8.1 પરિચય

તમે તમારી સંખ્યાઓની અભ્યાસન શરૂ કરી હતી કેટલાંક વસ્તુઓને ગણતરી કરવાથી. આ હેતુ માટે વપરાતી સંખ્યાઓને ગણતરીની સંખ્યાઓ અથવા પ્રાકૃત સંખ્યાઓ કહીએ છીએ. તેમાં $1,2,3,4, \ldots$ છે. પ્રાકૃત સંખ્યાઓમાં 0 ઉમેરીને, તમે સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ મેળવી હતી, અર્થાત $0,1,2,3, \ldots$ છે. પ્રાકૃત સંખ્યાઓના ઋણ સંખ્યાઓ તેની સાથે સંપૂર્ણ સંખ્યાઓમાં મૂકવામાં આવી હતી તેથી પૂર્ણાંકો બન્યા હતા. પૂર્ણાંકો $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots$ છે. તેથી, તમે સંખ્યા વ્યવસ્થાને વધુ વિસ્તારીત કર્યું, પ્રાકૃત સંખ્યાઓમાંથી સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ અને તેનાથી પૂર્ણાંકો.

તમને ભગવતિયાં પણ પરિચિત થયા. આ ત્રણેય તેનો સ્વરૂપ $\frac{\text{ numerator }}{\text{ denominator }}$ છે, જ્યાં નિપાતક 0 અથવા ધન પૂર્ણાંક હોય અને નિપાત ધન પૂર્ણાંક હોય. તમે બે ભગવતિયાંની તુલના કરી, તેમના સમાન સ્વરૂપો શોધ્યા અને તેમાં બે મૂળ ક્રિયાઓનો અભ્યાસ કર્યો: ઉમેરવું, તેમની કિંમતમાં ઘટાડો કરવો, ગુણાકાર કરવો અને ભાગ કરવો.

આ પ્રકરણમાં, તમે સંખ્યા વ્યવસ્થાને આગળ વધારશો. તમે ભગવતિયાંનો સમજૂતો લઈશો અને તેમની ઉમેરણ, તેમની કિંમતમાં ઘટાડો કરવાનો, ગુણાકાર કરવાનો અને ભાગ કરવાનો ક્રિયાનુભવ પણ શોધશો.

8.2 ભગવતિયાંની જરૂર

અગાઉ, તમે જોઈ છે કે પૂર્ણાંકો કેવી રીતે સંખ્યાઓની સમારોપિત કરવામાં આવી છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો જગ્યાની જમણી બાજુનું અંતર $3 km$ ત્યાં સુધી તે જગ્યાની બાજુથી તેને 3 દ્વારા સમારોપિત કરવામાં આવ્યું હોત, તો તે જગ્યાની સુમેરી બાજુનું અંતર $5 km$ તે જ જગ્યાની બાજુથી -5 દ્વારા સમારોપિત કરવામાં આવ્યું હોત. જો નફો ₹ 150 તે જ જગ્યાની બાજુથી 150 દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હોત, તો નુકસાન ₹ 100 તે જ જગ્યાની બાજુથી -100 દ્વારા લખવામાં આવ્યો હોત.

આવી જેવી ઘણી સ્થિતિઓ છે જેમાં ભગવતિયાંનો સમારોપ થાય છે. તમે સમારોપ કરી શકો છો કે જે સમુદાયમાં ઉપર છે $750 m$ તે તે જ સમુદાયમાં $\frac{3}{4} km$. શહેરની નીચે $750 m$ તે જ સમુદાયમાં $km$ રજૂ કરી શકાય? શહેરની નીચે અંતર $\frac{3}{4} km$ તે જ સમુદાયમાં $\frac{-3}{4}$ દ્વારા સમારોપિત કરી શકાય? તમે જોઈ શકો છો $\frac{-3}{4}$ પૂર્ણાંક નથી, નહીં ભગવતિયાંનો. તે જેવી જોઇએ તે જેવી સંખ્યાઓને સમાવેશ કરવા માટે તમારી સંખ્યા વ્યવસ્થાને વધુ વિસ્તારવાની જરૂર છે.

8.3 ભગવતિયાં શું છે?

શબ્દ ‘ભગવતિયાં’ શબ્દનો ઉત્પત્તિ છે ‘અનુપાત’. તમે જાણો છો કે અનુપાત જેવો 3:2 પણ $\frac{3}{2}$ તરીકે લખી શકાય છે. અહીં, 3 અને 2 પ્રાકૃત સંખ્યાઓ છે.

તેમ છતાં, બે પૂર્ણાંકો અને $q(q \neq 0)$, અર્થાત $p: q$ તે જ રીતે $\frac{p}{q}$ તરીકે લખી શકાય છે. આ રીતે ભગવતિયાંઓ દર્શાવવામાં આવે છે.

ભગવતિયાં તે સંખ્યા કહેવાય કે જેને $\frac{p}{q}$ તરીકે દર્શાવી શકાય, જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \neq 0$.

તેથી, $\frac{4}{5}$ ભગવતિયાં છે. અહીં, $p=4$ અને $q=5$.

$\frac{-3}{4}$ પણ ભગવતિયાં છે? હા, કારણ કે $p=-3$ અને $q=4$ પૂર્ણાંકો છે.

• તમે ઘણી ભગવતિયાંઓ જોઈ છો જેમ કે $\frac{3}{8}, \frac{4}{8}, 1 \frac{2}{3}$ વગેરે. તમે બધી ભગવતિયાંઓ ભગવતિયાં છે. તમે કહી શકો છો કે શા માટે?

ડેસિમલ સંખ્યાઓ જેવી કે 0.5, 2.3 વગેરે શું? આ સંખ્યાઓમાંનું દરેક તેનો સામાન્ય ભગવતિયાં તરીકે લખી શકાય છે અને, તેથી તે ભગવતિયાં છે. ઉદાહરણ તરીકે, $0.5=\frac{5}{10}$, $0.333=\frac{333}{1000}$ વગેરે.

આ પ્રયત્ન કરો

1. સંખ્યા $\frac{2}{-3}$ ભગવતિયાં છે? તે વિશ્લેષણ કરો.

2. દસ ભગવતિયાંઓની યાદી કરો.

નિપાતક અને નિપાત

$\frac{p}{q}$ માં, પૂર્ણાંક $p$ નિપાતક છે, અને પૂર્ણાંક $q(\neq 0)$ નિપાત છે.

તેથી, $\frac{-3}{7}$ માં, નિપાતક -3 છે અને નિપાત 7 છે.

નીચેની યાદીમાં દસ ભગવતિયાંઓ દર્શાવો જેમાં

(અ) નિપાતક ઋણ પૂર્ણાંક અને નિપાત ધન પૂર્ણાંક હોય.

(બ) નિપાતક ધન પૂર્ણાંક અને નિપાત ઋણ પૂર્ણાંક હોય.

(ક) નિપાતક અને નિપાત બંને ઋણ પૂર્ણાંક હોય.

(ડ) નિપાતક અને નિપાત બંને ધન પૂર્ણાંક હોય.

• પૂર્ણાંકો પણ ભગવતિયાં છે?

દરેક પૂર્ણાંક ભગવતિયાં તરીકે વિચારી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પૂર્ણાંક -5 ભગવતિયાં છે, કારણ કે તમે તેને $\frac{-5}{1}$ તરીકે લખી શકો છો. પૂર્ણાંક 0 પણ $0=\frac{0}{2}$ અથવા $\frac{0}{7}$ વગેરે તરીકે લખી શકાય છે. તેથી તે પણ ભગવતિયાં છે.

તેથી, ભગવતિયાંઓમાં પૂર્ણાંકો અને ભગવતિયાંઓ શામેલ થાય છે.

સમાન ભગવતિયાં

ભગવતિયાં એક અલગ અલગ નિપાતકો અને નિપાતો સાથે લખી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ભગવતિયાં $\frac{-2}{3}$ વિચારો.

$ \begin{aligned} & \frac{-2}{3}=\frac{-2 \times 2}{3 \times 2}=\frac{-4}{6} \text{ અને તમે જોઈ શકો છો કે } \frac{-2}{3} \text{ એ } \frac{-4}{6} \text{ જેવું છે} \\ & \frac{-2}{3}=\frac{(-2) \times(-5)}{3 \times(-5)}=\frac{10}{-15} \text{ તેથી, } \frac{-2}{3} \text{ પણ } \frac{10}{-15} \text{ જેવું છે} \end{aligned} $

તેથી, $\frac{-2}{3}=\frac{-4}{6}=\frac{10}{-15}$. આવી જેવી ભગવતિયાંઓ જે એકબીજાને સમાન છે તેને એકબીજાથી સમાન ભગવતિયાં કહીએ છીએ.

$ \text{ ફરીથી, } \quad \frac{10}{-15}=\frac{-10}{15} \text{ (કેવી રીતે?) } $

આ પ્રયત્ન કરો

બૉક્સોમાં ભરો:

(અનુક્રમિક) $\frac{5}{4}=\frac{\square}{16}=\frac{25}{\square}=\frac{-15}{\square}$

(બાકીની) $\frac{-3}{7}=\frac{\square}{14}=\frac{9}{\square}=\frac{-6}{\square}$

ભગવતિયાંના નિપાતક અને નિપાતને એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક સાથે ગુણાકાર કરીને, તમે આપણી આપણી ભગવતિયાંની એક અલગ ભગવતિયાં મેળવી શકો છો જે આપણી આપણી ભગવતિયાંથી સમાન છે. આ એટલે કે સમાન ભગવતિયાંનો ભગવતિયાંનો ભગવતિયાં મેળવવાની રીતે.

જેમ કે ગુણાકાર, ભગવતિયાંના નિપાતક અને નિપાતને એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક સાથે ભાગ કરવાથી, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણાંક તરીકે, પણ એક નાનો નાનો પૂર્ણા