10.1 அறிமுகம்

நீங்கள் ஒன்பதாம் வகுப்பில் படித்தபடி, ஒரு வட்டம் என்பது ஒரு தளத்தில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், அவை ஒரு நிலையான புள்ளியிலிருந்து (மையம்) நிலையான தூரத்தில் (ஆரம்) அமைந்திருக்கும். நாண், வட்டக்கோணப்பகுதி, வட்டத்துண்டு, வில்லை போன்ற வட்டத்துடன் தொடர்புடைய பல்வேறு சொற்களையும் நீங்கள் படித்துள்ளீர்கள். ஒரு வட்டமும் ஒரு கோடும் ஒரு தளத்தில் கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் போது எழக்கூடிய வெவ்வேறு சூழ்நிலைகளை இப்போது பார்ப்போம்.

எனவே, ஒரு வட்டத்தையும் ஒரு கோடு PQயையும் கருதுவோம். கீழே உள்ள படம் 10.1 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள மூன்று சாத்தியங்கள் இருக்கலாம்:

படம் 10.1

படம் 10.1 (i) இல், கோடு PQ மற்றும் வட்டத்திற்கு பொதுவான புள்ளி இல்லை. இந்த வழக்கில், PQ வட்டத்துடன் வெட்டாத கோடு என அழைக்கப்படுகிறது. படம் 10.1 (ii) இல், கோடு $\mathrm{PQ}$ மற்றும் வட்டத்திற்கு இரண்டு பொதுவான புள்ளிகள் $\mathrm{A}$ மற்றும் $\mathrm{B}$ உள்ளன. இந்த வழக்கில், கோடு PQ வட்டத்தின் ஒரு வெட்டுக்கோடு (secant) என அழைக்கப்படுகிறது. படம் 10.1 (iii) இல், கோடு PQ மற்றும் வட்டத்திற்கு பொதுவான ஒரே ஒரு புள்ளி A உள்ளது. இந்த வழக்கில், கோடு வட்டத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு என அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு கிணற்றில் பொருத்தப்பட்டுள்ள ஒரு கப்பியை நீங்கள் பார்த்திருக்கலாம், அது கிணற்றிலிருந்து தண்ணீர் எடுக்க பயன்படுகிறது. படம் 10.2 ஐப் பாருங்கள். இங்கே கப்பியின் இருபுறமும் உள்ள கயிறு, ஒரு கதிராகக் கருதினால், கப்பியைக் குறிக்கும் வட்டத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு போன்றது.

படம் 10.2

மேலே கொடுக்கப்பட்ட வகைகளைத் தவிர, வட்டத்துடன் தொடர்புடைய கோட்டின் வேறு ஏதேனும் நிலை உள்ளதா? வட்டத்துடன் தொடர்புடைய கோட்டின் வேறு எந்த வகையான நிலையும் இருக்க முடியாது என்பதை நீங்கள் பார்க்கலாம். இந்த அத்தியாயத்தில், ஒரு வட்டத்திற்கு தொடுகோடுகளின் இருப்பைப் பற்றியும், அவற்றின் சில பண்புகளையும் படிப்போம்.

10.2 வட்டத்திற்கு தொடுகோடு

முந்தைய பிரிவில், ஒரு வட்டத்திற்கான தொடுகோடு[^0] என்பது வட்டத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் வெட்டும் ஒரு கோடு என்பதை நீங்கள் கண்டிருக்கிறீர்கள்.

ஒரு புள்ளியில் வட்டத்திற்கு தொடுகோடு இருப்பதைப் புரிந்துகொள்ள, பின்வரும் செயல்பாடுகளைச் செய்வோம்:

செயல்பாடு 1 : ஒரு வட்டக் கம்பியை எடுத்து, ஒரு நேரான கம்பி $A B$ ஐ வட்டக் கம்பியின் ஒரு புள்ளி $P$ இல் இணைக்கவும், அது புள்ளி $\mathrm{P}$ ஐப் பற்றி ஒரு தளத்தில் சுழலும் வகையில். அமைப்பை ஒரு மேசையில் வைத்து, நேரான கம்பி $\mathrm{AB}$ ஐ புள்ளி $\mathrm{P}$ ஐப் பற்றி மெதுவாகச் சுழற்றி, நேரான கம்பியின் வெவ்வேறு நிலைகளைப் பெறவும் [படம் 10.3(i) ஐப் பார்க்கவும்].

பல்வேறு நிலைகளில், கம்பி வட்டக் கம்பியை $\mathrm{P}$ இலும், மற்றொரு புள்ளியான $\mathrm{Q_1}$ அல்லது $\mathrm{Q_2}$ அல்லது $\mathrm{Q_3}$ போன்றவற்றிலும் வெட்டுகிறது. ஒரு நிலையில், அது வட்டத்தை புள்ளி $\mathrm{P}$ இல் மட்டுமே வெட்டுவதை நீங்கள் காண்பீர்கள் ($\mathrm{AB}$ இன் நிலை $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ ஐப் பார்க்கவும்). இது வட்டத்தின் புள்ளி $\mathrm{P}$ இல் ஒரு தொடுகோடு உள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. மேலும் சுழற்றும்போது, $\mathrm{AB}$ இன் மற்ற எல்லா நிலைகளிலும், அது வட்டத்தை $\mathrm{P}$ இலும், மற்றொரு புள்ளியான $\mathrm{R_1}$ அல்லது $\mathrm{R_2}$ அல்லது $\mathrm{R_3}$ போன்றவற்றிலும் வெட்டுவதை நீங்கள் கவனிக்கலாம். எனவே, ஒரு வட்டத்தின் ஒரு புள்ளியில் ஒரே ஒரு தொடுகோடு மட்டுமே உள்ளது என்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம்.

படம் 10.3 (i)

மேலே உள்ள செயல்பாட்டைச் செய்யும்போது, நிலை $A B$, நிலை $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ நோக்கி நகரும் போது, கோடு $\mathrm{AB}$ மற்றும் வட்டத்தின் பொதுவான புள்ளியான $\mathrm{Q_1}$, படிப்படியாக பொதுவான புள்ளி $\mathrm{P}$ க்கு அருகில் வருவதை நீங்கள் கவனித்திருக்க வேண்டும். இறுதியில், அது $\mathrm{A}^{\prime \prime} \mathrm{B}^{\prime}$ இன் நிலை $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ இல் புள்ளி $\mathrm{P}$ உடன் ஒத்துப்போகிறது. மீண்டும் கவனிக்கவும், ‘$\mathrm{AB}$’ ஆனது $\mathrm{P}$ ஐப் பற்றி வலப்புறமாக சுழற்றப்பட்டால் என்ன நடக்கும்? பொதுவான புள்ளி $\mathrm{R_3}$ படிப்படியாக P க்கு அருகில் வந்து இறுதியில் P உடன் ஒத்துப்போகிறது. எனவே, நாம் பார்ப்பது:

வட்டத்திற்கான தொடுகோடு என்பது வெட்டுக்கோட்டின் (secant) ஒரு சிறப்பு வழக்காகும், அதன் தொடர்புடைய நாணின் இரு முனைப் புள்ளிகளும் ஒன்றாக இருந்தால்.

செயல்பாடு 2 : ஒரு காகிதத்தில், ஒரு வட்டத்தையும் அதன் ஒரு வெட்டுக்கோடு PQ யையும் வரையவும். வெட்டுக்கோட்டிற்கு இணையாக அதன் இருபுறமும் பல்வேறு கோடுகளை வரையவும். சில படிகளுக்குப் பிறகு, கோடுகளால் வெட்டப்பட்ட நாணின் நீளம் படிப்படியாகக் குறையும், அதாவது கோட்டிற்கும் வட்டத்திற்கும் இடையேயான வெட்டுப்புள்ளிகள் இரண்டும் நெருக்கமாக வருவதை நீங்கள் காண்பீர்கள் [படம் 10.3(ii) ஐப் பார்க்கவும்]. ஒரு வழக்கில், அது வெட்டுக்கோட்டின் ஒரு பக்கத்தில் பூஜ்ஜியமாகிறது, மற்றொரு வழக்கில், வெட்டுக்கோட்டின் மறுபக்கத்தில் பூஜ்ஜியமாகிறது. படம் 10.3 (ii) இல் வெட்டுக்கோட்டின் நிலைகள் $\mathrm{P}^{\prime} \mathrm{Q}^{\prime}$ மற்றும் $\mathrm{P}^{\prime \prime} \mathrm{Q}^{\prime \prime}$ ஐப் பார்க்கவும். இவை கொடுக்கப்பட்ட வெட்டுக்கோடு PQ க்கு இணையான வட்டத்திற்கான தொடுகோடுகள் ஆகும். கொடுக்கப்பட்ட வெட்டுக்கோட்டிற்கு இணையாக இரண்டுக்கு மேற்பட்ட தொடுகோடுகள் இருக்க முடியாது என்பதைப் பார்க்கவும் இது உதவுகிறது.

படம் 10.3 (ii)

இந்தச் செயல்பாடும், நீங்கள் செயல்பாடு 1 ஐச் செய்யும்போது கவனித்திருக்க வேண்டியதை நிறுவுகிறது, அதாவது, தொடர்புடைய நாணின் இரு முனைப் புள்ளிகளும் ஒன்றாக இருந்தால், தொடுகோடு என்பது வெட்டுக்கோடு ஆகும்.

தொடுகோட்டிற்கும் வட்டத்திற்கும் இடையேயான பொதுவான புள்ளி, தொடு புள்ளி என அழைக்கப்படுகிறது [படம் 10.1 (iii) இல் உள்ள புள்ளி A] மற்றும் தொடுகோடு பொதுவான புள்ளியில் வட்டத்தைத் தொடுகிறது என்று கூறப்படுகிறது.

இப்போது உங்களைச் சுற்றிப் பாருங்கள். ஒரு சைக்கிள் அல்லது வண்டி நகர்வதைப் பார்த்திருக்கிறீர்களா? அதன் சக்கரங்களைப் பாருங்கள். ஒரு சக்கரத்தின் அனைத்து ச spokesகளும் அதன் ஆரங்களின் வழியாக உள்ளன. இப்போது தரையில் அதன் இயக்கத்துடன் தொடர்புடைய சக்கரத்தின் நிலையைக் கவனிக்கவும். எங்கேயாவது ஒரு தொடுகோட்டைப் பார்க்கிறீர்களா? (படம் 10.4 ஐப் பார்க்கவும்). உண்மையில், சக்கரம் ஒரு கோட்டின் வழியாக நகருகிறது, அது சக்கரத்தைக் குறிக்கும் வட்டத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு ஆகும். மேலும், எல்லா நிலைகளிலும், தரையுடன் தொடு புள்ளியின் வழியாகச் செல்லும் ஆரம், தொடுகோட்டிற்கு செங்குத்தாகத் தோன்றுவதைக் கவனிக்கவும் (படம் 10.4 ஐப் பார்க்கவும்). தொடுகோட்டின் இந்தப் பண்பை இப்போது நிரூபிப்போம்.

படம் 10.4

தேற்றம் 10.1 : ஒரு வட்டத்தின் எந்தப் புள்ளியிலும் உள்ள தொடுகோடு, தொடு புள்ளி வழியாகச் செல்லும் ஆரத்திற்குச் செங்குத்தாக இருக்கும்.

நிரூபணம் : நமக்கு மையம் $\mathrm{O}$ உடன் ஒரு வட்டமும், புள்ளி $\mathrm{P}$ இல் வட்டத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு $\mathrm{XY}$ யும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. $\mathrm{OP}$ ஆனது $\mathrm{XY}$ க்குச் செங்குத்தாக உள்ளது என நிரூபிக்க வேண்டும்.

$\mathrm{XY}$ மீது $\mathrm{P}$ தவிர வேறொரு புள்ளியான $\mathrm{Q}$ ஐ எடுத்து $\mathrm{OQ}$ ஐ இணைக்கவும் (படம் 10.5 ஐப் பார்க்கவும்).

புள்ளி ⟦58⟆ வட்டத்திற்கு வெளியே இருக்க வேண்டும். (ஏன்? Q வட்டத்திற்குள் இருந்தால், XY ஒரு வெட்டுக்கோடாக மாறிவிடும், வட்டத்திற்குத் தொடுகோடாக இருக்காது என்பதைக் கவனிக்கவும்). எனவே, OQ வட்டத்தின் ஆரம் $\mathrm{OP}$ ஐ விட நீளமானது. அதாவது,

$$ \mathrm{OQ}>\mathrm{OP} . $$

கோடு $\mathrm{XY}$ மீதுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும், புள்ளி $\mathrm{P}$ தவிர, இது நிகழ்வதால், புள்ளி $\mathrm{O}$ இலிருந்து XY இன் புள்ளிகளுக்கான தூரங்கள் அனைத்திலும் $\mathrm{OP}$ மிகக் குறுகியது. எனவே OP ஆனது XY க்குச் செங்குத்தாக உள்ளது. (தேற்றம் A1.7 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி.)

படம் 10.5

குறிப்புகள்

1. மேலே உள்ள தேற்றத்தின்படி, ஒரு வட்டத்தின் எந்தப் புள்ளியிலும் ஒரே ஒரு தொடுகோடு மட்டுமே இருக்க முடியும் என்றும் நாம் முடிவு செய்யலாம்.

2. தொடு புள்ளி வழியாகச் செல்லும் ஆரத்தைக் கொண்ட கோடு, சிலசமயங்களில் அப்புள்ளியில் வட்டத்திற்கு ‘இயல்நிலை’ (normal) என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

10.3 ஒரு புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு உள்ள தொடுகோடுகளின் எண்ணிக்கை

ஒரு புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு உள்ள தொடுகோடுகளின் எண்ணிக்கை பற்றிய ஒரு கருத்தைப் பெற, பின்வரும் செயல்பாட்டைச் செய்வோம்:

செயல்பாடு 3 : ஒரு காகிதத்தில் ஒரு வட்டம் வரையவும். அதன் உள்ளே ஒரு புள்ளி $P$ ஐ எடுத்துக் கொள்ளவும். இந்தப் புள்ளி வழியாக வட்டத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரைய முடியுமா? இந்தப் புள்ளி வழியாகச் செல்லும் அனைத்துக் கோடுகளும் வட்டத்தை இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுவதை நீங்கள் காண்பீர்கள். எனவே, வட்டத்திற்குள் உள்ள ஒரு புள்ளி வழியாக வட்டத்திற்கு எந்தத் தொடுகோடும் வரைய முடியாது [படம் 10.6 (i) ஐப் பார்க்கவும்].

அடுத்து, வட்டத்தின் மீது ஒரு புள்ளி $\mathrm{P}$ ஐ எடுத்து, இந்தப் புள்ளி வழியாக தொடுகோடுகளை வரையவும். அத்தகைய புள்ளியில் வட்டத்திற்கு ஒரே ஒரு தொடுகோடு மட்டுமே உள்ளது என்பதை நீங்கள் ஏற்கனவே கவனித்திருக்கிறீர்கள் [படம் 10.6 (ii) ஐப் பார்க்கவும்].

இறுதியாக, வட்டத்திற்கு வெளியே ஒரு புள்ளி $P$ ஐ எடுத்து, இந்தப் புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு தொடுகோடுகளை வரைய முயற்சிக்கவும். நீங்கள் என்ன கவனிக்கிறீர்கள்? இந்தப் புள்ளி வழியாக வட்டத்திற்கு சரியாக இரண்டு தொடுகோடுகளை மட்டுமே வரைய முடியும் என்பதை நீங்கள் காண்பீர்கள் [படம் 10.6 (iii) ஐப் பார்க்கவும்].

படம் 10.6

இந்த உண்மைகளைப் பின்வருமாறு சுருக்கமாகக் கூறலாம்:

வழக்கு 1 : வட்டத்தின் மீது அமைந்துள்ள ஒரு புள்ளி வழியாக வட்டத்திற்கு எந்தத் தொடுகோடும் இல்லை.

வழக்கு 2 : வட்டத்தின் மீது அமைந்துள்ள ஒரு புள்ளி வழியாக வட்டத்திற்கு ஒரே ஒரு தொடுகோடு மட்டுமே உள்ளது.

வழக்கு 3 : வட்டத்திற்கு வெளியே அமைந்துள்ள ஒரு புள்ளி வழியாக வட்டத்திற்கு சரியாக இரண்டு தொடுகோடுகள் உள்ளன.

படம் 10.6 (iii) இல், $\mathrm{T_1}$ மற்றும் $\mathrm{T_2}$ ஆகியவை முறையே தொடுகோடுகள் $\mathrm{PT_1}$ மற்றும் $\mathrm{PT_2}$ இன் தொடு புள்ளிகள் ஆகும்.

வெளிப்புற புள்ளி $P$ இலிருந்து தொடுகோட்டின் பகுதியின் நீளம் மற்றும் வட்டத்துடன் தொடு புள்ளி ஆகியவை, புள்ளி $\mathrm{P}$ இலிருந்து வட்டத்திற்கான தொடுகோட்டின் நீளம் என அழைக்கப்படுகிறது.

படம் 10.6 (iii) இல், $\mathrm{PT_1}$ மற்றும் $\mathrm{PT_2}$ ஆகியவை $\mathrm{P}$ இலிருந்து வட்டத்திற்கான தொடுகோடுகளின் நீளங்கள் என்பதைக் கவனிக்கவும். நீளங்கள் $\mathrm{PT_1}$ மற்றும் $\mathrm{PT_2}$ ஒரு பொதுவான பண்பைக் கொண்டுள்ளன. இதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? $\mathrm{PT_1}$ மற்றும் $\mathrm{PT_2}$ ஐ அளவிடவும். இவை சமமாக உள்ளதா? உண்மையில், இது எப்போதும் இவ்வாறே இருக்கும். பின்வரும் தேற்றத்தில் இந்த உண்மையின் நிரூபணத்தைத் தருவோம்.

தேற்றம் 10.2: ஒரு வெளிப்புற புள்ளியிலிருந்து ஒரு வட்டத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோடுகளின் நீளங்கள் சமமாக இருக்கும்.

நிரூபணம்: நமக்கு மையம் $\mathrm{O}$ உடன் ஒரு வட்டம், வட்டத்திற்கு வெளியே அமைந்துள்ள ஒரு புள்ளி $\mathrm{P}$ மற்றும் $\mathrm{P}$ இலிருந்து வட்டத்திற்கு வரையப்பட்ட இரண்டு தொடுகோடுகள் PQ, PR கொடுக்கப்பட்டுள்ளன (படம் 10.7 ஐப் பார்க்கவும்). $P Q=P R$ என நிரூபிக்க வேண்டும்.

படம் 10.7

இதற்காக, OP, OQ மற்றும் OR ஐ இணைக்கிறோம். பின்னர் $\angle \mathrm{OQP}$ மற்றும் $\angle \mathrm{ORP}$ ஆகியவை செங்கோணங்களாகும், ஏனெனில் இவை ஆரங்களுக்கும் தொடுகோடுகளுக்கும் இடையே உள்ள கோணங்கள் மற்றும் தேற்றம் 10.1 இன் படி அவை செங்கோணங்களாகும். இப்போது செங்கோண முக்கோணங்கள் OQP மற்றும் ORP இல்,

OQ $=$ OR $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (ஒரே வட்டத்தின் ஆரங்கள்)

OP $=$ OP $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (பொது)

எனவே, $\Delta \mathrm{OQP} \cong \triangle \mathrm{ORP}\quad \quad \quad \quad \text{(RHS)}$

இது $P Q=P R\quad \quad \quad \quad \text{(CPCT)}$ ஐத் தருகிறது.

குறிப்புகள்

1. இந்த தேற்றத்தை பித்தகோரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தியும் நிரூபிக்க முடியும்:

$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OR}^{2}=\mathrm{PR}^{2}(\mathrm{As} \mathrm{OQ}=\mathrm{OR}) $

இது $P Q=P R$ ஐத் தருகிறது.

2. $\angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPR}$ என்பதையும் கவனிக்கவும். எனவே, ⟦94⟆ ஆனது ⟦95⟆ இன் கோண இருசமவெட்டியாகும், அதாவது மையம் இரண்டு தொடுகோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் இருசமவெட்டியின் மீது அமைந்துள்ளது.

சில எடுத்துக்காட்டுகளை எடுத்துக் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 : ஒரே மையத்தைக் கொண்ட இரண்டு வட்டங்களில், பெரிய வட்டத்தின் நாண், சிறிய வட்டத்தைத் தொடும் போது, தொடு புள்ளியில் இருசமக்கூறிடப்படுகிறது என நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு : மையம் $\mathrm{O}$ உடன் ஒரே மைய வட்டங்கள் $\mathrm{C_1}$ மற்றும் $\mathrm{C_2}$ மற்றும் பெரிய வட்டம் $\mathrm{C_1}$ இன் ஒரு நாண் $\mathrm{AB}$, இது சிறிய வட்டம் $\mathrm{C_2}$ ஐப் புள்ளி $\mathrm{P}$ இல் தொடுகிறது (படம் 10.8 ஐப் பார்க்கவும்). $\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$ என நிரூபிக்க வேண்டும்.

படம் 10.8

OP ஐ இணைப்போம். பின்னர், ⟦104⟆ ஆனது ⟦105⟆ க்கு புள்ளி ⟦106⟆ இல் ஒரு தொடுகோடாகும் மற்றும் ⟦107⟆ அதன் ஆரமாகும். எனவே, தேற்றம் 10.1 இன் படி,

$$ \mathrm{OP} \perp \mathrm{AB} $$

இப்போது ⟦108⟆ ஆனது வட்டம் ⟦109⟆ இன் ஒரு நாண் மற்றும் ⟦110⟆. எனவே, ⟦111⟆ நாண் ⟦112⟆ இன் இருசமவெட்டியாகும், ஏனெனில் மையத்திலிருந்து வரும் செங்குத்து நாண்ணை இருசமிக்கிறது,

அதாவது, $$ \mathrm{AP}=\mathrm{BP} $$

எடுத்துக்காட்டு 2 : மையம் $\mathrm{O}$ உடன் ஒரு வட்டத்திற்கு, வெளிப்புற புள்ளி $\mathrm{T}$ இலிருந்து இரண்டு தொடுகோடுகள் $\mathrm{TP}$ மற்றும் $\mathrm{TQ}$ வரையப்படுகின்றன. $\angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ}$ என நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு : நமக்கு மையம் ⟦118⟉ உடன் ஒரு வட்டம், ஒரு வெளிப்புற புள்ளி $\mathrm{T}$ மற்றும் வட்டத்திற்கு இரண்டு தொடுகோடுகள் $\mathrm{TP}$ மற்றும் $\mathrm{TQ}$ கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, இங்கு $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ தொடு புள்ளிகள் (படம் 10.9 ஐப் பார்க்கவும்). நிரூபிக்க வேண்டும்

படம் 10.9

$$ \angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ} $$

வைத்துக்கொள்வோம்: $$ \angle \mathrm{PTQ}=\theta $$

இப்போது, தேற்றம் 10.2 இன் படி, TP = TQ. எனவே, TPQ ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம்.

எனவே, $$ \angle \mathrm{TPQ}=\angle \mathrm{TQP}=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-\theta\right)=90^{\circ}-\dfrac{1}{2} \theta $$

மேலும், தேற்றம் 10.1 இன் படி, $$ \angle \mathrm{OPT}=90^{\circ} $$

எனவே, $$ \begin{aligned} \angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPT}-\angle \mathrm{TPQ} & =90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\dfrac{1}{2} \theta\right) \\ & =\dfrac{1}{2} \theta=\dfrac{1}{2} \angle \mathrm{PTQ} \end{aligned} $$

இது தருகிறது $$ \angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ} $$

எடுத்துக்காட்டு 3 : ஆரம் $5 \mathrm{~cm}$ உடைய ஒரு வட்டத்தின் நாண் PQ இன் நீளம் $8 \mathrm{~cm}$. $\mathrm{P}$ மற்றும் $\mathrm{Q}$ இல் உள்ள தொடுகோடுகள் ஒரு புள்ளி $T$ இல் வெட்டுகின்றன (படம் 10.10 ஐப் பார்க்கவும்). TP இன் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு : OT ஐ இணைக்கவும். அது PQ ஐப் புள்ளி $\mathrm{R}$ இல் வெட்டட்டும். பின்னர் $\triangle$ TPQ ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம் மற்றும் TO ஆனது $\angle \mathrm{PTQ}$ இன் கோண இருசமவெட்டியாகும். எனவே, $\mathrm{OT} \perp \mathrm{PQ}$ மற்றும் எனவே, OT ஆனது ⟦132⟆ ஐ இருசமிக்கிறது, இது ⟦133⟆ ஐத் தருகிறது.

படம் 10.10

மேலும், $\mathrm{OR}=\sqrt{\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} \mathrm{~cm}=3 \mathrm{~cm}$.

இப்போது, $\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{RPO}=90^{\circ}=\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{PTR} \quad$ (ஏன்?)

எனவே, $\quad \angle \mathrm{RPO}=\angle \mathrm{PTR}$

எனவே, செங்கோண முக்கோணம் TRP ஆனது AA வடிவொப்புமை மூலம் செங்கோண முக்கோணம் PRO க்கு வடிவொத்ததாகும்.

இது தருகிறது

$ \dfrac{\mathrm{TP}}{\mathrm{PO}}=\dfrac{\mathrm{RP}}{\mathrm{RO}} \text {, i.e., } \dfrac{\mathrm{TP}}{5}=\dfrac{4}{3} \text { or } \mathrm{TP}=\dfrac{20}{3} \mathrm{~cm} \text {. } $

குறிப்பு : TP ஐ பித்தகோரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தியும் காணலாம்:

வைத்துக்கொள்வோம்: $$ \begin{array}{rlrl} \mathrm{TP} & =x \text { and } \mathrm{TR}=y . \quad \text { Then } \end{array} $$

$$ \begin{array}{rlrl} x^{2} & =y^{2}+16 & & \quad(\text { Taking right } \Delta \mathrm{PRT}) \tag{1} \end{array} $$

$$ \begin{array}{rlrl} x^{2}+5^{2} & =(y+3)^{2} & & \quad(\text { Taking right } \Delta \mathrm{OPT}) \tag{2} \end{array} $$

(1) இலிருந்து (2) ஐக் கழித்தால், கிடைப்பது

எனவே, $$ \begin{aligned} 25 & =6 y-7 \text { or } y=\dfrac{32}{6}=\dfrac{16}{3} \\ x^{2} & =\left(\dfrac{16}{3}\right)^{2}+16=\dfrac{16}{9}(16+9)=\dfrac{16 \times 25}{9} \quad \quad \quad \text{[From (1)]}\\ x & =\dfrac{20}{3} \end{aligned} $$

10.4 சுருக்கம்

இந்த அத்தியாயத்தில், நீங்கள் பின்வரும் புள்ளிகளைப் படித்துள்ளீர்கள்:

1. ஒரு வட்டத்திற்குத் தொடுகோட்டின் பொருள்.

2. வட்டத்திற்குத் தொடுகோடு, தொடு புள்ளி வழியாகச் செல்லும் ஆரத்திற்குச் செங்குத்தாக இருக்கும்.

3. ஒரு வெளிப்புற புள்ளியிலிருந்து ஒரு வட்டத்திற்கு வரையப்பட்ட இரண்டு தொடுகோடுகளின் நீளங்கள் சமமாக இருக்கும்.