২.১ ভূমিকা

নবম শ্রেণিতে, তোমরা এক চলকের বহুপদী ও তাদের ঘাত (ডিগ্রি) সম্পর্কে পড়েছ। মনে রেখো, যদি $p(x)$, $x$-এ একটি বহুপদী হয়, তবে $p(x)$-এ $x$-এর সর্বোচ্চ ঘাতকে বহুপদী $p(x)$-এর ঘাত বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, $4 x+2$ হল $x$ চলকের একটি বহুপদী যার ঘাত $1,2 y^{2}-3 y+4$, $y$ চলকের একটি বহুপদী যার ঘাত $2,5 x^{3}-4 x^{2}+x-\sqrt{2}$

$x$ চলকের একটি বহুপদী যার ঘাত 3 এবং $7 u^{6}-\dfrac{3}{2} u^{4}+4 u^{2}+u-8$ হল $u$ চলকের একটি বহুপদী যার ঘাত 6। কিন্তু $\dfrac{1}{x-1}, \sqrt{x}+2, \dfrac{1}{x^{2}+2 x+3}$ ইত্যাদি রাশিগুলি বহুপদী নয়।

ঘাত 1 বিশিষ্ট বহুপদীকে রৈখিক বহুপদী বলে। উদাহরণস্বরূপ, $2 x-3$, $\sqrt{3} x+5, y+\sqrt{2}, x-\dfrac{2}{11}, 3 z+4, \dfrac{2}{3} u+1$ ইত্যাদি সবই রৈখিক বহুপদী। $2 x+5-x^{2}, x^{3}+1$ ইত্যাদি বহুপদীগুলি রৈখিক বহুপদী নয়।

ঘাত 2 বিশিষ্ট বহুপদীকে দ্বিঘাত বহুপদী বলে। ‘quadratic’ শব্দটি ‘quadrate’ শব্দ থেকে এসেছে, যার অর্থ ‘বর্গ’। $2 x^{2}+3 x-\dfrac{2}{5}$, $y^{2}-2,2-x^{2}+\sqrt{3} x, \dfrac{u}{3}-2 u^{2}+5, \sqrt{5} v^{2}-\dfrac{2}{3} v, 4 z^{2}+\dfrac{1}{7}$ হল দ্বিঘাত বহুপদীর কিছু উদাহরণ (যার সহগগুলি বাস্তব সংখ্যা)। আরও সাধারণভাবে, $x$-এ যেকোনো দ্বিঘাত বহুপদীর আকার হল $a x^{2}+b x+c$, যেখানে $a, b, c$ হল বাস্তব সংখ্যা এবং $a \neq 0$। ঘাত 3 বিশিষ্ট বহুপদীকে ত্রিঘাত বহুপদী বলে। ত্রিঘাত বহুপদীর কিছু উদাহরণ হল $2-x^{3}, x^{3}, \sqrt{2} x^{3}, 3-x^{2}+x^{3}, 3 x^{3}-2 x^{2}+x-1$। প্রকৃতপক্ষে, একটি ত্রিঘাত বহুপদীর সর্বাধিক সাধারণ রূপ হল

$ a x^{3}+b x^{2}+c x+d, $

যেখানে, $a, b, c, d$ হল বাস্তব সংখ্যা এবং $a \neq 0$।

এখন $p(x)=x^{2}-3 x-4$ বহুপদীটি বিবেচনা করো। তাহলে, বহুপদীতে $x=2$ বসিয়ে আমরা পাই $p(2)=2^{2}-3 \times 2-4=-6$। ’ -6 ’ এই মানটি, যা $x^{2}-3 x-4$-এ $x$-কে 2 দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাওয়া যায়, হল $x^{2}-3 x-4$-এর $x=2$-এ মান। একইভাবে, $p(0)$ হল $p(x)$-এর $x=0$-এ মান, যা -4।

যদি $p(x)$, $x$-এ একটি বহুপদী হয়, এবং যদি $k$ যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে $p(x)$-এ $x$-কে $k$ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে প্রাপ্ত মানকে $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$-এর $\boldsymbol{{}x}=\boldsymbol{{}k}$-এ মান বলা হয়, এবং একে $p(k)$ দ্বারা সূচিত করা হয়।

$p(x)=x^{2}-3 x-4$-এর $x=-1$-এ মান কত? আমাদের আছে:

$ p(-1)=(-1)^{2}-{3 \times(-1)}-4=0 $

এছাড়াও, লক্ষ্য করো যে $p(4)=4^{2}-(3 \times 4)-4=0$।

যেহেতু $p(-1)=0$ এবং $p(4)=0,-1$, তাই -1 এবং 4 কে দ্বিঘাত বহুপদী $x^{2}-3 x-4$-এর শূন্য বলা হয়। আরও সাধারণভাবে, একটি বাস্তব সংখ্যা $k$ কে বহুপদী $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$-এর একটি শূন্য বলা হয়, যদি $p(k)=0$ হয়।

তোমরা ইতিমধ্যেই নবম শ্রেণিতে শিখেছ কিভাবে একটি রৈখিক বহুপদীর শূন্য বের করতে হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি $k$, $p(x)=2 x+3$-এর একটি শূন্য হয়, তবে $p(k)=0$ আমাদের দেয় $2 k+3=0$, অর্থাৎ $k=-\dfrac{3}{2}$।

সাধারণভাবে, যদি $k$, $p(x)=a x+b$-এর একটি শূন্য হয়, তবে $p(k)=a k+b=0$, অর্থাৎ $k=\dfrac{-b}{a}$। সুতরাং, রৈখিক বহুপদী $a x+b$-এর শূন্য হল $\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-(\text{ Constant term })}{\text{ Coefficient of } x}$।

এইভাবে, একটি রৈখিক বহুপদীর শূন্য তার সহগগুলির সাথে সম্পর্কিত। অন্যান্য বহুপদীর ক্ষেত্রেও কি এমন হয়? উদাহরণস্বরূপ, একটি দ্বিঘাত বহুপদীর শূন্যগুলিও কি তার সহগগুলির সাথে সম্পর্কিত?

এই অধ্যায়ে, আমরা এই প্রশ্নগুলির উত্তর খুঁজে বের করার চেষ্টা করব। আমরা বহুপদীর জন্য বিভাজন অ্যালগরিদমও অধ্যয়ন করব।

২.২ বহুপদীর শূন্যের জ্যামিতিক অর্থ

তোমরা জান যে একটি বাস্তব সংখ্যা $k$ হল বহুপদী $p(x)$-এর একটি শূন্য যদি $p(k)=0$ হয়। কিন্তু বহুপদীর শূন্যগুলি এত গুরুত্বপূর্ণ কেন? এর উত্তর দিতে, প্রথমে আমরা রৈখিক ও দ্বিঘাত বহুপদীর জ্যামিতিক নিবেশন এবং তাদের শূন্যের জ্যামিতিক অর্থ দেখব।

প্রথমে একটি রৈখিক বহুপদী $a x+b, a \neq 0$ বিবেচনা করো। নবম শ্রেণিতে তুমি পড়েছ যে $y=a x+b$-এর লেখ একটি সরলরেখা। উদাহরণস্বরূপ, $y=2 x+3$-এর লেখ হল একটি সরলরেখা যা $(-2,-1)$ এবং $(2,7)$ বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যায়।

$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline x & -2 & 2 \\ \hline y=2 x+3 & -1 & 7 \\ \hline \end{array} $

চিত্র ২.১ থেকে তুমি দেখতে পাচ্ছ যে $y=2 x+3$-এর লেখ $x$-অক্ষকে $x=-1$ এবং $x=-2$-এর মধ্যবর্তী স্থানে ছেদ করে, অর্থাৎ $(-\dfrac{3}{2}, 0)$ বিন্দুতে। তুমি এও জান যে $2 x+3$-এর শূন্য হল $-\dfrac{3}{2}$। এইভাবে, বহুপদী $2 x+3$-এর শূন্য হল সেই বিন্দুর $x$-স্থানাঙ্ক যেখানে $y=2 x+3$-এর লেখ $x$-অক্ষকে ছেদ করে।

চিত্র ২.১

সাধারণভাবে, একটি রৈখিক বহুপদী $a x+b, a \neq 0$-এর জন্য, $y=a x+b$-এর লেখ একটি সরলরেখা যা $x$-অক্ষকে ঠিক একটি বিন্দুতে ছেদ করে, সেটি হল $(\dfrac{-b}{a}, 0)$। সুতরাং, রৈখিক বহুপদী $a x+b, a \neq 0$-এর ঠিক একটি শূন্য আছে, সেটি হল সেই বিন্দুর $x$-স্থানাঙ্ক যেখানে $y=a x+b$-এর লেখ $x$-অক্ষকে ছেদ করে।

এখন, আসো একটি দ্বিঘাত বহুপদীর শূন্যের জ্যামিতিক অর্থ খুঁজে বের করি। দ্বিঘাত বহুপদী $x^{2}-3 x-4$ বিবেচনা করো। দেখা যাক $y=x^{2}-3 x-4$-এর লেখ[^0]কেমন দেখতে। আসো $x$-এর জন্য কয়েকটি মানের অনুরূপ $y=x^{2}-3 x-4$-এর কয়েকটি মান সারণি ২.১-এ দেওয়া হিসাবে তালিকাভুক্ত করি।

সারণি ২.১

যদি আমরা উপরে তালিকাভুক্ত বিন্দুগুলি একটি গ্রাফ পেপারে স্থাপন করি এবং লেখ অঙ্কন করি, তবে এটি প্রকৃতপক্ষে চিত্র ২.২-এ দেওয়া আকারের মতো দেখাবে।

প্রকৃতপক্ষে, যেকোনো দ্বিঘাত বহুপদী $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$-এর জন্য, সংশ্লিষ্ট সমীকরণ $y=a x^{2}+b x+c$-এর লেখের দুটি আকারের একটি হয় হয় $\bigcup$-এর মতো ঊর্ধ্বমুখী খোলা বা $\bigcap$-এর মতো নিম্নমুখী খোলা, যা নির্ভর করে $a>0$ না $a<0$ তার উপর। (এই বক্ররেখাগুলিকে প্যারাবোলা বলে।)

সারণি ২.১ থেকে তুমি দেখতে পাচ্ছ যে -1 এবং 4 হল দ্বিঘাত বহুপদীর শূন্য। চিত্র ২.২ থেকেও লক্ষ্য করো যে -1 এবং 4 হল সেই বিন্দুগুলির $x$-স্থানাঙ্ক যেখানে $y=x^{2}-3 x-4$-এর লেখ $x$-অক্ষকে ছেদ করে। এইভাবে, দ্বিঘাত বহুপদী $x^{2}-3 x-4$-এর শূন্যগুলি হল সেই বিন্দুগুলির $x$-স্থানাঙ্ক যেখানে $y=x^{2}-3 x-4$-এর লেখ $x$-অক্ষকে ছেদ করে।

চিত্র ২.২

এই সত্যটি যেকোনো দ্বিঘাত বহুপদীর জন্য সত্য, অর্থাৎ একটি দ্বিঘাত বহুপদী $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$-এর শূন্যগুলি হল ঠিক সেই বিন্দুগুলির $x$-স্থানাঙ্ক যেখানে $y=a x^{2}+b x+c$-কে প্রতিনিধিত্বকারী প্যারাবোলা $x$-অক্ষকে ছেদ করে।

$y=a x^{2}+b x+c$-এর লেখের আকৃতি সম্পর্কে আমাদের পূর্ববর্তী পর্যবেক্ষণ থেকে, নিম্নলিখিত তিনটি ক্ষেত্রে হতে পারে:

ক্ষেত্র (i) : এখানে, লেখ $x$-অক্ষকে দুটি পৃথক বিন্দু A এবং $A^{\prime}$-এ ছেদ করে।

$A$ এবং $A^{\prime}$-এর $x$-স্থানাঙ্কগুলি হল এই ক্ষেত্রে দ্বিঘাত বহুপদী $a x^{2}+b x+c$-এর দুটি শূন্য (চিত্র ২.৩ দেখো)।

চিত্র ২.৩

ক্ষেত্র (ii) : এখানে, লেখ $x$-অক্ষকে ঠিক একটি বিন্দুতে ছেদ করে, অর্থাৎ দুটি সমাপতিত বিন্দুতে। সুতরাং, ক্ষেত্র (i)-এর A এবং $A^{\prime}$ বিন্দু দুটি এখানে মিলিত হয়ে একটি বিন্দু A হয়ে যায় (চিত্র ২.৪ দেখো)।

চিত্র ২.৪

A-এর $x$-স্থানাঙ্ক হল এই ক্ষেত্রে দ্বিঘাত বহুপদী $a x^{2}+b x+c$-এর একমাত্র শূন্য।

ক্ষেত্র (iii) : এখানে, লেখ হয় সম্পূর্ণরূপে $x$-অক্ষের উপরে অথবা সম্পূর্ণরূপে $x$-অক্ষের নিচে অবস্থিত। সুতরাং, এটি $x$-অক্ষকে কোনো বিন্দুতেই ছেদ করে না (চিত্র ২.৫ দেখো)।

চিত্র ২.৫

সুতরাং, দ্বিঘাত বহুপদী $a x^{2}+b x+c$-এর এই ক্ষেত্রে কোনো শূন্য নেই।

এইভাবে, তুমি জ্যামিতিকভাবে দেখতে পাচ্ছ যে একটি দ্বিঘাত বহুপদীর হয় দুটি পৃথক শূন্য অথবা দুটি সমান শূন্য (অর্থাৎ একটি শূন্য), অথবা কোনো শূন্য নাও থাকতে পারে। এর অর্থ হল ঘাত 2 বিশিষ্ট একটি বহুপদীর সর্বাধিক দুটি শূন্য থাকতে পারে।

এখন, তুমি কি আশা কর একটি ত্রিঘাত বহুপদীর শূন্যগুলির জ্যামিতিক অর্থ কী হবে? আসো বের করি। ত্রিঘাত বহুপদী $x^{3}-4 x$ বিবেচনা করো। $y=x^{3}-4 x$-এর লেখ কেমন দেখতে তা বোঝার জন্য, আসো সারণি ২.২-এ দেখানো হিসাবে $x$-এর জন্য কয়েকটি মানের অনুরূপ $y$-এর কয়েকটি মান তালিকাভুক্ত করি।

সারণি ২.২

সারণির বিন্দুগুলি একটি গ্রাফ পেপারে স্থাপন করে এবং লেখ অঙ্কন করলে, আমরা দেখি যে $y=x^{3}-4 x$-এর লেখ প্রকৃতপক্ষে চিত্র ২.৬-এ দেওয়া আকারের মতো দেখায়।

উপরের সারণি থেকে আমরা দেখি যে $-2,0$ এবং 2 হল ত্রিঘাত বহুপদী $x^{3}-4 x$-এর শূন্য। লক্ষ্য করো যে $-2,0$ এবং 2 হল, প্রকৃতপক্ষে, সেই বিন্দুগুলির $x$-স্থানাঙ্ক যেখানে $y=x^{3}-4 x$-এর লেখ $x$-অক্ষকে ছেদ করে। যেহেতু বক্ররেখাটি $x$-অক্ষকে শুধুমাত্র এই 3টি বিন্দুতে মিলিত হয়, তাই তাদের $x$-স্থানাঙ্কগুলি হল বহুপদীর একমাত্র শূন্য।

আসো আরও কয়েকটি উদাহরণ নিই। ত্রিঘাত বহুপদী $x^{3}$ এবং $x^{3}-x^{2}$ বিবেচনা করো। আমরা $y=x^{3}$ এবং $y=x^{3}-x^{2}$-এর লেখ যথাক্রমে চিত্র ২.৭ এবং চিত্র ২.৮-এ অঙ্কন করেছি।

চিত্র ২.৬

চিত্র ২.৭ https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncert-book-english/class-10-img/2024-12-10 14_32_05-NCERT.png

চিত্র ২.৮

লক্ষ্য করো যে 0 হল বহুপদী $x^{3}$-এর একমাত্র শূন্য। আরও, চিত্র ২.৭ থেকে তুমি দেখতে পাচ্ছ যে 0 হল সেই বিন্দুর $x$-স্থানাঙ্ক যেখানে $y=x^{3}$-এর লেখ $x$-অক্ষকে ছেদ করে। একইভাবে, যেহেতু $x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1), 0$ এবং 1 হল বহুপদী $x^{3}-x^{2}$-এর একমাত্র শূন্য। আরও, চিত্র ২.৮ থেকে, এই মানগুলি হল সেই বিন্দুগুলির $x$-স্থানাঙ্ক যেখানে $y=x^{3}-x^{2}$-এর লেখ $x$-অক্ষকে ছেদ করে।

উপরের উদাহরণগুলি থেকে, আমরা দেখি যে যেকোনো ত্রিঘাত বহুপদীর জন্য সর্বাধিক 3টি শূন্য থাকতে পারে। অন্য কথায়, ঘাত 3 বিশিষ্ট যেকোনো বহুপদীর সর্বাধিক তিনটি শূন্য থাকতে পারে।

মন্তব্য : সাধারণভাবে, ঘাত $n$ বিশিষ্ট একটি বহুপদী $p(x)$ দেওয়া থাকলে, $y=p(x)$-এর লেখ $x$-অক্ষকে সর্বাধিক $n$টি বিন্দুতে ছেদ করে। সুতরাং, ঘাত $n$ বিশিষ্ট একটি বহুপদী $p(x)$-এর সর্বাধিক $n$টি শূন্য থাকে।

উদাহরণ ১ : নিচে চিত্র ২.৯-এ দেওয়া লেখগুলি দেখো। প্রতিটি হল $y=p(x)$-এর লেখ, যেখানে $p(x)$ একটি বহুপদী। প্রতিটি লেখের জন্য, $p(x)$-এর শূন্যের সংখ্যা নির্ণয় করো।

চিত্র ২.৯

সমাধান :

(i) শূন্যের সংখ্যা হল 1 কারণ লেখ $x$-অক্ষকে শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে ছেদ করে।

(ii) শূন্যের সংখ্যা হল 2 কারণ লেখ $x$-অক্ষকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে।

(iii) শূন্যের সংখ্যা হল 3। (কেন?)

(iv) শূন্যের সংখ্যা হল 1। (কেন?)

(v) শূন্যের সংখ্যা হল 1। (কেন?)

(vi) শূন্যের সংখ্যা হল 4। (কেন?)

২.৩ বহুপদীর শূন্য ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক

তুমি ইতিমধ্যেই দেখেছ যে একটি রৈখিক বহুপদী $a x+b$-এর শূন্য হল $-\dfrac{b}{a}$। আমরা এখন ২.১ বিভাগে উত্থাপিত প্রশ্নের উত্তর দেবার চেষ্টা করব, যা দ্বিঘাত বহুপদীর শূন্য ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কিত। এর জন্য, আসো একটি দ্বিঘাত বহুপদী নিই, ধরি $p(x)=2 x^{2}-8 x+6$। নবম শ্রেণিতে তুমি মধ্যপদ বিভক্ত করে দ্বিঘাত বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে শিখেছ। সুতরাং, এখানে আমাদের মধ্যপদ ‘$-8 x^{\text{’ }}$’-কে দুটি পদের সমষ্টি হিসাবে বিভক্ত করতে হবে, যাদের গুণফল $6 \times 2 x^{2}=12 x^{2}$। সুতরাং, আমরা লিখি

$ \begin{aligned} 2 x^{2}-8 x+6 & =2 x^{2}-6 x-2 x+6=2 x(x-3)-2(x-3) \\ & =(2 x-2)(x-3)=2(x-1)(x-3) \end{aligned} $

সুতরাং, $p(x)=2 x^{2}-8 x+6$-এর মান শূন্য হয় যখন $x-1=0$ বা $x-3=0$, অর্থাৎ যখন $x=1$ বা $x=3$। সুতরাং, $2 x^{2}-8 x+6$-এর শূন্যগুলি হল 1 এবং 3। লক্ষ্য করো:

$ \begin{aligned} & \text{ এর শূন্যগুলির যোগফল }=1+3=4=\dfrac{-(-8)}{2}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ -এর সহগ })}{ x^{2} \text{ -এর সহগ }} \\ & \text{ এর শূন্যগুলির গুণফল }=1 \times 3=3=\dfrac{6}{2}=\dfrac{\text{ ধ্রুবপদ }}{ x^{2} \text{ -এর সহগ }} \end{aligned} $

আসো আরও একটি দ্বিঘাত বহুপদী নিই, ধরি, $p(x)=3 x^{2}+5 x-2$। মধ্যপদ বিভক্ত করার পদ্ধতি দ্বারা,

$ \begin{aligned} 3 x^{2}+5 x-2 & =3 x^{2}+6 x-x-2=3 x(x+2)-1(x+2) \\ & =(3 x-1)(x+2) \end{aligned} $

সুতরাং, $3 x^{2}+5 x-2$-এর মান শূন্য হয় যখন হয় $3 x-1=0$ অথবা $x+2=0$, অর্থাৎ যখন $x=\dfrac{1}{3}$ বা $x=-2$। সুতরাং, $3 x^{2}+5 x-2$-এর শূন্যগুলি হল $\dfrac{1}{3}$ এবং -2। লক্ষ্য করো:

$ \begin{aligned} & \text{ এর শূন্যগুলির যোগফল }=\dfrac{1}{3}+(-2)=\dfrac{-5}{3}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ -এর সহগ })}{ x^{2} \text{ -এর সহগ }} \\ & \text{ এর শূন্যগুলির গুণফল }=\dfrac{1}{3} \times(-2)=\dfrac{-2}{3}=\dfrac{\text{ ধ্রুবপদ }}{ x^{2} \text{ -এর সহগ }} \end{aligned} $

সাধারণভাবে, যদি $\alpha$[^1] এবং $\beta$[^1] দ্বিঘাত বহুপদী $p(x)=a x^{2}+b x+c$, $a \neq 0$-এর শূন্য হয়, তবে তুমি জান যে $x-\alpha$ এবং $x-\beta$ হল $p(x)$-এর উৎপাদক। সুতরাং,

$ \begin{aligned} a x^{2}+b x+c & =k(x-\alpha)(x-\beta), \text{ যেখানে } k \text{ একটি ধ্রুবক } \\ & =k[x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta] \\ & =k x^{2}-k(\alpha+\beta) x+k \alpha \beta \end{aligned} $

\missing

উভয় পাশে $x^{2}, x$ এবং ধ্রুবপদের সহগ তুলনা করে, আমরা পাই

$ \begin{aligned} a=k, b & =-k(\alpha+\beta) \text{ এবং } c=k \alpha \beta . \\ \text {এটি দেয়}\qquad \boldsymbol{{}\alpha}+\boldsymbol{{}\beta} & =\dfrac{-\boldsymbol{{}b}}{\boldsymbol{{}a}}, \\ \boldsymbol{{}\alpha} \boldsymbol{{}\beta} & =\dfrac{\boldsymbol{{}c}}{\boldsymbol{{}a}} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \text{ অর্থাৎ, } \\ & \text{ শূন্যগুলির যোগফল }=\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ -এর সহগ })}{ x^{2} \text{ -এর সহগ }}, \\ & \text{ শূন্যগুলির গুণফল }=\alpha \beta=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\text{ ধ্রুবপদ }}{ x^{2} \text{ -এর সহগ }} . \end{aligned} $

আসো কিছু উদাহরণ বিবেচনা করি।

উদাহরণ ২ : দ্বিঘাত বহুপদী $x^{2}+7 x+10$-এর শূন্যগুলি নির্ণয় করো এবং শূন্য ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক যাচাই করো।

সমাধান : আমাদের আছে

$ x^{2}+7 x+10=(x+2)(x+5) $

সুতরাং, $x^{2}+7 x+10$-এর মান শূন্য হয় যখন $x+2=0$ বা $x+5=0$, অর্থাৎ যখন $x=-2$ বা $x=-5$। সুতরাং, $x^{2}+7 x+10$-এর শূন্যগুলি হল -2 এবং -5। এখন,

$ \begin{aligned} \text{ শূন্যগুলির যোগফল } & =-2+(-5)=-(7)=\dfrac{-(7)}{1}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ -এর সহগ })}{ x^{2} \text{ -এর সহগ }}, \\ \text{ শূন্যগুলির গুণফল } & =(-2) \times(-5)=10=\dfrac{10}{1}=\dfrac{\text{ ধ্রুবপদ }}{ x^{2} \text{ -এর সহগ }} . \end{aligned} $

উদাহরণ ৩ : বহুপদী $x^{2}-3$-এর শূন্যগুলি নির্ণয় করো এবং শূন্য ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক যাচাই করো।

সমাধান : $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ অভেদটি স্মরণ করো। এটি ব্যবহার করে আমরা লিখতে পারি:

$ x^{2}-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) $

সুতরাং, $x^{2}-3$-এর মান শূন্য হয় যখন $x=\sqrt{3}$ বা $x=-\sqrt{3}$।

সুতরাং, $x^{2}-3$-এর শূন্যগুলি হল $\sqrt{3}$ এবং $-\sqrt{3}$।

এখন,

$ \begin{aligned} \text{ শূন্যগুলির যোগফল } & =\sqrt{3}-\sqrt{3}=0=\dfrac{-(\text{ } x \text{ -এর সহগ })}{ x^{2} \text{ -এর সহগ }}, \\ \text{ শূন্যগুলির গুণফল } & =(\sqrt{3})(-\sqrt{3})=-3=\dfrac{-3}{1}=\dfrac{\text{ ধ্রুবপদ }}{ x^{2} \text{ -এর সহগ }} \text{. } \end{aligned} $

উদাহরণ ৪ : একটি দ্বিঘাত বহুপদী নির্ণয় করো, যার শূন্যগুলির যোগফল ও গুণফল যথাক্রমে -3 এবং 2।

সমাধান : ধরি দ্বিঘাত বহুপদীটি হল $a x^{2}+b x+c$, এবং এর শূন্যগুলি হল $\alpha$ এবং $\beta$। আমাদের আছে

$ \alpha+\beta=-3=\dfrac{-b}{a} \text{, } $

$ \text{এবং}\qquad \alpha \beta=2=\dfrac{c}{a} . $

যদি $a=1$ হয়, তবে $b=3$ এবং $c=2$।

সুতরাং, প্রদত্ত শর্তগুলির সাথে মিলে যায় এমন একটি দ্বিঘাত বহুপদী হল $x^{2}+3 x+2$।

তুমি যাচাই করতে পারো যে এই শর্তগুলির সাথে মিলে যায় এমন অন্য যেকোনো দ্বিঘাত বহুপদী $k(x^{2}+3 x+2)$ আকারের হবে, যেখানে $k$ বাস্তব।

এখন আসো ত্রিঘাত বহুপদী দেখি। তুমি কি মনে কর একটি অনুরূপ সম্পর্ক ত্রিঘাত বহুপদীর শূন্য ও তার সহগের মধ্যে থাকে?

আসো $p(x)=2 x^{3}-5 x^{2}-14 x+8$ বিবেচনা করি।

তুমি যাচাই করতে পারো যে $x=4,-2, \dfrac{1}{2}$-এর জন্য $p(x)=0$ হয়। যেহেতু $p(x)$-এর সর্বাধিক তিনটি শূন্য থাকতে পারে, তাই এগুলোই $2 x^{3}-5 x^{2}-14 x+8$-এর শূন্য। এখন,

$ \begin{matrix} \text{ শূন্যগুলির যোগফল }=4+(-2)+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}=\dfrac{-(-5)}{2}=\dfrac{-(\text{ } x^{2} \text{ -এর সহগ })}{\text{ } x^{3} \text{ -এর সহগ }}, \\ \text{ শূন্যগুলির গুণফল }=4 \times(-2) \times \dfrac{1}{2}=-4=\dfrac{-8}{2}=\dfrac{- \text{ ধ্রুবপদ }}{\text{ } x^{3} \text{ -এর সহগ }} . \end{matrix} $

যাইহোক, এখানে আরও একটি সম্পর্ক আছে। শূন্যগুলিকে দুইটি করে নিয়ে তাদের গুণফলের যোগফল বিবেচনা করো। আমাদের আছে

$ \begin{aligned} &\{4 \times(-2)\}+\left\{(-2) \times \dfrac{1}{2}\right\}+\left\{\dfrac{1}{2} \times 4\right\} \\ &=-8-1+2=-7=\dfrac{-14}{2}=\dfrac{ \text{ } x \text{ -এর সহগ } }{ \text{ } x^{3} \text{ -এর সহগ } } \end{aligned} $

সাধারণভাবে, এটি প্রমাণ করা যায় যে যদি $\alpha, \beta, \gamma$ ত্রিঘাত বহুপদী $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$-এর শূন্য হয়, তবে

$ \begin{aligned} \alpha+\beta+\gamma & =\dfrac{-b}{a}, \\ \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha & =\dfrac{c}{a}, \\ \alpha \beta \gamma & =\dfrac{-d}{a} . \end{aligned} $

আসো একটি উদাহরণ বিবেচনা করি।

উদাহরণ ৫ : যাচাই করো যে $3,-1,-\dfrac{1}{3}$ হল ত্রিঘাত বহুপদী $p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$-এর শূন্য, এবং তারপর শূন্য ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক যাচাই করো।

সমাধান : প্রদত্ত বহুপদীকে $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$-এর সাথে তুলনা করে, আমরা পাই

$ \begin{aligned} & a=3, b=-5, c=-11, d=-3 . \text{ আরও } \\ & p(3)=3 \times 3^{3}-(5 \times 3^{2})-(11 \times 3)-3=81-45-33-3=0, \\ & p(-1)=3 \times(-1)^{3}-5 \times(-1)^{2}-11 \times(-1)-3=-3-5+11-3=0, \\ & p(-\dfrac{1}{3})=3 \times(-\dfrac{1}{3})^{3}-5 \times(-\dfrac{1}{3})^{2}-11 \times(-\dfrac{1}{3})-3, \\ & \quad=-\dfrac{1}{9}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{11}{3}-3=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}=0 \end{aligned} $

সুতরাং, $3,-1$ এবং $-\dfrac{1}{3}$ হল $3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$-এর শূন্য।

সুতরাং, আমরা ধরি $\alpha=3, \beta=-1$ এবং $\gamma=-\dfrac{1}{3}$।

এখন,

$ \begin{aligned} & \alpha+\beta+\gamma=3+(-1)+(-\dfrac{1}{3})=2-\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{3}=\dfrac{-(-5)}{3}=\dfrac{-b}{a}, \\ & \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=3 \times(-1)+(-1) \times(-\dfrac{1}{3})+(-\dfrac{1}{3}) \times 3=-3+\dfrac{1}{3}-1=\dfrac{-11}{3}=\dfrac{c}{a}, \\ & \alpha \beta \gamma=3 \times(-1) \times(-\dfrac{1}{3})=1=\dfrac{-(-3)}{3}=\dfrac{-d}{a} . \end{aligned} $

২.৪ সারাংশ

এই অধ্যায়ে, তুমি নিম্নলিখিত বিষয়গুলি অধ্যয়ন করেছ:

১. ঘাত 1, 2 এবং 3 বিশিষ্ট বহুপদীগুলিকে যথাক্রমে রৈখিক, দ্বিঘাত এবং ত্রিঘাত বহুপদী বলে।

২. বাস্তব সহগসহ $x$-এ একটি দ্বিঘাত বহুপদীর আকার হল $a x^{2}+b x+c$, যেখানে $a, b, c$ হল বাস্তব সংখ্যা এবং $a \neq 0$।

৩. একটি বহুপদী $p(x)$-এর শূন্যগুলি হল ঠিক সেই বিন্দুগুলির $x$-স্থানাঙ্ক, যেখানে $y=p(x)$-এর লেখ $x$-অক্ষকে ছেদ করে।

৪. একটি দ্বিঘাত বহুপদীর সর্বাধিক 2টি শূন্য এবং একটি ত্রিঘাত বহুপদীর সর্বাধিক 3টি শূন্য থাকতে পারে।

৫. যদি $\alpha$ এবং $\beta$ দ্বিঘাত বহুপদী $a x^{2}+b x+c$-এর শূন্য হয়, তবে

$$ \alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}, \quad \alpha \beta=\dfrac{c}{a} . $$

৬. যদি $\alpha, \beta, \gamma$ ত্রিঘাত বহুপদী $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$-এর শূন্য হয়, তবে

$ \begin{aligned} & \alpha+\beta+\gamma=\dfrac{-b}{a}, \\ & \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\dfrac{c}{a}, \\ & \text{ এবং } \quad \alpha \beta \gamma=\dfrac{-d}{a} . \end{aligned} $