1.1 પૂર્ણાંકોના સરવાળા અને બાદબાકીના ગુણધર્મો

અમે ધોરણ VI માં પૂર્ણ સંખ્યાઓ અને પૂર્ણાંકો વિશે શીખ્યા છીએ. અમે પૂર્ણાંકોના સરવાળા અને બાદબાકી વિશે પણ શીખ્યા છીએ.

1.1.1 સરવાળા માટે સંવૃત્ત ગુણધર્મ

અમે શીખ્યા છીએ કે બે પૂર્ણ સંખ્યાઓનો સરવાળો ફરીથી એક પૂર્ણ સંખ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, $17+24=41$ જે ફરીથી એક પૂર્ણ સંખ્યા છે. આપણે જાણીએ છીએ કે, આ ગુણધર્મને પૂર્ણ સંખ્યાઓના સરવાળા માટે સંવૃત્ત ગુણધર્મ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

ચાલો જોઈએ કે શું આ ગુણધર્મ પૂર્ણાંકો માટે સાચો છે કે નહીં.

નીચે પૂર્ણાંકોના કેટલાક જોડિયા છે. નીચેના કોષ્ટકને જુઓ અને તેને પૂર્ણ કરો.

તમે શું નિરીક્ષણ કરો છો? શું બે પૂર્ણાંકોનો સરવાળો હંમેશા એક પૂર્ણાંક હોય છે?

શું તમને પૂર્ણાંકોની એવી જોડી મળી જેનો સરવાળો પૂર્ણાંક નથી?

પૂર્ણાંકોનો સરવાળો પૂર્ણાંકો આપે છે, તેથી આપણે કહીએ છીએ કે પૂર્ણાંકો સરવાળા માટે સંવૃત્ત છે.

સામાન્ય રીતે, કોઈપણ બે પૂર્ણાંકો $a$ અને $b, a+b$ માટે, $a$ + $b, a+b$ એક પૂર્ણાંક છે.

1.1.2 બાદબાકી માટે સંવૃત્ત ગુણધર્મ

જ્યારે આપણે એક પૂર્ણાંકમાંથી બીજો પૂર્ણાંક બાદ કરીએ ત્યારે શું થાય છે? શું આપણે કહી શકીએ કે તેમનો તફાવત પણ એક પૂર્ણાંક છે?

નીચેના કોષ્ટકને જુઓ અને તેને પૂર્ણ કરો:

તમે શું નિરીક્ષણ કરો છો? શું ત્યાં કોઈ પૂર્ણાંકોની જોડી છે જેનો તફાવત પૂર્ણાંક નથી? શું આપણે કહી શકીએ કે પૂર્ણાંકો બાદબાકી માટે સંવૃત્ત છે? હા, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પૂર્ણાંકો બાદબાકી માટે સંવૃત્ત છે.

આમ, જો $a$ અને $b$ બે પૂર્ણાંકો હોય તો $a-b$ પણ એક પૂર્ણાંક છે. શું પૂર્ણ સંખ્યાઓ આ ગુણધર્મને સંતોષે છે?

1.1.3 ક્રમબદ્ધતાનો ગુણધર્મ (Commutative Property)

આપણે જાણીએ છીએ કે $3+5=5+3=8$, એટલે કે, પૂર્ણ સંખ્યાઓને કોઈપણ ક્રમમાં ઉમેરી શકાય છે. બીજા શબ્દોમાં, પૂર્ણ સંખ્યાઓ માટે સરવાળો ક્રમબદ્ધતાનો ગુણધર્મ ધરાવે છે.

શું આપણે પૂર્ણાંકો માટે પણ આટલું જ કહી શકીએ?

આપણી પાસે $5+(-6)=-1$ અને $(-6)+5=-1$ છે

તેથી, $5+(-6)=(-6)+5$

શું નીચેના સરખા છે?

(i) $(-8)+(-9)$ અને $(-9)+(-8)$

(ii) $(-23)+32$ અને $32+(-23)$

(iii) $(-45)+0$ અને $0+(-45)$

પૂર્ણાંકોના પાંચ અન્ય જોડિયા સાથે આ પ્રયાસ કરો. શું તમને પૂર્ણાંકોની કોઈ જોડી મળે છે જેના માટે ક્રમ બદલતાં સરવાળા જુદા હોય? ચોક્કસ નહીં. આપણે કહીએ છીએ કે પૂર્ણાંકો માટે સરવાળો ક્રમબદ્ધતાનો ગુણધર્મ ધરાવે છે.

સામાન્ય રીતે, કોઈપણ બે પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે, આપણે કહી શકીએ

$ a+b=b+a $

• આપણે જાણીએ છીએ કે પૂર્ણ સંખ્યાઓ માટે બાદબાકી ક્રમબદ્ધતાનો ગુણધર્મ ધરાવતી નથી. શું તે પૂર્ણાંકો માટે ક્રમબદ્ધતાનો ગુણધર્મ ધરાવે છે?

પૂર્ણાંકો 5 અને (-3) ધ્યાનમાં લો.

શું $5-(-3)$ એ $(-3)-5$ જેટલું જ છે? ના, કારણ કે $5-(-3)=5+3=8$, અને $(-3)-5$

$=-3-5=-8$.

પૂર્ણાંકોની ઓછામાં ઓછી પાંચ જુદી જુદી જોડીઓ લો અને આ તપાસો.

આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે પૂર્ણાંકો માટે બાદબાકી ક્રમબદ્ધતાનો ગુણધર્મ ધરાવતી નથી.

1.1.4 સહયોગી ગુણધર્મ (Associative Property)

નીચેના ઉદાહરણો જુઓ:

પૂર્ણાંકો $-3,-2$ અને -5 ધ્યાનમાં લો.

$(-5)+[(-3)+(-2)]$ અને $[(-5)+(-3)]+(-2)$ જુઓ.

પ્રથમ સરવાળામાં (-3) અને (-2) એકસાથે જૂથબદ્ધ છે અને બીજામાં (-5) અને (-3) એકસાથે જૂથબદ્ધ છે. આપણે તપાસીશું કે શું આપણને જુદા જુદા પરિણામો મળે છે.

$ (-5)+[(-3)+(-2)] $

$ [(-5)+(-3)]+(-2) $

બંને કિસ્સાઓમાં, આપણને -10 મળે છે.

એટલે કે,

$ (-5)+[(-3)+(-2)]=[(-5)+(-2)]+(-3) $

તેવી જ રીતે $-3,1$ અને -7 ધ્યાનમાં લો.

$ \begin{aligned} & (-3)+[1+(-7)]=-3+……=…… \\ & [(-3)+1]+(-7)=-2+……=…… \end{aligned} $

શું $(-3)+[1+(-7)]$ એ $[(-3)+1]+(-7)$ જેટલું જ છે?

આવાં પાંચ વધુ ઉદાહરણો લો. તમને કોઈ ઉદાહરણ નહીં મળે જેના માટે સરવાળા જુદા હોય. પૂર્ણાંકો માટે સરવાળો સહયોગી ગુણધર્મ ધરાવે છે.

સામાન્ય રીતે કોઈપણ પૂર્ણાંકો $a, b$ અને $c$ માટે, આપણે કહી શકીએ

$ a+(b+c)=(a+b)+c $

1.1.5 શૂન્યનો ઉમેરાત્મક ઓળખ તત્વ (Additive Identity)

જ્યારે આપણે કોઈપણ પૂર્ણ સંખ્યામાં શૂન્ય ઉમેરીએ છીએ, ત્યારે આપણને તે જ પૂર્ણ સંખ્યા મળે છે. શૂન્ય એ પૂર્ણ સંખ્યાઓ માટે ઉમેરાત્મક ઓળખ તત્વ છે. શું તે પૂર્ણાંકો માટે પણ ઉમેરાત્મક ઓળખ તત્વ છે?

નીચેના જુઓ અને ખાલી જગ્યાઓ પૂર્ણ કરો:

(i) $(-8)+0=-8$

(ii) $0+(-8)=-8$

(iii) $(-23)+0=……$

(iv) $0+(-37)=-37$

(v) $0+(-59)=……$

(vi) $0+……$ $=-43$

(vii) $-61+……$ $=-61$

(viii) $……-0=……$

ઉપરોક્ત ઉદાહરણો દર્શાવે છે કે શૂન્ય એ પૂર્ણાંકો માટે ઉમેરાત્મક ઓળખ તત્વ છે.

તમે તેને કોઈપણ અન્ય પાંચ પૂર્ણાંકોમાં શૂન્ય ઉમેરીને ચકાસી શકો છો.

સામાન્ય રીતે, કોઈપણ પૂર્ણાંક $a$ માટે

$ a+0=a=0+a $

આ પ્રયાસ કરો

1. પૂર્ણાંકોની એક જોડી લખો જેનો સરવાળો આપે છે

(a) એક ઋણ પૂર્ણાંક

(b) શૂન્ય

(c) એક પૂર્ણાંક જે બંને પૂર્ણાંકો કરતાં નાનો હોય.

(d) એક પૂર્ણાંક જે માત્ર એક જ પૂર્ણાંક કરતાં નાનો હોય.

(e) એક પૂર્ણાંક જે બંને પૂર્ણાંકો કરતાં મોટો હોય.

2. પૂર્ણાંકોની એક જોડી લખો જેનો તફાવત આપે છે

(a) એક ઋણ પૂર્ણાંક.

(b) શૂન્ય.

(c) એક પૂર્ણાંક જે બંને પૂર્ણાંકો કરતાં નાનો હોય.

(d) એક પૂર્ણાંક જે માત્ર એક જ પૂર્ણાંક કરતાં મોટો હોય.

(e) એક પૂર્ણાંક જે બંને પૂર્ણાંકો કરતાં મોટો હોય.

ઉદાહરણ 1 પૂર્ણાંકોની એક જોડી લખો જેનો

(a) સરવાળો -3 $\qquad$ (b) તફાવત -5

(c) તફાવત 2 $\quad$ (d) સરવાળો 0

ઉકેલ

(a) $(-1)+(-2)=-3$ અથવા $(-5)+2=-3$

(b) $(-9)-(-4)=-5$ અથવા $(-2)-3=-5$

(c) $(-7)-(-9)=2$ અથવા $1-(-1)=2$

(d) $(-10)+10=0$ અથવા $5+(-5)=0$

શું તમે આ ઉદાહરણોમાં વધુ જોડીઓ લખી શકો છો?

કસરત 1.1

1. પૂર્ણાંકોની એક જોડી લખો જેનો:

(a) સરવાળો -7 $\qquad$ (b) તફાવત -10 $\qquad$ (c) સરવાળો 0

2. (a) ઋણ પૂર્ણાંકોની એક જોડી લખો જેનો તફાવત 8 આપે.

(b) એક ઋણ પૂર્ણાંક અને એક ધન પૂર્ણાંક લખો જેનો સરવાળો -5 હોય.

(c) એક ઋણ પૂર્ણાંક અને એક ધન પૂર્ણાંક લખો જેનો તફાવત -3 હોય.

3. એક ક્વિઝમાં, ટીમ $A$ ને ત્રણ ક્રમિક રાઉન્ડમાં -40, 10, 0 અને ટીમ $B$ ને $10,0,-40$ મળ્યા. કઈ ટીમે વધુ સ્કોર કર્યો? શું આપણે કહી શકીએ કે આપણે પૂર્ણાંકોને કોઈપણ ક્રમમાં ઉમેરી શકીએ?

4. નીચેના વિધાનોને સાચા બનાવવા માટે ખાલી જગ્યાઓ પૂર્ણ કરો:

(i) $(-5)+(-8)=(-8)+(\ldots \ldots \ldots \ldots)$.

(ii) $-53+\ldots \ldots \ldots \ldots .=-53$

(iii) $17+\ldots \ldots \ldots \ldots=0$

(iv) $[13+(-12)]+(\ldots \ldots \ldots \ldots)=.13+[(-12)+(-7)]$

(v) $(-4)+[15+(-3)]=[-4+15]+\ldots \ldots \ldots$

1.2 પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર

આપણે પૂર્ણાંકો ઉમેરી અને બાદ કરી શકીએ છીએ. ચાલો હવે પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર કેવી રીતે કરવો તે શીખીએ.

1.2.1 ધન પૂર્ણાંક અને ઋણ પૂર્ણાંકનો ગુણાકાર

આપણે જાણીએ છીએ કે પૂર્ણ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર એ પુનરાવર્તિત સરવાળો છે. ઉદાહરણ તરીકે,

$ 5+5+5=3 \times 5=15 $

શું તમે પૂર્ણાંકોના સરવાળાને એ જ રીતે રજૂ કરી શકો છો?

નીચેની સંખ્યા રેખામાંથી, આપણી પાસે $(-5)+(-5)+(-5)=-15$ છે

પરંતુ આપણે આ પણ લખી શકીએ

$ \qquad(-5)+(-5)+(-5)=3 \times(-5) $

તેથી, $ \qquad 3 \times(-5)=-15 $

આ પ્રયાસ કરો

શોધો:

$ \begin{aligned} & 4 \times(-8), \\ & 8 \times(-2), \\ & 3 \times(-7), \\ & 10 \times(-1) \end{aligned} $

સંખ્યા રેખાનો ઉપયોગ કરીને.

તેવી જ રીતે: $ (-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)=5 \times(-4)=-20 $

$ \text{અને}\quad (-3)+(-3)+(-3)+(-3)=\ldots \ldots \ldots= \ldots \ldots \ldots $

$ \text{એ જ રીતે, }\qquad(-7)+(-7)+(-7)=\ldots \ldots \ldots =\ldots \ldots \ldots $

ચાલો જોઈએ કે સંખ્યા રેખાનો ઉપયોગ કર્યા વિના ધન પૂર્ણાંક અને ઋણ પૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કેવી રીતે શોધવો.

ચાલો $3 \times(-5)$ ને જુદી રીતે શોધીએ. પહેલા $3 \times 5$ શોધો અને પછી મળેલા ગુણાકારની આગળ બાદબાકીની નિશાની (-) મૂકો. તમને -15 મળે છે. એટલે કે આપણે $-(3 \times 5)$ શોધીએ છીએ જેથી -15 મળે.

તેવી જ રીતે, $ \qquad 5 \times(-4)=-(5 \times 4)=-20 . $

એ જ રીતે શોધો,

$ \begin{matrix} 4 \times(-8)= \ldots \ldots= \ldots \ldots , 3 \times(-7)=\ldots \ldots = \ldots \ldots \\ 6 \times(-5)=\ldots \ldots = \ldots \ldots , 2 \times(-9)= \ldots \ldots = \ldots \ldots \end{matrix} $

આ પ્રયાસ કરો

શોધો:

(i) $6 \times(-19)$

(ii) $12 \times(-32)$

(iii) $7 \times(-22)$

આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, આમ આપણી પાસે છે,

$ 10 \times(-43)=\ldots \ldots -(10 \times 43)=-430 $

અત્યાર સુધી આપણે પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર (ધન પૂર્ણાંક) $\times$ (ઋણ પૂર્ણાંક) તરીકે કર્યો છે.

ચાલો હવે તેમનો ગુણાકાર (ઋણ પૂર્ણાંક) $\times$ (ધન પૂર્ણાંક) તરીકે કરીએ.

આપણે પહેલા $-3 \times 5$ શોધીએ.

આ શોધવા માટે, નીચેની રીત જુઓ:

આપણી પાસે છે,

$ \begin{aligned} & 3 \times 5=15 \\ & 2 \times 5=10=15-5 \\ & 1 \times 5=5=10-5 \\ & 0 \times 5=0=5-5 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{તેથી} \quad & -1 \times 5=0-5=-5 \\ & -2 \times 5=-5-5=10=-5 \\ & -3 \times 5=-10-5=-15 \\ \end{aligned} $

આપણી પાસે પહેલેથી જ $\qquad 3 \times(-5)=-15$ છે

તેથી આપણને $\qquad (-3) \times 5=-15=3 \times(-5)$ મળે છે

આવી રીતોનો ઉપયોગ કરીને, આપણને $(-5) \times 4=-20=5 \times(-4)$ પણ મળે છે

રીતોનો ઉપયોગ કરીને, $(-4) \times 8,(-3) \times 7,(-6) \times 5$ અને $(-2) \times 9$ શોધો

તપાસો કે શું, $(-4) \times 8=4 \times(-8),(-3) \times 7=3 \times(-7),(-6) \times 5=6 \times(-5)$ અને: $ (-2) \times 9=2 \times(-9) $

આનો ઉપયોગ કરીને, આપણને મળે છે,

$ (-33) \times 5=33 \times(-5)=-165 $

આમ આપણે જોઈએ છીએ કે જ્યારે ધન પૂર્ણાંક અને ઋણ પૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે તેમનો ગુણાકાર પૂર્ણ સંખ્યાઓ તરીકે કરીએ છીએ અને ગુણાકારની આગળ બાદબાકીની નિશાની (-) મૂકીએ છીએ. આમ આપણને એક ઋણ પૂર્ણાંક મળે છે.

આ પ્રયાસ કરો

1. શોધો:

(a) $15 \times(-16)\qquad $ (b) $21 \times(-32)$

(c) $(-42) \times 12\qquad $ (d) $-55 \times 15$

2. તપાસો કે શું

(a) $25 \times(-21)=(-25) \times 21\qquad $ (b) $(-23) \times 20=23 \times(-20)$

આવાં પાંચ વધુ ઉદાહરણો લખો.

સામાન્ય રીતે, કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે આપણે કહી શકીએ

$ a \times(-b)=(-a) \times b=-(a \times b) $

1.2.2 બે ઋણ પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર

શું તમે ગુણાકાર $(-3) \times(-2)$ શોધી શકો છો?

નીચેના જુઓ:

$ \begin{aligned} & -3 \times 4=-12 \\ & -3 \times 3=-9=-12-(-3) \\ & -3 \times 2=-6=-9-(-3) \\ & -3 \times 1=-3=-6-(-3) \\ & -3 \times 0=0=-3-(-3) \\ & -3 \times-1=0-(-3)=0+3=3 \\ & -3 \times-2=3-(-3)=3+3=6 \end{aligned} $

શું તમે કોઈ રીત જોઈ શકો છો? જુઓ કે ગુણાકારો કેવી રીતે બદલાય છે.

આ નિરીક્ષણના આધારે, નીચેનું પૂર્ણ કરો:

$ -3 \times-3=\ldots \ldots -3 \times-4=\ldots \ldots $

હવે આ ગુણાકારો જુઓ અને ખાલી જગ્યાઓ પૂર્ણ કરો:

$ \begin{aligned} & -4 \times 4=-16 \\ & -4 \times 3=-12=-16+4 \\ & -4 \times 2= \ldots \ldots=-12+4 \\ & -4 \times 1=\ldots \ldots \\ & -4 \times 0=\ldots \ldots \\ & -4 \times(-1)=\ldots \ldots \\ & -4 \times(-2)= \ldots \ldots\\ & -4 \times(-3)=\ldots \ldots \end{aligned} $

આ પ્રયાસ કરો

(i) $(-5) \times 4$ થી શરૂ કરીને, $(-5) \times(-6)$ શોધો

(ii) $(-6) \times 3$ થી શરૂ કરીને, $(-6) \times(-7)$ શોધો

આ રીતોમાંથી આપણે નિરીક્ષણ કરીએ છીએ કે,

$ \begin{aligned} & (-3) \times(-1)=3=3 \times 1 \\ & (-3) \times(-2)=6=3 \times 2 \\ & (-3) \times(-3)=9=3 \times 3 \\ & \text{અને} \quad (-4) \times(-1)=4=4 \times 1 \\ & \text{ તેથી, } \quad(-4) \times(-2)=4 \times 2=\ldots \ldots \\ & (-4) \times(-3)=\ldots \ldots=\ldots \ldots \end{aligned} $

તેથી આ ગુણાકારોનું નિરીક્ષણ કરીને આપણે કહી શકીએ કે બે ઋણ પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર એક ધન પૂર્ણાંક છે. આપણે બે ઋણ પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર પૂર્ણ સંખ્યાઓ તરીકે કરીએ છીએ અને ગુણાકારની આગળ ધન નિશાની (+) મૂકીએ છીએ.

આમ, આપણી પાસે $\quad(-10) \times(-12)=+120=120$ છે

તેવી જ રીતે $\quad(-15) \times(-6)=+90=90$

સામાન્ય રીતે, કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,

$ (-a) \times(-b)=a \times b $

આ પ્રયાસ કરો

શોધો: $(-31) \times(-100),(-25) \times(-72),(-83) \times(-28)$

રમત 1

(i) -104 થી 104 સુધી ચિહ્નિત બોર્ડ લો જે આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે છે.

(ii) બે વાદળી અને બે લાલ પાસા ધરાવતી થેલી લો. વાદળી પાસા પરના બિંદુઓ ધન પૂર્ણાંકો દર્શાવે છે અને લાલ પાસા પરના બિંદુઓ ઋણ પૂર્ણાંકો દર્શાવે છે.

(iii) દરેક ખેલાડી પોતાનો કાઉન્ટર શૂન્ય પર મૂકશે.

(iv) દરેક ખેલાડી એક સાથે બે પાસા થેલીમાંથી બહાર કાઢશે અને તેમને ફેંકશે.

(v) દરેક ફેંક પછી, ખેલાડીએ પાસા પર ચિહ્નિત સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવો પડશે.

(vi) જો ગુણ