மெத்துவம் மூன்று மூன்று பக்கங்களை எவ்வாறு சேர்த்துக் கொள்ளும் என்பதை அறியும் போது மேற்கூறிய சூழ்நிலைகளில் எல்லாம் சரியான சமவடிவம் உருவாக்கப்படும் என்பதை நீங்கள் ஏற்கனவே அறிந்துள்ளீர்கள். உதாரணமாக :

1. ஒரு பள்ளியின் மாணவர்கள் குடும்பத்தினருக்கு வேண்டிய பயணத்தை நடத்துகிறார்கள். இப்போது, ஒரு மாணவர் மினாரின் மேலே உள்ள மேசையைப் பார்க்கிறார், பின்வருமாறு படத்தில் காட்டப்படும் படியாக சரியான சமவடிவம் உருவாக்கப்படும். மினாரின் உயரத்தை உண்ணாவிரத்துடன் அளவிடாமல் மாணவர் அதை கண்டுபிடிக்க முடியுமா?

படம். 8.1

2. ஒரு மருமகள் ஒரு ஆற்றின் கரையில் அமைந்துள்ள அவர்களின் வீட்டின் மடிக்குக் கீழே அமர்ந்துள்ளாள். அவள் அருகிலுள்ள ஆற்றின் மற்றொரு கரையில் அமைந்துள்ள கோவிலின் ஒரு மாட்டினை அடிக்கடி பார்க்கிறாள். இந்த சூழ்நிலையில் பின்வருமாறு படத்தில் காட்டப்படும் படியாக சரியான சமவடிவம் உருவாக்கப்படும். நீங்கள் ஒரு நபர் எவ்வளவு உயரத்தில் அமர்ந்திருக்கிறார் என்பதை அறிந்தால், ஆற்றின் அகலத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க முடியுமா?

படம். 8.2

3. ஒரு வெப்ப வானவில் கடலை அணுகும் வரை வானிலையில் பறவைகள் விழும் போது ஒரு மருமகள் அதை வானிலையில் பார்க்கிறாள். அவள் அதை தன் தாயுக்கு சொல்கிறாள். அவர்களின் தாய் வீட்டிலிருந்து வெளியே வருகிறார். மருமகள் முதலில் வானவில் உள்ள புள்ளி A இல் வானவில் உள்ள பறவையை பார்த்தாள். மருமகளும் தாயும் அதை பார்க்க வெளியே வந்தபோது அது இன்னொரு புள்ளி B க்கு சென்றிருந்தது. வானவிலிருந்து பறவை எவ்வளவு உயரத்தில் இருந்தது என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க முடியுமா?

படம். 8.3

மேற்கூறிய எல்லா சூழ்நிலைகளிலும், சில இயற்பியல் தொழில்நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி தூரம் அல்லது உயரத்தை கண்டுபிடிக்க முடியும். இந்த இயற்பியல் தொழில்நுட்பம் ‘மெத்துவம்’ என்ற இயற்பியலின் ஒரு பகுதியாகும். மெத்துவம் என்பது மூன்று மூன்று பக்கங்கள் (tri), மூன்று பக்கங்கள் (gon) மற்றும் அளவீடு (metron) என்ற கிரேக்க சொற்களிலிருந்து வந்தது. மெத்துவம் என்பது ஒரு சமவடிவத்தின் பக்கங்கள் மற்றும் கோணங்களுக்கு இடையேயான தொடர்புகளை ஆய்வு செய்வதாகும். மெத்துவம் பற்றிய முதல் அறிக்கை எகிப்து மற்றும் பாபிலோனில் உள்ளது. ஆய்வாளர்கள் நிலத்திலிருந்து நட்சத்திரங்கள் மற்றும் கிரகங்களின் தூரத்தை கண்டுபிடிக்க இதைப் பயன்படுத்தினார்கள். இன்றும் பெரும் பங்கு பொருளாதார மற்றும் இயற்பியல் அறிவியல் போன்ற தொழில்நுட்பம் அதிநவீன முறைகள் மெத்துவ கருத்துக்களை அடிப்படையாக கொண்டுள்ளன.

இந்த அத்தியாயத்தில், ஒரு சரியான சமவடிவத்தின் உச்சக்கோணத்திற்கு உள்ள பக்கங்களின் சில விகிதங்களை ஆராய்வோம். இது கோணத்தின் மெத்துவ விகிதங்கள் என்று அழைக்கப்படும். நாங்கள் உச்சக்கோணங்கள் மட்டுமே பற்றி ஆராய்வோம். இந்த விகிதங்கள் மற்ற கோணங்களுக்கும் விரிவாக இருக்கும். நாங்கள் மேலும் கோணம் மதிப்பை கொண்ட மெத்துவ விகிதங்களை வரையறுப்போம். நாங்கள் சில குறிப்பிட்ட கோணங்களுக்கான மெத்துவ விகிதங்களை கணக்கிட்டு, இந்த விகிதங்களை உள்ளடக்கிய சில சாதனைகளை நிறுவுவோம். இந்த சாதனைகள் மெத்துவ சாதனைகள் என்று அழைக்கப்படும்.

8.2 மெத்துவ விகிதங்கள்

இப்போது நீங்கள் சரியான சமவடிவங்களை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பதை அத்தியாயத்தில் நீங்கள் பார்த்துள்ளீர்கள்.

ஒரு சரியான சமவடிவத்தை எடுத்துக் கொள்கையாக பின்வருமாறு படத்தில் காட்டப்படும் படியாக உருவாக்குவோம். படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சமவடிவம் பின்வருமாறு உருவாக்கப்படும்.

படம். 8.4

இங்கு, கோணம் உச்சக்கோணமாக இருக்கிறது. பக்கம் கோணத்தின் எதிர்ப்பு பக்கமாக இருக்கிறது. நாங்கள் இதை கோணத்தின் எதிர்ப்பு பக்கம் என்று அழைக்கிறோம். இந்த சமவடிவத்தின் மீதிப்பக்கம் மெத்துவமாகும். மேலும், பக்கம் ஒரு பகுதியாக இருக்கிறது. எனவே, நாங்கள் இதை கோணத்தின் அண்டிப்பு பக்கம் என்று அழைக்கிறோம்.

கோணம் பின்வருமாறு படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள பக்கம் மாறும். படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள படியாக உருவாக்குவோம்.

படம். 8.5

நீங்கள் முந்தைய அத்தியாயங்களில் ‘விகிதம்’ என்பது பற்றி ஆராய்ந்துள்ளீர்கள். இப்போது நாங்கள் ஒரு சரியான சமவடிவத்தின் பக்கங்களை உள்ளடக்கிய சில விகிதங்களை வரையறுப்போம். இது மெத்துவ விகிதங்கள் என்று அழைக்கப்படும்.

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சரியான சமவடிவத்தின் கோணத்தின் மெத்துவ விகிதங்களை பின்வருமாறு வரையறுப்போம் :

$$ \begin{aligned} \text{sine of }\angle A=\dfrac{\text{ side opposite to angle } A}{\text{ hypotenuse }}=\dfrac{BC}{AC}\\ \text{cosine of } \angle A=\dfrac{\text{ side adjacent to angle } A}{\text{ hypotenuse }}=\dfrac{AB}{AC}\end{aligned} $$

$$\text{tangent of }\angle A=\dfrac{\text{ side opposite to angle } A}{\text{ side adjacent to angle } A}=\dfrac{BC}{AB}$$

$$\text{cosecant of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ sine of } \angle A}=\dfrac{\text{ hypotenuse }}{\text{ side opposite to angle } A}=\dfrac{AC}{BC}$$

$$\text{secant of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ cosine of } \angle A}=\dfrac{\text{ hypotenuse }}{\text{ side adjacent to angle } A}=\dfrac{AC}{AB}$$

$$\text{ cotangent of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ tangent of } \angle A}=\dfrac{\text{ side adjacent to angle } A}{\text{ side opposite to angle } A}=\dfrac{AB}{BC}$$

மேற்கூறிய விகிதங்களை மெத்துவ விகிதங்கள் என்று சுருக்கமாக அழைக்கிறோம். மேற்கூறிய விகிதங்களில் உள்ள விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்த விகிதங்களை மேற்கூறிய பெயர்களை அழைக்கிறோம். மேலும், விகிதங்கள் முழுமையாக இருந்தால், இந்�