2.1 அறிமுகம்

நான்காம் வகுப்பில், ஒரு மாறிக்கான பல்துகொடிகளையும் அவற்றின் அளவையும் நீங்கள் படித்திருக்கிறீர்கள். பல்துகொடியின் அளவு என்பது ஒரு பல்துகொடியில் உள்ள மாறியின் அதிகபட்ச அடுக்கு என்பதாக இருந்தால், அதை நினைவில் கொள்க. எனவே, $p(x)$ என்பது $x$ இல் உள்ள ஒரு பல்துகொடியாக இருந்தால், $p(x)$ இல் $x$ இன் அதிகபட்ச அடுக்கு என்பது பல்துகொடியின் அளவாகும் $p(x)$. உதாரணமாக, $4 x+2$ என்பது மாறியில் உள்ள ஒரு பல்துகொடியாக இருந்தால் $x$ அளவு $1,2 y^{2}-3 y+4$ என்பது மாறியில் உள்ள ஒரு பல்துகொடியாக இருந்தால் $y$ அளவு $2,5 x^{3}-4 x^{2}+x-\sqrt{2}$

மாறியில் உள்ள ஒரு பல்துகொடியாக இருந்தால் $x$ அளவு 3 மற்றும் $7 u^{6}-\dfrac{3}{2} u^{4}+4 u^{2}+u-8$ என்பது மாறியில் உள்ள ஒரு பல்துகொடியாக இருந்தால் $u$ அளவு 6 . $\dfrac{1}{x-1}, \sqrt{x}+2, \dfrac{1}{x^{2}+2 x+3}$ போன்ற முன்னிலைகள் பல்துகொடிகளாக இல்லை.

அளவு 1 உள்ள பல்துகொடியை நேரிய பல்துகொடியாக அழைக்கிறோம். உதாரணமாக, $2 x-3$, $\sqrt{3} x+5, y+\sqrt{2}, x-\dfrac{2}{11}, 3 z+4, \dfrac{2}{3} u+1$, முதலியவை அனைத்தும் நேரிய பல்துகொடிகளாகும். $2 x+5-x^{2}, x^{3}+1$ போன்ற பல்துகொடிகள் நேரிய பல்துகொடிகளாக இல்லை.

அளவு 2 உள்ள பல்துகொடியை இரட்டைய பல்துகொடியாக அழைக்கிறோம். ‘இரட்டைய’ என்பது ‘சதுரம்’ என்ற சொல்லிலிருந்து வந்தது. $2 x^{2}+3 x-\dfrac{2}{5}$, $y^{2}-2,2-x^{2}+\sqrt{3} x, \dfrac{u}{3}-2 u^{2}+5, \sqrt{5} v^{2}-\dfrac{2}{3} v, 4 z^{2}+\dfrac{1}{7}$ இரட்டைய பல்துகொடிகளின் சில உதாரணமாகும் (அவற்றின் அடிப்படைகள் உண்மைய எண்களாக இருந்தால்). மேலும் பொதுவாக, எந்த இரட்டைய பல்துகொடியும் $x$ இல் $a x^{2}+b x+c$ என்ற வடிவில் இருக்கும், அங்கு $a, b, c$ உண்மைய எண்களாக இருக்கும் மற்றும் $a \neq 0$. அளவு 3 உள்ள பல்துகொடியை முக்கோண பல்துகொடியாக அழைக்கிறோம். முக்கோண பல்துகொடிகளின் சில உதாரணமாக $2-x^{3}, x^{3}, \sqrt{2} x^{3}, 3-x^{2}+x^{3}, 3 x^{3}-2 x^{2}+x-1$. அதாவது, முக்கோண பல்துகொடியின் மிக பொதுவான வடிவம்

$ a x^{3}+b x^{2}+c x+d, $

அங்கு, $a, b, c, d$ உண்மைய எண்களாக இருக்கும் மற்றும் $a \neq 0$.

இப்போது பல்துகொடியைக் கவனியுங்கள் $p(x)=x^{2}-3 x-4$. பல்துகொடியில் $x=2$ ஐ இடம் பெறும்போது, $p(2)=2^{2}-3 \times 2-4=-6$ ஐப் பெறுகிறோம். $x^{2}-3 x-4$ இல் $x$ ஐ 2 ஆக மாற்றும்போது பெறப்படும் ’ -6 ’ என்பது $x^{2}-3 x-4$ இன் $x=2$ இல் மதிப்பாகும். இப்படி செய்தால், $p(0)$ என்பது $p(x)$ இன் $x=0$ இல் மதிப்பாகும், அது -4 .

$x$ இல் உள்ள ஒரு பல்துகொடியான $p(x)$ மற்றும் $k$ என்பது எந்த உண்மைய எண்ணாக இருந்தாலும், $p(x)$ இல் $x$ ஐ $k$ ஆக மாற்றும்போது பெறப்படும் மதிப்பு $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$ இன் $\boldsymbol{{}x}=\boldsymbol{{}k}$ இல் மதிப்பாக அழைக்கப்படும், அது $p(k)$ ஆகக் குறிக்கப்படும்.

$p(x)=x^{2}-3 x-4$ இன் $x=-1$ இல் மதிப்பு என்ன? நாம் இப்படி இருக்கிறோம் :

$ p(-1)=(-1)^{2}-{3 \times(-1)}-4=0 $

மேலும், $p(4)=4^{2}-(3 \times 4)-4=0$ ஐக் கவனிக்கவும்.

$p(-1)=0$ மற்றும் $p(4)=0,-1$ மற்றும் 4 என்பவை இரட்டைய பல்துகொடியின் பூஜ்ஜியங்களாகும் $x^{2}-3 x-4$. மேலும் பொதுவாக, ஒரு உண்மைய எண் $k$ என்பது ஒரு பல்துகொடியின் பூஜ்ஜியமாகும் $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$, என்பதால் $p(k)=0$.

நான்காம் வகுப்பில், நீங்கள் ஒரு நேரிய பல்துகொடியின் பூஜ்ஜியங்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிக்கும் என்பதை ஏற்கனவே படித்திருக்கிறீர்கள். உதாரணமாக, $k$ என்பது $p(x)=2 x+3$ இன் ஒரு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், $p(k)=0$ என்பது $2 k+3=0$ ஐ எங்களுக்கு வழங்கும், அதாவது $k=-\dfrac{3}{2}$.

பொதுவாக, $k$ என்பது $p(x)=a x+b$ இன் ஒரு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், $p(k)=a k+b=0$, அதாவது $k=\dfrac{-b}{a}$. எனவே, நேரிய பல்துகொடியின் பூஜ்ஜியம் $a x+b$ ஆகும் $\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-(\text{ Constant term })}{\text{ Coefficient of } x}$.

எனவே, ஒரு நேரிய பல்துகொடியின் பூஜ்ஜியம் அதன் அடிப்படைகளுடன் தொடர்புடையதாகும். இது பிற பல்துகொடிகளின் விசயத்திலும் நடக்குமா? உதாரணமாக, ஒரு இரட்டைய பல்துகொடியின் பூஜ்ஜியங்களும் அதன் அடிப்படைகளுடன் தொடர்புடையதாகுமா?

இந்த அலகில், இந்த கேள்விகளுக்கு பதில் செய்வோம். பல்துகொடிகளுக்கான பிரிதல் விதிமுறையையும் நாம் படிப்போம்.

2.2 ஒரு பல்துகொடியின் பூஜ்ஜியங்களின் உடல்நிலை பொருள்

ஒரு உண்மைய எண் $k$ என்பது ஒரு பல்துகொடியின் பூஜ்ஜியமாகும் $p(x)$, என்பதால் $p(k)=0$. ஆனால் ஒரு பல்துகொடியின் பூஜ்ஜியங்கள் ஏன் இப்படியே முக்கியமானவை? இதற்கு பதில் செய்ய, முதலில் நேரிய மற்றும் இரட்டைய பல்துகொடிகளின் உடல்நிலை வரைபடங்களையும் அவற்றின் பூஜ்ஜியங்களின் உடல்நிலை பொருளையும் நாம் பார்ப்போம்.

முதலில் ஒரு நேரிய பல்துகொடியைக் கவனியுங்கள் $a x+b, a \neq 0$. நீங்கள் நான்காம் வகுப்பில் $y=a x+b$ இன் வரைபடம் ஒரு நேர்கோடாக இருந்தால் படித்திருக்கிறீர்கள். உதாரணமாக, $y=2 x+3$ இன் வரைபடம் புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் ஒரு நேர்கோடாகும் $(-2,-1)$ மற்றும் $(2,7)$.

$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline x & -2 & 2 \\ \hline y=2 x+3 & -1 & 7 \\ \hline \end{array} $

அதாவது, படம் 2.1 இலிருந்து, $y=2 x+3$ இன் வரைபடம் $x$-அச்சில் $x=-1$ மற்றும் $x=-2$ இடையே இடையே சரியாக எங்கே செல்கிறது என்பதை நீங்கள் பார்க்கலாம், அதாவது புள்ளியில் $(-\dfrac{3}{2}, 0)$. நீங்கள் ஏற்கனவே அறிந்துள்ளவாறு, $2 x+3$ இன் பூஜ்ஜியம் $-\dfrac{3}{2}$. எனவே, பல்துகொடியின் பூஜ்ஜியம் $2 x+3$ இன் வரைபடத்தில் $y=2 x+3$ இன் வரைபடம் $x$-அச்சில் எங்கே செல்கிறது என்பதன் $x$-அளவை.

படம். 2.1

பொதுவாக, ஒரு நேரிய பல்துகொடிக்கு $a x+b, a \neq 0$, $y=a x+b$ இன் வரைபடம் ஒரு நேர்கோடாகும் அது $x$-அச்சில் ஒரு சமமான புள்ளியில் மட்டுமே செல்கிறது, அதாவது, $(\dfrac{-b}{a}, 0)$. எனவே, நேரிய பல்துகொடியான $a x+b, a \neq 0$, ஒரு பூஜ்ஜியம் மட்டுமே வேண்டும், அதாவது, $y=a x+b$ இன் வரைபடம் $x$-அச்சில் எங்கே செல்கிறது என்பதன் $x$-அளவு.

இப்போது, ஒரு இரட்டைய பல்துகொடியின் ஒரு பூஜ்ஜியத்தின் உடல்நிலை பொருளைக் கண்டுபிடிப்போம். இரட்டைய பல்துகொடியைக் கவனியுங்கள் $x^{2}-3 x-4$. $y=x^{2}-3 x-4$ இன் வரைபடம் என்ன போன்றது என்பதை நாம் பார்ப்போம். இப்போது, $x$ ஐ சில மதிப்புகளுக்கு ஏற்ப $y=x^{2}-3 x-4$ இன் சில மதிப்புகளை பின்வருமாறு பட்டியலிடுவோம் படிவம் 2.1 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

படிவம் 2.1

நாம் பைக்குரிட்டில் பட்டியலிடப்பட்ட புள்ளிகளை சீராக அமைத்து, வரைபடத்தை வரைந்தால், அது உண்மையில் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வரைபடத்தைப் போலவே இருக்கும் படம் 2.2.

அதாவது, எந்த இரட்டைய பல்துகொடிக்கும் $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$, அதற்கு ஏற்ப நிரல் $y=a x^{2}+b x+c$ இன் வரைபடம் இரு வடிவங்களில் ஒன்றாக இருக்கும் அதாவது மேலே திறந்ததாக இருந்தால் $\bigcup$ அல்லது கீழே திறந்ததாக இருந்தால் $\bigcap$ என்பதை பொருட்படுத்துகிறோம் $a>0$ அல்லது $a<0$. (இந்த வளைவுகள் பாராபோலாக்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன.)

படிவம் 2.1 இலிருந்து நீங்கள் பார்க்கலாம் என்னவென்றால், -1 மற்றும் 4 என்பவை இரட்டைய பல்துகொடியின் பூஜ்ஜியங்களாகும். மேலும் படத்திலிருந்து கவனிக்கவும் 2.2 -1 மற்றும் 4 என்பவை $y=x^{2}-3 x-4$ இன் வரைபடம் $x$-அச்சில் எங்கே செல்கிறது என்பதன் $x$-அளவுகளாகும். எனவே, இரட்டைய பல்துகொடியின் பூஜ்ஜியங்கள் $x^{2}-3 x-4$ இன் வரைபடம் $y=x^{2}-3 x-4$ இன் வரைபடம் $x$-அச்சில் எங்கே செல்கிறது என்பதன் $x$-அளவுகளாகும்.

படம். 2.2

இந்த உண்மையை எந்த இரட்டைய பல்துகொடிக்கும் சொல்ல முடியும், அதாவது, ஒரு இரட்டைய பல்துகொடியின் பூஜ்ஜியங்கள் $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$, பாராபோலாக்கத்தை பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் $y=a x^{2}+b x+c$ இன் வரைபடம் $x$-அச்சில் எங்கே செல்கிறது என்பதன் $x$-அளவுகளாகும்.

நாம் முன்னர் $y=a x^{2}+b x+c$ இன் வரைபடத்தின் வடிவத்தைப் பற்றி பார்த்த அவற்றைச் சொல்வோம், பின்வரும் மூன்று வகைகள் நடக்கலாம்:

வகை (i) : இங்கே, வரைபடம் $x$-அச்சை இரு வேறுபட்ட புள்ளிகளில் A மற்றும் $A^{\prime}$ செல்கிறது.

புள்ளிகளின் $x$-அளவுகள் $A$ மற்றும் $A^{\prime}$ இந்த வகையில் இரட்டைய பல்துகொடியின் இரு பூஜ்ஜியங்களாகும் $a x^{2}+b x+c$ (படம் 2.3 ஐப் பார்க்கவும்).

படம். 2.3

வகை (ii) : இங்கே, வரைபடம் $x$-அச்சை ஒரு சமமான புள்ளியில் மட்டுமே செல்கிறது, அதாவது, இரண்டு சமமான புள்ளிகளில். எனவே, வகை (i) இல் உள்ள இரண்டு புள்ளிகள் A மற்றும் $A^{\prime}$ இங்கே ஒரு புள்ளியாக இருந்து A ஆகிவிடுகின்றன (படம் 2.4 ஐப் பார்க்கவும்).

படம். 2.