7.1 ગુણોત્તર અને ટકાવારીનું સ્મરણ

આપણે જાણીએ છીએ, ગુણોત્તરનો અર્થ બે જથ્થાની સરખામણી કરવી.

એક ટોપલીમાં બે પ્રકારના ફળ છે, ધારો કે, 20 સફરજન અને 5 નારંગી.

તો, નારંગીની સંખ્યાનો સફરજનની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર $=5: 20$.

સરખામણી અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને આ રીતે કરી શકાય, $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$

નારંગીની સંખ્યા સફરજનની સંખ્યા કરતાં $\frac{1}{4}$ ગણી છે. ગુણોત્તરના સંદર્ભમાં, આ $1: 4$ છે, જે “1 એ 4 ને” તરીકે વાંચવામાં આવે છે.

$ \text{ અથવા } $

સફરજનની સંખ્યાનો નારંગીની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર $=\frac{20}{5}=\frac{4}{1}$ જેનો અર્થ છે, સફરજનની સંખ્યા નારંગીની સંખ્યા કરતાં 4 ગણી છે. આ સરખામણી ટકાવારીનો ઉપયોગ કરીને પણ કરી શકાય.

25 ફળોમાંથી 5 નારંગી છે. તો નારંગીની ટકાવારી છે

$ \frac{5}{25} \times \frac{4}{4}=\frac{20}{100}=20 \% $

[છેદને 100 બનાવ્યો]. એકમ પદ્ધતિ દ્વારા: 25 ફળોમાંથી, નારંગીની સંખ્યા 5 છે. તો 100 ફળોમાંથી, નારંગીની સંખ્યા

$ =\frac{5}{25} \times 100=20 \text{. } $

કારણ કે ટોપલીમાં ફક્ત સફરજન અને નારંગી છે,

તેથી, $\quad$ સફરજનની ટકાવારી + નારંગીની ટકાવારી $=100$

અથવા સફરજનની ટકાવારી $+20=100$

અથવા $\quad$ સફરજનની ટકાવારી $=100-20=80$

આમ ટોપલીમાં $20 \%$ નારંગી અને $80 \%$ સફરજન છે.

ઉદાહરણ 1 : એક શાળામાં સાતમા ધોરણ માટે પિકનિકની યોજના બનાવવામાં આવી છે. છોકરીઓ કુલ વિદ્યાર્થીઓની $60 \%$ છે અને તેમની સંખ્યા 18 છે.

પિકનિકનું સ્થળ શાળાથી $55 km$ દૂર છે અને પરિવહન કંપની ₹ 12 પ્રતિ કિમીના દરે ચાર્જ કરે છે. તાજગીનો કુલ ખર્ચ ₹ 4280 થશે.

શું તમે કહી શકો છો.

1. વર્ગમાં છોકરીઓની સંખ્યાનો છોકરાઓની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર?

2. જો બે શિક્ષકો પણ વર્ગ સાથે જતા હોય તો પ્રતિ વ્યક્તિ ખર્ચ?

3. જો તેમનું પહેલું સ્ટોપ શાળાથી $22 km$ દૂરના સ્થળે હોય, તો $55 km$ ના કુલ અંતરની કેટલી ટકાવારી આ છે? કેટલી ટકાવારી અંતર કાપવાનું બાકી છે?

ઉકેલ:

1. છોકરીઓ અને છોકરાઓનો ગુણોત્તર શોધવા.

અશિમા અને જ્હોન નીચેના જવાબો સાથે આવ્યા.

તેમને છોકરાઓની સંખ્યા અને કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા જાણવાની જરૂર હતી.

અશિમાએ આ કર્યું

કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $x .60 \%$ ધારો. $x$ છોકરીઓ છે. તેથી, $60 \%$ $x=18$ $\frac{60}{100} \times x=18$ અથવા, $x=\frac{18 \times 100}{60}=30$ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $=30$.

જ્હોને એકમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો

100 વિદ્યાર્થીઓમાં 60 છોકરીઓ છે.

$\frac{100}{60}$ વિદ્યાર્થીઓમાં એક છોકરી છે.

તો, 18 છોકરીઓ કેટલા વિદ્યાર્થીઓમાંથી છે?

વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $=\frac{100}{60} \times 18$

$ =30 $

તેથી, છોકરાઓની સંખ્યા $=30-18=12$.

આમ, છોકરીઓની સંખ્યાનો છોકરાઓની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર $18: 12$ અથવા $\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$ છે. $\frac{3}{2}$ ને $3: 2$ તરીકે લખવામાં આવે છે અને 3 એ 2 ને તરીકે વાંચવામાં આવે છે.

2. પ્રતિ વ્યક્તિ ખર્ચ શોધવા.

પરિવહન ચાર્જ $=$ અંતર બંને માર્ગે $\times$ દર

$ \begin{aligned} & =₹(55 \times 2) \times 12 \\ & =₹ 110 \times 12=₹ 1320 \end{aligned} $

કુલ ખર્ચ $=$ તાજગી ચાર્જ + પરિવહન ચાર્જ

$ =₹ 4280+₹ 1320 $

$ =₹ 5600 $

કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $=18$ છોકરીઓ +12 છોકરાઓ +2 શિક્ષકો

$ =32 \text{ વ્યક્તિઓ } $

અશિમા અને જ્હોને પછી પ્રતિ વ્યક્તિ ખર્ચ શોધવા માટે એકમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો.

32 વ્યક્તિઓ માટે, ખર્ચ થયેલી રકમ ₹ 5600 હશે.

1 વ્યક્તિ માટે ખર્ચ થયેલી રકમ $=₹ \frac{5600}{32}=₹ 175$.

3. જ્યાં પહેલું સ્ટોપ કરવામાં આવ્યું હતું તે સ્થળનું અંતર $=22 km$.

અંતરની ટકાવારી શોધવા:

અશિમાએ આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો:

$\frac{22}{55} = \frac{22}{55} \times \frac{100}{100} = 40 \% $

તેણી ગુણોત્તરને
વડે ગુણાકાર કરી રહી છે

અને ટકાવારીમાં રૂપાંતરિત કરી રહી છે.

અથવા

જ્હોને એકમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો:
55 કિમી માંથી, 22 કિમી મુસાફરી કરવામાં આવી છે.
1 કિમી માંથી, $\frac{22}{55}$ કિમી મુસાફરી કરવામાં આવી છે
100 કિમી માંથી, $\frac{22}{55} \times 100$ કિમી મુસાફરી કરવામાં આવી છે.
એટલે કે કુલ અંતરની 40% મુસાફરી કરવામાં આવી છે.

બંને સમાન જવાબ સાથે આવ્યા કે જ્યાં તેઓએ સ્ટોપ કર્યું હતું તે સ્થળનું તેમની શાળાથીનું અંતર તેઓએ મુસાફરી કરવાનું હતું તે કુલ અંતરનું $40 \%$ હતું.

તેથી, મુસાફરી કરવાનું બાકી રહેલું અંતરની ટકાવારી $=100 \%-40 \%=60 \%$.

આ પ્રયાસ કરો

એક પ્રાથમિક શાળામાં, માતાપિતાઓને તેમના બાળકોને હોમવર્ક કરવામાં મદદ કરવા માટે દિવસના કેટલા કલાક ખર્ચે છે તે વિશે પૂછવામાં આવ્યું હતું. 90 માતાપિતા હતા જેઓ $\frac{1}{2}$ કલાકથી $1 \frac{1}{2}$ કલાક સુધી મદદ કરતા હતા. જે સમય માટે તેઓએ મદદ કરી હોવાનું કહ્યું હતું તે મુજબ માતાપિતાઓનું વિતરણ આસની આકૃતિમાં આપેલું છે; $20 \%$ $1 \frac{1}{2}$ કલાકથી વધુ સમય માટે મદદ કરતા હતા;

$30 \%$ $\frac{1}{2}$ કલાકથી $1 \frac{1}{2}$ કલાક સુધી મદદ કરતા હતા; $50 \%$ બિલકુલ મદદ કરતા ન હતા.

આનો ઉપયોગ કરીને, નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો:

(i) કેટલા માતાપિતાઓનો સર્વે લેવામાં આવ્યો હતો?

(ii) કેટલાએ કહ્યું કે તેઓએ મદદ કરી ન હતી?

(iii) કેટલાએ કહ્યું કે તેઓએ $1 \frac{1}{2}$ કલાકથી વધુ સમય માટે મદદ કરી હતી?

કસરત 7.1

1. નીચેનાનો ગુણોત્તર શોધો.

(a) સાઇકલની ઝડપ $15 km$ પ્રતિ કલાકનો સ્કૂટરની ઝડપ $30 km$ પ્રતિ કલાક સાથે ગુણોત્તર.

(b) $5 m$ નો $10 km$ સાથે ગુણોત્તર

(c) 50 પૈસાનો ₹ 5 સાથે ગુણોત્તર

2. નીચેના ગુણોત્તરોને ટકાવારીમાં રૂપાંતરિત કરો. (a) $3: 4$ (b) $2: 3$

3. 25 વિદ્યાર્થીઓમાંથી $72 \%$ ગણિતમાં રુચિ ધરાવે છે. કેટલા ગણિતમાં રુચિ ધરાવતા નથી?

4. એક ફૂટબોલ ટીમે તેમણે ખેલેલી કુલ મેચોમાંથી 10 મેચ જીતી. જો તેમની જીતની ટકાવારી 40 હતી, તો તેમણે કુલ કેટલી મેચો ખેલી?

5. જો ચમેલી પાસે તેનો પૈસો $75 \%$ ખર્ચ્યા પછી ₹ 600 બાકી હોય, તો શરૂઆતમાં તેની પાસે કેટલા પૈસા હતા?

6. જો એક શહેરમાં $60 \%$ લોકોને ક્રિકેટ ગમે છે, $30 \%$ લોકોને ફૂટબોલ ગમે છે અને બાકીના લોકોને અન્ય રમતો ગમે છે, તો કેટલી ટકા લોકોને અન્ય રમતો ગમે છે? જો કુલ લોકોની સંખ્યા 50 લાખ છે, તો દરેક પ્રકારની રમત ગમતી લોકોની ચોક્કસ સંખ્યા શોધો.

7.2 વટાળ શોધવો

વટાળ એ ચિહ્નિત કિંમત (MP) પર આપવામાં આવેલી ઘટાડો છે.

આ સામાન્ય રીતે ગ્રાહકોને માલ ખરીદવા માટે આકર્ષિત કરવા અથવા માલની વેચાણ વધારવા માટે આપવામાં આવે છે. તમે તેની વેચાણ કિંમતને ચિહ્નિત કિંમતમાંથી બાદ કરીને વટાળ શોધી શકો છો.

તેથી, વટાળ $=$ ચિહ્નિત કિંમત - વેચાણ કિંમત

ઉદાહરણ 2 : ₹ 840 પર ચિહ્નિત એક વસ્તુ ₹ 714 માં વેચવામાં આવે છે. વટાળ અને

વટાળ $ \% $ શું છે?

ઉકેલ:

વટાળ $=$ ચિહ્નિત કિંમત - વેચાણ કિંમત

$ \begin{aligned} & =₹ 840-₹ 714 \\ & =₹ 126 \end{aligned} $

કારણ કે વટાળ ચિહ્નિત કિંમત પર છે, આપણે આધાર તરીકે ચિહ્નિત કિંમતનો ઉપયોગ કરવો પડશે.

₹ 840 ની ચિહ્નિત કિંમત પર, વટાળ ₹ 126 છે.

₹ 100 ની MP પર, વટાળ કેટલો હશે?

$ \text{ વટાળ }=\frac{126}{840} \times 100 \%=15 \% $

તમે વટાળ $%$ આપેલ હોય ત્યારે પણ વટાળ શોધી શકો છો.

ઉદાહરણ 3 : એક ફ્રોકની યાદી કિંમત ₹ 220 છે. વેચાણ પર $20 \%$ નો વટાળ જાહેર કરવામાં આવ્યો છે. તેના પર વટાળની રકમ અને તેની વેચાણ કિંમત શું છે.

ઉકેલ: ચિહ્નિત કિંમત યાદી કિંમત જેટલી જ છે.

$20 \%$ વટાળનો અર્થ છે કે ₹ 100 (MP) પર, વટાળ ₹ 20 છે.

એકમ પદ્ધતિ દ્વારા, ₹ 1 પર વટાળ $₹ \frac{20}{100}$ હશે.

$₹ 220$ પર, વટાળ $=₹ \frac{20}{100} \times 220=₹ 44$

વેચાણ કિંમત $=(₹ 220-₹ 44)$ અથવા ₹ 176

રેહાનાએ વેચાણ કિંમત આ રીતે શોધી -

$20 \%$ નો વટાળ એટલે ₹ 100 ની MP માટે, વટાળ ₹ 20 છે. તેથી વેચાણ કિંમત $₹ 80$ છે. એકમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, જ્યારે MP ₹ 100 હોય, ત્યારે વેચાણ કિંમત ₹ 80 હોય;

જ્યારે MP ₹ 1 હોય, ત્યારે વેચાણ કિંમત ₹ $\frac{80}{100}$ હોય.

તેથી જ્યારે MP ₹ 220 હોય, ત્યારે વેચાણ કિંમત $=₹ \frac{80}{100} \times 220=₹ 176$.

ભલે વટાળ શોધાયો ન હોય, હું વેચાણ કિંમત સીધી શોધી શકી.

આ પ્રયાસ કરો

1. એક દુકાન $20 \%$ વટાળ આપે છે. આમાંથી દરેકની વેચાણ કિંમત શું હશે?

(a) ₹ 120 પર ચિહ્નિત એક ડ્રેસ

(b) ₹ 750 પર ચિહ્નિત એક જોડી જૂતા

(c) ₹ 250 પર ચિહ્નિત એક બેગ

2. ₹ 15,000 પર ચિહ્નિત એક ટેબલ ₹ 14,400 માં ઉપલબ્ધ છે. આપેલ વટાળ અને વટાળ ટકા શોધો.

3. એક અલમારી $5 \%$ નો વટાળ મંજૂર કર્યા પછી ₹ 5,225 માં વેચવામાં આવે છે. તેની ચિહ્નિત કિંમત શોધો.

7.2.1 ટકાવારીમાં અંદાજ

દુકાનમાં તમારો બિલ ₹ 577.80 છે અને દુકાનદાર $15 \%$ નો વટાળ આપે છે. તમે ચૂકવવાની રકમનો અંદાજ કેવી રીતે કરશો?

(i) બિલને નજીકના દસના રૂપમાં ગોળ કરો ₹ 577.80 , એટલે કે, ₹ 580 .

(ii) આનો $10 \%$ શોધો, એટલે કે, ₹ $\frac{10}{100} \times 580=₹ 58$.

(iii) આનો અડધો ભાગ લો, એટલે કે, $\frac{1}{2} \times 58=₹ 29$.

(iv) (ii) અને (iii) માં રકમો ઉમેરો ₹ 87 મેળવો.

તેથી તમે તમારી બિલ રકમમાં ₹ 87 અથવા લગભગ ₹ 85 ઘટાડો કરી શકો છો, જે લગભગ ₹ 495 થશે.

1. સમાન બિલ રકમનો $20 \%$ અંદાજ કરવાનો પ્રયાસ કરો. 2 . $15 \%$ નો $₹ 375$ શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

7.3 વેચાણ કર / મૂલ્યવર્ધિત કર / માલ અને સેવાઓ કર

શિક્ષકે વર્ગમાં એક બિલ બતાવ્યું જેમાં નીચેના હેડ લખાયેલા હતા.

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{વેચાણ કર (ST) એ સરકાર દ્વારા વસ્તુની વેચાણ પર લગાવવામાં આવે છે. તે દુકાનદાર દ્વારા}\\ \text{ગ્રાહક પાસેથી એકત્રિત કરવામાં આવે છે અને સરકારને આપવામાં આવે છે. આ, તેથી, હંમેશા} \\ \text{વસ્તુની વેચાણ કિંમત પર હોય છે અને બિલના મૂલ્યમાં ઉમેરવામાં આવે છે. બીજા પ્રકારનો કર} \\ \text{પણ હોય છે જે કિંમતોમાં સમાવિષ્ટ હોય છે જેને મૂલ્યવર્ધિત કર (VAT) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.} \\ \hline \end{array} $

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{1 જુલાઈ, 2017 થી, ભારત સરકારે GST શરૂ કર્યું છે જે માલ અને સેવાઓ કર માટે ઊભું છે }\\ \text{જે માલ અથવા સેવાઓ અથવા બંનેની પુરવઠા પર લગાવવામાં આવે છે.} \\ \hline \end{array} $

ઉદાહરણ 4 : (વેચાણ કર શોધવો) એક દુકાનમાં રોલર સ્કેટ્સની જોડીની કિંમત ₹ 450 હતી. લગાવેલો વેચાણ કર $5 \%$ હતો. બિલ રકમ શોધો.

ઉકેલ: ₹ 100 પર, ચૂકવેલ કર ₹ 5 હતો.

₹ 450 પર, ચૂકવેલ કર $=₹ \frac{5}{100} \times 450$ હશે

$ =₹ 22.50 $

બિલ રકમ $=$ વસ્તુની કિંમત + વેચાણ કર $=₹ 450+₹ 22.50=₹ 472.50$.

ઉદાહરણ 5 : (મૂલ્યવર્ધિત કર (VAT)) વહીદાએ એક એર કૂલર $10 \%$ કર સહિત ₹ 3300 માં ખરીદ્યું. VAT ઉમેરવામાં આવ્યો તે પહેલાં એર કૂલરની કિંમત શોધો.

ઉકેલ: કિંમતમાં VAT, એટલે કે, મૂલ્યવર્ધિત કર સમાવિષ્ટ છે. આમ, 10% VAT નો અર્થ છે કે જો VAT વગરની કિંમત ₹ 100 હોય તો VAT સહિત કિંમત ₹ 110 છે.

હવે, જ્યારે VAT સહિત કિંમત ₹ 110 હોય, તો મૂળ કિંમત ₹ 100 હોય.

તેથી જ્યારે કર સહિત કિંમત $₹ 3300$ હોય, તો મૂળ કિંમત $=₹ \frac{100}{110} \times 3300=₹ 3000$ હોય.

ઉદાહરણ 6 : સલીમે એક વસ્તુ $12 \%$ GST સહિત ₹ 784 માં ખરીદી. GST ઉમેરવામાં આવ્યો તે પહેલાં વસ્તુની કિંમત શું હતી?

ઉકેલ: વસ્તુની મૂળ કિંમત $₹ 100$ ધારો. GST $=12 \%$.

GST સમાવિષ્ટ કર્યા પછીની કિંમત $=₹(100+12)=₹ 112$

જ્યારે વેચાણ કિંમત $₹ 112$ હોય ત્યારે મૂળ કિંમત $=₹ 100$ હોય.

જ્યારે વેચાણ કિંમત $₹ 784$ હોય, ત્યારે મૂળ કિંમત $=₹ \frac{100}{12} \times 784=₹ 700$ હોય

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

1. સંખ્યાના બે ગણા એ સંખ્યામાં $100 \%$ વધારો છે. જો આપણે સંખ્યાનો અડધો ભાગ લઈએ તો ટકાવારીમાં કેટલો ઘટાડો થશે?

2. $₹ 2,000$ એ $₹ 2,400$ કરતાં કેટલા ટકા ઓછું છે? શું તે ટકા જેટલું જ છે જેટલા ટકાથી ₹ 2,400 એ ₹ 2,000 કરતાં વધુ છે?

કસરત 7.2

1. વેચાણ દરમિયાન, એક દુકાને તમામ વસ્તુઓની ચિહ્નિત કિંમતો પર $10 \%$ નો વટાળ ઓફર કર્યો. એક જીન્સની જોડી જે ₹ 1450 પર ચિહ્નિત છે અને બે શર્ટ જે દરેક ₹ 850 પર ચિહ્નિત છે તેના માટે ગ્રાહકને કેટલું ચૂકવવું પડશે?

2. $a T V$ ની કિંમત $₹ 13,000$ છે. તેના પર લગાવવામાં આવેલો વેચાણ કરનો દર $12 \%$ છે. જો વિનોદ તે ખરીદે તો તેને કેટલી રકમ ચૂકવવી પડશે તે શોધો.

3. અરુણે સ્કેટ્સની જોડી એક વેચાણ પર ખરીદી જ્યાં આપવામાં આવેલો વટાળ $20 \%$ હતો. જો તે ચૂકવે છે તે રકમ ₹ 1,600 છે, તો ચિહ્નિત કિંમત શોધો.

4. મેં એક હેર-ડ્રાયર $8 \%$ VAT સહિત ₹ 5,400 માં ખરીદ્યો. VAT ઉમેરવામાં આવ્યો તે પહેલાંની કિંમત શોધો.

5. એક વસ્તુ $18 \%$ GST સહિત ₹ 1239 માં ખરીદવામાં આવી હતી. GST ઉમેરવામાં આવ્યો તે પહેલાં વસ્તુની કિંમત શોધો?

7.4 ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ

તમે “ફિક્સ્ડ ડિપોઝિટ માટે બેંકમાં 9% પ્રતિ વર્ષ વ્યાજ” અથવા ‘5% પ્રતિ વર્ષ વ્યાજ સાથે બચત ખાતું’ જેવા નિવેદનો સામે આવ્યા હશો.

વ્યાજ એ બેંકો અથવા પોસ્ટ ઓફિસ જેવી સંસ્થાઓ દ્વારા તેમની પાસે રાખેલા પૈસા (જમા) પર ચૂકવવામાં આવતો વધારાનો પૈસો છે. જ્યારે લોકો પૈસા ઉધાર લે છે ત્યારે પણ વ્યાજ ચૂકવવામાં આવે છે. આપણે સાદું વ્યાજ કેવી રીતે ગણવું તે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ.

ઉદાહરણ 7 : ₹ 10,000 ની રકમ 2 વર્ષ માટે $15 \%$ પ્રતિ વર્ષ વ્યાજ દરે ઉધાર લેવામાં આવી છે. આ રકમ પર સાદું વ્યાજ અને 2 વર્ષના અંતે ચૂકવવાની રકમ શોધો.

ઉકેલ: ₹ 100 પર, 1 વર્ષ માટે લગાડેલું વ્યાજ ₹ 15 છે.

ત