12.1 পরিচিতি

12.1.1 প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণগত গঠক

আপনি ক্লাস ষষ্ঠে যা শিখেছেন তা আপনার মনে থাকবে গুণগত গঠক সম্পর্কে। আসুন, একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা নেওয়া হল, যেমন 30, এবং এটিকে অন্য প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির গুণফলে লিখা হল, যেমন

$ \begin{aligned} 30 & =2 \times 15 \\ & =3 \times 10=5 \times 6 \end{aligned} $

এভাবে, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 এবং 30 হল 30 এর গুণগত গঠক। এগুলির মধ্যে 2, 3 এবং 5 হল 30 এর মৌলিক গুণগত গঠক (কেন?)

মৌলিক গঠকগুলির গুণফলে লেখা একটি সংখ্যা হচ্ছে মৌলিক গঠক রূপে বলা হয়; উদাহরণস্বরূপ, 30 হিসাবে লেখা $2 \times 3 \times 5$ হল মৌলিক গঠক রূপ।

আমরা জানি যে 30 এটিকে লিখা যায়

$ 30=1 \times 30 $

এভাবে, 1 এবং 30 ও 30 এর গুণগত গঠক। আপনি লক্ষ্য করবেন যে 1 যে কোন সংখ্যার গুণগত গঠক। উদাহরণস্বরূপ, $101=1 \times 101$। তবে, আমরা একটি সংখ্যাকে গুণগত গঠকগুলির গুণফলে লিখার সময়, বিশেষভাবে প্রয়োজন হলে ছাড়া 1 কে গুণগত গঠক হিসাবে লিখব না।

70 এর মৌলিক গঠক রূপ $2 \times 5 \times 7$।

90 এর মৌলিক গঠক রূপ $2 \times 3 \times 3 \times 5$, এবং এমনকি।

একইভাবে, আমরা বীজগাণিতিক অভিব্যক্তিগুলিকে তাদের গুণগত গঠকগুলির গুণফলে প্রকাশ করতে পারি। এটি হল যা আমরা এই অধ্যায়ে শিখব।

12.1.2 বীজগাণিতিক অভিব্যক্তির গুণগত গঠক

আমরা ক্লাস সপ্তমে দেখেছি যে বীজগাণিতিক অভিব্যক্তিতে পদগুলি গুণগত গঠকগুলির গুণফলে গঠিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি $5 x y+3 x$ এর পদ $5 x y$ হল গুণগত গঠক $5, x$ এবং $y$ দ্বারা গঠিত, অর্থাৎ,

$ 5 x y=5 \times x \times y $

লক্ষ্য করুন যে $5 x y$ এর গুণগত গঠক 5, $x$ এবং $y$ আরো গুণগত গঠকগুলির গুণফলে প্রকাশ করা যায় না। আমরা বলতে পারি যে 5, $x$ এবং $y$ হল $5 x y$ এর ‘মৌলিক’ গুণগত গঠক। বীজগাণিতিক অভিব্যক্তিতে, আমরা ‘মৌলিক’ শব্দটির পরিবর্তে ‘অবিভাজ্য’ শব্দটি ব্যবহার করি। আমরা বলি যে $5 \times x \times y$ হল $5 x y$ এর অবিভাজ্য রূপ। লক্ষ্য করুন $5 \times(x y)$ হল $5 x y$ এর অবিভাজ্য রূপ নয়, কারণ গুণগত গঠক $x y$ আরো গুণগত গঠকগুলির গুণফলে প্রকাশ করা যায়।

লক্ষ্য 1 হল $5 x y$ এর গুণগত গঠক, কারণ

$ 5 x y=1 \times 5 \times x \times y $

একইভাবে, 1 হল প্রতিটি পদের গুণগত গঠক। প্রাকৃতিক সংখ্যার মতো, বিশেষভাবে প্রয়োজন হলে ছাড়া আমরা 1 কে যে কোন পদের আলাদা গুণগত গঠক হিসাবে দেখাই না। $x y=x \times y$ হল $x$ এর গুণগত গঠক $y$।

পরবর্তীতে অনুসরণ করুন বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি $3 x(x+2)$। এটিকে গুণগত গঠকগুলির গুণফলে লিখা যায়। $3, x$ এবং $(x+2)$

$ 3 x(x+2)=3 \times x \times(x+2) $

$3 x(x+2)$ এর গুণগত গঠক $3, x$ এবং $(x+2)$ হল অবিভাজ্য গুণগত গঠক।

একইভাবে, অভিব্যক্তি $10 x(x+2)(y+3)$ তার অবিভাজ্য গুণগত রূপে $10 x(x+2)(y+3)=2 \times 5 \times x \times(x+2) \times(y+3)$ হিসাবে প্রকাশ করা হয়।

12.2 গুণনা কী?

যখন আমরা একটি বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি গুণনা করি, আমরা এটিকে গুণগত গঠকগুলির গুণফলে লিখি। এই গুণগত গঠকগুলি হতে পারে সংখ্যা, বীজগাণিতিক চরন বা বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি।

$3 x y, 5 x^{2} y, 2 x(y+2), 5(y+1)(x+2)$ মতো অভিব্যক্তিগুলি ইতিমধ্যে গুণফলে রূপে আছে। এদের গুণগত গঠকগুলি শুধুমাত্র তাদের থেকে পড়া যায়, যেমন আমরা ইতিমধ্যে জানি।

অন্যদিকে দেখুন অভিব্যক্তি $2 x+4,3 x+3 y, x^{2}+5 x, x^{2}+5 x+6$। এদের গুণগত গঠক কী তা স্পষ্ট নয়। আমাদের এই অভিব্যক্তিগুলি গুণনা করার জন্য একটি ব্যবস্থিত পদ্ধতি বিকাশ করা প্রয়োজন, অর্থাৎ, তাদের গুণগত গঠক খুঁজতে। এটি হল যা আমরা এখন করব।

12.2.1 সাধারণ গুণগত গঠকের পদ্ধতি

• আমরা একটি সহজ উদাহরণ দিয়ে শুরু করব: $2 x+4$ গুণনা করুন।

আমরা প্রতিটি পদকে অবিভাজ্য গুণগত গঠকগুলির গুণফলে লিখব;

$ \begin{aligned} 2 x & =2 \times x \\ 4 & =2 \times 2 \\ 2 x+4 & =(2 \times x)+(2 \times 2) \end{aligned} $

অতএব: লক্ষ্য করুন যে গুণগত গঠক 2 উভয় পদের জন্য সাধারণ।

লক্ষ্য করুন, বঞ্চন নিয়ম দ্বারা

$ 2 \times(x+2)=(2 \times x)+(2 \times 2) $

অতএব, আমরা লিখতে পারি

$ 2 x+4=2 \times(x+2)=2(x+2) $

এভাবে, অভিব্যক্তি $2 x+4$ হল $2(x+2)$ এর সমান। এখন আমরা এর গুণগত গঠকগুলি পড়তে পারি: তাদের হল 2 এবং $(x+2)$। এই গুণগত গঠকগুলি অবিভাজ্য।

পরবর্তীতে, $5 x y+10 x$ গুণনা করুন।

$5 x y$ এবং $10 x$ এর অবিভাজ্য গুণগত রূপ হল, যথাক্রমে,

$ \begin{aligned} & 5 x y=5 \times x \times y \\ & 10 x=2 \times 5 \times x \end{aligned} $

লক্ষ্য করুন যে উভয় পদে 5 এবং $x$ হল সাধারণ গুণগত গঠক। এখন,

$ \begin{aligned} 5 x y+10 x & =(5 \times x \times y)+(5 \times x \times 2) \\ & =(5 x \times y)+(5 x \times 2) \end{aligned} $

আমরা বঞ্চন নিয়ম ব্যবহার করে উভয় পদকে একত্রিত করি,

$ (5 x \times y)+(5 x \times 2)=5 x \times(y+2) $

অতএব, $5 x y+10 x=5 x(y+2)$। (এটি হল প্রত্যাশিত গুণফল রূপ।)

উদাহরণ 1 : $12 a^{2} b+15 a b^{2}$ গুণনা করুন

সমাধান: আমাদের $12 a^{2} b=2 \times 2 \times 3 \times a \times a \times b$

$ 15 a b^{2}=3 \times 5 \times a \times b \times b $

উভয় পদে $3, a$ এবং $b$ হল সাধারণ গুণগত গঠক।

অতএব,

$ \begin{aligned} 12 a^{2} b+15 a b^{2} & =(3 \times a \times b \times 2 \times 2 \times a)+(3 \times a \times b \times 5 \times b) \\ & =3 \times a \times b \times[(2 \times 2 \times a)+(5 \times b)] \quad \text{ (পদগুলি একত্রিত করা) } \\ & =3 a b \times(4 a+5 b) \\ & =3 a b(4 a+5 b) \quad \text{ (প্রত্যাশিত গুণফল রূপ) } \end{aligned} $

উদাহরণ 2 : $10 x^{2}-18 x^{3}+14 x^{4}$ গুণনা করুন

সমাধান:

$ \begin{aligned} 10 x^{2} & =2 \times 5 \times x \times x \\ 18 x^{3} & =2 \times 3 \times 3 \times x \times x \times x \\ 14 x^{4} & =2 \times 7 \times x \times x \times x \times x \end{aligned} $

তিনটি পদের জন্য সাধারণ গুণগত গঠক $2, x$ এবং $x$।

অতএব, $10 x^{2}-18 x^{3}+14 x^{4}=(2 \times x \times x \times 5)-(2 \times x \times x \times 3 \times 3 \times x)$

$ \begin{aligned} & +(2 \times x \times x \times 7 \times x \times x) \\ = & 2 \times x \times x \times[(5-(3 \times 3 \times x)+(7 \times x \times x)] \\ = & 2 x^{2} \times(5-9 x+7 x^{2})=2 x^{2}(7 x^{2}-9 x+5) \end{aligned} $

$ =2 \times x \times x \times[(5-(3 \times 3 \times x)+(7 \times x \times x)] \text{ (তিনটি পদ একত্রিত করা) } $

আপনি লক্ষ্য করেন যে একটি অভিব্যক্তির গুণফল রূপে শুধুমাত্র একটি পদ থাকে?

এইসব চেষ্টা করুন

গুণনা করুন:

(i) $12 x+36$

(ii) $22 y-33 z$

(iii) $14 p q+35 p q r$

12.2.2 পদগুলি পুনঃগঠনের মাধ্যমে গুণনা

অভিব্যক্তি $2 x y+2 y+3 x+3$ দেখুন। আপনি লক্ষ্য করবেন যে প্রথম দুটি পদে সাধারণ গুণগত গঠক 2 এবং $y$ আছে এবং শেষ দুটি পদে একটি সাধারণ গুণগত গঠক 3 আছে। কিন্তু সব পদের জন্য একটি একক সাধারণ গুণগত গঠক নেই। আমরা কীভাবে এগিয়ে যেতে পারি?

আসুন $(2 x y+2 y)$ কে গুণফলে রূপে লিখি:

একইভাবে,

$ \begin{aligned} 2 x y+2 y & =(2 \times x \times y)+(2 \times y) \\ & =(2 \times y \times x)+(2 \times y \times 1) \\ & =(2 y \times x)+(2 y \times 1)=2 y(x+1) \\ 3 x+3 & =(3 \times x)+(3 \times 1) \\ & =3 \times(x+1)=3(x+1) \end{aligned} $

অতএব,

$ 2 x y+2 y+3 x+3=2 y(x+1)+3(x+1) $

এখন লক্ষ্য করুন, আমরা ডান দিকের উভয় পদে একটি সাধারণ গুণগত গঠক $(x+1)$ পেয়েছি। উভয় পদকে একত্রিত করলে,

$ 2 x y+2 y+3 x+3=2 y(x+1)+3(x+1)=(x+1)(2 y+3) $

অভিব্যক্তি $2 x y+2 y+3 x+3$ এখন গুণগত গঠকগুলির গুণফলের রূপে আছে। এর গুণগত গঠক $(x+1)$ এবং $(2 y+3)$। লক্ষ্য করুন, এই গুণগত গঠকগুলি অবিভাজ্য।

পুনঃগঠন কী?

ধরুন, উপরের অভিব্যক্তি $2 x y+3+2 y+3 x$ হিসাবে দেওয়া হয়েছিল; তখন গুণনা দেখার জন্য এটি সহজ হবে না। অভিব্যক্তি পুনর্গঠন করা, যেমন $2 x y+2 y+3 x+3$, এমনকি গ্রুপ $(2 x y+2 y)$ এবং $(3 x+3)$ গঠন করে গুণনা করতে দেয়। এটি হল পুনঃগঠন।

পুনঃগঠন একাধিক উপায়ে সম্ভব হতে পারে। ধরুন, আমরা অভিব্যক্তিকে এভাবে পুনঃগঠন করি: $2 x y+3 x+2 y+3$। এটিও গুণগত গঠক দিতে পারে। আমরা চেষ্টা করি:

$ \begin{aligned} 2 x y+3 x+2 y+3 & =2 \times x \times y+3 \times x+2 \times y+3 \\ & =x \times(2 y+3)+1 \times(2 y+3) \\ & =(2 y+3)(x+1) \end{aligned} $

গুণগত গঠকগুলি একই (যেহেতু তাদের হতে হবে), যদিও তারা আলাদা আলাদা ক্রমে দেখায়।

উদাহরণ 3 : $6 x y-4 y+6-9 x$ গুণনা করুন।

সমাধান:

ধাপ 1 পরীক্ষা করুন যে সব পদের মধ্যে কোন সাধারণ গুণগত গঠক আছে কিনা। কোন গুণগত গঠক নেই।

ধাপ 2 গ্রুপিং চিন্তা করুন। লক্ষ্য করুন যে প্রথম দুটি পদে একটি সাধারণ গুণগত গঠক $2 y$ আছে;

$$ \begin{equation*} 6 x y-4 y=2 y(3 x-2) \tag{a} \end{equation*} $$

শেষ দুটি পদ কেমন আছে? তাদের দেখুন। আপনি যদি তাদের ক্রম পরিবর্তন করেন $-9 x+6$, তবে গুণগত গঠক $(3 x-2)$ বের হবে;

$$ \begin{align*} -9 x+6 & =-3(3 x)+3(2) \\ & =-3(3 x-2) \tag{b} \end{align*} $$

ধাপ 3 (a) এবং (b) একত্রিত করা,

$ \begin{aligned} 6 x y-4 y+6-9 x & =6 x y-4 y-9 x+6 \\ & =2 y(3 x-2)-3(3 x-2) \\ & =(3 x-2)(2 y-3) \end{aligned} $

$(6 x y-4 y+6-9 x)$ এর গুণগত গঠক $(3 x-2)$ এবং $(2 y-3)$।

প্র্যাকটিস 12.1

1. প্রদত্ত পদগুলির সাধারণ গুণগত গঠক খুঁজুন।

(i) $12 x, 36$ $\quad$ (ii) $2 y, 22 x y$ $\quad$ (iii) $14 p q, 28 p^{2} q^{2}$

(iv) $2 x, 3 x^{2}, 4$ $\quad$ (v) $6 a b c, 24 a b^{2}, 12 a^{2} b$ $\quad$ (vi) $16 x^{3},-4 x^{2}, 32 x$

(vii) $10 p q, 20 q r, 30 r p$ $\quad$ (viii) $3 x^{2} y^{3}, 10 x^{3} y^{2}, 6 x^{2} y^{2} z$

2. নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলি গুণনা করুন। (i) $7 x-42$ $\quad$ (ii) $6 p-12 q$ $\quad$ (iii) $7 a^{2}+14 a$

(iv) $-16 z+20 z^{3}$ $\quad$ (v) $20 l^{2} m+30 a l m$ $\quad$ (vi) $5 x^{2} y-15 x y^{2}$

(vii) $10 a^{2}-15 b^{2}+20 c^{2}$ $\quad$ (viii) $-4 a^{2}+4 a b-4 c a$ $\quad$ (ix) $x^{2} y z+x y^{2} z+x y z^{2}$

(x) $a x^{2} y+b x y^{2}+c x y z$

3. গুণনা করুন। (i) $x^{2}+x y+8 x+8 y$ $\quad$ (ii) $15 x y-6 x+5 y-2$ $\quad$ (iii) $a x+b x-a y-b y$

(iv) $15 p q+15+9 q+25 p$ $\quad$ (v) $z-7+7 x y-x y z$

12.2.3 পরিচ্ছন্নতার মাধ্যমে গুণনা

আমরা জানি যে

$$ \begin{align*} (a+b)^{2} & =a^{2}+2 a b+b^{2} \tag{I}\\ (a-b)^{2} & =a^{2}-2 a b+b^{2} \tag{II}\\ (a+b)(a-b) & =a^{2}-b^{2} \tag{III} \end{align*} $$

নিম্নলিখিত সমাধানকৃত উদাহরণগুলি গুণনার জন্য এই পরিচ্ছন্নতাগুলি কীভাবে ব্যবহার করা হয় তা দেখায়। আমরা কী করি তা হল প্রদত্ত অভিব্যক্তি দেখা। যদি এটি একটি পরিচ্ছন্নতার ডান দিকের রূপে মিলে যায়, তবে পরিচ্ছন্নতার বাম দিকের অনুরূপ অভিব্যক্তি প্রত্যাশিত গুণফল রূপ দেবে।

উদাহরণ 4 : $x^{2}+8 x+16$ গুণনা করুন

সমাধান: অভিব্যক্তি দেখুন; এটি তিনটি পদ রয়েছে। অতএব, এটি পরিচ্ছন্নতা III এর সাথে মিলে না। এছাড়াও, এর প্রথম এবং তৃতীয় পদগুলি পজিটিভ চিহ্ন আগে দেওয়া মাঝের পদের আগে একটি পরফেক্ট স্কোয়ার হয়ে থাকে। অতএব, এটি হল $a^{2}+2 a b+b^{2}$ রূপে যেন $a=x$ এবং $b=4$

যেন

$ \begin{aligned} a^{2}+2 a b+b^{2} & =x^{2}+2(x)(4)+4^{2} \\ & =x^{2}+8 x+16 \end{aligned} $

কারণ: $ a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}, $

তুলনা দ্বারা $x^{2}+8 x+16=(x+4)^{2}$

(প্রত্যাশিত গুণফল রূপ)

উদাহরণ 5 : $4 y^{2}-12 y+9$ গুণনা করুন

সমাধান: দেখুন $4 y^{2}=(2 y)^{2}, 9=3^{2}$ এবং $12 y=2 \times 3 \times(2 y)$

অতএব,

$ \begin{aligned} 4 y^{2}-12 y+9 & =(2 y)^{2}-2 \times 3 \times(2 y)+(3)^{2} \\ & =(2 y-3)^{2} \quad \text{ (প্রত্যাশিত গুণফল রূপ) } \end{aligned} $

উদাহরণ 6 : $49 p^{2}-36$ গুণনা করুন

সমাধান: দুটি পদ আছে; উভয়ই স্কোয়ার এবং দ্বিতীয়টি ঋণাত্মক। অভিব্যক্তি হল $(a^{2}-b^{2})$ রূপ। পরিচ্ছন্নতা III এখানে প্রযোজ্য;

$ \begin{aligned} 49 p^{2}-36 & =(7 p)^{2}-(6)^{2} \\ & =(7 p-6)(7 p+6)(\text{ প্রত্যাশিত গুণফল রূপ) } \end{aligned} $

উদাহরণ 7 : $a^{2}-2 a b+b^{2}-c^{2}$ গুণনা করুন

সমাধান: প্রদত্ত অভিব্যক্তির প্রথম তিনটি পদ $(a-b)^{2}$ গঠন করে। চতুর্থ পদ হল একটি স্কোয়ার। অতএব, অভিব্যক্তিটি দুটি স্কোয়ারের পার্থক্যের রূপে হ্রাস পায়।

এভাবে, $\quad a^{2}-2 a b+b^{2}-c^{2}=(a-b)^{2}-c^{2}$

(পরিচ্ছন্নতা II ব্যবহার করে)

$ =[(a-b)-c)((a-b)+c)] $

$ =(a-b-c)(a-b+c) \quad \text{ (প্রত্যাশিত গুণফল রূপ) } $

লক্ষ্য করুন, কীভাবে আমরা একে অপরের পর পরিচ্ছন্নতা একাধিক ব্যবহার করে প্রত্যাশিত গুণফল রূপ পাওয়া যায়।

উদাহরণ 8 : $m^{4}-256$ গুণনা করুন

সমাধান: আমরা লক্ষ্য করি

$ m^{4}=(m^{2})^{2} \text{ এবং } 256=(16)^{2} $

অতএব, প্রদত্ত অভিব্যক্তি পরিচ্ছন্নতা III এর সাথে মিলে।

অতএব,

$ \begin{aligned} m^{4}-256 & =(m^{2})^{2}-(16)^{2} \\ & =(m^{2}-16)(m^{2}+16) \quad[(\text{ পরিচ্ছন্নতা (III) ব্যবহার করে }] \end{aligned} $

এখন, $(m^{2}+16)$ আরো গুণনা করা যায় না, কিন্তু $(m^{2}-16)$ আবার পরিচ্ছন্নতা III অনুযায়ী গুণনা করা যায়।

অতএব,

$ \begin{aligned} m^{2}-16 & =m^{2}-4^{2} \\ & =(m-4)(m+4) \\ m^{4}-256 & =(m-4)(m+4)(m^{2}+16) \end{aligned} $

12.2.4 $(x+a)(x+b)$ রূপের গুণগত গঠক

এখন আমরা এক চরনের মতো অভিব্যক্তি গুণনা করতে কীভাবে কাজ করা হয় তা আলোচনা করা হল, যেমন $x^{2}+5 x+6$, $y^{2}-7 y+12, z^{2}-4 z-12,3 m^{2}+9 m+6$, ইত্যাদি। লক্ষ্য করুন যে এই অভিব্যক্তিগুলি $(a+b)^{2}$ বা $(a-b)^{2}$ রূপে নয়, অর্থাৎ, তারা পরফেক্ট স্কোয়ার নয়। উদাহরণস্বরূপ, $x^{2}+5 x+6$ এর পদ 6 হল পরফেক্ট স্কোয়ার নয়। এই অভিব্যক্তিগুলি অশূন্যতার সাথে পরিচ্ছন্নতা প্রকার $(a^{2}-b^{2})$ এর সাথেও মিলে না।

তবে, এগুলি এমন মনে হয় $x^{2}+(a+b) x+a b$ রূপে। অতএব, আমরা প্রকল্প করতে পারি যে শেষ অধ্যায়ে যে পরিচ্ছন্নতা IV নিয়ে আলোচনা করা হয়েছিল তা ব্যবহার করে এই অভিব্যক্তিগুলি গুণনা করা:

$$ \begin{equation*} (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b \tag{IV} \end{equation*} $$

এর জন্য আমাদের $x$ এর সংখ্যাগত গুণগত গঠক এবং স্থির পদ দেখতে হবে। আসুন এটি কীভাবে করা হয় তা নিম্নলিখিত উদাহরণে দেখাই:

উদাহরণ 9 : $x^{2}+5 x+6$ গুণনা করুন

সমাধান: যদি আমরা পরিচ্ছন্নতা (IV) এর ডান দিকের সাথে $x^{2}+5 x+6$ তুলনা করি, তবে আমরা $a b=6$ এবং $a+b=5$ পাই। এখন আমাদের $a$ এবং $b$ পেতে হবে। তাহলে গুণগত গঠকগুলি $(x+a)$ এবং $(x+b)$ হবে।

যদি $a b=6$, তবে এর মানে $a$ এবং $b$ হল 6 এর গুণগত গঠক। আসুন $a=6, b=1$ চেষ্টা করি। এই মানগুলির জন্য $a+b=7$, এবং 5 নয়, অতএব এই পছন্দটি ঠিক নয়।

আসুন $a=2, b=3$ চেষ্টা করি। এর জন্য $a+b=5$ সম্পূর্ণ প্রয়োজনীয়।

তাহলে এই প্রদত্ত অভিব্যক্তির গুণফল রূপ $(x+2)(x+3)$।

সাধারণত, $x^{2}+p x+q$ রূপের একটি বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি গুণনা করার জন্য, আমরা $q$ (অর্থাৎ, স্থির পদ) এর $a$ এবং $b$ হল গুণগত গঠক খুঁজে নেই যাদের

$ a b=q \quad \text{ এবং } \quad a+b=p $

তাহলে, অভিব্যক্তি $\quad x^{2}+(a+b) x+a b$ হয়

অথবা: $x^{2}+a x+b x+a b$

অথবা: $x(x+a)+b(x+a)$

অথবা: $(x+a)(x+b) \quad$ যেগুলি হল প্রত্যাশিত গুণগত গঠক।

উদাহরণ 10 : $y^{2}-7 y+12$ এর গুণগত গঠক খুঁজুন।

সমাধান: আমরা লক্ষ্য করি $12=3 \times 4$ এবং $3+4=7$। অতএব,

$ \begin{aligned} y^{2}-7 y+12 & =y^{2}-3 y-4 y+12 \\ & =y(y-3)-4(y-3)=(y-3)(y-4) \end{aligned} $

লক্ষ্য করুন, এইবার আমরা পরিচ্ছন্নতা (IV) এর অভিব্যক্তির সাথে তুলনা করে $a$ এবং $b$ সনাক্ত করার চেষ্টা করিনি। পর্যাপ্ত অনুশীলনের পর আপনি প্রদত্ত অভিব্যক্তিগুলি পরিচ্ছন্নতার জন্য পরিচ্ছন্নতার অভিব্যক্তিগুলির সাথে তুলনা করার প্রয়োজন হবে না; বরং আমরা উপরে যেভাবে কাজ করেছি সেভাবে সরাসরি এগিয়ে যেতে পারেন।

উদাহরণ 11 : $z^{2}-4 z-12$ এর গুণগত গঠক পান।

সমাধান: এখানে $a b=-12$; এর মানে $a$ এবং $b$ এর মধ্যে একটি ঋণাত্মক। আরও, $a+b=-4$, এর মানে যে সংখ্যাগত মান বড় সেটি ঋণাত্মক। আমরা $a=-4, b=3$ চেষ্টা করি; কিন্তু এটি কাজ করবে না, কারণ $a+b=-1$। পরবর্তী সম্ভাব্য মানগুলি $a=-6, b=2$, যাতে $a+b=-4$ প্রয়োজনীয়।

অতএব,

$ \begin{aligned} z^{2}-4 z-12 & =z^{2}-6 z+2 z-12 \\ & =z(z-6)+2(z-6) \\ & =(z-6)(z+2) \end{aligned} $

উদাহরণ 12 : $3 m^{2}+9 m+6$ এর গুণগত গঠক খুঁজুন।

সমাধান: আমরা লক্ষ্য করি যে 3 হল সব পদের জন্য সাধারণ গুণগত গঠক।

অতএব,

$$ \begin{align*} 3 m^{2}+9 m+6 & =3(m^{2}+3 m+2) \\ m^{2}+3 m+2 & =m^{2}+m+2 m+2 \\ & =m(m+1)+2(m+1) \\ & =(m+1)(m+2) \end{align*} $$

এখন,

অতএব,

$ 3 m^{2}+9 m+6=3(m+1)(m+2) $

প্র্যাকটিস 12.2

1. নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলি গুণনা করুন।

(i) $a^{2}+8 a+16$ $\quad$ (ii) $p^{2}-10 p+25$ $\quad$ (iii) $25 m^{2}+30 m+9$

(iv) $49 y^{2}+84 y z+36 z^{2}$ $\quad$ (v) $4 x^{2}-8 x+4$ $\quad$ (vi) $121 b^{2}-88 b c+16 c^{2}$

(vii) $(l+m)^{2}-4 l m$ $\quad$ (সতর্কতা: প্রথমে $(l+m)^{2}$ বর্ধিত করুন) $\quad$ (viii) $a^{4}+2 a^{2} b^{2}+b^{4}$

2. গুণনা করুন।

(i) $4 p^{2}-9 q^{2}$ $\quad$ (ii) $63 a^{2}-112 b^{2}$ $\quad$ (iii) $49 x^{2}-36$

(iv) $16 x^{5}-144 x^{3}$ $\quad$ (v) $(l+m)^{2}-(l-m)^{2}$ $\quad$ (vi) $9 x^{2} y^{2}-16$

(vii) $(x^{2}-2 x y+y^{2})-z^{2}$ $\quad$ (viii) $25 a^{2}-4 b^{2}+28 b c-49 c^{2}$

3. অভিব্যক্তিগুলি গুণনা করুন।

(i) $a x^{2}+b x$ $\quad$ (ii) $7 p^{2}+21 q^{2}$ $\quad$ (iii) $2 x^{3}+2 x y^{2}+2 x z^{2}$

(iv) $a m^{2}+b m^{2}+b n^{2}+a n^{2}$ $\quad$ (v) $(l m+l)+m+1$ $\quad$ (vi) $y(y+z)+9(y+z)$

(vii) $5 y^{2}-20 y-8 z+2 y z$ $\quad$ (viii) $10 a b+4 a+5 b+2$ $\quad$ (ix) $6 x y-4 y+6-9 x$

4. গুণনা করুন।

(i) $a^{4}-b^{4}$ $\quad$ (iv) $x^{4}-(x-z)^{4}$ $\quad$ (ii) $p^{4}-81$

(v) $a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}$ $\quad$ (iii) $x^{4}-(y+z)^{4}$

5. নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলি গুণনা করুন।

(i) $p^{2}+6 p+8$ $\quad$ (ii) $q^{2}-10 q+21$ $\quad$ (iii) $p^{2}+6 p-16$

12.3 বীজগাণিতিক অভিব্যক্তির ভাগ

আমরা যা শিখেছিলাম তা হল বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি যোগ এবং বিয়োগ করা। আমরা জানি যে দুটি অভিব্যক্তির গুণফল কীভাবে নেওয়া হয়। তবে আমরা এখনও একটি বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি অন্য একটি বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি দ্বারা ভাগ করার বিষয়টি দেখিনি। এটি হল যা আমরা এই অধ্যায়ে করতে চাই।

আমরা মনে করি যে ভাগ গুণনার বিপরীত অপারেশন। অতএব, $7 \times 8=56$ $56 \div 8=7$ বা $56 \div 7=8$ দেয়।

একইভাবে, আমরা বীজগাণিতিক অভিব্যক্তিগুলির ভাগ করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ,

(i)

$ \begin{aligned} 2 x \times 3 x^{2} & =6 x^{3} \\ 6 x^{3} \div 2 x & =3 x^{2} \\ 6 x^{3} \div 3 x^{2} & =2 x \end{aligned} $

অতএব,

এছাড়াও,

(ii)

$ 5 x(x+4)=5 x^{2}+20 x $

অতএব, $(5 x^{2}+20 x) \div 5 x=x+4$

এছাড়াও

$ (5 x^{2}+20 x) \div(x+4)=5 x $

এখন আমরা একটি অভিব্যক্তি অন্য একটি দ্বারা ভাগ করা কীভাবে করা হয় তা আবার ভালোভাবে দেখব। শুরুতে আমরা একটি একক বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি অন্য একটি একক বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি দ্বারা ভাগ করার বিষয়টি দেখব।

12.3.1 একটি একক বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি অন্য একটি একক বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি দ্বারা ভাগ

$6 x^{3} \div 2 x$ �