 y$

অর্থাৎ, $\quad 4 y=36$

অর্থাৎ, $\quad y=9$

সুতরাং, কাঙ্ক্ষিত বিন্দু হল $(0,9)$।

আসুন আমাদের সমাধান যাচাই করি: $AP=\sqrt{(6-0)^{2}+(5-9)^{2}}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}$

$$ BP=\sqrt{(-4-0)^{2}+(3-9)^{2}}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52} $$

দ্রষ্টব্য : উপরের মন্তব্য ব্যবহার করে, আমরা দেখি যে $(0,9)$ হল $y$-অক্ষ এবং AB এর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু।

৭.৩ বিভাজন সূত্র

আসুন ৭.২ অনুচ্ছেদের পরিস্থিতি স্মরণ করি। মনে করো একটি টেলিফোন কোম্পানি একটি রিলে টাওয়ার $P$ এ স্থাপন করতে চায় যা $A$ এবং $B$ এর মধ্যে এমনভাবে অবস্থিত যে টাওয়ারের দূরত্ব $B$ থেকে এর দূরত্ব $A$ থেকে দ্বিগুণ। যদি $P$, $AB$ এর উপর অবস্থিত হয়, এটি $AB$ কে $1: 2$ অনুপাতে বিভক্ত করবে (চিত্র ৭.৯ দেখো)। যদি আমরা $A$ কে মূলবিন্দু $O$ হিসাবে নিই, এবং $1 km$ কে উভয় অক্ষের এক একক হিসাবে নিই, B এর স্থানাঙ্ক হবে $(36,15)$। টাওয়ারের অবস্থান জানতে, আমাদের P এর স্থানাঙ্ক জানতে হবে। আমরা এই স্থানাঙ্কগুলি কীভাবে নির্ণয় করব?

চিত্র ৭.৯

ধরা যাক $P$ এর স্থানাঙ্ক $(x, y)$। $P$ এবং $B$ থেকে $x$-অক্ষের উপর লম্ব আঁকো, যা যথাক্রমে $D$ এবং $E$ এ ছেদ করে। PC, BE এর উপর লম্ব আঁকো। তাহলে, AA সাদৃশ্য মাপকাঠি অনুসারে, যা অধ্যায় $6, \triangle$ এ পড়া হয়েছে, POD এবং $\triangle$ BPC সদৃশ।

অতএব, $\dfrac{OD}{PC}=\dfrac{OP}{PB}=\dfrac{1}{2}$, এবং $\dfrac{PD}{BC}=\dfrac{OP}{PB}=\dfrac{1}{2}$

সুতরাং, $\dfrac{x}{36-x}=\dfrac{1}{2}$ এবং $\dfrac{y}{15-y}=\dfrac{1}{2}$।

এই সমীকরণগুলি দেয় $x=12$ এবং $y=5$।

তুমি যাচাই করতে পারো যে $P(12,5)$ শর্ত $OP: PB=1: 2$ পূরণ করে।

এখন আসুন এই উদাহরণের মাধ্যমে তোমার যে বুঝদারি গড়ে উঠেছে তা ব্যবহার করে সাধারণ সূত্রটি পাওয়ার চেষ্টা করি।

যেকোনো দুটি বিন্দু $A(x_1, y_1)$ এবং $B(x_2, y_2)$ বিবেচনা করো এবং ধরে নাও যে $P(x, y)$, $AB$ কে অভ্যন্তরীণভাবে $m_1: m_2$ অনুপাতে বিভক্ত করে, অর্থাৎ $\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{m_1}{m_2}$ (চিত্র ৭.১০ দেখো)।

চিত্র ৭.১০

AR, PS এবং BT কে $x$-অক্ষের উপর লম্ব আঁকো। AQ এবং PC কে $x$-অক্ষের সমান্তরাল আঁকো। তাহলে, AA সাদৃশ্য মাপকাঠি অনুসারে,

$ \Delta PAQ \sim \Delta BPC $

অতএব, $\dfrac{PA}{BP}=\dfrac{AQ}{PC}=\dfrac{PQ}{BC} \tag{1}$

$ \begin{aligned} \text{এখন,}\\ & AQ=RS=OS-OR=x-x_1 \\ & PC=ST=OT-OS=x_2-x \\ & PQ=PS-QS=PS-AR=y-y_1 \\ & BC=BT-CT=BT-PS=y_2-y \end{aligned} $

এই মানগুলি (1) এ বসিয়ে, আমরা পাই

$ \dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y} $

$ \text{ধরে নিয়ে} \quad \quad \dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x} \text{, আমরা পাই } x=\dfrac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2} $

$$ \text{Similarly, taking} \quad \quad \dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y}, \text{ we get } y=\dfrac{m_1 y_2+m_2 y_1}{m_1+m_2} $$

সুতরাং, বিন্দু $P(x, y)$ এর স্থানাঙ্ক, যা বিন্দু $A(x_1, y_1)$ এবং $B(x_2, y_2)$ কে যুক্তকারী রেখাংশকে অভ্যন্তরীণভাবে $m_1: m_2$ অনুপাতে বিভক্ত করে, হল

$$ (\dfrac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2}, \dfrac{m_1 y_2+m_2 y_1}{m_1+m_2}) \tag{2} $$

এটি বিভাজন সূত্র নামে পরিচিত।

এটি A, P এবং B থেকে $y$-অক্ষের উপর লম্ব এঁকে এবং উপরের মতো এগিয়ে গিয়েও উদ্ভূত করা যেতে পারে।

যদি $P$, $AB$ কে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা $k: 1$ হয়, তাহলে বিন্দু $P$ এর স্থানাঙ্ক হবে

$ (\dfrac{k x_2+x_1}{k+1}, \dfrac{k y_2+y_1}{k+1}) $

বিশেষ ক্ষেত্র : একটি রেখাংশের মধ্যবিন্দু রেখাংশকে $1: 1$ অনুপাতে বিভক্ত করে। অতএব, বিন্দু $P$, যা বিন্দু $A(x_1, y_1)$ এবং $B(x_2, y_2)$ কে যুক্ত করে, তার মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক হল

$$ (\dfrac{1 \cdot x_1+1 \cdot x_2}{1+1}, \dfrac{1 \cdot y_1+1 \cdot y_2}{1+1})=(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}) \text{. } $$

আসুন বিভাজন সূত্রের উপর ভিত্তি করে কয়েকটি উদাহরণ সমাধান করি।

উদাহরণ ৬ : বিন্দুটি নির্ণয় কর যা বিন্দু $(4,-3)$ এবং $(8,5)$ কে যুক্তকারী রেখাংশকে $3: 1$ অনুপাতে অভ্যন্তরীণভাবে বিভক্ত করে।

সমাধান : ধরা যাক $P(x, y)$ কাঙ্ক্ষিত বিন্দু। বিভাজন সূত্র ব্যবহার করে, আমরা পাই

$ x=\dfrac{3(8)+1(4)}{3+1}=7, \quad y=\dfrac{3(5)+1(-3)}{3+1}=3 $

অতএব, $(7,3)$ হল কাঙ্ক্ষিত বিন্দু।

উদাহরণ ৭ : বিন্দু $(-4,6)$, বিন্দু $A(-6,10)$ এবং $B(3,-8)$ কে যুক্তকারী রেখাংশকে কোন অনুপাতে বিভক্ত করে?

সমাধান : ধরা যাক $(-4,6)$, $A B$ কে অভ্যন্তরীণভাবে $m_1: m_2$ অনুপাতে বিভক্ত করে। বিভাজন সূত্র ব্যবহার করে, আমরা পাই

$$ (-4,6)=(\dfrac{3 m_1-6 m_2}{m_1+m_2}, \dfrac{-8 m_1+10 m_2}{m_1+m_2}) \tag{1} $$

মনে রাখো যদি $(x, y)=(a, b)$ হয়, তাহলে $x=a$ এবং $y=b$।

সুতরাং, $-4=\dfrac{3 m_1-6 m_2}{m_1+m_2} \text{ and } 6=\dfrac{-8 m_1+10 m_2}{m_1+m_2}$

$$\text{Now, }\quad-4=\dfrac{3 m_1-6 m_2}{m_1+m_2} \quad \text{gives us}$$

$ -4 m_1-4 m_2=3 m_1-6 m_2 $

অর্থাৎ, $7 m_1=2 m_2$

অর্থাৎ, $m_1: m_2=2: 7$

তোমার যাচাই করা উচিত যে অনুপাতটি $y$-স্থানাঙ্কও সন্তুষ্ট করে।

এখন, $\begin{aligned} \quad \dfrac{-8 m_1+10 m_2}{m_1+m_2} & =\dfrac{-8 \dfrac{m_1}{m_2}+10}{\dfrac{m_1}{m_2}+1} \quad (\text{ Dividing throughout by } m_2 )\end{aligned}$

$\begin{aligned} \quad =\dfrac{-8 \times \dfrac{2}{7}+10}{\dfrac{2}{7}+1}=6\end{aligned}$

অতএব, বিন্দু $(-4,6)$, বিন্দু $A(-6,10)$ এবং $B(3,-8)$ কে যুক্তকারী রেখাংশকে $2: 7$ অনুপাতে বিভক্ত করে।

বিকল্পভাবে : অনুপাত $m_1: m_2$ কে $\dfrac{m_1}{m_2}: 1$, বা $k: 1$ হিসাবেও লেখা যেতে পারে। ধরা যাক $(-4,6)$, $A B$ কে অভ্যন্তরীণভাবে $k: 1$ অনুপাতে বিভক্ত করে। বিভাজন সূত্র ব্যবহার করে, আমরা পাই

$ \begin{align*} (-4,6) & =(\dfrac{3 k-6}{k+1}, \dfrac{-8 k+10}{k+1}) \tag{2} \end{align*} $

$ \begin{aligned} \text{সুতরাং, } \quad \quad & -4 =\dfrac{3 k-6}{k+1} \\ \text{অর্থাৎ, } \quad \quad & -4 k-4 =3 k-6 \\ \text{অর্থাৎ, } \quad \quad & 7 k =2 \\ \text{অর্থাৎ, } \quad \quad & k: 1 =2: 7 \end{aligned} $

তুমি $y$-স্থানাঙ্কের জন্যও যাচাই করতে পারো।

সুতরাং, বিন্দু $(-4,6)$, বিন্দু $A(-6,10)$ এবং $B(3,-8)$ কে যুক্তকারী রেখাংশকে $2: 7$ অনুপাতে বিভক্ত করে।

দ্রষ্টব্য : তুমি এই অনুপাতটি PA এবং PB দূরত্ব গণনা করে এবং তাদের অনুপাত নিয়েও নির্ণয় করতে পারো, যদি তুমি জানো যে $A, P$ এবং $B$ সমরেখ।

উদাহরণ ৮ : বিন্দু $A(2,-2)$ এবং $B(-7,4)$ কে যুক্তকারী রেখাংশের ত্রিখণ্ডক বিন্দুগুলি (অর্থাৎ, তিনটি সমান অংশে বিভক্তকারী বিন্দু) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধান : ধরা যাক $P$ এবং $Q$ হল $AB$ এর ত্রিখণ্ডক বিন্দু, অর্থাৎ $AP=PQ=QB$ (চিত্র ৭.১১ দেখো)।

চিত্র ৭.১১

অতএব, $P$, $AB$ কে অভ্যন্তরীণভাবে $1: 2$ অনুপাতে বিভক্ত করে। অতএব, বিভাজন সূত্র প্রয়োগ করে $P$ এর স্থানাঙ্ক হল

$ (\dfrac{1(-7)+2(2)}{1+2}, \dfrac{1(4)+2(-2)}{1+2}) \text{, অর্থাৎ }(-1,0) $

এখন, $Q$ ও $AB$ কে অভ্যন্তরীণভাবে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে। সুতরাং, $Q$ এর স্থানাঙ্ক হল

$ (\dfrac{2(-7)+1(2)}{2+1}, \dfrac{2(4)+1(-2)}{2+1}) \text{, অর্থাৎ }(-4,2) $

অতএব, A এবং B কে যুক্তকারী রেখাংশের ত্রিখণ্ডক বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক হল $(-1,0)$ এবং $(-4,2)$।

দ্রষ্টব্য : আমরা Q কেও এইভাবে পেতে পারি যে এটি PB এর মধ্যবিন্দু। সুতরাং, আমরা মধ্যবিন্দু সূত্র ব্যবহার করে এর স্থানাঙ্ক পেতে পারি।

উদাহরণ ৯ : $y$-অক্ষ, বিন্দু $(5,-6)$ এবং $(-1,-4)$ কে যুক্তকারী রেখাংশকে কোন অনুপাতে বিভক্ত করে? ছেদবিন্দুটিও নির্ণয় কর।

সমাধান : ধরা যাক অনুপাত $k: 1$। তাহলে বিভাজন সূত্র দ্বারা, যে বিন্দু $AB$ কে $k: 1$ অনুপাতে বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক হল $(\dfrac{-k+5}{k+1}, \dfrac{-4 k-6}{k+1})$।

এই বিন্দুটি $y$-অক্ষের উপর অবস্থিত, এবং আমরা জানি যে $y$-অক্ষের উপর ভুজ 0।

অতএব, $\dfrac{-k+5}{k+1}=0$

সুতরাং, $k=5$

অর্থাৎ, অনুপাত হল $5: 1$। $k=5$ এর মান বসিয়ে, আমরা ছেদবিন্দু পাই $(0, \dfrac{-13}{3})$।

উদাহরণ ১০ : যদি বিন্দুগুলি $A(6,1), B(8,2), C(9,4)$ এবং $D(p, 3)$ একটি সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দু হয়, ক্রমানুসারে নেওয়া হলে, $p$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : আমরা জানি যে একটি সামান্তরিকের কর্ণ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

সুতরাং, $AC=$ এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক = $BD$ এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক

$\text{i.e.,}\quad \quad(\dfrac{6+9}{2}, \dfrac{1+4}{2})=(\dfrac{8+p}{2}, \dfrac{2+3}{2})$

$\text{i.e.,}\quad \quad(\dfrac{15}{2}, \dfrac{5}{2})=(\dfrac{8+p}{2}, \dfrac{5}{2})$

$\text{so, }\quad \quad \dfrac{15}{2}=\dfrac{8+p}{2} $

$\text{i.e.,}\quad \quad p=7$

৭.৪ সারসংক্ষেপ

এই অধ্যায়ে, তোমরা নিম্নলিখিত বিষয়গুলি অধ্যয়ন করেছ:

১. $P(x_1, y_1)$ এবং $Q(x_2, y_2)$ এর মধ্যকার দূরত্ব হল $\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$।

২. একটি বিন্দু $P(x, y)$ এর মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব হল $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$।

৩. বিন্দু $P(x, y)$ এর স্থানাঙ্ক, যা বিন্দু $A(x_1, y_1)$ এবং $B(x_2, y_2)$ কে যুক্তকারী রেখাংশকে অভ্যন্তরীণভাবে $m_1: m_2$ অনুপাতে বিভক্ত করে, হল $(\dfrac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2}, \dfrac{m_1 y_2+m_2 y_1}{m_1+m_2})$।

৪. বিন্দু $P(x_1, y_1)$ এবং $Q(x_2, y_2)$ কে যুক্তকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু হল $(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2})$।

পাঠকদের জন্য একটি নোট

অনুচ্ছেদ ৭.৩ বিভাজন সূত্র নিয়ে আলোচনা করে, যা একটি বিন্দু $(x, y)$ এর স্থানাঙ্ক $P$ এর জন্য, যা অভ্যন্তরীণভাবে বিন্দু $A(x_1, y_1)$ এবং $B(x_2, y_2)$ কে যুক্তকারী রেখাংশকে $m_1: m_2$ অনুপাতে বিভক্ত করে, নিম্নরূপ:

$$ x=\dfrac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2}, \quad y=\dfrac{m_1 y_2+m_2 y_1}{m_1+m_2} $$

লক্ষ্য করো, এখানে $PA: PB=m_1: m_2$।

যাইহোক, যদি $P$, $A$ এবং $B$ এর মধ্যে না থাকে কিন্তু $AB$ রেখার উপর অবস্থিত হয়, রেখাংশ $A B$ এর বাইরে, এবং $P A: P B=m_1: m_2$ হয়, আমরা বলি যে $P$, A এবং B বিন্দুকে যুক্তকারী রেখাংশকে বহিঃস্থভাবে বিভক্ত করে। তুমি উচ্চতর শ্রেণিতে এমন ক্ষেত্রের জন্য বিভাজন সূত্র অধ্যয়ন করবে।