महत्वपूर्ण बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ

मूलभूत सर्वसमिकाएँ (याद रखना अनिवार्य!)

1. (a + b)² = a² + 2ab + b²

2. (a - b)² = a² - 2ab + b²

3. a² - b² = (a + b)(a - b)

4. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

5. (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)

6. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

7. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

8. (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

9. a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

10. यदि a + b + c = 0, तो a³ + b³ + c³ = 3abc

उन्नत सर्वसमिकाएँ

11. (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

12. a⁴ - b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²)

13. a⁴ + a²b² + b⁴ = (a² + ab + b²)(a² - ab + b²)

रेखीय समीकरण

एक चर

ax + b = 0 x = -b/a

दो चर (समकालिक)

विधि 1: प्रतिस्थापन विधि 2: विलोपन विधि 3: क्रॉस गुणन

द्विघात समीकरण

मानक रूप

ax² + bx + c = 0

मूल = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

मूलों का योग और गुणनफल

मूलों का योग (α + β) = -b/a मूलों का गुणनफल (αβ) = c/a

मूलों की प्रकृति

यदि b² - 4ac > 0 → वास्तविक और भिन्न मूल यदि b² - 4ac = 0 → वास्तविक और समान मूल यदि b² - 4ac < 0 → काल्पनिक मूल

शॉर्टकट और ट्रिक्स

शॉर्टकट 1: त्वरित वर्ग

(a + b)² = (a - b)² + 4ab a² + b² = (a + b)² - 2ab a² + b² = (a - b)² + 2ab

शॉर्टकट 2: मान ज्ञात करना

यदि a + 1/a = 5, तो a² + 1/a² ज्ञात करें

(a + 1/a)² = a² + 1/a² + 2 25 = a² + 1/a² + 2 a² + 1/a² = 23

शॉर्टकट 3: गुणनफल पैटर्न

x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b) उदाहरण: x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3)

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1: यदि a + b = 10 और ab = 21, तो a² + b² ज्ञात कीजिए

हल:

a² + b² = (a+b)² - 2ab = 10² - 2(21) = 100 - 42 = 58

प्रश्न 2: गुणनफल कीजिए: x² - 5x + 6

हल:

दो संख्याएँ खोजें: योग = -5, गुणनफल = 6 संख्याएँ: -2, -3 x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3)

प्रश्न 3: हल कीजिए: 2x + 3 = 11

हल:

2x = 11 - 3 = 8 x = 4

📖 अगले चरण

1. अभ्यास प्रश्न: अपनी समझ का परीक्षण अभ्यास परीक्षणों के साथ करें
2. अध्ययन सामग्री: व्यापक अध्ययन संसाधनों का अन्वेषण करें
3. पिछले प्रश्नपत्र: परीक्षा पत्रों की समीक्षा करें
4. दैनिक क्विज: आज का क्विज लें