६.१ परिचय

त्रिकोण, तुम्ही पाहिले आहे, तीन रेषाखंडांनी बनलेला एक साधा बंद वक्र आहे. त्याचे तीन शिरोबिंदू, तीन बाजू आणि तीन कोन असतात. येथे $\triangle ABC$ आहे (आकृती ६.१). त्यात आहेत

$\text{Sides}:\qquad \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}$

$\text{Angles}:\qquad \angle BAC, \angle ABC, \angle BCA$

$\text{Vertices}:\qquad A, B, C$

आकृती ६.१

शिरोबिंदू A च्या समोरील बाजू $BC$ आहे. तुम्ही बाजू AB च्या समोरील कोनाचे नाव देऊ शकता का? तुम्हाला त्रिकोणांचे वर्गीकरण (i) बाजू (ii) कोन यांच्या आधारे कसे करायचे ते माहित आहे.

(i) बाजूंच्या आधारे: असमभुज, समद्विभुज आणि समभुज त्रिकोण.

(ii) कोनांच्या आधारे: लघुकोन, विशालकोन आणि काटकोन त्रिकोण.

वरील त्रिकोणी आकारांची कागदी मॉडेले बनवा. तुमची मॉडेले तुमच्या मित्रांच्या मॉडेल्सशी तुलना करा आणि त्यांच्याबद्दल चर्चा करा.

प्रयत्न करा

१. $\triangle ABC$ ची सहा घटक (म्हणजे, ३ बाजू आणि ३ कोन) लिहा.

२. लिहा:

(i) $\triangle PQR$ च्या शिरोबिंदू $Q$ च्या समोरील बाजू

(ii) $\triangle LMN$ च्या बाजू $LM$ च्या समोरील कोन

(iii) $\triangle RST$ च्या बाजू RT च्या समोरील शिरोबिंदू

३. आकृती ६.२ पाहा आणि प्रत्येक त्रिकोणाचे वर्गीकरण त्याच्या

(अ) बाजू

(ब) कोन

यांच्या आधारे करा.

आता, त्रिकोणांबद्दल आणखी काही अन्वेषण करण्याचा प्रयत्न करूया.

६.२ त्रिकोणाची मध्यगा

एक रेषाखंड दिल्यास, कागद दुमडून त्याचा लंबदुभाजक कसा काढायचा हे तुम्हाला माहित आहे. एका कागदाच्या तुकड्यातून $ABC$ हा त्रिकोण कापून घ्या (आकृती ६.३). त्याच्या कोणत्याही एका बाजूचा विचार करा, समजा, $\overline{BC}$. कागद दुमडून, $\overline{BC}$ चा लंबदुभाजक शोधा. दुमडलेली पट $\overline{BC}$ ला त्याच्या मध्यबिंदू $D$ वर छेदते. $AD$ जोडा.

रेषाखंड $A D$, जो $\overline{BC}$ च्या मध्यबिंदूला त्याच्या विरुद्ध शिरोबिंदू $A$ शी जोडतो, त्याला त्रिकोणाची मध्यगा म्हणतात.

बाजू $\overline{AB}$ आणि $\overline{CA}$ चा विचार करा आणि त्रिकोणाच्या आणखी दोन मध्यगा शोधा.

मध्यगा त्रिकोणाच्या एका शिरोबिंदूला विरुद्ध बाजूच्या मध्यबिंदूशी जोडते.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

१. एका त्रिकोणाला किती मध्यगा असू शकतात?

२. मध्यगा संपूर्णपणे त्रिकोणाच्या आतील भागात असते का? (जर तुम्हाला असे वाटत असेल की हे खरे नाही, तर अशी परिस्थिती दर्शवणारी आकृती काढा).

६.३ त्रिकोणाची उंची (शिरोलंब)

त्रिकोणी आकाराचा कार्डबोर्ड ABC बनवा. त्यास टेबलावर उभे ठेवा. त्रिकोण किती ‘उंच’ आहे? उंची म्हणजे शिरोबिंदू A पासून (आकृती ६.४ मध्ये) पाया $\overline{BC}$ पर्यंतचे अंतर.

$A$ पासून $\overline{BC}$ पर्यंत, तुम्ही अनेक रेषाखंडांचा विचार करू शकता (पुढील आकृती ६.५ पहा). त्यापैकी कोणता

उंची ही त्या रेषाखंडाद्वारे दिली जाते जो $A$ पासून सुरू होतो, सरळ खाली $\overline{BC}$ पर्यंत येतो, आणि $\overline{BC}$ ला लंब असतो. हा रेषाखंड $\overline{AL}$ हा त्रिकोणाची उंची (शिरोलंब) आहे.

उंचीचा एक टोकबिंदू त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूवर असतो आणि दुसरा विरुद्ध बाजू असलेल्या रेषेवर असतो.

आकृती ६.५ प्रत्येक शिरोबिंदूतून, एक उंची काढता येते.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

१. एका त्रिकोणाला किती उंची असू शकतात?

२. खालील त्रिकोणांसाठी (आकृती ६.६), A पासून $\overline{BC}$ पर्यंतच्या उंचीची उग्र आकृत्या काढा:

३. उंची नेहमीच त्रिकोणाच्या आतील भागात असते का? जर तुम्हाला असे वाटत असेल की हे नेहमी खरे असणे आवश्यक नाही, तर अशी परिस्थिती दर्शवणारी उग्र आकृती काढा.

४. तुम्ही अशा त्रिकोणाचा विचार करू शकता का ज्यामध्ये त्रिकोणाच्या दोन उंची त्याच्या दोन बाजू आहेत?

५. त्रिकोणासाठी उंची आणि मध्यगा एकच असू शकते का?

(सूचना: प्रश्न क्र. ४ आणि ५ साठी, प्रत्येक प्रकारच्या त्रिकोणासाठी उंची काढून तपासा).

हे करा

खालील त्रिकोणांची अनेक कापून घ्या

(i) समभुज त्रिकोण

(ii) समद्विभुज त्रिकोण आणि

(iii) असमभुज त्रिकोण.

त्यांच्या उंची आणि मध्यगा शोधा. त्यांच्याबद्दल तुम्हाला काही विशेष आढळते का? तुमच्या मित्रांशी त्याची चर्चा करा.

क्रियाकलाप ६.१

१. $\Delta PQR, D$ मध्ये $\overline{QR}$ चा मध्यबिंदू आहे.

$\overline{PM}$ _____ आहे.

$PD$ _____ आहे.

$QM=MR$ आहे का?

२. खालील साठी उग्र आकृत्या काढा:

(अ) $\triangle ABC, BE$ मध्ये ही मध्यगा आहे.

(ब) $\triangle PQR, PQ$ मध्ये $PR$ ही त्रिकोणाची उंची आहेत.

(क) $\triangle X Y Z, Y L$ मध्ये ही त्रिकोणाच्या बाहेरील भागातील उंची आहे.

३. समद्विभुज त्रिकोणाची मध्यगा आणि उंची एकच असू शकते का हे आकृती काढून पडताळून पहा.

६.४ त्रिकोणाचा बाह्यकोन आणि त्याचा गुणधर्म

हे करा

१. एक त्रिकोण $ABC$ काढा आणि त्याच्या एका बाजूचे, समजा BC चे, आकृती ६.७ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे विस्तार करा. बिंदू $C$ वर तयार झालेला कोन ACD पहा. हा कोन $\triangle ABC$ च्या बाहेर असतो. आपण त्याला $\triangle ABC$ च्या शिरोबिंदू $C$ वर तयार झालेला बाह्यकोन म्हणतो.

स्पष्टपणे $\angle BCA$ हा $\angle ACD$ चा लगतचा कोन आहे. त्रिकोणाचे उरलेले दोन कोन म्हणजे $\angle A$ आणि

आकृती ६.७ $\angle B$ यांना $\angle ACD$ चे दोन आंतर विरुद्ध कोन किंवा दोन दूरस्थ आंतर कोन म्हणतात. आता $\angle A$ आणि $\angle B$ च्या (किंवा त्यांच्या नक्कल) कापून घ्या आणि ते आकृती ६.८ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे एकमेकांना लगत ठेवा.

हे दोन तुकडे मिळून $\angle ACD$ ला पूर्णपणे झाकतात का?

तुम्ही असे म्हणू शकता का की

$m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$ ?

२. आधीप्रमाणेच, एक त्रिकोण $ABC$ काढा आणि बाह्यकोन ACD तयार करा. आता एक प्रोट्रॅक्टर घ्या आणि $\angle ACD, \angle A$ आणि $\angle B$ मोजा.

बेरीज $\angle A+\angle B$ काढा आणि ती $\angle ACD$ च्या मापाशी तुलना करा. तुम्हाला असे आढळते का की $\angle ACD$ हे $\angle A+\angle B$ च्या बरोबर (किंवा जवळपास बरोबर, जर मोजमापात त्रुटी असेल तर) आहे?

आकृती ६.८

तुम्ही आणखी काही त्रिकोण त्यांच्या बाह्यकोनांसह काढून वरील दोन क्रिया पुन्हा करू शकता. प्रत्येक वेळी, तुम्हाला असे आढळेल की त्रिकोणाचा बाह्यकोन त्याच्या दोन आंतर विरुद्ध कोनांच्या बेरजेइतका असतो.

एक तार्किक चरणबद्ध युक्तीने ही वस्तुस्थिती आणखी पुष्टी करू शकते.

त्रिकोणाचा बाह्यकोन त्याच्या आंतर विरुद्ध कोनांच्या बेरजेइतका असतो.

दिलेले: $\triangle ABC$ विचारात घ्या.

$\angle ACD$ हा बाह्यकोन आहे.

दाखवायचे: $m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$

$C$ मधून $\overline{CE}$ काढा, जी $\overline{BA}$ ला समांतर आहे.

आकृती ६.९

युक्तिवाद

चरण: (अ) $\angle 1=\angle x$

(ब) $\angle 2=\angle y$

(क) $\angle 1+\angle 2=\angle x+\angle y$

(ड) आता, $\angle x+\angle y=m \angle ACD$

म्हणून, $\angle 1+\angle 2=\angle ACD$

कारणे

$\overline{BA} || \overline{CE}$ आणि $\overline{AC}$ ही छेदिका आहे.

म्हणून, एकांतर कोन समान असले पाहिजेत.

$\overline{BA} || \overline{CE}$ आणि $\overline{BD}$ ही छेदिका आहे.

म्हणून, संगत कोन समान असले पाहिजेत.

आकृती ६.९ वरून

बाह्यकोन आणि त्याच्या दोन आंतर विरुद्ध कोनांमधील वरील संबंधाला त्रिकोणाचा बाह्यकोन गुणधर्म म्हणून संबोधले जाते.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

१. त्रिकोणासाठी बाह्यकोन अनेक प्रकारे तयार करता येतात. त्यापैकी तीन येथे दाखवल्या आहेत (आकृती ६.१०)

बाह्यकोन मिळवण्याचे आणखी तीन मार्ग आहेत. त्या उग्र आकृत्या तयार करण्याचा प्रयत्न करा.

२. त्रिकोणाच्या प्रत्येक शिरोबिंदूवर तयार झालेले बाह्यकोन समान असतात का?

३. त्रिकोणाच्या बाह्यकोन आणि त्याच्या लगतच्या आंतर कोनाच्या बेरजेबद्दल तुम्ही काय म्हणू शकता?

उदाहरण १ आकृती ६.११ मध्ये कोन $x$ शोधा.

उकल

आंतर विरुद्ध कोनांची बेरीज $=$ बाह्यकोन

$ \begin{aligned} 50^{\circ}+x & =110^{\circ} \\ or \quad x & =60^{\circ} \end{aligned} $

आकृती ६.११

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

१. जेव्हा बाह्यकोन

(i) काटकोन असेल तेव्हा

(ii) विशालकोन असेल तेव्हा

(iii) लघुकोन असेल तेव्हा

प्रत्येक आंतर विरुद्ध कोनाबद्दल तुम्ही काय म्हणू शकता?

२. त्रिकोणाचा बाह्यकोन सरळ कोन असू शकतो का?

प्रयत्न करा

१. त्रिकोणाच्या एका बाह्यकोनाचे माप $70^{\circ}$ आहे आणि त्याच्या एका आंतर विरुद्ध कोनाचे माप $25^{\circ}$ आहे. दुसऱ्या आंतर विरुद्ध कोनाचे माप शोधा.

२. त्रिकोणाच्या एका बाह्यकोनाचे दोन आंतर विरुद्ध कोन $60^{\circ}$ आणि $80^{\circ}$ आहेत. बाह्यकोनाचे माप शोधा.

३. या आकृतीत (आकृती ६.१२) काही चूक आहे का? टिप्पणी करा.

आकृती ६.१२

क्रियाकलाप ६.२

१. खालील आकृत्यांमध्ये अज्ञात बाह्यकोन $x$ चे मूल्य शोधा:

२. खालील आकृत्यांमध्ये अज्ञात आंतर कोन $x$ चे मूल्य शोधा:

६.५ त्रिकोणाचा कोनबेरीज गुणधर्म

त्रिकोणाच्या तीन कोनांना जोडणारा एक उल्लेखनीय गुणधर्म आहे. तुम्ही हे पुढील चार क्रियांद्वारे पाहणार आहात.

१. एक त्रिकोण काढा. तीनही कोन कापून घ्या. त्यांना आकृती ६.१३ (i), (ii) मध्ये दाखवल्याप्रमाणे मांडा. तीन कोन आता एक कोन तयार करतात. हा कोन सरळ कोन आहे आणि त्याचे माप $180^{\circ}$ आहे.

(i)

आकृती ६.१३

अशाप्रकारे, त्रिकोणाच्या तीन कोनांच्या मापांची बेरीज $180^{\circ}$ आहे.

२. हीच वस्तुस्थिती तुम्ही वेगळ्या पद्धतीनेही पाहू शकता. कोणत्याही त्रिकोणाच्या, समजा $\triangle ABC$ (आकृती ६.१४), तीन प्रती घ्या.

आकृती ६.१४

त्यांना आकृती ६.१५ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे मांडा.

$\angle 1+\angle 2+\angle 3$ बद्दल तुम्ही काय पाहता?

(तुम्हाला ‘बाह्यकोन गुणधर्म’ही दिसतो का?)

आकृती ६.१५

३. एक कागदाचा तुकडा घ्या आणि एक त्रिकोण, समजा, $\triangle ABC$ (आकृती ६.१६), कापून घ्या.

$AM$ ला अशा प्रकारे दुमडून उंची $AM$ बनवा की ती $A$ मधून जाईल.

आता तीन कोपरे अशा प्रकारे दुमडा की तिन्ही शिरोबिंदू A, B आणि C हे M वर स्पर्श करतील.

(i)

(ii)

(iii)

आकृती ६.१६

तुम्हाला आढळेल की तिन्ही कोन मिळून एक सरळ कोन तयार करतात. हे पुन्हा दर्शवते की त्रिकोणाच्या तीन कोनांच्या मापांची बेरीज $180^{\circ}$ आहे.

४. तुमच्या वहीत कोणतेही तीन त्रिकोण, समजा $\triangle ABC, \triangle PQR$ आणि $\triangle XYZ$ काढा.

तुमचा प्रोट्रॅक्टर वापरा आणि या त्रिकोणांच्या प्रत्येक कोनाचे मापन करा.

तुमचे निकाल सारणीबद्ध करा

मोजमापात किरकोळ त्रुटी लक्षात घेता, तुम्हाला आढळेल की शेवटचा स्तंभ नेहमी $180^{\circ}$ (किंवा जवळपास $180^{\circ}$) देतो.

जेव्हा परिपूर्ण अचूकता शक्य असेल, तेव्हा हे देखील दर्शवेल की त्रिकोणाच्या तीन कोनांच्या मापांची बेरीज $180^{\circ}$ आहे.

तुम्ही आता तार्किक युक्तीद्वारे तुमच्या विधानाचे औपचारिक समर्थन देण्यासाठी तयार आहात.

विधान त्रिकोणाच्या तीन कोनांचे एकूण माप $180^{\circ}$ आहे.

हे समर्थन देण्यासाठी त्रिकोणाचा बाह्यकोन गुणधर्म वापरू.

आकृती ६.१७

दिलेले $\quad \angle 1, \angle 2, \angle 3$ हे $\triangle ABC($ (आकृती ६.१७) चे कोन आहेत.

$\angle 4$ हा बाह्यकोन आहे जेव्हा $BC$ चा $D$ पर्यंत विस्तार केला जातो.

युक्तिवाद

$\quad \angle 1+\angle 2=\angle 4$ (बाह्यकोन गुणधर्मानुसार)

$\angle 1+\angle 2+\angle 3=\angle 4+\angle 3$ (दोन्ही बाजूंना $\angle 3$ मिळवून)

परंतु $\angle 4$ आणि $\angle 3$ ही रेषीय जोडी तयार करतात म्हणून ती $180^{\circ}$ आहे. म्हणून, $\angle 1+\angle 2+\angle 3=180^{\circ}$.

हा गुणधर्म आपण किती प्रकारे वापरू शकतो ते पाहू.

उदाहरण २ दिलेल्या आकृतीत (आकृती ६.१८) $m \angle$ P शोधा.

उकल

त्रिकोणाच्या कोनबेरीज गुणधर्मानुसार,

म्हणून: $ m \angle P+47^{\circ}+52^{\circ}=180^{\circ} $

$ \begin{aligned} m \angle P & =180^{\circ}-47^{\circ}-52^{\circ} \\ & =180^{\circ}-99^{\circ}=81^{\circ} \end{aligned} $

आकृती ६.१८

क्रियाकलाप ६.३

१. खालील आकृत्यांमध्ये अज्ञात $x$ चे मूल्य शोधा:

२. खालील आकृत्यांमध्ये अज्ञात $x$ आणि $y$ ची मूल्ये शोधा:

प्रयत्न करा

१. त्रिकोणाचे दोन कोन $30^{\circ}$ आणि $80^{\circ}$ आहेत. तिसरा कोन शोधा.

२. त्रिकोणाचा एक कोन $80^{\circ}$ आहे आणि इतर दोन कोन समान आहेत. प्रत्येक समान कोनाचे माप शोधा.

३. त्रिकोणाचे तीन कोन $1: 2: 1$ या प्रमाणात आहेत. त्रिकोणाचे सर्व कोन शोधा. त्रिकोणाचे दोन वेगवेगळ्या प्रकारे वर्गीकरण करा.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

१. तुमच्याकडे दोन काटकोन असलेला त्रिकोण असू शकतो का?

२. तुमच्याकडे दोन विशालकोन असलेला त्रिकोण असू शकतो का?

३. तुमच्याकडे दोन लघुकोन असलेला त्रिकोण असू शकतो का?

४. तुमच्याकडे सर्व तीन कोन $60^{\circ}$ पेक्षा मोठे असलेला त्रिकोण असू शकतो का?

५. तुमच्याकडे सर्व तीन कोन $60^{\circ}$ च्या बरोबरीचे असलेला त्रिकोण असू शकतो का?

६. तुमच्याकडे सर्व तीन कोन $60^{\circ}$ पेक्षा लहान असलेला त्रिकोण असू शकतो का?

६.६ दोन विशेष त्रिकोण : समभुज आणि समद्विभुज

ज्या त्रिकोणाच्या तीनही बाजू समान लांबीच्या असतात त्याला समभुज त्रिकोण म्हणतात.

समभुज त्रिकोण ABC (आकृती ६.१९) च्या दोन प्रती घ्या. त्यापैकी एक निश्चित ठेवा. दुसरा त्रिकोण त्यावर ठेवा. तो पहिल्यामध्ये अचूक बसतो. त्यास कोणत्याही प्रकारे फिरवा आणि तरीही ते एकमेकांशी अचूक बसतात. जेव्हा त्रिकोणाच्या तीन बाजूंची लांबी समान असते तेव्हा तीनही कोन देखील समान आकाराचे असतात हे तुम्ही पाहू शकता का?

आपण असा निष्कर्ष काढतो की समभुज त्रिकोणात:

(i) सर्व बाजूंची लांबी समान असते.

(ii) प्रत्येक कोनाचे माप $60^{\circ}$ असते.

ज्या त्रिकोणाच्या दोन बाजू समान लांबीच्या असतात त्याला समद्विभुज त्रिकोण म्हणतात.

आकृती ६.२०

कागदाच्या तुकड्यातून एक समद्विभुज त्रिकोण XYZ कापून घ्या, ज्यामध्ये XY=XZ (आकृती ६.२०). तो अशा प्रकारे दुमडा की $Z$ हा $Y$ वर येईल. $X$ मधून जाणारी रेषा $XM$ आता सममितीचा अक्ष आहे (जो तुम्ही अध्याय १४ मध्ये वाचाल). तुम्हाला आढळेल की $\angle Y$ आणि $\angle Z$ एकमेकांवर अचूक बसतात. $XY$ आणि $XZ$ यांना समान बाजू म्हणतात; $YZ$ ला पाया म्हणतात; $\angle Y$ आणि $\angle Z$ यांना पायाचे कोन म्हणतात आणि हे देखील समान असतात.

अशाप्रकारे, समद्विभुज त्रिकोणात:

(i) दोन बाजूंची लांबी समान असते.

(ii) समान बाजूंच्या विरुद्ध असलेले पायाचे कोन समान असतात.

प्रयत्न करा

१. प्रत्येक आकृतीत कोन x शोधा:

२. प्रत्येक आकृतीत कोन $x$ आणि $y$ शोधा.

६.७ त्रिकोणाच्या दोन बाजूंच्या लांबींची बेरीज

१. तुमच्या मैदानावर तीन नैकरेखीय ठिकाणे A, B आणि C चिन्हांकित करा. चुना पावडर वापरून मार्ग $AB, BC$ आणि $AC$ चिन्हांकित करा.

तुमच्या मित्राला $A$ पासून सुरुवात करून $C$ पर्यंत पोहोचण्यास सांगा, यापैकी एक किंवा अधिक मार्गांवरून चालत. ती, उदाहरणार्थ, प्रथम $\overline{AB}$ वरून चालू शकते आणि नंतर $\overline{BC}$ वरून चालून $C$ पर्यंत पोहोचू शकते; किंवा ती सरळ $\overline{AC}$ वरून चालू शकते. ती नैसर्गिकरित्या थेट मार्ग $AC$ पसंत करेल. जर ती दुसरा मार्ग ($\overline{AB}$ आणि नंतर $\overline{BC}$) घेतला, तर तिला जास्त चालावे लागेल. दुसऱ्या शब्दांत,

आकृती ६.२१

$$ \begin{equation*} AB+BC>AC \tag{i} \end{equation*} $$

त्याचप्रमाणे, जर कोणी $B$ पासून सुरुवात करून $A$ कडे जावयाचे असेल, तर तो किंवा ती मार्ग $\overline{BC}$ आणि $\overline{CA}$ घेणार नाही तर $\overline{BA}$ पसंत करेल. याचे कारण

$$ \begin{equation*} BC+CA>AB \tag{ii} \end{equation*} $$

तत्सम युक्तीने, तुम्हाला आढळेल की

$$ \begin{equation*} CA+AB>BC \tag{iii} \end{equation*} $$

हे निरीक्षण सूचित करते की त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजूंच्या लांबींची बेरीज तिसऱ्या बाजूपेक्षा मोठी असते.

२. वेगवेगळ्या लांबीच्या पंधरा लहान काड्या (किंवा पट्ट्या) गोळा करा, समजा, $6 cm, 7 cm, 8 cm$, $9 cm, \ldots, 20 cm$.

यापैकी कोणत्याही तीन काड्या घ्या आणि त्रिकोण तयार करण्याचा प्रयत्न करा. तीन काड्यांची वेगवेगळी संयोजने निवडून हे पुन्हा करा.

समजा तुम्ही प्रथम $6 cm$ आणि $12 cm$ लांबीच्या दोन काड्या निवडल्या. तुमची तिसरी काडी $12-6=6 cm$ पेक्षा जास्त आणि $12+6=18 cm$ पेक्षा कमी लांबीची असायला हवी. हे करून पहा आणि असे का होते ते शोधा.

त्रिकोण तयार करण्यासाठी तुम्हाला अशा कोणत्याही तीन काड्यांची आवश्यकता असेल ज्यामध्ये कोणत्याही दोन काड्यांच्या लांबींची बेरीज नेहमी तिसऱ्या काडीच्या लांबीपेक्षा मोठी असेल.

हे देखील सूच