பட வீழ்ப்பு என்றால் என்ன? பட வீழ்ப்புகள் ஏன் வரையப்படுகின்றன? வீழ்ப்புகளின் வெவ்வேறு வகைகள் யாவை? எந்தப் பகுதிக்கு எந்த வீழ்ப்பு மிகவும் பொருத்தமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது? இந்த அத்தியாயத்தில், இத்தகைய அடிப்படைக் கேள்விகளுக்கான விடைகளை நாம் தேடுவோம்.

பட வீழ்ப்பு (MAP PROJECTION)

பட வீழ்ப்பு என்பது, அட்சரேகை மற்றும் தீர்க்கரேகைகளின் கிராட்டிகுலை (அளவுகோல் வலை) ஒரு தளப் பரப்பில் மாற்றும் முறையாகும். இதை கோளத்தின் இணைகள் மற்றும் நெடுவரைகளின் வலையமைப்பை ஒரு தளப் பரப்பில் மாற்றுதல் என்றும் வரையறுக்கலாம். நாம் வாழும் பூமி தட்டையானது அல்ல என்பது உங்களுக்குத் தெரியும். இது ஒரு கோளம் போன்ற புவியுரு வடிவத்தில் உள்ளது. பூமியின் சிறந்த மாதிரி ஒரு குளோப் (உலகப் பந்து) ஆகும். குளோப்பின் இந்தப் பண்பு காரணமாக, கண்டங்கள் மற்றும் பெருங்கடல்களின் வடிவங்களும் அளவுகளும் அதில் துல்லியமாகக் காட்டப்படுகின்றன. இது திசைகளையும் தூரங்களையும் மிகத் துல்லியமாகக் காட்டுகிறது. குளோப் அட்சரேகை மற்றும் தீர்க்கரேகைக் கோடுகளால் பல்வேறு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. கிடைமட்டக் கோடுகள் அட்சரேகை இணைகளைக் குறிக்கின்றன; செங்குத்துக் கோடுகள் தீர்க்கரேகை நெடுவரைகளைக் குறிக்கின்றன. இணைகள் மற்றும் நெடுவரைகளின் வலைப்பின்னல் கிராட்டிகுல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வலைப்பின்னல் வரைபடங்களை வரைவதற்கு வசதியாக உள்ளது. ஒரு தட்டையான பரப்பில் கிராட்டிகுலை வரைதலை பட வீழ்ப்பு (projection) என்று அழைக்கிறோம்.

ஆனால் ஒரு குளோப்பிற்கு பல வரம்புகள் உள்ளன. இது விலை உயர்ந்தது. எல்லா இடங்களிலும் எளிதாக எடுத்துச் செல்ல முடியாது; சிறிய விவரங்களையும் அதில் காட்ட முடியாது. கூடுதலாக, குளோப்பில் நெடுவரைகள் அரைவட்டங்களாகவும், இணைகள் வட்டங்களாகவும் உள்ளன. அவை ஒரு தளப் பரப்பில் மாற்றப்படும்போது, வெட்டும் நேர்கோடுகளாகவோ அல்லது வளைந்த கோடுகளாகவோ மாறுகின்றன.

பட வீழ்ப்பின் தேவை

ஒரு பகுதியை விரிவாகப் படிப்பதற்காகவே பட வீழ்ப்பின் தேவை முக்கியமாக எழுகிறது, இது ஒரு குளோப்பிலிருந்து செய்ய முடியாத ஒன்று. அதேபோல், குளோப்பில் இரண்டு இயற்கைப் பகுதிகளை ஒப்பிடுவது எளிதானது அல்ல. எனவே, தட்டையான காகிதத்தில் துல்லியமான பெரிய அளவிலான வரைபடங்களை வரைவது தேவைப்படுகிறது. இப்போது, இந்த அட்சரேகை மற்றும் தீர்க்கரேகைக் கோடுகளை ஒரு தட்டையான தாளில் எவ்வாறு மாற்றுவது என்பதே பிரச்சனை. குளோப்பின் மீது ஒரு தட்டையான காகிதத்தை ஒட்டினால், அது சிதைவடையாமல் ஒரு பெரிய பரப்பில் குளோப்புடன் ஒத்துப்போகாது. குளோப்பின் மையத்திலிருந்து ஒளியைப் பாய்ச்சினால், குளோப்பைத் தொடும் கோடு அல்லது புள்ளியிலிருந்து விலகியுள்ள காகிதத்தின் பகுதிகளில் குளோப்பின் சிதைந்த படத்தைப் பெறுகிறோம். தொடு புள்ளியிலிருந்து தூரம் அதிகரிக்கும் போது சிதைவும் அதிகரிக்கிறது. எனவே, வடிவம், அளவு மற்றும் திசைகள் போன்ற அனைத்து பண்புகளையும் ஒரு குளோப்பிலிருந்து கணிப்பது கிட்டத்தட்ட சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் குளோப் ஒரு விரிக்கக்கூடிய பரப்பு அல்ல.

பட வீழ்ப்பில், பூமியின் எந்தப் பகுதியின் நல்ல மாதிரியை அதன் உண்மையான வடிவத்திலும் பரிமாணத்திலும் குறிக்க முயற்சிக்கிறோம். ஆனால் ஒரு வடிவத்தில் அல்லது மற்றொரு வடிவத்தில் சிதைவு தவிர்க்க முடியாதது. இந்தச் சிதைவைத் தவிர்ப்பதற்காக, பல்வேறு முறைகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு பல வகையான வீழ்ப்புகள் வரையப்படுகின்றன. இந்தக் காரணத்திற்காக, பட வீழ்ப்பு என்பது குளோப்பிலிருந்து கிராட்டிகுலின் கோடுகளை ஒரு தட்டையான காகிதத் தாளுக்கு மாற்றுவதற்காக முயற்சிக்கப்பட்ட பல்வேறு முறைகளின் ஆய்வு என்றும் வரையறுக்கப்படுகிறது.

சொற்களஞ்சியம்

பட வீழ்ப்பு: இது கோளப் பரப்பை ஒரு தளப் பரப்பில் மாற்றும் முறையாகும். இது கோள பூமி அல்லது அதன் ஒரு பகுதியின் அட்சரேகை இணைகள் மற்றும் தீர்க்கரேகை நெடுவரைகளை வசதியான அளவில் ஒரு தளப் பரப்பில் ஒழுங்காகவும் முறையாகவும் குறிப்பதன் மூலம் மேற்கொள்ளப்படுகிறது.
லாக்சோட்ரோம் அல்லது ரம்ப் கோடு: இது மெர்கேட்டரின் வீழ்ப்பில் வரையப்பட்ட ஒரு நேர்கோடு ஆகும், இது நிலையான திசையைக் கொண்ட எந்த இரண்டு புள்ளிகளையும் இணைக்கிறது. கப்பல் பயணத்தின்போது திசைகளைத் தீர்மானிப்பதில் இது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கிறது.
பெருவட்டம்: இது இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள மிகக் குறுகிய பாதையைக் குறிக்கிறது, இது விமான மற்றும் கடல் பயணத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
ஹோமோலோகிராஃபிக் வீழ்ப்பு: இந்த வீழ்ப்பில், அட்சரேகை மற்றும் தீர்க்கரேகைகளின் வலைப்பின்னல் உருவாக்கப்படுகிறது, இதனால் வரைபடத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு கிராட்டிகுலும் குளோப்பில் உள்ள தொடர்புடைய கிராட்டிகுலுக்கு சமமான பரப்பளவைக் கொண்டிருக்கும். இது சம-பரப்பு வீழ்ப்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.
ஆர்த்தோமார்ஃபிக் வீழ்ப்பு: பூமியின் மேற்பரப்பின் கொடுக்கப்பட்ட பகுதியின் சரியான வடிவம் பாதுகாக்கப்படும் ஒரு வீழ்ப்பு.

பட வீழ்ப்பின் கூறுகள்

அ. சுருக்கப்பட்ட பூமி: பூமியின் மாதிரி ஒரு தட்டையான காகிதத் தாளில் குறைக்கப்பட்ட அளவுகோலின் உதவியால் குறிக்கப்படுகிறது. இந்த மாதிரி “சுருக்கப்பட்ட பூமி” என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த மாதிரி கிட்டத்தட்ட கோளவுருவாக இருக்க வேண்டும், இதில் துருவ விட்டத்தின் நீளம் பூமத்திய ரேகையை விட குறைவாக இருக்கும், மேலும் இந்த மாதிரியில் கிராட்டிகுல் வலையமைப்பை மாற்றலாம்.

ஆ. அட்சரேகை இணைகள்: இவை பூமத்திய ரேகைக்கு இணையாகவும் துருவங்களிலிருந்து சீரான தூரத்தை பராமரித்துக்கொண்டவாறும் குளோப்பைச் சுற்றி ஓடும் வட்டங்களாகும். ஒவ்வொரு இணையும் முழுவதுமாக அதன் சொந்தத் தளத்தில் உள்ளது, இது பூமியின் அச்சுக்கு செங்குத்தாக உள்ளது. அவை சம நீளம் கொண்டவை அல்ல. அவை ஒவ்வொரு துருவத்திலும் ஒரு புள்ளியிலிருந்து பூமத்திய ரேகையில் உள்ள குளோப்பின் சுற்றளவு வரை பரவியுள்ளன. அவை $0^{\circ}$ முதல் $90^{\circ}$ வடக்கு மற்றும் தெற்கு அட்சரேகைகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன.

இ. தீர்க்கரேகை நெடுவரைகள்: இவை ஒரு துருவத்திலிருந்து மற்றொரு துருவத்திற்கு வடக்கு-தெற்கு திசையில் வரையப்பட்ட அரைவட்டங்களாகும், மேலும் இரண்டு எதிர் நெடுவரைகள் ஒரு முழு வட்டத்தை உருவாக்குகின்றன, அதாவது குளோப்பின் சுற்றளவு. ஒவ்வொரு நெடுவரையும் முழுவதுமாக அதன் சொந்தத் தளத்தில் உள்ளது, ஆனால் அனைத்தும் குளோப்பின் அச்சில் செங்கோணத்தில் வெட்டுகின்றன. வெளிப்படையான மைய நெடுவரை எதுவும் இல்லை, ஆனால் வசதிக்காக, ஒரு தன்னிச்சையான தேர்வு செய்யப்படுகிறது, அதாவது கிரீன்விச்சின் நெடுவரை, இது $0^{\circ}$ தீர்க்கரேகைகளாக வரையறுக்கப்படுகிறது. மற்ற அனைத்து தீர்க்கரேகைகளையும் வரைவதற்கான குறிப்பு தீர்க்கரேகைகளாக இது பயன்படுத்தப்படுகிறது.

ஈ. குளோபல் பண்புகள்: ஒரு பட வீழ்ப்பைத் தயாரிப்பதில், பின்வரும் அடிப்படை குளோபல் பண்புகள் ஒன்று அல்லது மற்றொரு முறையைப் பயன்படுத்தி பாதுகாக்கப்பட வேண்டும்:

(i) ஒரு பகுதியின் எந்தவொரு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளுக்கும் இடையே உள்ள தூரம்;
(ii) பகுதியின் வடிவம்;
(iii) பகுதியின் அளவு அல்லது பரப்பளவு துல்லியமாக;
(iv) பகுதியின் எந்த ஒரு புள்ளியின் திசையும் மற்றொரு புள்ளியை நோக்கி.

பட வீழ்ப்புகளின் வகைப்பாடு

பின்வரும் அடிப்படைகளில் பட வீழ்ப்புகள் வகைப்படுத்தப்படலாம்:

அ. வரைதல் நுட்பங்கள்: கட்டுமான முறையின் அடிப்படையில், வீழ்ப்புகள் பொதுவாக முன்னோக்கு, அமுன்னோக்கு மற்றும் வழக்கமான அல்லது கணித வீழ்ப்புகளாக வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. முன்னோக்கு வீழ்ப்புகள் ஒரு ஒளி மூலத்தின் உதவியை எடுத்துக்கொண்டு, ஒரு குளோப்பின் இணைகள் மற்றும் நெடுவரைகளின் வலைப்பின்னலின் படத்தை விரிக்கக்கூடிய பரப்பில் வீழ்த்தி வரையப்படலாம். அமுன்னோக்கு வீழ்ப்புகள் ஒளி மூலத்தின் உதவியின்றியோ அல்லது நிழலைத் தட்டையாக்கக்கூடிய பரப்புகளில் விழச்செய்யாமலோ உருவாக்கப்படுகின்றன. கணித அல்லது வழக்கமான வீழ்ப்புகள் என்பவை கணிதக் கணக்கீடு மற்றும் சூத்திரங்களால் பெறப்பட்டவை மற்றும் வீழ்த்தப்பட்ட படத்துடன் சிறிது தொடர்பைக் கொண்டவை.

ஆ. விரிக்கக்கூடிய பரப்பு: ஒரு விரிக்கக்கூடிய பரப்பு என்பது, தட்டையாக்கப்படக்கூடியது மற்றும் அதில் அட்சரேகை மற்றும் தீர்க்கரேகையின் வலைப்பின்னலை வீழ்த்த முடியும். ஒரு விரிக்க முடியாத பரப்பு என்பது, சுருங்காமல், உடையாமல் அல்லது சுருக்கமடையாமல் தட்டையாக்க முடியாத ஒன்றாகும். ஒரு குளோப் அல்லது கோளப் பரப்பு விரிக்க முடியாத பரப்பின் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, அதேசமயம் ஒரு உருளை, ஒரு கூம்பு மற்றும் ஒரு தளம் ஆகியவை விரிக்கக்கூடிய பரப்பின் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. விரிக்கக்கூடிய பரப்பின் தன்மையின் அடிப்படையில், வீழ்ப்புகள் உருளை, கூம்பு மற்றும் செனிதல் வீழ்ப்புகளாக வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. உருளை வீழ்ப்புகள் உருளை விரிக்கக்கூடிய பரப்பைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கப்படுகின்றன. ஒரு காகித உருளை குளோப்பை மூடுகிறது, மேலும் இணைகள் மற்றும் நெடுவரைகள் அதன் மீது வீழ்த்தப்படுகின்றன. உருளை வெட்டப்படும் போது, அது தளத் தாளில் ஒரு உருளை வீழ்ப்பை வழங்குகிறது. ஒரு கூம்பு வீழ்ப்பு ஒரு கூம்பை குளோப்பைச் சுற்றி சுற்றி வைத்து, கிராட்டிகுல் வலைப்பின்னலின் நிழலை அதன் மீது வீழ்த்தி வரையப்படுகிறது. கூம்பு வெட்டப்படும் போது, ஒரு தட்டையான தாளில் ஒரு வீழ்ப்பு பெறப்படுகிறது. செனிதல் வீழ்ப்பு ஒரு தளப் பரப்பு குளோப்பை ஒரு புள்ளியில் தொட்டு, கிராட்டிகுல் அதன் மீது வீழ்த்தப்படும் போது நேரடியாகப் பெறப்படுகிறது. பொதுவாக, தளம் குளோப்பில் வைக்கப்படுகிறது, அது குளோப்பை துருவங்களில் ஒன்றில் தொடும். இந்த வீழ்ப்புகள் மேலும் தளம் குளோப்பைத் தொடும் நிலையைப் பொறுத்து இயல்பான, சாய்ந்த அல்லது துருவ வீழ்ப்புகளாக உட்பிரிவுகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன. விரிக்கக்கூடிய பரப்பு குளோப்பை பூமத்திய ரேகையில் தொட்டால், அது

படம் 4.2 ஒரு குளோப்பிலிருந்து ஒரு தட்டை வரைபடத்திற்கு ஒரு கூம்பு வீழ்ப்பு

பூமத்திய ரேகை அல்லது இயல்பான வீழ்ப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அது துருவத்திற்கும் பூமத்திய ரேகைக்கும் இடையே உள்ள ஒரு புள்ளியில் தொடுகோடாக இருந்தால், அது சாய்ந்த வீழ்ப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது; மேலும் அது துருவத்தில் தொடுகோடாக இருந்தால், அது துருவ வீழ்ப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இ. குளோபல் பண்புகள்: மேலே குறிப்பிட்டபடி, பரப்பளவு, வடிவம், திசை மற்றும் தூரங்களின் சரியான தன்மை ஆகியவை ஒரு வரைபடத்தில் பாதுகாக்கப்பட வேண்டிய நான்கு முக்கிய குளோபல் பண்புகளாகும். ஆனால் எந்த வீழ்ப்பும் இந்த பண்புகள் அனைத்தையும் ஒரே நேரத்தில் பராமரிக்க முடியாது. எனவே, குறிப்பிட்ட தேவைக்கேற்ப, ஒரு வீழ்ப்பை வரையலாம், இதனால் விரும்பிய தரம் பாதுகாக்கப்படும். இவ்வாறு, குளோபல் பண்புகளின் அடிப்படையில், வீழ்ப்புகள் சம-பரப்பு, ஆர்த்தோமார்ஃபிக், அஜிமுத்தல் மற்றும் சம-தூர வீழ்ப்புகளாக வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. சம-பரப்பு வீழ்ப்பு ஹோமோலோகிராஃபிக் வீழ்ப்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வீழ்ப்பில் பூமியின் பல்வேறு பகுதிகளின் பரப்பளவுகள் சரியாக குறிக்கப்படுகின்றன. ஆர்த்தோமார்ஃபிக் அல்லது உண்மை-வடிவ வீழ்ப்பு என்பது பல்வேறு பகுதிகளின் வடிவங்கள் சரியாக சித்தரிக்கப்படும் ஒன்றாகும். வடிவம் பொதுவாக பரப்பளவின் சரியான தன்மையை விலையாகக் கொண்டு பராமரிக்கப்படுகிறது. அஜிமுத்தல் அல்லது உண்மை-திசை வீழ்ப்பு என்பது மையத்திலிருந்து அனைத்து புள்ளிகளின் திசையும் சரியாக குறிக்கப்படும் ஒன்றாகும். சம-தூர அல்லது உண்மை அளவுகோல் வீழ்ப்பு என்பது தூரம் அல்லது அளவுகோல் சரியாக பராமரிக்கப்படும் ஒன்றாகும். இருப்பினும், முழுவதும் அளவுகோலை சரியாக பராமரிக்கும் அத்தகைய வீழ்ப்பு எதுவும் இல்லை. அதை தேவைக்கேற்ப சில தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இணைகள் மற்றும் நெடுவரைகளில் மட்டுமே சரியாக பராமரிக்க முடியும்.

ஈ. ஒளி மூலம்: ஒளி மூலத்தின் இருப்பிடத்தின் அடிப்படையில், வீழ்ப்புகள் நோமோனிக், ஸ்டீரியோகிராஃபிக் மற்றும் ஆர்த்தோகிராஃபிக் என வகைப்படுத்தப்படலாம். ஒளியை குளோப்பின் மையத்தில் வைப்பதன் மூலம் நோமோனிக் வீழ்ப்பு பெறப்படுகிறது. ஒளி மூலம் குளோப்பின் சுற்றளவில், தளப் பரப்பு குளோப்பைத் தொடும் புள்ளிக்கு நேர் எதிர்ப்புறமுள்ள ஒரு புள்ளியில் வைக்கப்படும் போது ஸ்டீரியோகிராஃபிக் வீழ்ப்பு வரையப்படுகிறது. ஒளி மூலம் குளோப்பிலிருந்து முடிவிலியில், தளப் பரப்பு குளோப்பைத் தொடும் புள்ளிக்கு எதிரே வைக்கப்படும் போது ஆர்த்தோகிராஃபிக் வீழ்ப்பு வரையப்படுகிறது.

சில தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வீழ்ப்புகளை உருவாக்குதல்

அ. ஒரு நிலையான இணையுடன் கூடிய கூம்பு வீழ்ப்பு

ஒரு கூம்பு வீழ்ப்பு என்பது, ஒரு குளோப்பின் கிராட்டிகுலின் படத்தை ஒரு விரிக்கக்கூடிய கூம்பின் மீது வீழ்த்தி வரையப்படும் ஒன்றாகும், இது குளோப்பை நிலையான இணை என்று அழைக்கப்படும் ஒரு அட்சரேகை இணையுடன் தொடுகிறது. கூம்பு $\mathrm{AB}$ வழியாக அமைந்துள்ள குளோப்பைத் தொடுவதால், குளோப்பில் உள்ள இந்த இணையின் நிலை கூம்பில் உள்ளதுடன் ஒத்துப்போகிறது, இது நிலையான இணையாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. இந்த இணையின் இருபுறமும் உள்ள மற்ற இணைகளின் நீளம் சிதைக்கப்படுகிறது. (படம் 4.3)

எடுத்துக்காட்டு

$10^{\circ} \mathrm{N}$ முதல் $70^{\circ} \mathrm{N}$ அட்சரேகை மற்றும் $10^{\circ} \mathrm{E}$ முதல் $130^{\circ} \mathrm{E}$ தீர்க்கரேகைகளுக்கு இடையில் உள்ள ஒரு பகுதிக்கு, அளவுகோல் $1: 250,000,000$ மற்றும் அட்சரேகை மற்றும் தீர்க்கரேகை இடைவெளி $10^{\circ}$ ஆக இருக்கும் போது, ஒரு நிலையான இணையுடன் கூடிய கூம்பு வீழ்ப்பை உருவாக்கவும்.

கணக்கீடு

சுருக்கப்பட்ட பூமியின் ஆரம் $R=\dfrac{640,000,000}{250,000,000}=2.56 \mathrm{~cm}$

நிலையான இணை $40^{\circ} \mathrm{N}(10,20,30, \mathbf{4 0}, 50,60,70)$

மைய நெடுவரை $70^{\circ} \mathrm{E} \quad(10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110$, $120,130)$

கட்டுமானம்

(i) $2.56 \mathrm{~cm}$ ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டம் அல்லது நான்கில் ஒரு பகுதியை வரையவும், இது $\mathrm{COE}$ கோணங்களுடன் குறிக்கப்பட்டுள்ளது, $10^{\circ}$ இடைவெளியாகவும், $\mathrm{BOE}$ மற்றும் $\mathrm{AOD}$ $40^{\circ}$ நிலையான இணையாகவும் உள்ளது.

(ii) $\mathrm{B}$ இலிருந்து $\mathrm{P}$ வரை ஒரு தொடுகோடு நீட்டிக்கப்படுகிறது, அதேபோல் $\mathrm{A}$ இலிருந்து $\mathrm{P}$ வரை நீட்டிக்கப்படுகிறது, இதனால் AP மற்றும் BP ஆகியவை குளோப்பைத் தொட்டு $40^{\circ} \mathrm{N}$ இல் நிலையான இணையை உருவாக்கும் கூம்பின் இரு பக்கங்களாகும். (iii) வில் தூரம் $\mathrm{CE}$ இணைகளுக்கு இடையே உள்ள இடைவெளியைக் குறிக்கிறது. இந்த வில் தூரத்தை எடுத்துக்கொண்டு ஒரு அரைவட்டம் வரையப்படுகிறது.

(iv) $\mathrm{X}-\mathrm{Y}$ என்பது $\mathrm{OP}$ இலிருந்து $\mathrm{OB}$ வரை வரையப்பட்ட செங்குத்தாகும்.

(v) ஒரு தனி கோடு N-S எடுக்கப்படுகிறது, அதில் BP தூரம் நிலையான இணையைக் குறிக்கும் வகையில் வரையப்படுகிறது. NS கோடு மைய நெடுவரையாக மாறுகிறது.

(vi) மற்ற இணைகள் மைய நெடுவரையில் வில் தூரம் $\mathrm{CE}$ ஐ எடுத்துக்கொண்டு வரையப்படுகின்றன.

(vii) தூரம் $\mathrm{XY}$ மற்ற நெடுவரைகளை வரைவதற்காக $40^{\circ}$ இல் உள்ள நிலையான இணையில் குறிக்கப்படுகிறது.

(viii) நேர்கோடுகள் அவற்றைத் துருவத்துடன் இணைப்பதன் மூலம் வரையப்படுகின்றன.

பண்புகள்

1. அனைத்து இணைகளும் ஒரே மைய வட்டங்களின் வளைவுகள் மற்றும் சமமாக இடைவெளி விடப்பட்டுள்ளன.

2. அனைத்து நெடுவரைகளும் துருவத்தில் ஒன்றிணையும் நேர்கோடுகள். நெடுவரைகள் இணைகளை செங்கோணத்தில் வெட்டுகின்றன.

3. அனைத்து நெடுவரைகளிலும் அளவுகோல் உண்மையானது, அதாவது நெடுவரைகளில் உள்ள தூரங்கள் துல்லியமானவை.

4. ஒரு வட்டத்தின் வில் துருவத்தைக் குறிக்கிறது.

5. அளவுகோல் நிலையான இணையில் உண்மையானது, ஆனால் நிலையான இணையிலிருந்து விலகிச் செல்லும் போது மிகைப்படுத்தப்படுகிறது.

6. நெடுவரைகள் துருவத்தை நோக்கி ஒன்றுக்கொன்று நெருக்கமாக வருகின்றன.

7. இந்த வீழ்ப்பு சம-பரப்பு அல்லது ஆர்த்தோமார்ஃபிக் அல்ல.

படம் 4.3 ஒரு நிலையான இணையுடன் கூடிய எளிய கூம்பு வீழ்ப்பு

வரம்புகள்

1. நிலையான இணை தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அரைக்கோளத்திற்கு எதிரே உள்ள அரைக்கோளத்தில் தீவிர சிதைவுகள் இருப்பதால், இது உலக வரைபடத்திற்கு ஏற்றதல்ல.

2. அரைக்கோளத்திற்குள் கூட, துருவத்திலும் பூமத்திய ரேகைக்கு அருகிலும் சிதைவு அதிகமாக இருப்பதால், பெரிய பகுதிகளைக் குறிப்பதற்கு இது ஏற்றதல்ல.

பயன்கள்

1. இந்த வீழ்ப்பு வரம்புக்குட்பட்ட அட்சரேகை நீட்சி மற்றும் பெரிய தீர்க்கரேகை நீட்சி கொண்ட நடு அட்சரேகைப் பகுதிகளைக் காட்டுவதற்கு பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

2. நிலையான இணைக்கு இணையாக ஓடும் மற்றும் கிழக்கு-மேற்கு நீட்டிப்பைக் கொண்ட ஒரு நீண்ட குறுகிய நிலப்பகுதி இந்த வீழ்ப்பில் சரியாகக் காட்டப்படுகிறது.

3. நிலையான இணையின் திசையானது ரயில்வேக்கள், சாலைகள், குறுகிய ஆறுபள்ளத்தாக்குகள் மற்றும் சர்வதேச எல்லைகளைக் காட்டப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

4. கனேடிய பசிபிக் ரயில்வேக்கள், டிரான்ஸ்-சைபீரியன் ரயில்வேக்கள், அமெரிக்கா மற்றும் கனடா இடையேயான சர்வதேச எல்லைகள் மற்றும் நர்மதா பள்ளத்தாக்கு ஆகியவற்றைக் காட்ட இந்த வீழ்ப்பு ஏற்றது.

ஆ. உருளை சம-பரப்பு வீழ்ப்பு

உருளை சம-பரப்பு வீழ்ப்பு, லாம்பெர்ட்டின் வீழ்ப்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது குளோப்பின் மேற்பரப்பை பூமத்திய ரேகையில் தொடும் ஒரு உருளையில் இணை கதிர்களுடன் வீழ்த்துவதன் மூலம் பெறப்பட்டது. இணைகளும் நெடுவரைகளும் ஒன்றையொன்று செங்கோணத்தில் வெட்டும் நேர்கோடுகளாக வீழ்த்தப்படுகின்றன. துருவம் பூமத்திய ரேகைக்கு சமமான ஒரு இணையுடன் காட்டப்படுகிறது; எனவே, உயர் அட்சரேகையில் பகுதியின் வடிவம் மிகவும் சிதைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு

அட்சரேகை மற்றும் தீர்க்கரேகை இடைவெளியை $15^{\circ}$ ஆக எடுத்துக்கொண்டு, வரைபடத்தின் R.F. 1:300,000,000 ஆக இருக்கும் போது உலகத்திற்கான ஒரு உருளை சம-பரப்பு வீழ்ப்பை உருவாக்கவும்.

கணக்கீடு

சுருக்கப்பட்ட பூமியின் ஆரம் $R=\dfrac{640,000,000}{300,000,000}=2.1 \mathrm{~cm}$

பூமத்திய ரேகையின் நீளம் $2 \pi \mathrm{R}$ அல்லது $\dfrac{2 \times 22 \times 2.1}{7}=13.2 \mathrm{~cm}$

பூமத்திய ரேகையில் இடைவெளி $=\dfrac{13.2 \times 15^{\circ}}{360^{\circ}}=0.55 \mathrm{~cm}$

கட்டுமானம்

(i) $2.1 \mathrm{~cm}$ ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தை வரையவும்;

(ii) வடக்கு மற்றும் தெற்கு அரைக்கோளங்கள் இரண்டிற்கும் $15^{\circ}, 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}, 75^{\circ}$ மற்றும் $90^{\circ}$ கோணங்களைக் குறிக்கவும்;

(iii) $13.2 \mathrm{~cm}$ நீளமுள்ள ஒரு கோட்டை வரைந்து, அதை $0.55 \mathrm{~cm}$ தூரத்தில் 24 சம பாகங்களாகப் பிரிக்கவும். இந்தக் கோடு பூமத்திய ரேகையைக் குறிக்கிறது;

(iv) $0^{\circ}$ வட்டத்தின் சுற்றளவைச் சந்திக்கும் புள்ளியில் பூமத்திய ரேகைக்கு செங்குத்தாக ஒரு கோட்டை வரையவும்;

(v) செங்குத்து கோட்டிலிருந்து அனைத்து இணைகளையும் பூமத்திய ரேகையின் நீளத்திற்கு சமமாக நீட்டிக்கவும்; மற்றும்

(vi) கீழே உள்ள படம் 4.4 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி வீழ்ப்பை முடிக்க