2.1 تعارف

کلاس ناؤمیں میں آپ نے ایک متغیر کے پولی نومیلز اور ان کی درجے کو سیکھا ہے۔ یاد رکھیں کہ اگر $p(x)$ ایک پولی نومیل $x$ میں ہے، تو $x$ کا $p(x)$ میں سب سے زیادہ طاقت پولی نومیل $p(x)$ کی درجہ کہلاتی ہے۔ مثال کے طور پر، $4 x+2$ متغیر $x$ میں ایک پولی نومیل $1,2 y^{2}-3 y+4$ متغیر $y$ میں ایک پولی نومیل $2,5 x^{3}-4 x^{2}+x-\sqrt{2}$

متغیر $x$ میں ایک پولی نومیل درجہ 3 اور $7 u^{6}-\dfrac{3}{2} u^{4}+4 u^{2}+u-8$ متغیر $u$ میں ایک پولی نومیل درجہ 6 ہے۔ $\dfrac{1}{x-1}, \sqrt{x}+2, \dfrac{1}{x^{2}+2 x+3}$ جیسی تعبیرات پولی نومیلز نہیں ہیں۔

درجہ 1 والا پولی نومیل لائنر پولی نومیل کہلاتا ہے۔ مثال کے طور پر، $2 x-3$، $\sqrt{3} x+5, y+\sqrt{2}, x-\dfrac{2}{11}, 3 z+4, \dfrac{2}{3} u+1$، جیسے ہیں، سب لائنر پولی نومیلز ہیں۔ $2 x+5-x^{2}, x^{3}+1$ جیسے پولی نومیلز لائنر پولی نومیلز نہیں ہیں۔

درجہ 2 والا پولی نومیل خواریک پولی نومیل کہلاتا ہے۔ ‘خواریک’ کا نام ‘خواریک’ کے الفاظ سے منسوب ہے، جو ‘مربع’ کا مطلب ہے۔ $2 x^{2}+3 x-\dfrac{2}{5}$، $y^{2}-2,2-x^{2}+\sqrt{3} x, \dfrac{u}{3}-2 u^{2}+5, \sqrt{5} v^{2}-\dfrac{2}{3} v, 4 z^{2}+\dfrac{1}{7}$ خواریک پولی نومیلز کے کچھ مثالیں ہیں (جن کے مساوی ایواری پہلو ایواری عدد ہیں)۔ مزید عمومی طور پر، کوئی بھی خواریک پولی نومیل $x$ میں $a x^{2}+b x+c$ کی شکل میں ہوتی ہے، جہاں $a, b, c$ ایواری عدد ہیں اور $a \neq 0$۔ درجہ 3 والا پولی نومیل کو کیوسیکل پولی نومیل کہا جاتا ہے۔ کیوسیکل پولی نومیل کے کچھ مثالیں $2-x^{3}, x^{3}, \sqrt{2} x^{3}, 3-x^{2}+x^{3}, 3 x^{3}-2 x^{2}+x-1$ ہیں۔ در حقیقت، کیوسیکل پولی نومیل کی زیاد سے زیادہ عام شکل

$ a x^{3}+b x^{2}+c x+d, $

جہاں، $a, b, c, d$ ایواری عدد ہیں اور $a \neq 0$۔

اب پولی نومیل $p(x)=x^{2}-3 x-4$ پر نظر ڈالیں۔ اس کے بعد، $x=2$ کو پولی نومیل میں شامل کر کے، ہم $p(2)=2^{2}-3 \times 2-4=-6$ حاصل کرتے ہیں۔ $x$ کو 2 سے تبدیل کر کے $x^{2}-3 x-4$ میں حاصل کیا گیا ’ -6 ’ $x^{2}-3 x-4$ کی $x=2$ پر قدر ہے۔ بالکل اسی طرح، $p(0)$ $p(x)$ کی $x=0$ پر قدر ہے، جو -4 ہے۔

اگر $p(x)$ ایک پولی نومیل $x$ ہے، اور اگر $k$ کوئی بھی ایواری عدد ہو، تو $x$ کو $k$ سے تبدیل کر کے $p(x)$ میں حاصل کی جانے والی قدر $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$ کی $\boldsymbol{{}x}=\boldsymbol{{}k}$ پر قدر کہلاتی ہے، اور اسے $p(k)$ سے نشان زد کیا جاتا ہے۔

$p(x)=x^{2}-3 x-4$ کی $x=-1$ پر قدر کیا ہے؟ ہمیں یہ ہے:

$ p(-1)=(-1)^{2}-{3 \times(-1)}-4=0 $

اس کے علاوہ، $p(4)=4^{2}-(3 \times 4)-4=0$ پر نظر ڈالیں۔

جی $p(-1)=0$ اور $p(4)=0,-1$ اور 4 خواریک پولی نومیل $x^{2}-3 x-4$ کے صفر کہلاتے ہیں۔ مزید عمومی طور پر، ایواری عدد $k$ پولی نومیل $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$ کا صفر کہلاتا ہے، اگر $p(k)=0$۔

آپ نے پہلے ہی کلاس ناؤمیں میں لائنر پولی نومیل کے صفر کو کس طرح حاصل کریں گے، سیکھا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر $k$ $p(x)=2 x+3$ کا صفر ہے، تو $p(k)=0$ ہمیں $2 k+3=0$ دیتا ہے، یعنی $k=-\dfrac{3}{2}$۔

مزید عمومی طور پر، اگر $k$ $p(x)=a x+b$ کا صفر ہے، تو $p(k)=a k+b=0$، یعنی $k=\dfrac{-b}{a}$۔ اس لیے لائنر پولی نومیل $a x+b$ کا صفر $\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-(\text{ Constant term })}{\text{ Coefficient of } x}$ ہے۔

اس طرح، لائنر پولی نومیل کا صفر اس کے مساویوں سے منسوب ہے۔ کیا یہ دوسرے پولی نومیلز کے صفر میں بھی ہوتا ہے؟ مثال کے طور پر، خواریک پولی نومیل کے صفر بھی اس کے مساویوں سے منسوب ہوتے ہیں؟

اس فصل میں، ہم ان سوالات کا جواب دینے کی کوشش کریں گے۔ ہم پولی نومیلز کے لیے تقسیمی آلیاں بھی سیکھیں گے۔

2.2 پولی نومیل کے صفر کا روایتی مطلب

آپ جانتے ہیں کہ ایواری عدد $k$ پولی نومیل $p(x)$ کا صفر ہے اگر $p(k)=0$۔ لیکن پولی نومیل کے صفر کیوں بہت اہم ہیں؟ اس کا جواب دینے کے لیے، پہلے ہی ہم لائنر اور خواریک پولی نومیلز کی روایتی تجسمات اور ان کے صفر کا روایتی مطلب دیکھیں گے۔

پہلے ایک لائنر پولی نومیل $a x+b, a \neq 0$ پر نظر ڈالیں۔ آپ نے کلاس ناؤمیں میں سیکھا ہے کہ $y=a x+b$ کی تختہ ایک سیڑھی ہے۔ مثال کے طور پر، $y=2 x+3$ کی تختہ ایک سیڑھی ہے جو $(-2,-1)$ اور $(2,7)$ دو نقطوں سے گزرتی ہے۔

$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline x & -2 & 2 \\ \hline y=2 x+3 & -1 & 7 \\ \hline \end{array} $

فیگ 2.1 سے آپ دیکھ سکتے ہیں کہ $y=2 x+3$ کی تختہ $x$-محور کو $x=-1$ اور $x=-2$ کے درمیان میں گزرتی ہے، یعنی $(-\dfrac{3}{2}, 0)$ نقطے پر۔ آپ اس کے علاوہ جانتے ہیں کہ $2 x+3$ کا صفر $-\dfrac{3}{2}$ ہے۔ اس طرح، پولی نومیل $2 x+3$ کا صفر $x$-پہلو ہے جہاں $y=2 x+3$ کی تختہ $x$-محور پر گزرتی ہے۔

فیگ 2.1

مزید عمومی طور پر، لائنر پولی نومیل $a x+b, a \neq 0$ کے لیے، $y=a x+b$ کی تختہ ایک سیڑھی ہے جو $x$-محور کو مخصوص ایک نقطے یعنی $(\dfrac{-b}{a}, 0)$ پر گزرتی ہے۔ اس لیے لائنر پولی نومیل $a x+b, a \neq 0$، مخصوص ایک صفر کے ساتھ، یعنی $x$-پہلو ہے جہاں $y=a x+b$ کی تختہ $x$-محور پر گزرتی ہے۔

اب ہم خواریک پولی نومیل کے صفر کا روایتی مطلب تلاش کریں۔ خواریک پولی نومیل $x^{2}-3 x-4$ پر نظر ڈالیں۔ $y=x^{2}-3 x-4$ کی تختہ کیسی لگتی ہے، دیکھیں۔ $y=x^{2}-3 x-4$ کی $x$ کے کچھ قدروں کے ساتھ مطابقت پذیر کچھ قدریں لکھیں، جو جدول 2.1 میں دی گئی ہیں۔

جدول 2.1

اگر ہم اوپر دی گئی نقطوں کو تختہ پر نشان زد کر کے تختہ رسائی کریں، تو وہ در حقیقت فیگ 2.2 میں دی گئی تختہ جیسی لگے گی۔

در حقیقت، کسی بھی خواریک پولی نومیل $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ کے لیے، مطابقت پذیر معادلہ $y=a x^{2}+b x+c$ کی تختہ $\bigcup$ جیسی یا $\bigcap$ جیسی ایک سے دو شکلوں میں سے ایک ہوتی ہے یا ایسی ہوتی ہے جو $a>0$ یا $a<0$ پر منحصر ہوتی ہے۔ (یہ کروڑیاں پیرابولا کہلاتی ہیں۔)

جدول 2.1 سے آپ دیکھ سکتے ہیں کہ -1 اور 4 خواریک پولی نومیل کے صفر ہیں۔ اس کے علاوہ فیگ 2.2 سے نوٹ کریں کہ -1 اور 4 $x$-پہلو ہیں جن نقطوں کے $y=x^{2}-3 x-4$ کی تختہ $x$-محور پر گزرتی ہے۔ اس طرح، خواریک پولی نومیل $x^{2}-3 x-4$ کے صفر $x$-پہلو ہیں جن نقطوں کے $y=x^{2}-3 x-4$ کی تختہ $x$-محور پر گزرتی ہے۔

فیگ 2.2

یہ حقیقت کسی بھی خواریک پولی نومیل کے لیے درست ہے، یعنی، خواریک پولی نومیل $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ کے صفر درست درست $x$-پہلو ہیں جن نقطوں کے پیرابولا جو $y=a x^{2}+b x+c$ کو ظاہر کرتا ہے $x$-محور پر گزرتا ہے۔

ہماری پہلی نظر ڈال کے متعلق تختہ $y=a x^{2}+b x+c$ کے شکل کے بارے میں، درجہ ذیل تین صورتحال ممکن ہیں:

صورت حال (i) : یہ میں تختہ $x$-محور کو دو مختلف نقطوں A اور $A^{\prime}$ پر قطع کرتی ہے۔

$x$-پہلو $A$ اور $A^{\prime}$ کے دو صفر خواریک پولی نومیل $a x^{2}+b x+c$ کے لیے اس صورتحال میں ہیں (فیگ 2.3 دیکھیں)۔

فیگ 2.3

صورت حال (ii) : یہ میں تختہ $x$-محور کو مخصوص ایک نقطے، یعنی دو ملا ہوئے نقطوں پر قطع کرتی ہے۔ اس لیے صورت حال (i) کے دو نقطے A اور $A^{\prime}$ اس میں مل کر ایک نقطہ A بن جاتے ہیں (فیگ 2.4 دیکھیں)۔

فیگ 2.4

A کا $x$-پہلو خواریک پولی نومیل $a x^{2}+b x+c$ کے لیے اس صورتحال میں مخصوص ایک صفر ہے۔

صورت حال (iii) : یہ میں تختہ $x$-محور کے ساتھ ساتھ مکمل طور پر $x$-محور کے اوپر یا مکمل طور پر $x$-محور کے نیچے ہوتی ہے۔ اس لیے اسے $x$-محور کو کسی بھی نقطے پر قطع نہیں کرتی (فیگ 2.5 دیکھیں)۔

فیگ 2.5

اس طرح خواریک پولی نومیل $a x^{2}+b x+c$ اس صورتحال میں کوئی صفر نہیں رکھتی۔

اس لیے آپ روایتی طور پر دیکھ سکتے ہیں کہ خواریک پولی نومیل دو مختلف صفر یا دو مساوی صفر (یعنی ایک صفر)، یا کوئی صفر نہیں رکھ سکتی۔ اس کے علاوہ یہ بھی کہتے ہیں کہ درجہ 2 والا پولی نومیل زیاد سے دو صفر رکھتا ہے۔

اب، ہم کیوسیکل پولی نومیل کے صفر کا روایتی مطلب کیا چاہیے چاہتے ہیں؟ ہم اسے حاصل کریں۔ کیوسیکل پولی نومیل $x^{3}-4 x$ پر نظر ڈالیں۔ $y=x^{3}-4 x$ کی تختہ کیسی لگتی ہے، دیکھنے کے لیے، $y$ کی $x$ کے کچھ قدروں کے ساتھ مطابقت پذیر کچھ قدریں لکھیں، جو جدول 2.2 میں دکھائی گئی ہیں۔

جدول 2.2

جدول کی نقطوں کو تختہ پر نشان زد کر کے تختہ رسائی کر کے، ہم دیکھ سکتے ہیں کہ $y=x^{3}-4 x$ کی تختہ در حقیقت فیگ 2.6 میں دی گئی تختہ جیسی لگتی ہے۔

ہم اوپر دی گئی جدول سے دیکھ سکتے ہیں کہ $-2,0$ اور 2 کیوسیکل پولی نومیل $x^{3}-4 x$ کے صفر ہیں۔ مشاہدہ کریں کہ $-2,0$ اور 2، در حقیقت $x$-پہلو ہیں جن نقطوں کے $y=x^{3}-4 x$ کی تختہ $x$-محور پر گزرتی ہے۔ کیونکہ کروڑ $x$-محور کو مخصوص یہی 3 نقطوں پر گزرتی ہے، ان کے $x$-پہلو مخصوص ایک صفر ہیں۔

ہم کچھ مزید مثالیں رکھیں۔ کیوسیکل پولی نومیلز $x^{3}$ اور $x^{3}-x^{2}$ پر نظر ڈالیں۔ ہم $y=x^{3}$ اور $y=x^{3}-x^{2}$ کی تختیاں فیگ 2.7 اور فیگ 2.8 میں علیحدہ علیحدہ رسائی کرتے ہیں۔

فیگ 2.6

فیگ 2.7 https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncert-book-english/class-10-img/2024-12-10 14_32_05-NCERT.png

فیگ 2.8

نوٹ کریں کہ پولی نومیل $x^{3}$ کا مخصوص ایک صفر 0 ہے۔ اس کے علاوہ، فیگ 2.7 سے آپ دیکھ سکتے ہیں کہ 0 $x$-پہلو ہے جو نقطے کے مخصوص ایک نقطہ پر $y=x^{3}$ کی تختہ $x$-محور پر گزرتی ہے۔ بالطریقہ، کیونکہ $x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1), 0$ اور 1 مخصوص ایک صفر ہیں جو پولی نومیل $x^{3}-x^{2}$ ہیں۔ اسی طرح، فیگ 2.8 سے اس طرح، یہ قدریں $x$-پہلو ہیں جن نقطوں کے مخصوص ایک نقطوں پر $y=x^{3}-x^{2}$ کی تختہ $x$-محور پر گزرتی ہے۔

اوپر دی گئی مثالوں سے ہم دیکھ سکتے ہیں کہ کسی بھی کیوسیکل پولی نومیل کے زیاد سے 3 صفر ہو سکتے ہیں۔ دوسرے سمت میں، کسی بھی درجہ 3 والے پولی نومیل کے زیاد سے تین صفر رکھ سکتا ہے۔

تبصرہ : مزید عمومی طور پر، درجہ $n$ والا پولی نومیل $p(x)$ دیا گیا ہے، $y=p(x)$ کی تختہ $x$-محور کو زیاد سے $n$ نقطوں پر قطع کرتی ہے۔ اس لیے ایک پولی نومیل $p(x)$ درجہ $n$ والا $n$ صفر رکھتا ہے۔

مثال 1 : فیگ 2.9 میں دی گئی تختیوں پر نظر ڈالیں۔ ہر ایک $y=p(x)$ کی تختہ ہے، جہاں $p(x)$ ایک پولی نومیل ہے۔ ہر تختہ کے لیے، $p(x)$ کے صفر کی تعداد حاصل کریں۔

فیگ 2.9

حل :

(i) صفر کی تعداد 1 ہے کیونکہ تختہ مخصوص ایک نقطہ پر $x$-محور کو قطع کرتی ہے۔

(ii) صفر کی تعداد 2 ہے کیونکہ تختہ $x$-محور کو دو نقطوں پر قطع کرتی ہے۔

(iii) صفر کی تعداد 3 ہے۔ (کیونکہ؟)

(iv) صفر کی تعداد 1 ہے۔ (کیونکہ؟)

(v) صفر کی تعداد 1 ہے۔ (کیونکہ؟)

(vi) صفر کی تعداد 4 ہے۔ (کیونکہ؟)

2.3 پولی نومیل کے صفر اور مساویوں کا تعلق

آپ نے پہلے ہی دیکھا ہے کہ لائنر پولی نومیل $a x+b$ کا صفر $-\dfrac{b}{a}$ ہے۔ اب ہم فصل 2.1 میں مسو کیا گیا سوال کا جواب دینے کی کوشش کریں گے خواریک پولی نومیل کے صفر اور مساویوں کے درمیان تعلق کے بارے میں۔ اس کے لیے، ہم ایک خواریک پولی نومیل، مثلاً $p(x)=2 x^{2}-8 x+6$ پر نظر ڈالیں گے۔ کلاس ناؤمیں میں آپ نے خواریک پولی نومیل کو درمیانی حصہ کو تقسیم کر کے کس طرح تقسیم کریں گے، سیکھا ہے۔ اس لیے یہاں ہم درمیانی حصہ ’ $-8 x^{\text{’ }}$ کو ایسے دو حصوں کے مجموعے میں تقسیم کرنا چاہیے، جن کا حاصل ضرب $6 \times 2 x^{2}=12 x^{2}$ ہو۔ اس لیے ہم لکھتے ہیں

$ \begin{aligned} 2 x^{2}-8 x+6 & =2 x^{2}-6 x-2 x+6=2 x(x-3)-2(x-3) \\ & =(2 x-2)(x-3)=2(x-1)(x-3) \end{aligned} $

اس لیے $p(x)=2 x^{2}-8 x+6$ کی قدر صفر ہوتی ہے جب $x-1=0$ یا $x-3=0$، یعنی جب $x=1$ یا $x=3$۔ اس لیے $2 x^{2}-8 x+6$ کے صفر 1 اور 3 ہیں۔ مشاہدہ کریں کہ :

$ \begin{aligned} & \text{ اس کے صفروں کا مجموعہ }=1+3=4=\dfrac{-(-8)}{2}=\dfrac{-(\text{ درمیانی حصہ کا مساوی })}{\text{ سب سے بڑے حصہ کا مساوی }} \\ & \text{ اس کے صفروں کا حاصل ضرب }=1 \times 3=3=\dfrac{6}{2}=\dfrac{\text{ ثابت حصہ }}{\text{ سب سے بڑے حصہ کا مساوی }} \end{aligned} $

ہم کوئی مزید خواریک پولی نومیل رکھیں، مثلاً، $p(x)=3 x^{2}+5 x-2$۔ درمیانی حصہ کو تقسیم کرنے کی طریقے سے،

$ \begin{aligned} 3 x^{2}+5 x-2 & =3 x^{2}+6 x-x-2=3 x(x+2)-1(x+2) \\ & =(3 x-1)(x+2) \end{aligned} $

اس لیے $3 x^{2}+5 x-2$ کی قدر صفر ہوتی ہے جب $3 x-1=0$ یا $x+2=0$، یعنی جب $x=\dfrac{1}{3}$ یا $x=-2$۔ اس لیے $3 x^{2}+5 x-2$ کے صفر $\dfrac{1}{3}$ اور -2 ہیں۔ مشاہدہ کریں کہ :

$ \begin{aligned} & \text{ اس کے صفروں کا مجموعہ }=\dfrac{1}{3}+(-2)=\dfrac{-5}{3}=\dfrac{-(\text{ درمیانی حصہ کا مساوی })}{\text{ سب سے بڑے حصہ کا مساوی }} \\ & \text{ اس کے صفروں کا حاصل ضرب }=\dfrac{1}{3} \times(-2)=\dfrac{-2}{3}=\dfrac{\text{ ثابت حصہ }}{\text{ سب سے بڑے حصہ کا مساوی }} \end{aligned} $

مزید عمومی طور پر، اگر $\alpha$[^1] اور $\beta$[^1] خواریک پولی نومیل $p(x)=a x^{2}+b x+c$، $a \neq 0$ کے صفر ہیں، تو آپ جانتے ہیں کہ $x-\alpha$ اور $x-\beta$ $p(x)$ کے حصوں ہیں۔ اس لیے،

$ \begin{aligned} a x^{2}+b x+c & =k(x-\alpha)(x-\beta), \text{ جہاں } k \text{ ایک ثابت ہے } \\ & =k[x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta] \\ & =k x^{2}-k(\alpha+\beta) x+k \alpha \beta \end{aligned} $

$x^{2}, x$ اور ثابت حصے کے مساویوں کو دونوں تکن پر موازی کر کے، ہم حاصل کرتے ہیں

$ \begin{aligned} a=k, b & =-k(\alpha+\beta) \text{ اور } c=k \alpha \beta . \\ \text {اس سے ملتا ہے}\qquad \boldsymbol{{}\alpha}+\boldsymbol{{}\beta} & =\dfrac{-\boldsymbol{{}b}}{\boldsymbol{{}a}}, \\ \boldsymbol{{}\alpha} \boldsymbol{{}\beta} & =\dfrac{\boldsymbol{{}c}}{\boldsymbol{{}a}} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \text{ یعنی، } \\ & \text{ صفروں کا مجموعہ }=\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-(\text{ درمیانی حصہ کا مساوی })}{\text{ سب سے بڑے حصہ کا مساوی }}, \\ & \text{ صفروں کا حاصل ضرب }=\alpha \beta=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\text{ ثابت حصہ }}{\text{ سب سے بڑے حصہ کا مساوی }} . \end{aligned} $

ہم کچھ مثالیں رکھیں۔

مثال 2 : خواریک پولی نومیل $x^{2}+7 x+10$ کے صفر حاصل کریں، اور صفروں اور مساویوں کے درمیان تعلق کی تصدیق کریں۔

حل : ہمیں یہ ہے

$ x^{2}+7 x+10=(x+2)(x+5) $

اس لیے $x^{2}+7 x+10$ کی قدر صفر ہوتی ہے جب $x+2=0$ یا $x+5=0$، یعنی جب $x=-2$ یا $x=-5$۔ اس لیے $x^{2}+7 x+10$ کے صفر -2 اور -5 ہیں۔ اب،

$ \begin{aligned} \text{ صفروں کا مجموعہ } & =-2+(-5)=-(7)=\dfrac{-(7)}{1}=\dfrac{-(\text{ درمیانی حصہ کا مساوی })}{\text{ سب سے بڑے حصہ کا مساوی }}, \\ \text{ صفروں کا حاصل ضرب } & =(-2) \times(-5)=10=\dfrac{10}{1}=\dfrac{\text{ ثابت حصہ }}{\text{ سب سے بڑے حصہ کا مساوی }} . \end{aligned} $

مثال 3 : پولی نومیل $x^{2}-3$ کے صفر حاصل کریں اور صفروں اور مساویوں کے درمیان تعلق کی تصدیق کریں۔

حل : حقیقت $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ کا یاد رکھیں۔ اس کا استعمال کر کے، ہم لکھ سکتے ہیں:

$ x^{2}-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) $

اس لیے $x^{2}-3$ کی قدر صفر ہوتی ہے جب $x=\sqrt{3}$ یا $x=-\sqrt{3}$۔

اس لیے $x^{2}-3$ کے صفر $\sqrt{3}$ اور $-\sqrt{3}$ ہیں۔

اب،

$ \begin{aligned} \text{ صفروں کا مجموعہ } & =\sqrt{3}-\sqrt{3}=0=\dfrac{-(\text{ درمیانی حصہ کا مساوی })}{\text{ سب سے بڑے حصہ کا مساوی }}, \\ \text{ صفروں کا حاصل ضرب } & =(\sqrt{3})(-\sqrt{3})=-3=\dfrac{-3}{1}=\dfrac{\text{ ثابت حصہ }}{\text{ سب سے بڑے حصہ کا مساوی }}. \end{aligned} $

مثال 4 : ایک خواریک پولی نومیل حاصل کریں، جس کے صفروں کا مجموعہ -3 اور حاصل ضرب 2 ہوں۔

حل : خواریک پولی نومیل $a x^{2}+b x+c$ ہو، اور اس کے صفر $\alpha$ اور $\beta$ ہوں۔ ہمیں یہ ہے

$ \alpha+\beta=-3=\dfrac{-b}{a} \text{، } $

$ \text{اور}\qquad \alpha \beta=2=\dfrac{c}{a} . $

اگر $a=1$، تو $b=3$ اور $c=2$۔

ہمیں دی گئی شرائط کے مطابق ایک خواریک پولی نومیل $x^{2}+3 x+2$ ہے۔ آپ چیک کر سکتے ہیں کہ دی گئی شرائط کے مطابق کوئی دوسرا خواریک پولی نومیل $k(x^{2}+3 x+2)$ کی شکل میں ہوگا، جہاں $k$ ایواری عدد ہے۔

اب ہم کیوسیکل پولی نومیلز کا مطالبہ کریں۔ کیا آپ سوچتے ہیں کہ کیوسیکل پولی نومیل کے صفر اور اس کے مساویوں کے درمیان بالکل اسی طرح ایک تعلق ہوتا ہے؟

ہم $p(x)=2 x^{3}-5 x^{2}-14 x+8$ پر نظر ڈالیں۔

آپ چیک کر سکتے ہیں کہ $p(x)=0$ $x=4,-2, \dfrac{1}{2}$ کے لیے ہے۔ کیونکہ $p(x)$ زیاد سے تین صفر رکھ سکتا ہے، یہ صفر $2 x^{3}-5 x^{2}-14 x+8$ کے صفر ہیں۔ اب،

$ \begin{matrix} \text{ صفروں کا مجموعہ }=4+(-2)+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}=\dfrac{-(-5)}{2}=\dfrac{-(\text{ درمیانی حصہ کا مساوی })}{\text{ سب سے بڑے حصہ کا مساوی }}, \\ \text{ صفروں کا حاصل ضرب }=4 \times(-2) \times \dfrac{1}{2}=-4=\dfrac{-8}{2}=\dfrac{- \text{ ثابت حصہ }}{\text{ سب سے بڑے حصہ کا مساوی }} . \end{matrix} $

لیکن یہاں ایک مزید تعلق ہے۔ صفروں کے دو دو پر گرتے حصوں کے مجموعے کا مجموعہ دیکھیں۔ ہمیں یہ ہے

$ \begin{aligned} &\{4 \times(-2)\}+\left\{(-2) \times \dfrac{1}{2}\right\}+\left\{\dfrac{1}{2} \times 4\right\} \\ &=-8-1+2=-7=\dfrac{-14}{2}=\dfrac{ \text { درمیانی حصہ کا مساوی }{ \text { سب سے بڑے حصہ کا مساوی } } \end{aligned} $

مزید عمومی طور پر، اگر $\alpha, \beta, \gamma$ کیوسیکل پولی نومیل $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ کے صفر ہیں، تو اسے ثبوت دیا جا سکتا ہے کہ

$ \begin{aligned} \alpha+\beta+\gamma & =\dfrac{-b}{a}, \\ \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha & =\dfrac{c}{a}, \\ \alpha \beta \gamma & =\dfrac{-d}{a} . \end{aligned} $

ہم کوئی مثال رکھیں۔

مثال 5 : تصدیق کریں کہ $3,-1,-\dfrac{1}{3}$ کیوسیکل پولی نومیل $p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$ کے صفر ہیں، اور اس کے بعد صفروں اور مساویوں کے درمیان تعلق کی تصدیق کریں۔

حل : دی گئی پولی نومیل کو $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ سے موازی کر کے، ہم حاصل کرتے ہیں

$ \begin{aligned} & a=3, b=-5, c=-11, d=-3 . \text{ مزید } \\ & p(3)=3 \times 3^{3}-(5 \times 3^{2})-(11 \times 3)-3=81-45-33-3=0, \\ & p(-1)=3 \times(-1)^{3}-5 \times(-1)^{2}-11 \times(-1)-3=-3-5+11-3=0, \\ & p(-\dfrac{1}{3})=3 \times(-\dfrac{1}{3})^{3}-5 \times(-\dfrac{1}{3})^{2}-11 \times(-\dfrac{1}{3})-3, \\ & \quad=-\dfrac{1}{9}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{11}{3}-3=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}=0 \end{aligned} $

اس لیے $3,-1$ اور $-\dfrac{1}{3}$ $3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$ کے صفر ہیں۔

اس لیے ہم $\alpha=3, \beta=-1$ اور $\gamma=-\dfrac{1}{3}$ چنتے ہیں۔

اب،

$ \begin{aligned} & \alpha+\beta+\gamma=3+(-1)+(-\dfrac{1}{3})=2-\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{3}=\dfrac{-(-5)}{3}=\dfrac{-b}{a}, \\ & \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=3 \times(-1)+(-1) \times(-\dfrac{1}{3})+(-\dfrac{1}{3}) \times 3=-3+\dfrac{1}{3}-1=\dfrac{-11}{3}=\dfrac{c}{a}, \\ & \alpha \beta \gamma=3 \times(-1) \times(-\dfrac{1}{3})=1=\dfrac{-(-3)}{3}=\dfrac{-d}{a} . \end{aligned} $

2.4 جمع

اس فصل میں، آپ نے درج ذیل نکات سیکھے ہیں:

1. درجہ 1، 2 اور 3 والے پولی نومیلز لائنر، خواریک اور کیوسیکل پولی نومیلز کہلاتے ہیں۔

2. $x$ میں ایواری مساویوں کے ساتھ خواریک پولی نومیل $a x^{2}+b x+c$ کی شکل میں ہوتی ہے، جہاں $a, b, c$ ایواری عدد ہیں جہاں $a \neq 0$۔

3. پولی نومیل $p(x)$ کے صفر درست درست $x$-پہلو ہیں جن نقطوں کے $y=p(x)$ کی تختہ $x$-محور پر گزرتی ہے۔

4. خواریک پولی نومیل زیاد سے 2 صفر رکھ سکتی ہے اور کیوسیکل پولی نومیل زیاد سے 3 صفر رکھ سکتی ہے۔

5. اگر $\alpha$ اور $\beta$ خواریک پولی نومیل $a x^{2}+b x+c$ کے صفر ہیں، تو

$$ \alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}, \quad \alpha \beta=\dfrac{c}{a} . $$

6. اگر $\alpha, \beta, \gamma$ کیوسیکل پولی نومیل $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ کے صفر ہیں، تو

$ \begin{aligned} & \alpha+\beta+\gamma=\dfrac{-b}{a}, \\ & \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\dfrac{c}{a}, \\ & \text{ اور } \quad \alpha \beta \gamma=\dfrac{-d}{a} . \end{aligned} $