9.1 ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ನಾವು ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಆಯತಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅನೇಕ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಕಾಣುತ್ತೇವೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಆಕಾರದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಜಮೀನಿನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಿರಿ?

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಸಮಾನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಆಯತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದೇ?

ಚಿತ್ರ 9.1(i) ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಗ್ರಾಫ್ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಒಂದು ಶೃಂಗದಿಂದ ಎದುರು ಬದಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ [ಚಿತ್ರ 9.1(ii)]. ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ. ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ಸರಿಸಿ.

ನಿಮಗೆ ಯಾವ ಆಕಾರ ಸಿಗುತ್ತದೆ? ನಿಮಗೆ ಒಂದು ಆಯತ ಸಿಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ರಚಿಸಲಾದ ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮನೇ?

ಹೌದು, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=$ ರಚಿಸಲಾದ ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ಆಯತದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲ ಎಷ್ಟು?

ಚಿತ್ರ 9.2

ರಚಿಸಲಾದ ಆಯತದ ಉದ್ದವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪಾದಕ್ಕೆ (ಅಡಿಬದಿ) ಸಮನಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಯತದ ಅಗಲವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 9.2).

ಈಗ,

$ \begin{aligned} \text{ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ } & =\text{ ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ } \\ & =\text{ ಉದ್ದ } \times \text{ ಅಗಲ }=l \times b \end{aligned} $

ಆದರೆ ಆಯತದ ಉದ್ದ $l$ ಮತ್ತು ಅಗಲ $b$ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪಾದ $b$ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ $h$ ಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=$ ಪಾದ $\times$ ಎತ್ತರ $=b \times h$.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಯಾವುದೇ ಬದಿಯನ್ನು ಅದರ ಪಾದವಾಗಿ (ಅಡಿಬದಿ) ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಆ ಬದಿಯ ಮೇಲೆ ಎದುರು ಶೃಂಗದಿಂದ ಬೀಳಿಸಿದ ಲಂಬವನ್ನು ಎತ್ತರ (ಎತ್ತರ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ $ABCD, DE$

c $A B$ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ $A B$ ಪಾದ ಮತ್ತು DE ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಈ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ $ABCD, BF$ ಎದುರು ಬದಿ AD ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ $AD$ ಪಾದ ಮತ್ತು $BF$ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 9.2).

ಚಿತ್ರ 9.3

ಚಿತ್ರಗಳೊಳಗೆ ಸುತ್ತುವರಿದ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಬದಿಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಧಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ:

ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಸಮಾನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಧಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ. ಈಗ, ಬದಿಗಳು $7 ~cm$ ಮತ್ತು $5 ~cm$ ಇರುವ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 9.4).

ಚಿತ್ರ 9.4

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಪರಿಧಿ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ನಿಮ್ಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ.

ಈ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಆದರೆ ಸಮಾನ ಪರಿಧಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಿಮಗೆ ಕೇವಲ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪಾದ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಎತ್ತರ ತಿಳಿದಿರಬೇಕು.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(i)

(ii)

(iii) ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ $A B C D, A B=7.2 ~cm$ ಮತ್ತು $C$ ನಿಂದ $A B$ ಮೇಲಿನ ಲಂಬವು $4.5 ~cm$ ಆಗಿದೆ.

9.2 ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ಒಬ್ಬ ತೋಟಗಾರನು ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ತೋಟವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹುಲ್ಲಿನಿಂದ ಮುಚ್ಚಲು ಎಷ್ಟು ವೆಚ್ಚವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತಾನೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಪ್ರದೇಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಕಾಗದದ ತುಂಡಿನ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವಿಷಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ. ಈ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಕಾಗದದ ತುಂಡಿನ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದೇ ಗಾತ್ರದ ಇನ್ನೊಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ.

ಈಗ ನಿಮ್ಮ ಬಳಿ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ ಎರಡು ವಿಷಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳಿವೆ.

ಎರಡೂ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸರ್ವಸಮವೇ?

ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೇಲೆ ಅವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತೆ ಸಂಧಿಸಿ. ನೀವು ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತಿರುಗಿಸಬೇಕಾಗಬಹುದು.

ಈಗ ಎರಡೂ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಬದಿಗಳ ಒಂದು ಜೋಡಿಯನ್ನು ಚಿತ್ರ 9.5 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇರಿಸಿ.

ಹೀಗೆ ರಚಿಸಲಾದ ಆಕಾರವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವೇ?

ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ.

ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪಾದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪಾದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ.

ಎರಡೂ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ. ತ್ರಿಕೋನದ ಪಾದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪಾದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\frac{1}{2}($ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $)$

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2}(\text{ ಪಾದ } \times \text{ ಎತ್ತರ })(\text{ ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ }=\text{ ಪಾದ } \times \text{ ಎತ್ತರ }) \\ & =\frac{1}{2}(b \times h)(\text{ ಅಥವಾ } \frac{1}{2} b h, \text{ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ }) \end{aligned} $

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೇಲಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

2. ವಿವಿಧ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಪ್ರತಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಕರ್ಣದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕತ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ. ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸರ್ವಸಮವೇ?

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ (ಚಿತ್ರ 9.6) ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಪಾದ $AB=6 ~cm$ ಮೇಲಿವೆ.

ಪಾದ $AB$ ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರದ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು?

ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದೇ? ಹೌದು.

ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸರ್ವಸಮವೂ ಆಗಿವೆಯೇ? ಇಲ್ಲ.

ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳೆಲ್ಲವೂ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಆದರೆ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಚಿತ್ರ 9.6

ಚಿತ್ರ 9.7

ಪಾದ $6 ~cm$ ಇರುವ ಒಂದು ವಿಷಮಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ $ABC$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 9.7).

ಅದರ ಎತ್ತರ $A D$ ಇದು ಶೃಂಗ $A$ ನಿಂದ ಬೀಳುವ ಲಂಬವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ಹೊರಗಿದೆ.

ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ?

ಉದಾಹರಣೆ 1 ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಒಂದು ಬದಿ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಎತ್ತರವು ಕ್ರಮವಾಗಿ $4 ~cm$ ಮತ್ತು $3 ~cm$ ಆಗಿವೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಚಿತ್ರ 9.8).

ಪರಿಹಾರ

ಪಾದದ ಉದ್ದ $(b)=4 ~cm$, ಎತ್ತರ $(h)=3 ~cm$ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=b \times h$

$ =4 ~cm \times 3 ~cm=12 ~cm^{2} $

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $24 ~cm^{2}$ ಮತ್ತು ಪಾದ $4 ~cm$ ಆಗಿದ್ದರೆ ’ $x$ ’ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಚಿತ್ರ 9.8

ಚಿತ್ರ 9.9

ಪರಿಹಾರ

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=b \times h$

ಆದ್ದರಿಂದ, $24=4 \times x$ (ಚಿತ್ರ 9.9)

$ \text{ ಅಥವಾ } \quad \frac{24}{4}=x \text{ ಅಥವಾ } \quad x=6 ~cm $

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎತ್ತರ $6 ~cm$ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ $ABCD$ ನ ಎರಡು ಬದಿಗಳು $6 ~cm$ ಮತ್ತು $4 ~cm$ ಆಗಿವೆ. ಪಾದ $CD$ ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎತ್ತರ $3 ~cm$ ಆಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 9.10). ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: (i) ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ. (ii) ಪಾದ $AD$ ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎತ್ತರ.

ಪರಿಹಾರ

(i) ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=b \times h$

$ =6 ~cm \times 3 ~cm=18 ~cm^{2} $

(ii)

$ \text{ ಪಾದ }(b)=4 ~cm \text{, ಎತ್ತರ }=x \text{ (ಹೇಳಿ), } $

$ \text{ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ }=18 ~cm^{2} $

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=b \times x$

$ \begin{aligned} & 18=4 \times x \\ & \frac{18}{4}=x \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ,

$ x=4.5 ~cm $

ಹೀಗಾಗಿ, ಪಾದ $AD$ ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎತ್ತರ $4.5 ~cm$ ಆಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 9.10

ಉದಾಹರಣೆ 4 ಕೆಳಗಿನ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಚಿತ್ರ 9.11).

(i) ಚಿತ್ರ 9.11

(ii)

ಪರಿಹಾರ

(i) ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times QR \times PS$

$ =\frac{1}{2} \times 4 ~cm \times 2 ~cm=4 ~cm^{2} $

(ii) ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times MN \times LO$

$ =\frac{1}{2} \times 3 ~cm \times 2 ~cm=3 ~cm^{2} $

ಉದಾಹರಣೆ 5 ತ್ರಿಕೋನ $ABC$ ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $36 ~cm^{2}$ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ $A D$ $3 ~cm$ ಆಗಿದ್ದರೆ $BC$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಚಿತ್ರ 9.12).

ಪರಿಹಾರ

ಎತ್ತರ $=3 ~cm$, ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=36 ~cm^{2}$

ಅಥವಾ: ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $ABC=\frac{1}{2} b h$

ಚಿತ್ರ 9.12

ಆದ್ದರಿಂದ,

$ 36=\frac{1}{2} \times b \times 3 \text{ ಅಂದರೆ, } \quad b=\frac{36 \times 2}{3}=24 ~cm $

ಉದಾಹರಣೆ 6 $\triangle PQR, PR=8 ~cm, QR=4$ ನಲ್ಲಿ $~cm$ ಮತ್ತು $PL=5 ~cm$ ಆಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 9.13). ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(i) $\triangle PQR$ ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

(ii) $QM$

ಪರಿಹಾರ

(i) $QR=$ ಪಾದ $=4 ~cm, PL=$ ಎತ್ತರ $=5 ~cm$

ಚಿತ್ರ 9.13

ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $PQR=\frac{1}{2} b h$

$ =\frac{1}{2} \times 4 ~cm \times 5 ~cm=10 ~cm^{2} $

(ii) $PR=$ ಪಾದ $=8 ~cm$

$ QM=\text{ ಎತ್ತರ }=? $

ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=10 ~cm^{2}$

$ \begin{matrix} \text{ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ } & =\frac{1}{2} \times b \times h & \text{ ಅಂದರೆ, } & & 10 & =\frac{1}{2} \times 8 \times h \\ h & =\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2.5 . & \text{ ಆದ್ದರಿಂದ, } & QM & =2.5 ~cm \end{matrix} $

ಅಭ್ಯಾಸ 9.1

1. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

2. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

3. ಕಾಣೆಯಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

4. ಕಾಣೆಯಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಚಿತ್ರ 9.14

5. $PQRS$ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 9.14). QM ಎಂಬುದು Q ನಿಂದ SR ಗೆ ಇರುವ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು QN ಎಂಬುದು Q ನಿಂದ $P S$ ಗೆ ಇರುವ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ. $S R=12 ~cm$ ಮತ್ತು $Q M=7.6 ~cm$ ಆಗಿದ್ದರೆ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(a) ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ $PQRS$ ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

(b) $QN$, $PS=8 ~cm$ ಆಗಿದ್ದರೆ

6. $DL$ ಮತ್ತು $BM$ ಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ $ABCD$ ನ ಬದಿಗಳು $AB$ ಮತ್ತು $AD$ ಗಳ ಮೇಲಿನ ಎತ್ತರಗಳಾಗಿವೆ (ಚಿತ್ರ 9.15). ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $1470 ~cm^{2}, AB=35 ~cm$ ಮತ್ತು $AD=$ $49 ~cm$ ಆಗಿದ್ದರೆ, BM ಮತ್ತು DL ಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

7. $\triangle ABC$ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $A$ ನಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 9.16). $AD$ $BC$ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ. $AB=5 ~cm$, $B C=13 ~cm$ ಮತ್ತು $A C=12 ~cm$ ಆಗಿದ್ದರೆ, $\triangle A B C$ ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. $AD$ ನ ಉದ್ದವನ್ನೂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಚಿತ್ರ 9.16

ಚಿತ್ರ 9.17

8. $\triangle ABC$ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $AB=AC=7.5 ~cm$ ಮತ್ತು $BC=9 ~cm$ ಆಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 9.17). $A D$ ನಿಂದ $A$ ಗೆ ಇರುವ ಎತ್ತರ $B C$, $6 ~cm$ ಆಗಿದೆ. $\triangle A B C$ ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. $C$ ನಿಂದ $AB$ ಗೆ ಇರುವ ಎತ್ತರ ಅಂದರೆ $CE$ ಎಷ್ಟು?

9.3 ವೃತ್ತಗಳು

ಒಂದು ರೇಸಿಂಗ್ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಎರಡೂ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಧವೃತ್ತಾಕಾರದಲ್ಲಿದೆ (ಚಿತ್ರ 9.18).

ಒಬ್ಬ ಅಥ್ಲೀಟ್ ರೇಸಿಂಗ್ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸುತ್ತು ಹಾಕಿದರೆ ಅವನು ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ? ಆಕಾರವು ವೃತ್ತಾಕಾರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಸುತ್ತಲೂ ಇರುವ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಒಂದು ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 9.18

9.3.1 ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿ

ತಾನ್ಯ ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು, ವಕ್ರಾಕಾರದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಡ್ಬೋರ್ಡ್ನಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿದಳು. ಈ ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಅಲಂಕರಿಸಲು ಅವಳು ಅವುಗಳ ಸುತ್ತ ಲೇಸ್ ಹಾಕಲು ಬಯಸುತ್ತಾಳೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಅವಳಿಗೆ ಎಷ್ಟು ಉದ್ದದ ಲೇಸ್ ಬೇಕು? (ಚಿತ್ರ 9.19)

ನೀವು ಈ ಆಕಾರಗಳನ್ನು “ನೇರ” ಆಗಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ರೂಲರ್ ಸಹಾಯದಿಂದ ಅಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಚಿತ್ರ 9.20 ನೀವು ಏನು ಮಾಡಬಹುದು?

ಚಿತ್ರ 9.19(a) ರಲ್ಲಿನ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಲೇಸ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ಕಾರ್ಡ್ನ ಅಂಚಿನ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಿ. ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆಯೂ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 9.20).

ಈಗ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿದ ಬಿಂದು ಮತ್ತೆ ಮೇಜನ್ನು ಮುಟ್ಟುವವರೆಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಉರುಳಿಸಿ. ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ದೂರವನ್ನು

ಚಿತ್ರ 9.21 ಅಳೆಯಿರಿ. ಇದು ಅಗತ್ಯವಾದ ಲೇಸ್ನ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 9.21). ಇದು ಗುರುತಿಸಿದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಮತ್ತೆ ಗುರುತಿಸಿದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕಾರ್ಡ್ನ ಅಂಚಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ದೂರವೂ ಆಗಿದೆ.

ವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಸ್ತುವಿನ ಅಂಚಿನ ಮೇಲೆ ದಾರವನ್ನು ಇಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸುತ್ತುವ ಮೂಲಕವೂ ನೀವು ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪ್ರದೇಶದ ಸುತ್ತಲೂ ಇರುವ ದೂರವನ್ನು ಅದರ ಪರಿಧಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ

ಒಂದು ಬಾಟಲ್ ಮುಚ್ಚಳ, ಒಂದು ಬಳೆ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಸ್ತುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಈಗ, ಈ ವಿಧಾನದಿಂದ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ನಲ್ಲಿ ಅಥ್ಲೀಟ್ ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ?

ಇನ್ನೂ, ದಾರದ ಮೂಲಕ ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಸ್ತುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ ಇರುವ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅಳತೆಯು ನಿಖರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೇರರೇಖೀಯ ಆಕೃತಿಗಳು ಅಥವಾ ಆಕಾರಗಳಿಗೆ ನಾವು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಮಗೆ ಕೆಲವು ಸೂತ್ರದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ವೃತ್ತಗಳ ವ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪರಿಧಿಯ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ವಿವಿಧ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ಆರು ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ದಾರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಪರಿಧಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಸದ ಅನುಪಾತವನ್ನೂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಮೇಲಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನೀವು ಏನು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೀರಿ? ಈ ಅನುಪಾತವು ಸರಿಸುಮಾರು ಒಂದೇ ಆಗಿದೆಯೇ? ಹೌದು.

ವೃತ್ತ