12.1 પરિચય

12.1.1 પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના મૂળ

તમે ક્લાસ છેલ્લામાં મૂળ વિશે શું શીખ્યું હતું તે યાદ રહેશે. આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યા, એટલે કે 30, ને લો અને તેને અન્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગુણાકારમાં લખીએ તેમ કહીએ તેમ કે

$ \begin{aligned} 30 & =2 \times 15 \\ & =3 \times 10=5 \times 6 \end{aligned} $

આથી, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 અને 30 એ 30 ના મૂળ છે. તેમાંથી, 2, 3 અને 5 એ 30 ના અમુક મૂળ છે (શા માટે?). એક સંખ્યાને અમુક મૂળોના ગુણાકારમાં લખાય તેને તેનો અમુક મૂળ રૂપ માનવામાં આવે છે; ઉદાહરણ તરીકે, 30 ને $2 \times 3 \times 5$ તરીકે લખાય તે તેનો અમુક મૂળ રૂપ છે.

આપણે જાણીએ છીએ કે 30 ને તેને લખી શકાય છે

$ 30=1 \times 30 $

આથી, 1 અને 30 એ પણ 30 ના મૂળ છે. તમે નોંધી શકો છો કે 1 એ કોઈપણ સંખ્યાનું મૂળ છે. ઉદાહરણ તરીકે, $101=1 \times 101$. જોકે, જ્યારે આપણે સંખ્યાને મૂળોના ગુણાકારમાં લખીએ છીએ, ત્યારે આપણે 1 ને મૂળ તરીકે લખશો નહીં, સિવાયક જરૂરિયાત હોય તો જ લખીએ છીએ.

70 નો અમુક મૂળ રૂપ $2 \times 5 \times 7$ છે.

90 નો અમુક મૂળ રૂપ $2 \times 3 \times 3 \times 5$ છે, અને તોમાં.

એમજ આપણે બીજી વાક્યરચનાઓને તેમના મૂળોના ગુણાકારમાં વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ. આ એ છે કે આપણે આ પ્રકરણમાં શીખીશું.

12.1.2 બીજી વાક્યરચનાઓના મૂળ

આપણે ક્લાસ સિવ્યેવાળામાં જોયું છે કે બીજી વાક્યરચનાઓમાં, વાક્યાંશો એ મૂળોના ગુણાકારમાં બનાવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, બીજી વાક્યરચનાના વાક્યાંશમાં $5 x y$ એ મૂળો $5, x$ અને $y$ દ્વારા બનાવાયું હતું, એટલે કે

$ 5 x y=5 \times x \times y $

ધ્યાન રાખો કે $5 x y$ ના મૂળો 5, $x$ અને $y$ એ વધુ મૂળોના ગુણાકારમાં વ્યક્ત કરી શકાતા નથી. આપણે કહી શકીએ છીએ કે 5, $x$ અને $y$ એ $5 x y$ ના ‘અમુક’ મૂળ છે. બીજી વાક્યરચનાઓમાં, આપણે ‘અમુક’ ને ‘અવતરણયુક્ત’ તરીકે જ ઉપયોગ કરીએ છીએ. આપણે કહીએ છીએ કે $5 \times x \times y$ એ $5 x y$ નો અવતરણયુક્ત રૂપ છે. નોટ $5 \times(x y)$ એ $5 x y$ નો અવતરણયુક્ત રૂપ નથી, કારણ કે મૂળ $x y$ એ વધુ મૂળોના ગુણાકારમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે

નોટ 1 એ $5 x y$ નું મૂળ છે, કારણ કે

$ 5 x y=1 \times 5 \times x \times y $

શાબ્દિક રીતે, 1 એ દરેક વાક્યાંશનું મૂળ છે. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની તરીકે, જ્યાં સિવાયક જરૂરિયાત હોય ત્યાં સુધી, આપણે 1 ને કોઈપણ વાક્યાંશના અલગ મૂળ તરીકે દર્શાવતા નથી. વ્યક્ત કરવામાં આવ્યું છે કે $x y=x \times y$.

આગામી વાક્યાંશ $3 x(x+2)$ ને લો. તેને મૂળોના ગુણાકારમાં લખી શકાય છે. $3, x$ અને $(x+2)$

$ 3 x(x+2)=3 \times x \times(x+2) $

મૂળો $3, x$ અને $(x+2)$ એ $3 x(x+2)$ ના અવતરણયુક્ત મૂળ છે.

એમજ, વાક્યાંશ $10 x(x+2)(y+3)$ ને તેના અવતરણયુક્ત મૂળ રૂપમાં $10 x(x+2)(y+3)=2 \times 5 \times x \times(x+2) \times(y+3)$ તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવ્યું છે.

12.2 અવતરણ શું છે?

જ્યારે આપણે બીજી વાક્યરચનાને અવતરણ કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે તેને મૂળોના ગુણાકારમાં લખીએ છીએ. આ મૂળો આંકડાકીય સંખ્યાઓ, બીજી વાક્યરચનાના ચલ અથવા બીજી વાક્યરચનાના વાક્યાંશો હોઈ શકે છે.

$3 x y, 5 x^{2} y, 2 x(y+2), 5(y+1)(x+2)$ જેવી વાક્યાંશો પહેલાંથી પણ અવતરણ રૂપમાં છે. તેમના મૂળો તો ફક્ત તેમાંથી વાંચી શકાય છે, જેમ આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ.

એક બાજુએ વાક્યાંશો જેવી જેમ $2 x+4,3 x+3 y, x^{2}+5 x, x^{2}+5 x+6$. તેમના મૂળો શું છે તે સ્પષ્ટ નથી. આપણે આ વાક્યાંશોને અવતરણ કરવાની એક વ્યવસ્થિત પદ્ધતિને વિકસાવવી પડશે, એટલે કે તેમના મૂળો શોધવા. આ એ છે કે આપણે હમણાં કરીશું.

12.2.1 સામાન્ય મૂળોની પદ્ધતિ

• આપણે એક સરળ ઉદાહરણથી શરૂ કરીએ: $2 x+4$ ને અવતરણ કરીએ.

આપણે દરેક વાક્યાંશને અવતરણયુક્ત મૂળોના ગુણાકારમાં લખીશું;

$ \begin{aligned} 2 x & =2 \times x \\ 4 & =2 \times 2 \\ 2 x+4 & =(2 \times x)+(2 \times 2) \end{aligned} $

આઉટ: નોંધો કે મૂળ 2 એ બંને વાક્યાંશોમાં સામાન છે.

ધ્યાન રાખો, વિતરણ નિયમ દ્વારા

$ 2 \times(x+2)=(2 \times x)+(2 \times 2) $

આઉટ, આપણે લખી શકીએ છીએ

$ 2 x+4=2 \times(x+2)=2(x+2) $

આઉટ, વાક્યાંશ $2 x+4$ એ $2(x+2)$ જેવું છે. હવે આપણે તેના મૂળો વાંચી શકીએ છીએ: તે 2 અને $(x+2)$ છે. આ મૂળો અવતરણયુક્ત છે.

આગામી, $5 x y+10 x$ ને અવતરણ કરીએ.

$5 x y$ અને $10 x$ ના અવતરણયુક્ત મૂળ રૂપો ક્રમશઃ,

$ \begin{aligned} & 5 x y=5 \times x \times y \\ & 10 x=2 \times 5 \times x \end{aligned} $

નોંધો, બે વાક્યાંશોમાં 5 અને $x$ એ સામાન મૂળ છે. હવે,

$ \begin{aligned} 5 x y+10 x & =(5 \times x \times y)+(5 \times x \times 2) \\ & =(5 x \times y)+(5 x \times 2) \end{aligned} $

આપણે વિતરણ નિયમનો ઉપયોગ કરીને બે વાક્યાંશોને ભેગા કરીએ છીએ,

$ (5 x \times y)+(5 x \times 2)=5 x \times(y+2) $

આઉટ, $5 x y+10 x=5 x(y+2)$. (આ એ ઇચ્છિત અવતરણ રૂપ છે.)

ઉદાહરણ 1 : $12 a^{2} b+15 a b^{2}$ ને અવતરણ કરીએ

ઉકેલ: આપણે $12 a^{2} b=2 \times 2 \times 3 \times a \times a \times b$ છીએ

$ 15 a b^{2}=3 \times 5 \times a \times b \times b $

બે વાક્યાંશોમાં $3, a$ અને $b$ એ સામાન મૂળ છે.

આઉટ,

$ \begin{aligned} 12 a^{2} b+15 a b^{2} & =(3 \times a \times b \times 2 \times 2 \times a)+(3 \times a \times b \times 5 \times b) \\ & =3 \times a \times b \times[(2 \times 2 \times a)+(5 \times b)] \quad \text{ (વાક્યાંશોને ભેગા કરીને) } \\ & =3 a b \times(4 a+5 b) \\ & =3 a b(4 a+5 b) \quad \text{ (ઇચ્છિત અવતરણ રૂપ) } \end{aligned} $

ઉદાહરણ 2 : $10 x^{2}-18 x^{3}+14 x^{4}$ ને અવતરણ કરીએ

ઉકેલ:

$ \begin{aligned} 10 x^{2} & =2 \times 5 \times x \times x \\ 18 x^{3} & =2 \times 3 \times 3 \times x \times x \times x \\ 14 x^{4} & =2 \times 7 \times x \times x \times x \times x \end{aligned} $

ત્રણ વાક્યાંશોના સામાન મૂળો છે $2, x$ અને $x$.

આઉટ, $10 x^{2}-18 x^{3}+14 x^{4}=(2 \times x \times x \times 5)-(2 \times x \times x \times 3 \times 3 \times x)$

$ \begin{aligned} & +(2 \times x \times x \times 7 \times x \times x) \\ = & 2 \times x \times x \times[(5-(3 \times 3 \times x)+(7 \times x \times x)] \\ = & 2 x^{2} \times(5-9 x+7 x^{2})=2 x^{2}(7 x^{2}-9 x+5) \end{aligned} $

$ =2 \times x \times x \times[(5-(3 \times 3 \times x)+(7 \times x \times x)] \text{ (ત્રણ વાક્યાંશોને ભેગા કરીને) } $

શું તમે નોંધ્યું છે કે વાક્યાંશનો અવતરણ રૂપ ફક્ત એક વાક્યાંશથી જ બને છે?

આપણે પ્રયત્ન કરીએ

અવતરણ કરીએ:

(i) $12 x+36$

(ii) $22 y-33 z$

(iii) $14 p q+35 p q r$

12.2.2 વાક્યાંશોને ફરીથી ગુંજનામાં અવતરણ

વાક્યાંશ $2 x y+2 y+3 x+3$ પર નેવો. તમે નોંધશો કે પહેલાં બે વાક્યાંશોમાં સામાન મૂળો 2 અને $y$ છે અને છેલ્લા બે વાક્યાંશોમાં 3 એ સામાન મૂળ છે. પણ બધા વાક્યાંશોમાં એક જ સામાન મૂળ નથી. આપણે કેવી રીતે આગળ વધીએ?

આપણે $(2 x y+2 y)$ ને અવતરણ રૂપમાં લખીએ છીએ:

એમજ,

$ \begin{aligned} 2 x y+2 y & =(2 \times x \times y)+(2 \times y) \\ & =(2 \times y \times x)+(2 \times y \times 1) \\ & =(2 y \times x)+(2 y \times 1)=2 y(x+1) \\ 3 x+3 & =(3 \times x)+(3 \times 1) \\ & =3 \times(x+1)=3(x+1) \end{aligned} $

આઉટ,

$ 2 x y+2 y+3 x+3=2 y(x+1)+3(x+1) $

હવે, આપણે જાણ્યા જેવું નોંધો કે બંને વાક્યાંશોમાં હમણે સામાન મૂળ $(x+1)$ છે. બે વાક્યાંશોને ભેગા કરીને,

$ 2 x y+2 y+3 x+3=2 y(x+1)+3(x+1)=(x+1)(2 y+3) $

હવે વાક્યાંશ $2 x y+2 y+3 x+3$ એ મૂળોના ગુણાકારમાં છે. તેના મૂળો છે $(x+1)$ અને $(2 y+3)$. નોંધો, આ મૂળો અવતરણયુક્ત છે.

ફરીથી ગુંજન શું છે?

જો ઉપરાંત વાક્યાંશ $2 x y+3+2 y+3 x$ તરીકે આપવામાં આવ્યો હોત, તો અવતરણ કરવો સરળ નહીં થશે. વાક્યાંશને $2 x y+2 y+3 x+3$ તરીકે પુનઃગોઠવવાથી, આપણે ગુંજા $(2 x y+2 y)$ અને $(3 x+3)$ બનાવી શકીએ છીએ જેનાથી અવતરણ થાય છે. આ એ છે ફરીથી ગુંજન.

ફરીથી ગુંજન એક જ રીતે થઈ શકે છે. જો આપણે વાક્યાંશને એમ ફરીથી ગુંજી: $2 x y+3 x+2 y+3$. આ પણ મૂળોને પ્રાપ્ત કરશે. ચાલો આપણે પ્રયત્ન કરીએ:

$ \begin{aligned} 2 x y+3 x+2 y+3 & =2 \times x \times y+3 \times x+2 \times y+3 \\ & =x \times(2 y+3)+1 \times(2 y+3) \\ & =(2 y+3)(x+1) \end{aligned} $

મૂળો એ જ છે (કારણ કે તેમને એ જ હોવું જોઈએ), જોકે તેમની ક્રમશૃંખલામાં અલગ અલગ દેખાય છે.

ઉદાહરણ 3 : $6 x y-4 y+6-9 x$ ને અવતરણ કરીએ.

ઉકેલ:

હળવા પગલું તપાસો કે બધા વાક્યાંશોમાં સામાન મૂળ છે કે નહીં. તેમાં કોઈ પણ છે.

હળવા પગલું ગુંજન વિચારો. નોંધો કે પહેલાં બે વાક્યાંશોમાં સામાન મૂળ $2 y$ છે;

$$ \begin{equation*} 6 x y-4 y=2 y(3 x-2) \tag{a} \end{equation*} $$

છેલ્લા બે વાક્યાંશો માટે શું? તેમને નોંધો. જો તમે તેમનો ક્રમ બદલો $-9 x+6$, તો મૂળ $(3 x-2)$ બહાર આવશે;

$$ \begin{align*} -9 x+6 & =-3(3 x)+3(2) \\ & =-3(3 x-2) \tag{b} \end{align*} $$

હળવા પગલું (a) અને (b) ને જોડીને,

$ \begin{aligned} 6 x y-4 y+6-9 x & =6 x y-4 y-9 x+6 \\ & =2 y(3 x-2)-3(3 x-2) \\ & =(3 x-2)(2 y-3) \end{aligned} $

$(6 x y-4 y+6-9 x)$ ના મૂળો છે $(3 x-2)$ અને $(2 y-3)$.

અભ્યાસક્રમ 12.1

1. આપેલા વાક્યાંશોના સામાન મૂળો શોધો.

(i) $12 x, 36$ $\quad$ (ii) $2 y, 22 x y$ $\quad$ (iii) $14 p q, 28 p^{2} q^{2}$

(iv) $2 x, 3 x^{2}, 4$ $\quad$ (v) $6 a b c, 24 a b^{2}, 12 a^{2} b$ $\quad$ (vi) $16 x^{3},-4 x^{2}, 32 x$

(vii) $10 p q, 20 q r, 30 r p$ $\quad$ (viii) $3 x^{2} y^{3}, 10 x^{3} y^{2}, 6 x^{2} y^{2} z$

2. આપેલા વાક્યાંશોને અવતરણ કરીએ. (i) $7 x-42$ $\quad$ (ii) $6 p-12 q$ $\quad$ (iii) $7 a^{2}+14 a$

(iv) $-16 z+20 z^{3}$ $\quad$ (v) $20 l^{2} m+30 a l m$ $\quad$ (vi) $5 x^{2} y-15 x y^{2}$

(vii) $10 a^{2}-15 b^{2}+20 c^{2}$ $\quad$ (viii) $-4 a^{2}+4 a b-4 c a$ $\quad$ (ix) $x^{2} y z+x y^{2} z+x y z^{2}$

(x) $a x^{2} y+b x y^{2}+c x y z$

3. અવતરણ કરીએ. (i) $x^{2}+x y+8 x+8 y$ $\quad$ (ii) $15 x y-6 x+5 y-2$ $\quad$ (iii) $a x+b x-a y-b y$

(iv) $15 p q+15+9 q+25 p$ $\quad$ (v) $z-7+7 x y-x y z$

12.2.3 ઓળખાઓનો ઉપયોગ કરીને અવતરણ

આપણે જાણીએ છીએ કે

$$ \begin{align*} (a+b)^{2} & =a^{2}+2 a b+b^{2} \tag{I}\\ (a-b)^{2} & =a^{2}-2 a b+b^{2} \tag{II}\\ (a+b)(a-b) & =a^{2}-b^{2} \tag{III} \end{align*} $$

આહેતુભૂત ઉકેલેલા ઉદાહરણો આપેલા ઓળખાઓનો ઉપયોગ કરવાનું કેવી રીતે કરવું તે દર્શાવે છે. આપણે કરીએ છીએ કે આપેલ વાક્યાંશને નોંધીએ. જો તેમનો રૂપ એક ઓળખાની બાજુએ જેવો હોય, તો તેની સંગત બાજુએ આપેલ ઓળખાનો ઉપયોગ કરીને ઇચ્છિત અવતરણ કરવો પડશે.

ઉદાહરણ 4 : $x^{2}+8 x+16$ ને અવતરણ કરીએ

ઉકેલ: વાક્યાંશને નોંધો; તેમાં ત્રણ વાક્યાંશો છે. આઉટ, તે ઓળખાની III ને મેળ નથી કરતું. પણ, તેના પહેલાં અને છેલ્લા વાક્યાંશો એ મધ્ય વાક્યાંશની સામે ધન ચિહ્ન સાથે પૂર્ણ ચતુર્ભુજ છે. આઉટ, તે ઓળખાની રૂપમાં $a^{2}+2 a b+b^{2}$ છે જ્યાં $a=x$ અને $b=4$

જેવું હોય છે

$ \begin{aligned} a^{2}+2 a b+b^{2} & =x^{2}+2(x)(4)+4^{2} \\ & =x^{2}+8 x+16 \end{aligned} $

કારણ કે: $ a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}, $

ત્યારે સરખામણી દ્વારા $x^{2}+8 x+16=(x+4)^{2}$

(ઇચ્છિત અવતરણ)

ઉદાહરણ 5 : $4 y^{2}-12 y+9$ ને અવતરણ કરીએ

ઉકેલ: $4 y^{2}=(2 y)^{2}, 9=3^{2}$ અને $12 y=2 \times 3 \times(2 y)$ નોંધો

આઉટ,

$ \begin{aligned} 4 y^{2}-12 y+9 & =(2 y)^{2}-2 \times 3 \times(2 y)+(3)^{2} \\ & =(2 y-3)^{2} \quad \text{ (ઇચ્છિત અવતરણ) } \end{aligned} $

ઉદાહરણ 6 : $49 p^{2}-36$ ને અવતરણ કરીએ

ઉકેલ: ત્રણ વાક્યાંશો છે; બંને પૂર્ણ ચતુર્ભુજ છે અને બીજું ઋણ છે. વાક્યાંશ ઓળખાની રૂપમાં $(a^{2}-b^{2})$ છે. ઓળખાની III અહીં લાગુ પડે છે;

$ \begin{aligned} 49 p^{2}-36 & =(7 p)^{2}-(6)^{2} \\ & =(7 p-6)(7 p+6)(\text{ ઇચ્છિત અવતરણ) } \end{aligned} $

ઉદાહરણ 7 : $a^{2}-2 a b+b^{2}-c^{2}$ ને અવતરણ કરીએ

ઉકેલ: આપેલ વાક્યાંશના પહેલાં ત્રણ વાક્યાંશો એ $(a-b)^{2}$ બની જાય છે. ચોથું વાક્યાંશ એ પૂર્ણ ચતુર્ભુજ છે. આઉટ, વાક્યાંશને બે પૂર્ણ ચતુર્ભુજોની તફાવતમાં લખી શકાય છે.

આઉટ, $\quad a^{2}-2 a b+b^{2}-c^{2}=(a-b)^{2}-c^{2}$

(ઓળખાની II નો ઉપયોગ કરીને)

$ =[(a-b)-c)((a-b)+c)] $

$ =(a-b-c)(a-b+c) \quad \text{ (ઇચ્છિત અવતરણ) } $

નોંધો, આપણે એક પછી એક ઓળખાઓનો ઉપયોગ કરીને ઇચ્છિત અવતરણ મેળવ્યો.

ઉદાહરણ 8 : $m^{4}-256$ ને અવતરણ કરીએ

ઉકેલ: આપણે નોંધીએ છીએ

$ m^{4}=(m^{2})^{2} \text{ અને } 256=(16)^{2} $

આઉટ, આપેલ વાક્યાંશ ઓળખાની રૂપમાં મેળ કરે છે III.

આઉટ,

$ \begin{aligned} m^{4}-256 & =(m^{2})^{2}-(16)^{2} \\ & =(m^{2}-16)(m^{2}+16) \quad[(\text{ ઓળખાની (III) નો ઉપયોગ }] \end{aligned} $

હવે, $(m^{2}+16)$ ને વધુ અવતરણ કરી શકાતું નથી, પણ $(m^{2}-16)$ એ ફરીથી ઓળખાની રૂપમાં III અનુસાર અવતરણ કરી શકાય છે.

આઉટ,

$ \begin{aligned} m^{2}-16 & =m^{2}-4^{2} \\ & =(m-4)(m+4) \\ m^{4}-256 & =(m-4)(m+4)(m^{2}+16) \end{aligned} $

12.2.4 $(x+a)(x+b)$ રૂપના મૂળ

હવે ચાલો આપણે એવા વાક્યાંશોને કે જેમ $x^{2}+5 x+6$, $y^{2}-7 y+12, z^{2}-4 z-12,3 m^{2}+9 m+6$, વગેરે એક ચલમાં છે તેને કેવી રીતે અવતરણ કરી શકાય તે વિશે ચર્ચા કરીએ. નોંધો કે આ વાક્યાંશો ઓળખાની રૂપમાં $(a+b)^{2}$ અથવા $(a-b)^{2}$ નથી, એટલે કે તેમને પૂર્ણ ચતુર્ભુજ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, $x^{2}+5 x+6$ માં, વાક્યાંશ 6 એ પૂર્ણ ચતુર્ભુજ નથી. આ વાક્યાંશો પોતાને પણ ઓળખાની રૂપમાં $(a^{2}-b^{2})$ ને મેળ નથી કરતા.

તેમને, તેમનો રૂપ એવો લાગે છે જેવો હોય છે $x^{2}+(a+b) x+a b$. આઉટ, આપણે છેલ્લા પ્રકરણમાં અભ્યાસ કરેલા ઓળખાની IV નો ઉપયોગ કરીને આ વાક્યાંશોને અવતરણ કરવાનો પ્રયત્ન કરી શકીએ છીએ:

$$ \begin{equation*} (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b \tag{IV} \end{equation*} $$

તે માટે આપણે $x$ ના ગુણકો અને ધીરેધીરી વાક્યાંશને નોંધવું પડશે. ચાલો આપણે આની મુલાકાત લેવી જોઈએ કે તે કેવી રીતે કરવામાં આવે છે. આની મુલાકાત લેવા માટે આપણે આગામી ઉદાહરણમાં કરીએ છીએ.

ઉદાહરણ 9 : $x^{2}+5 x+6$ ને અવતરણ કરીએ

ઉકેલ: જો આપણે ઓળખાની (IV) ની બાજુએના R.H.S. ને $x^{2}+5 x+6$ સાથે સરખામણી કરીએ, તો આપણે $a b=6$ અને $a+b=5$ મળી જશે. આઉટ, આપણે $a$ અને $b$ મળશે. ત્યારે મૂળો એ હશે $(x+a)$ અને $(x+b)$.

$a b=6$ હોય તો એમ કહેવું કે $a$ અને $b$ એ 6 ના મૂળ છે. ચાલો $a=6, b=1$ નો પ્રયત્ન કરીએ. આ મૂળો માટે $a+b=7$, અને 5 ને નહીં, આઉટ, આ પસંદગી સાચી નથી.

ચાલો $a=2, b=3$ નો પ્રયત્ન કરીએ. આ માટે $a+b=5$ સંપૂર્ણપણે જેવું હશે.

આઉટ, આ આપેલ વાક્યાંશનો અવતરણ રૂપ એ હશે $(x+2)(x+3)$.

સામાન્ય રીતે, ઓળખાની રૂપમાં બીજી વાક્યરચનાને અવતરણ કરવા માટે $x^{2}+p x+q$, આપણે $q$ (એટલે કે ધીરેધીરી વાક્યાંશ) ના $a$ અને $b$ જેવા બે મૂળો શોધીએ છીએ જેમાં

$ a b=q \quad \text{ અને } \quad a+b=p $

ત્યારે, વાક્યાંશ એ બની જાય $\quad x^{2}+(a+b) x+a b$

અથવા: $x^{2}+a x+b x+a b$

અથવા: $x(x+a)+b(x+a)$

અથવા: $(x+a)(x+b) \quad$ જે એ ઇચ્છિત મૂળ છે.

ઉદાહરણ 10 : $y^{2}-7 y+12$ ના મૂળો શોધો.

ઉકેલ: આપણે નોંધીએ છીએ $12=3 \times 4$ અને $3+4=7$. આઉટ,

$ \begin{aligned} y^{2}-7 y+12 & =y^{2}-3 y-4 y+12 \\ & =y(y-3)-4(y-3)=(y-3)(y-4) \end{aligned} $

નોંધો, આ વખતે આપણે ઓળખાની (IV) ની રૂપમાં આપેલ વાક્યાંશ સાથે $a$ અને $b$ ની ઓળખ કરવાનો પ્રયત્ન �