10.1 পরিচিতি

আপনি ক্লাস IX-এ জ্ঞান লাভ করেছেন যে একটি বৃত্ত হলো একটি স্থানে সব বিন্দুর সমষ্টি যা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (কেন্দ্র) থেকে একই দূরত্ব (ত্রিভুজ) দূরত্বে অবস্থিত। আপনি বৃত্তের সাথে সম্পর্কিত বিভিন্ন শব্দ যেমন সেতুবন্ধু, খন্ড, কেন্দ্রকূট, ত্রিভুজ ইত্যাদি ব্যাখ্যা করেছেন। এখন আসুন একটি বৃত্ত এবং একটি রেখার মধ্যে সম্ভব বিভিন্ন পরিস্থিতি পর্যবেক্ষণ করি।

তাহলে, আসুন একটি বৃত্ত এবং একটি রেখা PQ নিন। নিচের আকৃতি 10.1-এ দেখানো তিনটি সম্ভাব্য পরিস্থিতি আছে:

আকৃতি 10.1

আকৃতি 10.1 (i)-এ, রেখা PQ এবং বৃত্তের মধ্যে কোনো সাধারণ বিন্দু নেই। এই পরিস্থিতিতে, PQ বৃত্তের প্রাপ্যতার জন্য একটি অপ্রতিচ্ছবি রেখা বলে উল্লেখ করা হয়। আকৃতি 10.1 (ii)-এ, রেখা $\mathrm{PQ}$ এবং বৃত্তের মধ্যে দুটি সাধারণ বিন্দু $\mathrm{A}$ এবং $\mathrm{B}$ আছে। এই পরিস্থিতিতে, আমরা রেখা PQ কে বৃত্তের একটি সেক্যান্ট বলে উল্লেখ করি। আকৃতি 10.1 (iii)-এ, রেখা PQ এবং বৃত্তের মধ্যে শুধুমাত্র একটি বিন্দু A আছে। এই পরিস্থিতিতে, রেখা বৃত্তের একটি স্পর্শক বলে উল্লেখ করা হয়।

আপনি সম্ভবত একটি নীরবে স্থাপিত একটি পুলি দেখেছেন যা নীরব থেকে জল বের করতে ব্যবহৃত হয়। নিচের আকৃতি 10.2 দেখুন। এখানে পুলির উভয় পাশের তারা, যদি একটি কেন্দ্রকূট হিসাবে গণ্য করা হয়, তবে এটি পুলি প্রতিফলিত বৃত্তের একটি স্পর্শক হিসাবে দেখা যায়।

আকৃতি 10.2

বৃত্তের প্রাপ্যতার জন্য এই উপরে উল্লিখিত প্রকৃতির বাইরে রেখার কোনো অবস্থান আছে কিনা? আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে বৃত্তের প্রাপ্যতার জন্য রেখার কোনো অন্য ধরনের অবস্থান থাকতে পারে না। এই অধ্যায়ে, আমরা বৃত্তের স্পর্শকের বিদ্যমানতা এবং তাদের কিছু বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করব।

10.2 বৃত্তের স্পর্শক

পূর্ববর্তী অধ্যায়ে আপনি দেখেছেন যে বৃত্তের একটি স্পর্শক হলো এমন একটি রেখা যা শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে বৃত্তের সাথে ছেদ করে।

বৃত্তের একটি বিন্দুতে স্পর্শকের বিদ্যমানতা বোঝার জন্য, আসুন নিম্নলিখিত কার্যক্রম অনুষ্ঠান করি:

কার্যক্রম 1 : একটি বৃত্তাকার তার নিন এবং বৃত্তাকার তারের একটি বিন্দু $P$-এ একটি সরাসরি তার $A B$ সংযুক্ত করুন যাতে এটি স্থানে $\mathrm{P}$-তে ঘূর্ণন করতে পারে। সিস্টেমটি একটি টেবিলে রাখুন এবং তার $\mathrm{AB}$ কে স্থান $\mathrm{P}$-তে ধীরে ধীরে ঘূর্ণন করুন যাতে সরাসরি তারের বিভিন্ন অবস্থান $\mathrm{P}$ পাওয়া যায় [আকৃতি 10.3(i)-এ দেখুন]।

বিভিন্ন অবস্থানে, তার বৃত্তাকার তারের $\mathrm{Q_1}$ এবং অন্য একটি বিন্দু $\mathrm{Q_2}$ বা $\mathrm{Q_3}$ ইত্যাদিতে ছেদ করে। একটি অবস্থানে, আপনি দেখতে পাবেন যে এটি শুধুমাত্র বিন্দু $\mathrm{P}$-তে বৃত্তের সাথে ছেদ করবে (স্থান $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$-এ $\mathrm{AB}$ দেখুন)। এটি বৃত্তের স্থান $\mathrm{P}$-এ একটি স্পর্শকের বিদ্যমানতা প্রদর্শন করে। আরও ঘূর্ণন করার সময়, আপনি দেখতে পাবেন যে $\mathrm{AB}$-এর অন্য সব অবস্থানে, এটি বৃত্তের $\mathrm{P}$ এবং অন্য একটি বিন্দু, যেমন $\mathrm{R_1}$ বা $\mathrm{R_2}$ বা $\mathrm{R_3}$ ইত্যাদিতে ছেদ করবে। তাহলে, আপনি দেখতে পাবেন যে বৃত্তের একটি বিন্দুতে শুধুমাত্র একটি স্পর্শক থাকে।

আকৃতি 10.3 (i)

উপরের কার্যক্রম অনুষ্ঠান করার সময়, আপনি অবশ্যই দেখেছেন যে যেখানে $A B$ অবস্থান $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ অবস্থানে সরে যায়, রেখা $\mathrm{AB}$ এবং বৃত্তের সাধারণ বিন্দু, যেমন $\mathrm{Q_1}$, ধীরে ধীরে বৃত্তের সাধারণ বিন্দু $\mathrm{P}$-এ আসে এবং শেষ পর্যন্ত স্থান $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$-এ $\mathrm{A}^{\prime \prime} \mathrm{B}^{\prime}$-এ বিন্দু $\mathrm{P}$-এর সাথে মিলে যায়। আবার লক্ষ্য করুন, ’ $\mathrm{AB}$ ’ কে $\mathrm{P}$-তে ডান দিকে ঘূর্ণন করলে কী ঘটে? সাধারণ বিন্দু $\mathrm{R_3}$ ধীরে ধীরে P-এর কাছাকাছি আসে এবং শেষ পর্যন্ত P-এর সাথে মিলে যায়। তাহলে, আমরা দেখতে পাচ্ছি:

বৃত্তের একটি স্পর্শক হলো একটি সেক্যান্টের একটি বিশেষ ক্ষেত্র, যখন এর সংশ্লিষ্ট সেতুবন্ধুর উভয় শেষ বিন্দু মিলে যায়।

কার্যক্রম 2 : একটি কাগজে একটি বৃত্ত এবং বৃত্তের একটি সেক্যান্ট PQ আঁকুন। এর উভয় পাশে সেক্যান্টের সমান্তরাল বিভিন্ন রেখা আঁকুন। আপনি পাবেন যে কিছু ধাপের পর, রেখার দ্বারা কাটা সেতুবন্ধুর দৈর্ঘ্য ধীরে ধীরে কমবে, অর্থাৎ, রেখা এবং বৃত্তের ছেদ বিন্দুগুলি ধীরে ধীরে কাছে কাছে হবে [আকৃতি 10.3(ii)-এ দেখুন]। একটি ক্ষেত্রে, সেক্যান্টের এক পাশে এটি শূন্য হয়ে যায় এবং অন্য ক্ষেত্রে, সেক্যান্টের অন্য পাশে এটি শূন্য হয়ে যায়। আকৃতি 10.3 (ii)-এ সেক্যান্টের স্থান $\mathrm{P}^{\prime} \mathrm{Q}^{\prime}$ এবং $\mathrm{P}^{\prime \prime} \mathrm{Q}^{\prime \prime}$ দেখুন। এইগুলি হলো বৃত্তের স্পর্শক যা প্রদত্ত সেক্যান্ট PQ এর সমান্তরাল। এটিও আপনাকে দেখায় যে একটি প্রদত্ত সেক্যান্টের সমান্তরাল স্পর্শকের অধিকাংশ দুটি থাকতে পারে না।

আকৃতি 10.3 (ii)

এই কার্যক্রমও নিশ্চিত করে, যা আপনি কার্যক্রম 1 অনুষ্ঠান করার সময় অবশ্যই দেখেছেন, অর্থাৎ স্পর্শক হলো সেক্যান্ট, যখন সংশ্লিষ্ট সেতুবন্ধুর উভয় শেষ বিন্দু মিলে যায়।

স্পর্শক এবং বৃত্তের সাধারণ বিন্দু বলে উল্লেখ করা হয় যা ছেদ বিন্দু বলে উল্লেখ করা হয় [আকৃতি 10.1 (iii)-এ বিন্দু A] এবং স্পর্শক বৃত্তের সাথে সাধারণ বিন্দুতে স্পর্শ করে বলে উল্লেখ করা হয়।

এখন আপনার চারপাশে লক্ষ্য করুন। আপনি একটি সাইকেল বা গাড়ি ঘুরছে কিনা দেখেছেন? এর চাকার উপর লক্ষ্য করুন। চাকার সব স্পোক এর ত্রিভুজের সাথে সমান্তরাল। এখন চাকার চাকা যেখানে স্তরে ঘুরছে তার অবস্থান লক্ষ্য করুন। আপনি কোথাও কোনো স্পর্শক দেখতে পান? (আকৃতি 10.4 দেখুন)। বস্তুতঃ, চাকা একটি স্তরে ঘুরে যায় যা চাকা প্রতিফলিত বৃত্তের একটি স্পর্শক। আবার, লক্ষ্য করুন যে সব অবস্থানে, স্তরের সাথে ছেদ বিন্দুতে যে ত্রিভুজ আছে সেটি স্পর্শকের সাথে সমকোণী দেখায় (আকৃতি 10.4 দেখুন)। এখন এই স্পর্শকের বৈশিষ্ট্যটি প্রমাণ করব।

আকৃতি 10.4

তত্ত্ব 10.1 : বৃত্তের কোনো বিন্দুতে স্পর্শক ছেদ বিন্দুতে যে ত্রিভুজ আছে সেটির সাথে সমকোণী।

প্রমাণ : আমাদের একটি বৃত্ত দেওয়া আছে কেন্দ্র $\mathrm{O}$ এবং বৃত্তের একটি স্পর্শক $\mathrm{XY}$ বিন্দু $\mathrm{P}$-এ। আমাদের প্রমাণ করতে হবে $\mathrm{OP}$ সমকোণী $\mathrm{XY}$-এ।

এজন্য, $\mathrm{Q}$ বস্তুতঃ $\mathrm{XY}$-এ $\mathrm{P}$ বাদে একটি বিন্দু নিন এবং $\mathrm{OQ}$ সংযুক্ত করুন (আকৃতি 10.5 দেখুন)।

বিন্দু $\mathrm{Q}$ বৃত্তের বাইরে থাকতে হবে। (কেন? লক্ষ্য করুন যে যদি Q বৃত্তের ভিতরে থাকে, XY বৃত্তের একটি সেক্যান্ট হবে না বরং একটি স্পর্শক)। অতএব, OQ বৃত্তের ত্রিভুজ $\mathrm{OP}$ থেকে বড়। অর্থাৎ,

$$ \mathrm{OQ}>\mathrm{OP} . $$

এই ঘটনাটি ছায়া $\mathrm{XY}$-এর উপর থাকা প্রতিটি বিন্দুর জন্য ঘটে $\mathrm{P}$ বিন্দু বাদে। অতএব, $\mathrm{OP}$ হলো বিন্দু $\mathrm{O}$ থেকে ছায়া XY-এর বিন্দুগুলির মধ্যে সবচেয়ে ছোট দূরত্ব। অতএব OP ছায়া XY-এর সাথে সমকোণী। (যেমন তত্ত্ব A1.7-এ দেখানো হয়েছে।)

আকৃতি 10.5

মন্তব্যসমূহ

1. উপরের তত্ত্ব দ্বারা, আমরা আবারও উপলব্ধি করতে পারি যে বৃত্তের কোনো বিন্দুতে শুধুমাত্র একটি স্পর্শক থাকে।

2. ছেদ বিন্দুতে যে ত্রিভুজ ধারণ করে এমন রেখাটিকে কখনো কখনো বৃত্তের ‘সাধারণ’ বলে উল্লেখ করা হয়।

10.3 বৃত্তের উপর একটি বিন্দু থেকে স্পর্শকের সংখ্যা

বৃত্তের উপর একটি বিন্দু থেকে স্পর্শকের সংখ্যা সম্পর্কে একটি ধারণা পাওয়ার জন্য, আসুন নিম্নলিখিত কার্যক্রম অনুষ্ঠান করি:

কার্যক্রম 3 : একটি কাগজে একটি বৃত্ত আঁকুন। এর ভিতরে একটি বিন্দু $P$ নিন। এই বিন্দু মাধ্যমে বৃত্তের একটি স্পর্শক আঁকা যায় কি? আপনি পাবেন যে এই বিন্দুর মাধ্যমে যেকোনো রেখাটি বৃত্তের দুটি বিন্দুতে ছেদ করে। অতএব, বৃত্তের ভিতরে থাকা কোনো বিন্দু মাধ্যমে বৃত্তের কোনো স্পর্শক আঁকা যায় না [আকৃতি 10.6 (i)-এ দেখুন]।

পরে বৃত্তের উপর একটি বিন্দু $\mathrm{P}$ নিন এবং এই বিন্দু মাধ্যমে স্পর্শক আঁকুন। আপনি ইতিমধ্যে দেখেছেন যে এই ধরনের বিন্দুতে বৃত্তের শুধুমাত্র একটি স্পর্শক আছে [আকৃতি 10.6 (ii)-এ দেখুন]।

শেষ পর্যন্ত, বৃত্তের বাইরে একটি বিন্দু $P$ নিন এবং এই বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকার চেষ্টা করুন। আপনি কী দেখেন? আপনি পাবেন যে এই বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক সম্পূর্ণরূপে দুটি আঁকা যায় [আকৃতি 10.6 (iii)-এ দেখুন]।

আকৃতি 10.6

এই বিষয়গুলি আমরা নিম্নলিখিত ভাবে সারাংশ করতে পারি:

ক্ষেত্র 1 : বৃত্তের উপর থাকা কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের কোনো স্পর্শক আঁকা যায় না।

ক্ষেত্র 2 : বৃত্তের উপর থাকা কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের শুধুমাত্র একটি স্পর্শক আঁকা যায়।

ক্ষেত্র 3 : বৃত্তের বাইরে থাকা কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক সম্পূর্ণরূপে দুটি আঁকা যায়।

আকৃতি 10.6 (iii)-এ, $\mathrm{T_1}$ এবং $\mathrm{T_2}$ হলো স্পর্শক $\mathrm{PT_1}$ এবং $\mathrm{PT_2}$ এর ক্রমান্বয়ে ছেদ বিন্দু।

বৃত্তের সাথে ছেদ বিন্দু থেকে বাহ্যিক বিন্দু $P$ থেকে স্পর্শকের খন্ডের দৈর্ঘ্য বলে উল্লেখ করা হয় বিন্দু $\mathrm{P}$ থেকে বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য।

লক্ষ্য করুন যে আকৃতি 10.6 (iii)-এ, $\mathrm{PT_1}$ এবং $\mathrm{PT_2}$ হলো $\mathrm{P}$ থেকে বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য। দৈর্ঘ্য $\mathrm{PT_1}$ এবং $\mathrm{PT_2}$ একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য আছে। এই বৈশিষ্ট্যটি আপনি কী পাচ্ছেন? $\mathrm{PT_1}$ এবং $\mathrm{PT_2}$ মাপুন। এগুলি সমান কি? বস্তুতঃ, এটি সবসময়ই সত্য। এই বিষয়টি পরবর্তী তত্ত্বে আমরা প্রমাণ দেব।

তত্ত্ব 10.2: বাহ্যিক বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা দৈর্ঘ্য সমান।

প্রমাণ: আমাদের একটি বৃত্ত দেওয়া আছে কেন্দ্র $\mathrm{O}$, একটি বাহ্যিক বিন্দু $\mathrm{P}$ এবং $\mathrm{P}$ থেকে বৃত্তের উপর দুটি স্পর্শক PQ, PR (আকৃতি 10.7 দেখুন)। আমাদের প্রমাণ করতে হবে $P Q=P R$।

আকৃতি 10.7

এজন্য, আমরা OP, OQ এবং OR সংযুক্ত করি। তবে $\angle \mathrm{OQP}$ এবং $\angle \mathrm{ORP}$ সমকোণী, কারণ এগুলি ত্রিভুজ এবং স্পর্শকের মধ্যে কোণ এবং তত্ত্ব 10.1 অনুযায়ী এগুলি সমকোণী। এখন সমকোণী ত্রিবৃতি OQP এবং ORP-এ,

OQ $=$ OR $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (একই বৃত্তের ত্রিভুজ)

OP $=$ OP $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (সাধারণ)

অতএব, $\Delta \mathrm{OQP} \cong \triangle \mathrm{ORP}\quad \quad \quad \quad \text{(RHS)}$

এটি $P Q=P R\quad \quad \quad \quad \text{(CPCT)}$ দেয়।

মন্তব্যসমূহ

1. এই তত্ত্বটি পাইথগোরাস তত্ত্ব ব্যবহার করে নিম্নলিখিত ভাবে প্রমাণ করা যায়:

$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OR}^{2}=\mathrm{PR}^{2}(\mathrm{As} \mathrm{OQ}=\mathrm{OR}) $

যা $P Q=P R$ দেয়।

2. লক্ষ্য করুন যে $\angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPR}$। অতএব, $\mathrm{OP}$ হলো $\angle \mathrm{QPR}$ এর কোণ বিভাজক, অর্থাৎ, কেন্দ্র দুটি স্পর্শকের মধ্যে কোণের বিভাজকের উপর অবস্থিত।

আসুন কিছু উদাহরণ নিন।

উদাহরণ 1 : দুটি সমানচিত্র বৃত্তের মধ্যে, বড় বৃত্তের সেতুবন্ধু, যা ছোট বৃত্তের স্পর্শক হয়, ছেদ বিন্দুতে বিভাজিত হয়।

সমাধান : আমাদের দুটি সমানচিত্র বৃত্ত $\mathrm{C_1}$ এবং $\mathrm{C_2}$ কেন্দ্র $\mathrm{O}$ এবং বড় বৃত্ত $\mathrm{C_1}$ এর একটি সেতুবন্ধু $\mathrm{AB}$ দেওয়া আছে যা ছোট বৃত্ত $\mathrm{C_2}$ বিন্দু $\mathrm{P}$-এ স্পর্শক হয় (আকৃতি 10.8 দেখুন)। আমাদের প্রমাণ করতে হবে $\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$।

আকৃতি 10.8

আসুন OP সংযুক্ত করি। তবে, $A B$ $C_{2}$ এর একটি স্পর্শক $P$-এ এবং $\mathrm{OP}$ হলো এর ত্রিভুজ। অতএব, তত্ত্ব 10.1 অনুযায়ী,

$$ \mathrm{OP} \perp \mathrm{AB} $$

এখন $\mathrm{AB}$ হলো বৃত্ত $\mathrm{C}_{1}$ এর একটি সেতুবন্ধু এবং $\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$। অতএব, $\mathrm{OP}$ হলো সেতুবন্ধু $A B$ এর বিভাজক, কারণ কেন্দ্র থেকে সমকোণী সেতুবন্ধু বিভাজক হয়,

অর্থাৎ, $$ \mathrm{AP}=\mathrm{BP} $$

উদাহরণ 2 : দুটি স্পর্শক $\mathrm{TP}$ এবং $\mathrm{TQ}$ কেন্দ্র $\mathrm{O}$ এর একটি বৃত্তের বাহ্যিক বিন্দু $\mathrm{T}$ থেকে আঁকা হয়। প্রমাণ করুন $\angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ}$।

সমাধান : আমাদের একটি বৃত্ত দেওয়া আছে কেন্দ্র $\mathrm{O}$, একটি বাহ্যিক বিন্দু $\mathrm{T}$ এবং বৃত্তের দুটি স্পর্শক $\mathrm{TP}$ এবং $\mathrm{TQ}$, যেখানে $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ হলো ছেদ বিন্দু (আকৃতি 10.9 দেখুন)। আমাদের প্রমাণ করতে হবে

আকৃতি 10.9

$$ \angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ} $$

এখন, $$ \angle \mathrm{PTQ}=\theta $$

এখন, তত্ত্ব 10.2 অনুযায়ী, TP = TQ। অতএব, TPQ হলো একটি সমদ্বিবাহু ত্রিবৃতি।

অতএব, $$ \angle \mathrm{TPQ}=\angle \mathrm{TQP}=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-\theta\right)=90^{\circ}-\dfrac{1}{2} \theta $$

আবার, তত্ত্ব 10.1 অনুযায়ী, $$ \angle \mathrm{OPT}=90^{\circ} $$

অতএব, $$ \begin{aligned} \angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPT}-\angle \mathrm{TPQ} & =90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\dfrac{1}{2} \theta\right) \\ & =\dfrac{1}{2} \theta=\dfrac{1}{2} \angle \mathrm{PTQ} \end{aligned} $$

এটি $$ \angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ} $$ দেয়।

উদাহরণ 3 : PQ হলো একটি বৃত্তের একটি সেতুবন্ধু দৈর্ঘ্য $8 \mathrm{~cm}$ এবং ত্রিভুজ $5 \mathrm{~cm}$। স্পর্শক $\mathrm{P}$ এবং $\mathrm{Q}$ এর মধ্যে একটি বিন্দু $T$ ছেদ করে (আকৃতি 10.10 দেখুন)। TP এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন।

সমাধান : OT সংযুক্ত করুন। এটি PQ বিন্দু $\mathrm{R}$-এ ছেদ করে। তবে $\triangle$ TPQ হলো একটি সমদ্বিবাহু এবং TO হলো $\angle \mathrm{PTQ}$ এর কোণ বিভাজক। অতএব, $\mathrm{OT} \perp \mathrm{PQ}$ এবং তাহলে, OT $\mathrm{PQ}$ বিভাজক যা $\mathrm{PR}=\mathrm{RQ}=4 \mathrm{~cm}$ দেয়।

আকৃতি 10.10

আবার, $\mathrm{OR}=\sqrt{\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} \mathrm{~cm}=3 \mathrm{~cm}$।

এখন, $\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{RPO}=90^{\circ}=\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{PTR} \quad$ (কেন?)

অতএব, $\quad \angle \mathrm{RPO}=\angle \mathrm{PTR}$

অতএব, সমকোণী ত্রিবৃতি TRP এবং সমকোণী ত্রিবৃতি PRO এর মধ্যে AA অনুরূপতা দ্বারা অনুরূপ।

এটি

$ \dfrac{\mathrm{TP}}{\mathrm{PO}}=\dfrac{\mathrm{RP}}{\mathrm{RO}} \text {, i.e., } \dfrac{\mathrm{TP}}{5}=\dfrac{4}{3} \text { or } \mathrm{TP}=\dfrac{20}{3} \mathrm{~cm} \text {. } $

নোট : TP এটি পাইথগোরাস তত্ত্ব ব্যবহার করে নিম্নলিখিত ভাবে খুঁজা যায়:

এখন, $$ \begin{array}{rlrl} \mathrm{TP} & =x \text { and } \mathrm{TR}=y . \quad \text { Then } \end{array} $$

$$ \begin{array}{rlrl} x^{2} & =y^{2}+16 & & \quad(\text { Taking right } \Delta \mathrm{PRT}) \tag{1} \end{array} $$

$$ \begin{array}{rlrl} x^{2}+5^{2} & =(y+3)^{2} & & \quad(\text { Taking right } \Delta \mathrm{OPT}) \tag{2} \end{array} $$

(1)-কে (2)-এর থেকে বিয়োগ করলে, আমরা পাই

অতএব, $$ \begin{aligned} 25 & =6 y-7 \text { or } y=\dfrac{32}{6}=\dfrac{16}{3} \\ x^{2} & =\left(\dfrac{16}{3}\right)^{2}+16=\dfrac{16}{9}(16+9)=\dfrac{16 \times 25}{9} \quad \quad \quad \text{[From (1)]}\\ x & =\dfrac{20}{3} \end{aligned} $$

10.4 সারাংশ

এই অধ্যায়ে, আপনি নিম্নলিখিত বিষয়গুলি নিয়ে আলোচনা করেছেন।

1. বৃত্তের স্পর্শকের অর্থ।

2. বৃত্তের স্পর্শক ছেদ বিন্দুতে যে ত্রিভুজ আছে সেটির সাথে সমকোণী।

3. বাহ্যিক বিন্দু থেকে বৃত্তের দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান।