7.1 அறிமுகம்

இந்தியாசம் IX இல், ஒரு பிளானில் உள்ள ஒரு புள்ளியின் இடத்தை அடையாளம் காண, நாம் ஒரு பார் ஆளாளர் அச்சுகளை தேவைப்படுத்துகிறோம் என்று நீங்கள் அறிந்துள்ளீர்கள். ஒரு புள்ளியின் $y$-அச்சிலிருந்து தொலைவு அதன் $\boldsymbol{{}x}$-ஆளாளர், அல்லது அச்சுக்கோடு எனப்படுகிறது. ஒரு புள்ளியின் $x$-அச்சிலிருந்து தொலைவு அதன் $y$-ஆளாளர், அல்லது ஆர்டினேட் எனப்படுகிறது. $x$-அச்சில் உள்ள ஒரு புள்ளியின் ஆளாளர்கள் $(x, 0)$ வடிவத்தில் இருக்கும், மற்றும் $y$-அச்சில் உள்ள ஒரு புள்ளியின் ஆளாளர்கள் $(0, y)$ வடிவத்தில் இருக்கும்.

இங்கே உங்களுக்கு ஒரு விளையாட்டு உள்ளது. ஒரு கிராப் பேப்பரில் ஒரு பார் ஒரு பொருத்தமான அச்சுகளை வரையுங்கள். இப்போது பின்வரும் புள்ளிகளை வரைந்து அவற்றை வழிமுறையில் இணையுங்கள்: புள்ளி $A(4,8)$ முதல் $B(3,9)$ வரை இணையுங்கள், $C(3,8)$ வரை இணையுங்கள், $D(1,6)$ வரை இணையுங்கள், $E(1,5)$ வரை இணையுங்கள், $F(3,3)$ வரை இணையுங்கள், $G(6,3)$ வரை இணையுங்கள், $H(8,5)$ வரை இணையுங்கள், $I(8,6)$ வரை இணையுங்கள், $J(6,8)$ வரை இணையுங்கள், $K(6,9)$ வரை இணையுங்கள், $L(5,8)$ வரை இணையுங்கள், $A$ வரை இணையுங்கள். பின்னர் புள்ளிகளை $P(3.5,7), Q(3,6)$ மற்றும் $R(4,6)$ இணைத்து ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்குங்கள். மேலும் புள்ளிகளை $X(5.5,7), Y(5,6)$ மற்றும் $Z(6,6)$ இணைத்து ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்குங்கள். இப்போது $S(4,5), T(4.5,4)$ மற்றும் $U(5,5)$ இணைத்து ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்குங்கள். கடைசியாக $S$ ஐ புள்ளிகளுக்கு $(0,5)$ மற்றும் $(0,6)$ இணையுங்கள் மற்றும் $U$ ஐ புள்ளிகளுக்கு $(9,5)$ மற்றும் $(9,6)$ இணையுங்கள். நீங்கள் என்ன படத்தை பெற்றீர்கள்?

மேலும், நீங்கள் கண்டிப்பாக இரண்டு மாறிகளுக்கான ஒரு நேரிய சமன்பாட்டை $a x+b y+c=0,(a, b$ வடிவத்தில் இல்லை, அது ஒரு சூழலில் வரையறுக்கப்படும்போது, ஒரு நேர் வரை கொடுக்கும் என்று நீங்கள் கண்டிப்பாக பார்த்திருந்தீர்கள். மேலும், அத்தியாயம் 2 இல், $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ வரைபடத்தை ஒரு பாரப்படை என்று நீங்கள் கண்டிப்பாக பார்த்திருந்தீர்கள். அதே நேரத்தில், ஆளாளர் ஜெயோமெடிரி படிகளின் வடிவங்களின் வடிவமைப்பை ஆராய்வதற்கான மெடியல் கருவியாக அல்ஜெப்ராவின் கருவிகளாக வளர்ச்சி பெற்றுள்ளது. இது நாம் அல்ஜெப்ராவைப் பயன்படுத்தி வடிவமைப்பை ஆராய்வதை மற்றும் வடிவமைப்பின் உதவியுடன் அல்ஜெப்ராவை புரிந்துகொள்வதை உதவுகிறது. இதனால், ஆளாளர் ஜெயோமெடிரி பல்வேறு துறைகளில் பரவலாக பயன்படுத்தப்படுகிறது, அவை பொறியியல், வணிகம், விண்வெளி வணிகம், அலையறி அறிவியல் மற்றும் கலை போன்றவை!

இந்த அத்தியாயத்தில், நீங்கள் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையேயான தொலைவை அவற்றின் ஆளாளர்கள் இடம் இடம் கொடுக்கப்பட்டால் எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதை பார்ப்பீர்கள், மேலும் மூன்று கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளால் உருவாக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் வடிவமைப்பை கணக்கிடுவது என்பதை பார்ப்பீர்கள். நீங்கள் இணைப்பு வரியின் இரு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை கொடுக்கப்பட்ட விகிதத்தில் வகுப்பதற்கான புள்ளிகளின் ஆளாளர்களை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதை பார்ப்பீர்கள்.

7.2 தொலைவு சமன்பாடு

இதை நாம் பின்வரும் சூழ்நிலையை கருதுவோம்:

ஒரு நகரம் B நகரம் A இல் $36 km$ கிழக்கு மற்றும் 15 $km$ வடக்கு இருப்பதால் அடையாளம் காணப்படுகிறது. இதை நீங்கள் உண்மையில் அளவிடாமல் நகரம் A முதல் நகரம் B வரையிலான தொலைவை எவ்வாறு கணக்கிடுவீர்கள்? இதை நாம் பார்ப்போம். இந்த சூழ்நிலையை கிராபிக்குரிய வடிவத்தில் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம் என்பதை பின்வரும் படம் 7.1 காட்டுகிறது. இதை கணக்கிட பிடகோரஸ் தேசியமைப்பை நீங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

படம் 7.1

இப்போது, இரண்டு புள்ளிகள் $x$-அச்சில் இருந்தால், அவற்றுக்கு இடையேயான தொலைவை நாம் கணக்கிட முடியுமா? உதாரணமாக, படம் 7.2 இல் உள்ள இரண்டு புள்ளிகளை கருதுக. புள்ளிகள் A மற்றும் B ஆகியவை $x$-அச்சில் இருக்கின்றன.

படத்தில் நீங்கள் காணலாம் என்னவென்றால், $OA=4$ அலகுகள் மற்றும் $OB=6$ அலகுகள்.

எனவே, $B$ இலிருந்து $A$ தொலைவு, அதாவது $AB=OB-OA=6-4=2$ அலகுகள்.

எனவே, இரண்டு புள்ளிகள் $x$-அச்சில் இருந்தால், நாம் அவற்றுக்கு இடையேயான தொலைவை எளிதில் கணக்கிடலாம்.

இப்போது, நாம் ஒரு பார் $y$-அச்சில் இருக்கும் இரண்டு புள்ளிகளை எடுத்துக்கொள்வோம். அவற்றுக்கு இடையேயான தொலைவை நீங்கள் கணக்கிட முடியுமா? புள்ளிகள் $C(0,3)$ மற்றும் $D(0,8)$ ஆகியவை $y$-அச்சில் இருந்தால், அதே வகையில் நாம் பின்வருமாறு கணக்கிடுகிறோம்: $CD=8-3=5$ அலகுகள் (படம் 7.2 ஐ பார்க்கவும்).

படம் 7.2

அடுத்து, நீங்கள் A இலிருந்து C (படம் 7.2 இல்) தொலைவை கணக்கிட முடியுமா? ஏனெனில் OA $=4$ அலகுகள் மற்றும் $OC=3$ அலகுகள், எனவே $A$ இலிருந்து $C$ தொலைவு, அதாவது $AC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ அலகுகள். அதே வகையில், நீங்கள் $B$ இலிருந்து $D=BD=10$ அலகுகள் தொலைவை கணக்கிடலாம்.

இப்போது, நாம் ஒரு பார் ஆளாளர் அச்சுகளில் இல்லாத இரண்டு புள்ளிகளை கருதுவோம், அவற்றுக்கு இடையேயான தொலைவை நாம் கணக்கிட முடியுமா? ஆம்! நாம் பிடகோரஸ் தேசியமைப்பை பயன்படுத்துவோம். இதை நாம் ஒரு உதாரணத்துடன் பார்ப்போம்.

படம் 7.3 இல், புள்ளிகள் $P(4,6)$ மற்றும் $Q(6,8)$ முதல் கோடு மண்டலத்தில் இருக்கின்றன. அவற்றுக்கு இடையேயான தொலைவை பிடகோரஸ் தேசியமைப்பை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதை நாம் எப்படி பார்ப்போம்? நாம் $x$-அச்சில் இருந்து $P$ மற்றும் $Q$ இடம் இடம் இருந்து PR மற்றும் QS ஆகியவை செய்வோம். மேலும், $P$ இலிருந்து $QS$ வரை $QS$ இல் சென்று $T$ இல் சேர்க்க ஒரு செதுக்குதலை வரைவோம். பின்னர், $R$ மற்றும் $S$ ஆகியவை $(4,0)$ மற்றும் $(6,0)$ ஆகிய ஆளாளர்களை வெளிப்படுத்தும். எனவே, $RS=2$ அலகுகள். மேலும், $QS=8$ அலகுகள் மற்றும் $TS=PR=6$ அலகுகள்.

படம் 7.3

எனவே, $QT=2$ அலகுகள் மற்றும் $PT=RS=2$ அலகுகள். இப்போது, பிடகோரஸ் தேசியமைப்பை பயன்படுத்தி

$ \begin{aligned} PQ^{2} & =PT^{2}+QT^{2} \\ & =2^{2}+2^{2}=8 \end{aligned} $

எனவே, $P Q=2 \sqrt{2} \text{ units }$

இரு வெவ்வேறு கோடுகளில் உள்ள இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையேயான தொலைவை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதை நாம் பார்ப்போம்?

புள்ளிகளை கருதுக: $P(6,4)$ மற்றும் $Q(-5,-3)$ (படம் 7.4 ஐ பார்க்கவும்). $x$-அச்சில் QS செதுக்குதலை வரையறுக்கவும். மேலும், புள்ளி $P$ இலிருந்து QS (நீட்டிக்கப்பட்டது) வரை ஒரு செதுக்குதலை PT வரையறுக்கவும், இது $y$-அச்சில் புள்ளி R இல் சேர்க்கப்படும்.

படம் 7.4

எனவே, $\mathrm{PT}=11$ அலகுகள் மற்றும் $\mathrm{QT}=7$ அலகுகள். (ஏன்?)

வலது முக்கோணத்தின் பிடகோரஸ் தேசியமைப்பை பயன்படுத்தி நாம் $PQ=\sqrt{11^{2}+7^{2}}=\sqrt{170}$ அலகுகளை பெறுகிறோம்.

இப்போது, நாம் இரண்டு எந்த புள்ளிகளுக்கு இடையேயான தொலைவை கணக்கிடுவோம்: $P(x_1, y_1)$ மற்றும் $Q(x_2, y_2)$. $PR$ மற்றும் QS ஆகியவை $x$-அச்சில் செதுக்குதலை வரையறுக்கவும். புள்ளி $P$ இலிருந்து $QS$ வரை ஒரு செதுக்குதலை வரையறுக்கவும், இது புள்ளி $T$ இல் சேர்க்கப்படும் (படம் 7.5 ஐ பார்க்கவும்).

படம் 7.5

எனவே, $\quad OR=x_1, OS=x_2$. எனவே, $RS=x_2-x_1=PT$.

மேலும், $\quad SQ=y_2, \quad ST=PR=y_1 . \quad$ எனவே, $\quad QT=y_2-y_1$.

இப்போது, $\triangle PTQ$ இல் பிடகோரஸ் தேசியமைப்பை பயன்படுத்தி நாம்

$ \begin{aligned} PQ^{2} & =PT^{2}+QT^{2} \\ & =(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2} \end{aligned} $

பெறுகிறோம்.

எனவே, $P Q=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$

குறிப்பு: தொலைவு எப்போதும் எதிர்மறை அல்லாததாக இருப்பதால், நாம் முதலில் உண்மையான விட்டை எடுக்கிறோம். எனவே, புள்ளிகளுக்கு இடையேயான தொலைவு $P(x_1, y_1)$ மற்றும் $Q(x_2, y_2)$ ஆகியவை

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}, $

இது தொலைவு சமன்பாடு எனப்படுகிறது.

குறிப்புகள் :

1. குறிப்பாக, ஒரு புள்ளி $P(x, y)$ இலிருந்து ஆரிகள் $O(0,0)$ தொலைவு

$ OP=\sqrt{x^{2}+y^{2}} . $

2. நாம் இப்படியும் எழுதலாம், $PQ=\sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$. (ஏன்?)

உதாரணம் 1 : புள்ளிகள் $(3,2),(-2,-3)$ மற்றும் $(2,3)$ ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்குகின்றனவா? எனில், உருவாக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் வகையை பெயரிடுங்கள்.

தீர்வு : நாம் தொ�