12.1 পরিচিতি

ক্লাস নবম থেকে আপনি কিছু কঠিন আকৃতির জায়গা সম্পর্কে জানতে পেরেছেন, যেমন কব্জা, শিমশিম, সিলিন্ডার এবং গোলা (দেখুন ছবি 12.1)। আপনি আবার তাদের পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল এবং আয়তন কীভাবে নির্ণয় করা হয় তা শিখেছেন।

ছবি 12.1

আমাদের দৈনন্দিন জীবনে, আমরা উপরে দেখানো দুটি বা ততোধিক মৌলিক কঠিন আকৃতির সমন্বয়ে তৈরি হওয়া অনেকগুলি কঠিন আকৃতি দেখে যাই।

আপনি অবশ্যই একটি ট্রাক দেখেছেন যার পিছনে একটি কন্টেইনার সংযুক্ত আছে (দেখুন ছবি 12.2), যা এক স্থান থেকে অন্য একটি স্থানে তেল বা জল পরিবহন করে। এটি উপরে উল্লিখিত চারটি মৌলিক কঠিন আকৃতির মধ্যে কোনটির আকৃতিতে? আপনি অনুমান করতে পারেন যে এটি একটি সিলিন্ডার এবং তার উভয় পাশে দুটি সেমিস্ফিয়ার দিয়ে তৈরি হয়েছে।

ছবি 12.2

আবার, আপনি ছবি 12.3 এর মতো একটি বস্তু দেখেছেন হওয়া উচিত। আপনি এটি কী নাম দেবেন? একটি টেস্ট টিউব, ঠিক আছে! আপনি আপনার বিজ্ঞান ল্যাবে একটি ব্যবহার করেছেন। এই টিউবটিও একটি সিলিন্ডার এবং একটি সেমিস্ফিয়ারের সমন্বয়। একইভাবে, ভ্রমণের সময় আপনি উপরে উল্লিখিত কঠিন আকৃতির সমন্বয়ে তৈরি কিছু বড় এবং সুন্দর ভবন বা ঐতিহ্যবাহী স্থাপত্য দেখেছেন হওয়া উচিত।

যদি কোনো কারণে আপনি এই বস্তুগুলির পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল, আয়তন বা ক্ষমতা নির্ণয় করতে চান, তাহলে আপনি কীভাবে করবেন? আপনি এগুলিকে আপনি ইতিমধ্যে অধ্যয়ন করেছেন এমন কোনো কঠিন আকৃতির অধীনে শ্রেণিবদ্ধ করতে পারবেন না।

ছবি 12.3

এই অধ্যায়ে আপনি এই বস্তুগুলির পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল এবং আয়তন কীভাবে নির্ণয় করা হয় তা দেখবেন।

12.2 কঠিন আকৃতির সমন্বয়ে তৈরি বস্তুর পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল

আসুন ছবি 12.2 এ দেখা কন্টেইনারটি বিবেচনা করি। এই ধরনের কঠিন আকৃতির পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল কীভাবে নির্ণয় করা হয়? যখনই আমরা একটি নতুন সমস্যার সম্মুখীন হই, আমরা প্রথমে দেখতে চাই যে আমরা এটিকে আগে যে ছোট সমস্যাগুলি সমাধান করেছি তার সমন্বয়ে ভেঙে দিতে পারি কি না। আমরা দেখতে পাই এই কঠিন আকৃতি একটি সিলিন্ডার দিয়ে তৈরি হয়েছে যার উভয় পাশে দুটি সেমিস্ফিয়ার সংযুক্ত আছে। আমরা ছবি 12.4 এ দেখতে পাব যেমন আমরা সব টুকরা একত্রিত করে নেব।

ছবি 12.4

যদি আমরা নতুনভাবে তৈরি করা বস্তুর পৃষ্ঠ বিবেচনা করি, তাহলে আমরা শুধুমাত্র দুটি সেমিস্ফিয়ার এবং সিলিন্ডারের বক্রসীমার পৃষ্ঠ দেখতে পাব।

তাই, নতুন কঠিন আকৃতির মোট পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল হবে প্রতিটি পৃথক অংশের বক্রসীমা পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফলের যোগফল। এটি দেয়,

নতুন কঠিন আকৃতির মোট পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল $=$ একটি সেমিস্ফিয়ারের বক্রসীমা পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল + সিলিন্ডারের বক্রসীমা পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল + অন্যটি সেমিস্ফিয়ারের বক্রসীমা পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল

যেখানে TSA, CSA দুটি দ্ব্যর্থক বোঝায় ‘মোট পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল’ এবং ‘বক্রসীমা পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল’ যথাক্রমে।

আসুন এখন আরেকটি পরিস্থিতি বিবেচনা করি। ধরুন আমরা একটি সেমিস্ফিয়ার এবং একটি শিমশিমের সমন্বয়ে একটি খেলাধুলা তৈরি করছি। আমরা যে ধাপগুলি অনুসরণ করব তা দেখি।

প্রথমে, আমরা একটি শিমশিম এবং একটি সেমিস্ফিয়ার নিয়ে তাদের পটভূমিকাগুলি একসাথে করি। এখানে, অবশ্যই আমরা শিমশিমের ভিতরের ব্যাস ব্যাস সেমিস্ফিয়ারের ব্যাসের সমান নিয়ে যাব, কারণ খেলাধুলাটি একটি সুন্দর পৃষ্ঠের জন্য তৈরি হবে। তাই, ধাপগুলি ছবি 12.5 এ দেখানো হয়েছে।

ছবি 12.5

আমাদের পরীক্ষার শেষে, আমরা একটি সুন্দর গোলাকার নীচের খেলাধুলা পেয়েছি। এখন যদি আমরা জানতে চাই কতটা চিতাডি দরকার এই খেলার পৃষ্ঠটি রঙ করার জন্য, তাহলে আমাদের কী জানতে হবে? আমাদের জানতে হবে খেলাধুলাটির পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল, যা সেমিস্ফিয়ারের বক্রসীমা পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল এবং শিমশিমের বক্রসীমা পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল গঠন করে।

তাই, আমরা বলতে পারি:

খেলাধুলার মোট পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল $=$ সেমিস্ফিয়ারের বক্রসীমা পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল + শিমশিমের বক্রসীমা পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল

এখন, আসুন কিছু উদাহরণ বিবেচনা করি।

উদাহরণ 1 : রশীদ কে তার জন্মদিনের উপহার হিসাবে একটি খেলার টপ (ল্যাটু) পেয়েছেন, যার অবিশ্বাস্যভাবে কোনো রঙ ছিল না। তিনি চিতাডি দিয়ে এটি রঙ করতে চান। টপটি একটি শিমশিমের উপর সেমিস্ফিয়ার দিয়ে তৈরি (দেখুন ছবি 12.6)। টপের মোট উচ্চতা $5 \mathrm{~cm}$ এবং টপের ব্যাস $3.5 \mathrm{~cm}$। তিনি রঙ করতে যে ক্ষেত্রফল প্রয়োজন তা নির্ণয় করুন। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ নেওয়া হবে)

ছবি 12.6

সমাধান : এই টপটি আমরা যে বস্তু ছবি 12.5 এ আলোচনা করেছি তার সম্পূর্ণরূপে একই। তাই, আমরা সুবিধাজনকভাবে সেখানে যে ফলাফল আমরা পেয়েছি তা ব্যবহার করতে পারি। যেমন :

$ \text { খেলার মোট পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল }=\text { সেমিস্ফিয়ারের বক্রসীমা পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল }+ \text { শিমশিমের বক্রসীমা পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল } $

এখন, সেমিস্ফিয়ারের বক্রসীমা পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল $=\dfrac{1}{2}\left(4 \pi r^{2}\right)=2 \pi r^{2}$

$$ =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} $$

আবার, শিমশিমের উচ্চতা = টপের উচ্চতা - সেমিস্ফিয়ারের অংশের উচ্চতা (ব্যাস)

$$ =\left(5-\dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}=3.25 \mathrm{~cm} $$

তাই, শিমশিমের স্ল্যান্ট উচ্চতা $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{3.5}{2}\right)^{2}+(3.25)^{2}} \mathrm{~cm}=3.7 \mathrm{~cm}$ (প্রায়)

তাই, শিমশিমের বক্রসীমা পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল $=\pi r l=\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2}$

এটি দেয় টপের পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল হিসাবে

$$ \begin{aligned} & =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2}(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=\dfrac{11}{2} \times(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=39.6 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

আপনি দ্রষ্টব্য করতে পারেন যে ‘টপের মোট পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল’ শিমশিম এবং সেমিস্ফিয়ারের মোট পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফলের যোগফল নয়।

উদাহরণ 2 : ছবি 12.7 এ দেখানো সুন্দর ব্লকটি দুটি কঠিন আকৃতির দ্বারা গঠিত - একটি কব্জা এবং একটি সেমিস্ফিয়ার। ব্লকের ভিতরের অংশ একটি সমতল কব্জা যার সূচক $5 \mathrm{~cm}$, এবং উপরে সংযুক্ত সেমিস্ফিয়ারের ব্যাস $4.2 \mathrm{~cm}$। ব্লকের মোট পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ নেওয়া হবে)

ছবি 12.7

সমাধান : কব্জার মোট পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল $=6 \times(\text { edge })^{2}=6 \times 5 \times 5 \mathrm{~cm}^{2}=150 \mathrm{~cm}^{2}$।

দ্রষ্টব্য করুন যে সেমিস্ফিয়ার সংযুক্ত কব্জার অংশ পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফলে অন্তর্ভুক্ত করা হয়নি।

তাই, ব্লকের পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল $=$ কব্জার মোট পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল - সেমিস্ফিয়ারের ভিতরের অংশের ক্ষেত্রফল + সেমিস্ফিয়ারের বক্রসীমা পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল

$$ \begin{aligned} & =150-\pi r^{2}+2 \pi r^{2}=\left(150+\pi r^{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =150 \mathrm{~cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{4.2}{2} \times \dfrac{4.2}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(150+13.86) \mathrm{cm}^{2}=163.86 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

উদাহরণ 3 : একটি লালচে খেলাধুলা বিমান একটি শিমশিমের উপর সংযুক্ত একটি সিলিন্ডারের আকৃতিতে আছে, যেমন ছবি 12.8 এ দেখানো হয়েছে। বিমানের মোট উচ্চতা $26 \mathrm{~cm}$, তবে শিমশিমের অংশের উচ্চতা $6 \mathrm{~cm}$। শিমশিমের অংশের ভিতরের ব্যাসের ব্যাস $5 \mathrm{~cm}$, তবে সিলিন্ডারের অংশের ভিতরের ব্যাসের ব্যাস $3 \mathrm{~cm}$। যদি শিমশিমের অংশ সবুজ রঙের জন্য এবং সিলিন্ডারের অংশ হলুদ রঙের জন্য রঙ করা হয়, তাহলে এই দুটি রঙের জন্য বিমানের রঙ করা ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। ($\pi=3.14$ নেওয়া হবে)

ছবি 12.8

সমাধান : শিমশিমের ব্যাসকে $r$, শিমশিমের স্ল্যান্ট উচ্চতাকে $l$, শিমশিমের উচ্চতাকে $h$, সিলিন্ডারের ব্যাসকে $r^{\prime}$ এবং সিলিন্ডারের উচ্চতাকে $h^{\prime}$ বোঝাই হবে। তাহলে $r=2.5 \mathrm{~cm}, h=6 \mathrm{~cm}, r^{\prime}=1.5 \mathrm{~cm}$, $h^{\prime}=26-6=20 \mathrm{~cm}$ এবং

$$ l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2.5^{2}+6^{2}} \mathrm{~cm}=6.5 \mathrm{~cm} $$

এখানে, শিমশিমের অংশের গোলাকার ভিতরের অংশ সিলিন্ডারের ভিতরের অংশের ভিতরের অংশের উপর দাঁড়িয়ে আছে, তবে শিমশিমের ভিতরের অংশ সিলিন্ডারের ভিতরের অংশের ভিতরের অংশের চেয়ে বড়। তাই, শিমশিমের ভিতরের অংশের একটি পার্শ্ব (একটি পাইপ) রঙ করা হবে।

তাই, সবুজ রঙের জন্য রঙ করা হবে এর ক্ষেত্রফল $=$ শিমশিমের বক্রসীমা পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল + শিমশিমের ভিতরের অংশের ক্ষেত্রফল - সিলিন্ডারের ভিতরের অংশের ক্ষেত্রফল

$$ \begin{aligned} & =\pi r l+\pi r^{2}-\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi\left[(2.5 \times 6.5)+(2.5)^{2}-(1.5)^{2}\right] \mathrm{cm}^{2} \\ & =\pi[20.25] \mathrm{cm}^{2}=3.14 \times 20.25 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =63.585 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

এখন, হলুদ রঙের জন্য রঙ করা হবে এর ক্ষেত্রফল $=$ সিলিন্ডারের বক্রসীমা পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল + একটি ভিতরের অংশের ক্ষেত্রফল

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r^{\prime} h^{\prime}+\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi r^{\prime}\left(2 h^{\prime}+r^{\prime}\right) \\ & =(3.14 \times 1.5)(2 \times 20+1.5) \mathrm{cm}^{2} \\ & =4.71 \times 41.5 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =195.465 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

উদাহরণ 4 : ময়ন্ক তার বাগানের জন্য একটি পাখির বাথ তৈরি করেছেন যা একটি সিলিন্ডারের আকৃতিতে এবং একটি পাশে একটি সেমিস্ফিয়ারের অভ্যন্তরীণ অংশ দিয়ে তৈরি হয়েছে (দেখুন ছবি 12.9)। সিলিন্ডারের উচ্চতা $1.45 \mathrm{~m}$ এবং তার ব্যাস $30 \mathrm{~cm}$। পাখির বাথের মোট পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ নেওয়া হবে)

ছবি 12.9

সমাধান : ধরুন $h$ হল সিলিন্ডারের উচ্চতা, এবং $r$ হল সিলিন্ডার এবং সেমিস্ফিয়ারের সাধারণ ব্যাস। তাহলে, পাখির বাথের মোট পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল $=$ সিলিন্ডারের বক্রসীমা পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল + সেমিস্ফিয়ারের বক্রসীমা পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r h+2 \pi r^{2}=2 \pi r(h+r) \\ & =2 \times \dfrac{22}{7} \times 30(145+30) \mathrm{cm}^{2} \\ & =33000 \mathrm{~cm}^{2}=3.3 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

12.3 কঠিন আকৃতির সমন্বয়ে তৈরি বস্তুর আয়তন

আগের অধ্যায়ে আমরা একটি দুটি মৌলিক কঠিন আকৃতির সমন্বয়ে তৈরি করা বস্তুর পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল কীভাবে নির্ণয় করা হয় তা আলোচনা করেছি। এখানে, আমরা তাদের আয়তন কীভাবে গণনা করা হয় তা দেখব। লক্ষ্য করুন যে পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল গণনায়, আমরা দুটি উপাদানের পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল যোগ করিনি, কারণ তাদের সংযোগের প্রক্রিয়ায় কিছু অংশের পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল হারিয়ে গেছে। তবে, এটি আয়তন গণনায় হবে না। দুটি মৌলিক কঠিন আকৃতি সংযুক্ত করে তৈরি করা কঠিন আকৃতির আয়তন প্রকৃতপক্ষে উপাদানগুলির আয়তনের যোগফল, যেমন আমরা নিচের উদাহরণগুলিতে দেখব।

উদাহরণ 5 : শান্তা একটি ফ্যাক্টরি চালায় যা একটি কব্জার আকৃতিতে এবং একটি অর্ধ সিলিন্ডারের উপর দাঁড়িয়ে আছে (দেখুন ছবি 12.12)। যদি ফ্যাক্টরির ভিতরের অংশের দৈর্ঘ্য $7 \mathrm{~m} \times 15 \mathrm{~m}$, এবং কব্জার অংশের উচ্চতা $8 \mathrm{~m}$, তাহলে ফ্যাক্টরি যে বায়ু ধারণ করতে পারে তার আয়তন নির্ণয় করুন। আরও, ধরুন ফ্যাক্টরিতে যানবাহন একসাথে $300 \mathrm{~m}^{3}$ স্থান দখল করে, এবং প্রতিটি কর্মী গড়ে প্রায় $0.08 \mathrm{~m}^{3}$ স্থান দখল করে। তাহলে, ফ্যাক্টরিতে কত বায়ু আছে? ($\pi=\dfrac{22}{7}$ নেওয়া হবে)

ছবি 12.12

সমাধান : ফ্যাক্টরির ভিতরে বায়ুর আয়তন (যখন কোনো মানুষ বা যানবাহন নেই) কব্জার ভিতরে এবং অর্ধ সিলিন্ডারের ভিতরে বায়ুর আয়তন একসাথে নেওয়া হয়।

এখন, কব্জার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা $15 \mathrm{~m}, 7 \mathrm{~m}$ এবং $8 \mathrm{~m}$ যথাক্রমে। আবার, অর্ধ সিলিন্ডারের ব্যাস $7 \mathrm{~m}$ এবং তার উচ্চতা $15 \mathrm{~m}$।

তাই, প্রয়োজনীয় আয়তন $=$ কব্জার আয়তন $+\dfrac{1}{2}$ সিলিন্ডারের আয়তন

$$ =\left[15 \times 7 \times 8+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{7}{2} \times \dfrac{7}{2} \times 15\right] \mathrm{m}^{3}=1128.75 \mathrm{~m}^{3} $$

পরবর্তীতে, যানবাহন দ্বারা দখল করা মোট স্থান $=300 \mathrm{~m}^{3}$

এবং কর্মীদের দ্বারা দখল করা মোট স্থান $=20 \times 0.08 \mathrm{~m}^{3}=1.6 \mathrm{~m}^{3}$

তাই, যানবাহন এবং কর্মীর উপস্থিতিতে বায়ুর আয়তন

$$ =1128.75-(300.00+1.60)=827.15 \mathrm{~m}^{3} $$

উদাহরণ 6 : একজন জিস বিক্রেতা তার গ্রাহকদের ব্যবহার করেছিলেন যেমন ছবি 12.13 এ দেখানো হয়েছে। সিলিন্ডারিক্যাল গ্লাসের ভিতরের ব্যাস $5 \mathrm{~cm}$, তবে গ্লাসের নীচে একটি সেমিস্ফিয়ারের বাড়িয়ে তোলা অংশ ছিল যা গ্লাসের ক্ষমতা হ্রাস করেছিল। যদি একটি গ্লাসের উচ্চতা $10 \mathrm{~cm}$, তাহলে গ্লাসের দৃশ্যমান ক্ষমতা এবং তার প্রকৃত ক্ষমতা নির্ণয় করুন। ($\pi=3.14$ ব্যবহার করুন।)

ছবি 12.13

সমাধান : কারণ গ্লাসের ভিতরের ব্যাস $=5 \mathrm{~cm}$ এবং উচ্চতা $=10 \mathrm{~cm}$, গ্লাসের দৃশ্যমান ক্ষমতা $=\pi r^{2} h$

$$ =3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 10 \mathrm{~cm}^{3}=196.25 \mathrm{~cm}^{3} $$

তবে গ্লাসের প্রকৃত ক্ষমতা গ্লাসের ভিতরের অংশের আয়তন দ্বারা হ্রাস করে যায়।

অর্থাৎ, $\quad$ এটি $\dfrac{2}{3} \pi r^{3}=\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 2.5 \mathrm{~cm}^{3}=32.71 \mathrm{~cm}^{3}$ দ্বারা হ্রাস করে

তাই, গ্লাসের প্রকৃত ক্ষমতা $=$ গ্লাসের দৃশ্যমান ক্ষমতা - সেমিস্ফিয়ারের আয়তন

$$ \begin{aligned} & =(196.25-32.71) \mathrm{cm}^{3} \\ & =163.54 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

উদাহরণ 7 : একটি কঠিন খেলাধুলা একটি সেমিস্ফিয়ারের উপর একটি সমকোণী বৃত্তচ্যুলনের আকৃতিতে আছে। শিমশিমের উচ্চতা $2 \mathrm{~cm}$ এবং ভিতরের ব্যাসের ব্যাস $4 \mathrm{~cm}$। খেলাধুলাটির আয়তন নির্ণয় করুন। যদি একটি সমকোণী বৃত্তচ্যুলন এই খেলাধুলাটিকে ঘিরে দেয়, তাহলে বৃত্তচ্যুলন এবং খেলাধুলার আয়তনের পার্থক্য নির্ণয় করুন। ($\pi=3.14$ নেওয়া হবে)

ছবি 12.14

সমাধান : ধরুন BPC হল সেমিস্ফিয়ার এবং ABC হল সেমিস্ফিয়ারের ভিতরের অংশের উপর দাঁড়িয়ে আছে (দেখুন ছবি 12.14)। সেমিস্ফিয়ারের (এবং শিমশিমের) ব্যাস BO $=\dfrac{1}{2} \times 4 \mathrm{~cm}=2 \mathrm{~cm}$।

তাই, খেলাধুলার আয়তন $=\dfrac{2}{3} \pi r^{3}+\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h$

$$ =\left[\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times(2)^{3}+\dfrac{1}{3} \times 3.14 \times(2)^{2} \times 2\right] \mathrm{cm}^{3}=25.12 \mathrm{~cm}^{3} $$

এখন, ধরুন সমকোণী বৃত্তচ্যুলন EFGH দেওয়া কঠিন আকৃতিকে ঘিরে দেয়। সমকোণী বৃত্তচ্যুলনের ভিতরের অংশের ব্যাস $=\mathrm{HP}=\mathrm{BO}=2 \mathrm{~cm}$, এবং তার উচ্চতা হল

$$ \mathrm{EH}=\mathrm{AO}+\mathrm{OP}=(2+2) \mathrm{cm}=4 \mathrm{~cm} $$

তাই, প্রয়োজনীয় আয়তন $=$ সমকোণী বৃত্তচ্যুলনের আয়তন - খেলাধুলার আয়তন

$$ \begin{aligned} & =\left(3.14 \times 2^{2} \times 4-25.12\right) \mathrm{cm}^{3} \\ & =25.12 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

তাই, দুটি আয়তনের প্রয়োজনীয় পার্থক্য $=25.12 \mathrm{~cm}^{3}$।

12.4 সারাংশ

এই অধ্যায়ে, আপনি নিচের বিষয়গুলি অধ্যয়ন করেছেন:

1. কোনো দুটি মৌলিক কঠিন আকৃতি, যেমন কব্জা, শিমশিম, সিলিন্ডার, গোলা এবং সেমিস্ফিয়ার সমন্বয়ে তৈরি বস্তুর পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা।

2. কোনো একটি কব্জা, শিমশিম, সিলিন্ডার, গোলা এবং সেমিস্ফিয়ার সমন্বয়ে তৈরি বস্তুর আয়তন নির্ণয় করা।