9.1 ভূমিকা

আমি শিকিছোঁ যে এটা বন্ধ সমতলীয় আকৃতিৰ বাবে, পৰিসীমা হৈছে ইয়াৰ সীমাৰ চাৰিওফালৰ দূৰত্ব আৰু ইয়াৰ কালি হৈছে ইয়াৰ দ্বাৰা আৱৰি থকা অঞ্চল। আমি ত্ৰিভুজ, আয়ত, বৃত্ত আদি বিভিন্ন সমতলীয় আকৃতিৰ কালি আৰু পৰিসীমা নিৰ্ণয় কৰিছিলোঁ। আমি আয়তাকাৰ আকৃতিত থকা পথ বা সীমাৰ কালিও উলিয়াবলৈ শিকিছিলোঁ।

এই অধ্যায়ত, আমি চতুৰ্ভুজৰ দৰে অন্যান্য সমতলীয় বন্ধ আকৃতিৰ পৰিসীমা আৰু কালি সম্পৰ্কীয় সমস্যা সমাধান কৰিবলৈ চেষ্টা কৰিম।

আমি ঘনক, আয়তঘনক আৰু চিলিণ্ডাৰৰ দৰে ঘনবস্তুৰ পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তনৰ বিষয়েও শিকিম।

9.2 বহুভুজৰ কালি

আমি এটা চতুৰ্ভুজক ত্ৰিভুজলৈ ভাগ কৰি ইয়াৰ কালি নিৰ্ণয় কৰোঁ। এটা বহুভুজৰ কালি নিৰ্ণয় কৰিবলৈ একে পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰি। এটা পঞ্চভুজৰ বাবে তলৰবোৰ লক্ষ্য কৰা: (চিত্ৰ 9.1, 9.2)

চিত্ৰ 9.1

দুটা কৰ্ণ $AC$ আৰু $AD$ অংকন কৰি পঞ্চভুজ $A B C D E$ ক তিনিটা ভাগত ভাগ কৰা হৈছে। গতিকে, কালি $ABCDE=$ = $\triangle ABC+$ ৰ কালি + $\triangle ACD+$ ৰ কালি + $\triangle ADE$ ৰ কালি

চিত্ৰ 9.1

এটা কৰ্ণ $AD$ আৰু ইয়াৰ ওপৰত দুটা লম্ব $BF$ আৰু $CG$ অংকন কৰি, পঞ্চভুজ $ABCDE$ ক চাৰিটা ভাগত ভাগ কৰা হৈছে। গতিকে, $ABCDE=$ ৰ কালি = সমকোণী $\triangle AFB+$ ৰ কালি + ট্ৰেপিজিয়াম $BFGC+$ ৰ কালি + সমকোণী $\Delta CGD+$ ৰ কালি + $\triangle AED$ ৰ কালি। (ট্ৰেপিজিয়াম BFGC ৰ সমান্তৰাল বাহুবোৰ চিনাক্ত কৰা।)

চেষ্টা কৰা

(i) তলৰ বহুভুজবোৰ (চিত্ৰ 9.3) ইয়াৰ কালি উলিয়াবলৈ ভাগবোৰত (ত্ৰিভুজ আৰু ট্ৰেপিজিয়াম) ভাগ কৰা।

(ii) বহুভুজ $ABCDE$ ক তলত দেখুওৱাৰ দৰে ভাগ কৰা হৈছে (চিত্ৰ 9.4)। ইয়াৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা যদি $AD=8 cm, AH=6 cm, AG=4 cm, AF=3 cm$ আৰু লম্ববোৰ $BF=2 cm$, $CH=3 cm, FG=2.5 cm$।

বহুভুজ $ABCDE=$ ৰ কালি = $\triangle AFB+\ldots$ ৰ কালি।

$\triangle AFB=\frac{1}{2} \times AF \times BF=\frac{1}{2} \times 3 \times 2=\ldots$ ৰ কালি

ট্ৰেপিজিয়াম $FBCH=FH \times \frac{(BF+CH)}{2}$ ৰ কালি

$ =3 \times \frac{(2+3)}{2} \quad[FH=AH-AF] $

চিত্ৰ 9.4

$\triangle CHD=\frac{1}{2} \times HD \times CH=\ldots . ;$ ৰ কালি = $\triangle ADE=\frac{1}{2} \times AD \times GE=$ ৰ কালি গতিকে, বহুভুজ $ABCDE=$ ৰ কালি…

(iii) বহুভুজ MNOPQR (চিত্ৰ 9.5) ৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা যদি $MP=9 cm, MD=7 cm, MC=6 cm, MB=4 cm$, $MA=2 cm$

$NA, OC, QD$ আৰু $RB$ কৰ্ণ MP ৰ ওপৰত লম্ব।

চিত্ৰ 9.5

উদাহৰণ 1 : এটা ট্ৰেপিজিয়াম আকৃতিৰ পথাৰৰ কালি $480 m^{2}$, দুটা সমান্তৰাল বাহুৰ মাজৰ দূৰত্ব $15 m$ আৰু এটা সমান্তৰাল বাহু $20 m$। আনটো সমান্তৰাল বাহু নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান: ট্ৰেপিজিয়ামৰ এটা সমান্তৰাল বাহু $a=20 m$, আনটো সমান্তৰাল বাহু $b$ ধৰা হ’ল, উচ্চতা $h=15 m$।

ট্ৰেপিজিয়ামৰ দিয়া কালি $=480 m^{2}$।

$ \begin{alignedat} \text{ ট্ৰেপিজিয়ামৰ কালি } & =\frac{1}{2} h(a+b) \\ \text{ গতিকে } 480 & =\frac{1}{2} \times 15 \times(20+b) \quad \text{ বা } \quad \frac{480 \times 2}{15}=20+b \\ \text{ বা } 64 & =20+b \text{ বা } b=44\text{ m} \end{aligned} $

গতিকে ট্ৰেপিজিয়ামৰ আনটো সমান্তৰাল বাহু হৈছে $44\ \text{m}$।

উদাহৰণ 2 : এটা ৰম্বাছৰ কালি $240 cm^{2}$ আৰু ইয়াৰ এটা কৰ্ণ $16 cm$। আনটো কৰ্ণ নিৰ্ণয় কৰা।

এটা কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য $d_1=16 cm$ ধৰা হ’ল

আৰু $\quad\quad$ আনটো কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য $=d_2$ ধৰা হ’ল

$\quad\quad$ ৰম্বাছৰ কালি $=\frac{1}{2} d_1 \cdot d_2=240$

গতিকে, $ \begin{alignedat} \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot d_2 & =240 \\ d_2 & =30 cm \end{aligned} $

গতিকে দ্বিতীয় কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য হৈছে $30 cm$।

এটা ষড়ভুজ MNOPQR ৰ বাহু $5\ cm$ (চিত্ৰ 9.6)। আমান আৰু ঋদ্ধিমাই ইয়াক দুটা বেলেগ ধৰণে ভাগ কৰিলে (চিত্ৰ 9.7)।

উভয় ধৰণেৰে এই ষড়ভুজৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান: আমানৰ পদ্ধতি:

চিত্ৰ 9.7

যিহেতু ই এটা সুষম ষড়ভুজ, NQ য়ে ষড়ভুজটোক দুটা একে ট্ৰেপিজিয়ামলৈ ভাগ কৰে। কাগজ ভাঁজ কৰি ইয়াক পৰীক্ষা কৰিব পাৰি (চিত্ৰ 9.8)।

এতিয়া ট্ৰেপিজিয়াম MNQR ৰ কালি $= \frac{(11+5)}{2} \times 4 = 2 \times 16 = 32 cm^{2}$।

চিত্ৰ 9.9 গতিকে ষড়ভুজ MNOPQR ৰ কালি $=2 \times 32=64\ cm^{2}$।

ঋদ্ধিমাৰ পদ্ধতি:

$\Delta MNO$ আৰু $\Delta RPQ$ একে ত্ৰিভুজ আৰু ইহঁতৰ সংশ্লিষ্ট উচ্চতা $3 cm$ (চিত্ৰ 9.9)।

এই দুটা ত্ৰিভুজ কাটি এটাত আনটো থৈ ইয়াক পৰীক্ষা কৰিব পাৰি।

$ \text{ } \Delta MNO \text{ ৰ কালি }=\frac{1}{2} \times 8 \times 3=12 cm^{2}=\text{ } \Delta RPQ \text{ ৰ কালি } $

আয়ত MOPR ৰ কালি $=8 \times 5=40 cm^{2}$।

এতিয়া, ষড়ভুজ MNOPQR ৰ কালি $=40+12+12=64\ cm^{2}$।

অনুশীলনী 9.1

1. এখন মেজৰ ওপৰৰ পৃষ্ঠৰ আকৃতি এটা ট্ৰেপিজিয়াম। ইয়াৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা যদি ইয়াৰ সমান্তৰাল বাহু দুটা $1 m$ আৰু $1.2 m$ আৰু ইহঁতৰ মাজৰ লম্ব দূৰত্ব $0.8 m$।

এটা ট্ৰেপিজিয়ামৰ কালি $34 , \text{cm}^{2}$ আৰু ইয়াৰ এটা সমান্তৰাল বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য

$10 cm$ আৰু ইয়াৰ উচ্চতা $4 cm$। আনটো সমান্তৰাল বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।

3. ট্ৰেপিজিয়াম আকৃতিৰ পথাৰ এটাৰ বেৰাৰ দৈৰ্ঘ্য $A B C D$ হৈছে $120 m$। যদি $B C=48 m, C D=17 m$ আৰু $A D=40 m$, তেন্তে এই পথাৰৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা। বাহু $AB$ সমান্তৰাল বাহু $AD$ আৰু $BC$ ৰ লম্ব।

4. চতুৰ্ভুজ আকৃতিৰ পথাৰ এটাৰ কৰ্ণ $24 m$ আৰু বাকী বিপৰীত শীৰ্ষবিন্দুবোৰৰ পৰা ইয়াৰ ওপৰত পেলোৱা লম্ববোৰ $8 m$ আৰু $13 m$। পথাৰটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।

5. ৰম্বাছ এটাৰ কৰ্ণবোৰ $7.5 cm$ আৰু $12 cm$। ইয়াৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।

6. ৰম্বাছ এটাৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা যাৰ বাহু $5 cm$ আৰু উচ্চতা $4.8 cm$। যদি ইয়াৰ এটা কৰ্ণ $8 cm$ দীঘল, তেন্তে আনটো কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।

7. এটা ভৱনৰ মজিয়াত 3000 টা টাইল আছে যিবোৰ ৰম্বাছ আকৃতিৰ আৰু ইয়াৰ প্ৰতিটো কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য $45 cm$ আৰু $30 cm$। মজিয়াখন পলিচ কৰাৰ মুঠ খৰচ নিৰ্ণয় কৰা, যদি প্ৰতি $m^{2}$ ৰ খৰচ ₹ 4।

8. মোহনে ট্ৰেপিজিয়াম আকৃতিৰ পথাৰ এটা কিনিব বিচাৰে। নদীৰ কাষৰ বাহুটো ৰাস্তাৰ কাষৰ বাহুটোৰ সমান্তৰাল আৰু দুগুণ। যদি এই পথাৰৰ কালি $10500 m^{2}$ আৰু লম্ব দূৰত্ব

দুটা সমান্তৰাল বাহুৰ মাজত $100\ \text{m}$, তেন্তে নদীৰ কাষৰ বাহুটোৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।

9. ওপঙা মঞ্চ এটাৰ ওপৰৰ পৃষ্ঠৰ আকৃতি সুষম অষ্টভুজ যিদৰে চিত্ৰত দেখুওৱা হৈছে। অষ্টভুজীয় পৃষ্ঠৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।

10. চিত্ৰত দেখুওৱাৰ দৰে পঞ্চভুজীয় আকৃতিৰ পাৰ্ক এটা আছে।

ইয়াৰ কালি নিৰ্ণয় কৰিবলৈ জ্যোতি আৰু কবিতাই দুটা বেলেগ ধৰণে ভাগ কৰিলে।

উভয় ধৰণেৰে এই পাৰ্কৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা। ইয়াৰ কালি নিৰ্ণয় কৰাৰ আন কোনো ধৰণৰ পৰামৰ্শ দিব পাৰিবানে?

11. সংলগ্ন ছবি ফ্ৰেমৰ চিত্ৰৰ বাহ্যিক মাপ $=24 cm \times 28 cm$ আৰু আভ্যন্তৰীণ মাপ $16 cm \times 20 cm$। ফ্ৰেমৰ প্ৰতিটো অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা, যদি প্ৰতিটো অংশৰ প্ৰস্থ একে।

9.3 ঘন আকৃতি

আপোনাৰ আগৰ শ্ৰেণীত আপুনি অধ্যয়ন কৰিছিল যে দ্বিমাত্ৰিক আকৃতিবোৰক ত্ৰিমাত্ৰিক আকৃতিৰ মুখ হিচাপে চিনাক্ত কৰিব পাৰি। আমি এতিয়ালৈকে আলোচনা কৰা ঘনবস্তুবোৰ লক্ষ্য কৰা (চিত্ৰ 9.10)।

চিত্ৰ 9.10

লক্ষ্য কৰা যে কিছুমান আকৃতিৰ দুটা বা ততোধিক একে (সৰ্বাংগসম) মুখ আছে। সেইবোৰৰ নাম কোৱা। কোনটো ঘনবস্তুৰ সকলো মুখ সৰ্বাংগসম?

ইয়াক কৰা

চাবোন, খেলনা, পেষ্ট, জলপান আদি প্ৰায়ে আয়তঘনক, ঘনক বা বেলনাকাৰ বাকচৰ পেকেটত আহে। এনে বাকচ সংগ্ৰহ কৰা (চিত্ৰ 9.11)।

$$\hspace{90 mm} \begin{array}{|r|} \hline \text{All six faces} \\ \text{are quadrilaterals} \ \text{and identical} \\ \hline \end{array} $$

এতিয়া একে সময়ত এটা ধৰণৰ বাকচ লোৱা। ইয়াৰ থকা সকলো মুখ কাটি উলিওৱা। প্ৰতিটো মুখৰ আকৃতি লক্ষ্য কৰা আৰু বাকচটোৰ একে সংখ্যক মুখ ইটোৰ ওপৰত সিটো থৈ নিৰ্ণয় কৰা। আপোনাৰ লক্ষণবোৰ লিখি থোৱা।

চিত্ৰ 9.12

(এইটো এটা সমকোণী বৃত্তাকাৰ চিলিণ্ডাৰ)

আপুনি তলৰবোৰ লক্ষ্য কৰিছিল নেকি:

চিলিণ্ডাৰটোৰ সৰ্বাংগসম বৃত্তাকাৰ মুখ আছে যিবোৰ ইটোৰ সিটোৰ সমান্তৰাল (চিত্ৰ 9.12)। লক্ষ্য কৰা যে বৃত্তাকাৰ মুখবোৰৰ কেন্দ্ৰ সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডটো ভূমিৰ লম্ব। এনে চিলিণ্ডাৰবোৰ সমকোণী বৃত্তাকাৰ চিলিণ্ডাৰ বুলি জনা যায়। আমি কেৱল এই ধৰণৰ চিলিণ্ডাৰ অধ্যয়ন কৰিম, যদিও আন ধৰণৰ চিলিণ্ডাৰো আছে (চিত্ৰ 9.13)।

চিত্ৰ. 9.13

(এইটো সমকোণী বৃত্তাকাৰ চিলিণ্ডাৰ নহয়)

চিন্তা কৰা, আলোচনা কৰা আৰু লিখা

ইয়াত দেখুওৱা ঘনবস্তুটোক চিলিণ্ডাৰ বুলি কোৱাটো কিয় ভুল?

9.4 ঘনক, আয়তঘনক আৰু চিলিণ্ডাৰৰ পৃষ্ঠকালি

ইমৰাণ, মণিকা আৰু জসপালে একে উচ্চতাৰ এটা আয়তঘনক, ঘনক আৰু বেলনাকাৰ বাকচ ক্ৰমে ৰং কৰি আছে (চিত্ৰ 9.4)।

সিহঁতে কোনে বেছি কালি ৰং কৰিছে নিৰ্ণয় কৰিবলৈ চেষ্টা কৰে। হৰিয়ে প্ৰতিটো বাকচৰ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰিলে সিহঁতক ইয়াত সহায় কৰিব বুলি পৰামৰ্শ দিলে।

মুঠ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰিবলৈ, প্ৰতিটো মুখৰ কালি নিৰ্ণয় কৰি তাৰ পিছত যোগ কৰা। এটা ঘনবস্তুৰ পৃষ্ঠকালি হৈছে ইয়াৰ মুখবোৰৰ কালিৰ সমষ্টি। আৰু স্পষ্ট কৰিবলৈ, আমি প্ৰতিটো আকৃতি একোটা কৰি লওঁ।

9.4.1 আয়তঘনক

ধৰা হওক আপুনি এটা আয়তঘনকীয় বাকচ কাটি খোলা আৰু ইয়াক সমতল কৰি থয় (চিত্ৰ 9.15)। আমি তলত দেখুওৱাৰ দৰে এটা নেট দেখিব পাৰো (চিত্ৰ 9.16)।

প্ৰতিটো বাহুৰ মাপ লিখা। আপুনি জানে যে আয়তঘনক এটাৰ তিনিটা যোৰ একে মুখ আছে। প্ৰতিটো মুখৰ কালি নিৰ্ণয় কৰিবলৈ আপুনি কি ৰাশি ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰে?

বাকচটোৰ সকলো মুখৰ মুঠ কালি নিৰ্ণয় কৰা

চিত্ৰ 9.16। আমি দেখো যে আয়তঘনক এটাৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি হৈছে কালি I + কালি II + কালি III + কালি IV +কালি $V+$ + কালি $VI$

$ =h \times l + b \times l + b \times h + l \times h + b \times h + l \times b $

গতিকে মুঠ পৃষ্ঠকালি $=2(h \times l+b \times h+b \times l)=2(l b+b h+h l)$ য’ত $h, l$, $b$ ক্ৰমে আয়তঘনকটোৰ উচ্চতা, দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ।

ধৰা হওক ওপৰত দেখুওৱা বাকচটোৰ উচ্চতা, দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ ক্ৰমে $20 cm, 15 cm$ আৰু $10 cm$।

$ \begin{alignedat} \text{ তেন্তে মুঠ পৃষ্ঠকালি } & =2(20 \times 15+20 \times 10+10 \times 15) \\ & = 2(300 + 200 + 150) = 1300 , \text{m}^{2} . \end{aligned} $

চেষ্টা কৰা

তলৰ আয়তঘনকবোৰৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা (চিত্ৰ 9.17):

চিত্ৰ 9.17

• পাৰ্শ্বীয় দেৱালবোৰ (ওপৰৰ আৰু তলৰ বাদ দি মুখবোৰ) আয়তঘনকটোৰ পাৰ্শ্বীয় পৃষ্ঠকালি গঠন কৰে। উদাহৰণস্বৰূপে, আপুনি বহি থকা আয়তঘনকীয় কোঠাটোৰ চাৰিওটা দেৱালৰ মুঠ কালি হৈছে এই কোঠাটোৰ পাৰ্শ্বীয় পৃষ্ঠকালি (চিত্ৰ 9.18)। গতিকে, আয়তঘনক এটাৰ পাৰ্শ্বীয় পৃষ্ঠকালি $2(h \times l + h \times b)$ বা $2 h(l + b)$ দ্বাৰা দিয়া হয়।

ইয়াক কৰা

(i) আয়তঘনকীয় ডাষ্টাৰ এটাৰ (যিটো আপোনাৰ শিক্ষকে শ্ৰেণীকোঠাত ব্যৱহাৰ কৰে) পাৰ্শ্বীয় পৃষ্ঠখন ব্ৰাউন কাগজৰ ফালি এটাৰে ঢাকি দিয়া, যাতে ই পৃষ্ঠখনৰ চাৰিওফালে ঠিক মিলি যায়। কাগজখন আঁতৰোৱা। কাগজখনৰ কালি জোখা। এইটো ডাষ্টাৰটোৰ পাৰ্শ্বীয় পৃষ্ঠকালি নেকি?

(ii) আপোনাৰ শ্ৰেণীকোঠাৰ দৈৰ্ঘ্য, প্ৰস্থ আৰু উচ্চতা জোখা আৰু গণনা কৰা

(a) খিৰিকী আৰু দুৱাৰৰ কালি উপেক্ষা কৰি কোঠাটোৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি।

(b) এই কোঠাটোৰ পাৰ্শ্বীয় পৃষ্ঠকালি।

(c) বগা ৰং কৰিবলগীয়া কোঠাটোৰ মুঠ কালি।

চিন্তা কৰা, আলোচনা কৰা আৰু লিখা

1. আমি ক’ব পাৰোনে যে আয়তঘনকৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি = পাৰ্শ্বীয় পৃষ্ঠকালি $+2 \times$ ভূমিৰ কালি?

2. যদি আমি আয়তঘনক এটাৰ ভূমিৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু উচ্চতাৰ সলনি কৰো (চিত্ৰ 9.19(i)) আন এটা আয়তঘনক পাবলৈ (চিত্ৰ 9.19(ii)), ইয়াৰ পাৰ্শ্বীয় পৃষ্ঠকালি সলনি হ’ব নেকি?

(i)

9.4.2 ঘনক

ইয়াক কৰা

স্কোৱাৰ কাগজত দেখুওৱা নমুনাটো অংকন কৰা আৰু কাটি উলিওৱা [চিত্ৰ 9.20(i)]। (আপুনি জানে যে এই নমুনাটো ঘনক এটাৰ নেট। ৰেখাবোৰৰ বৰাবৰ ইয়াক ভাঁজ কৰা [চিত্ৰ 9.20(ii)] আৰু ঘনক এটা গঠন কৰিবলৈ কাষবোৰ টেপ কৰা [চিত্ৰ 9.20(iii)])।

চিত্ৰ 9.20

(i)

চিত্ৰ 9.21

(a) ঘনকটোৰ দৈৰ্ঘ্য, প্ৰস্থ আৰু উচ্চতা কিমান? লক্ষ্য কৰা যে ঘনক এটাৰ সকলো মুখ বৰ্গাকাৰ। ই ঘনক এটাৰ দৈৰ্ঘ্য, উচ্চতা আৰু প্ৰস্থ সমান কৰে (চিত্ৰ 9.21(i))।

(b) প্ৰতিটো মুখৰ কালি লিখা। ইবোৰ সমান নেকি?

(c) এই ঘনকটোৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি লিখা।

(d) যদি ঘনকটোৰ প্ৰতিটো বাহু $l$, তেন্তে প্ৰতিটো মুখৰ কালি কিমান হ’ব? (চিত্ৰ 9.21(ii))। আমি ক’ব পাৰোনে যে বাহু $l$ ৰ ঘনক এটাৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি $6 l^{2}$ ?

চেষ্টা কৰা

ঘনক A ৰ পৃষ্ঠকালি আৰু ঘনক B ৰ পাৰ্শ্বীয় পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা (চিত্ৰ 9.22)।

চিত্ৰ 9.22

চিন্তা কৰা, আলোচনা কৰা আৰু লিখা

(i) প্ৰতিটো বাহু $b$ ৰ দুটা ঘনক সংযোগ কৰি আয়তঘনক এটা গঠন কৰা হৈছে (চিত্ৰ 9.23)। এই আয়তঘনকটোৰ পৃষ্ঠকালি কিমান? ই $6 b^{2}$ নেকি? তিনিটা এনে ঘনক সংযোগ কৰি গঠন কৰা আয়তঘনকৰ পৃষ্ঠকালি $14 b^{2}$ নেকি? কিয়?

চিত্ৰ 9.23

(ii) আপুনি 12 টা সমান দৈৰ্ঘ্যৰ ঘনক কেনেকৈ সজাব যাতে সৰ্বনিম্ন পৃষ্ঠকালিৰ আয়তঘনক এটা গঠন হয়?

(iii) ঘনক এটাৰ পৃষ্ঠকালি ৰং কৰাৰ পিছত, ঘনকটো একে মাপৰ 64 টা সৰু ঘনকলৈ কাটি পেলোৱা হয় (চিত্ৰ 9.24)।

কিমানটোৰ কোনো মুখ ৰং কৰা হোৱা নাই? 1 টা মুখ ৰং কৰা হৈছে? 2 টা মুখ ৰং কৰা হৈছে? 3 টা মুখ ৰং কৰা হৈছে?

চিত্ৰ 9.24

9.4.3 চিলিণ্ডাৰ

আমি দেখা বেছিভাগ চিলিণ্ডাৰেই সমকোণী বৃত্তাকাৰ চিলিণ্ডাৰ। উদাহৰণস্বৰূপে, টিন, গোল স্তম্ভ, টিউব লাইট, পানীৰ নলী আদি।

ইয়াক কৰা

(i) বেলনাকাৰ কেৰাহী বা বাকচ এটা লোৱা আৰু কেৰাহীটোৰ ভূমি গ্ৰাফ কাগজত অংকন কৰি কাটি উলিওৱা [চিত্ৰ 9.25(i)]। আন এখন গ্ৰাফ কাগজ লোৱা যাতে ইয়াৰ প্ৰস্থ কেৰাহীটোৰ উচ্চতাৰ সমান হয়। ফালিটো কেৰাহীটোৰ চাৰিওফালে মেৰিয়াই দিয়া যাতে ই কেৰাহীটোৰ চাৰিওফালে ঠিক মিলি যায় (অতিরিক্ত কাগজ আঁতৰোৱা) [চিত্ৰ 9.25(ii)]।

টুকুৰাবোৰ [চিত্ৰ 9.25(iii)] একেলগ কৰি টেপ কৰি চিলিণ্ডাৰ এটা গঠন কৰা [চিত্ৰ 9.25(iv)]। কেৰাহীটোৰ চাৰিওফালে যোৱা কাগজখনৰ আকৃতি কি?

অৱশ্যে ই আয়তাকাৰ আকৃতিৰ। যেতিয়া আপুনি এই চিলিণ্ডাৰটোৰ অংশবোৰ একেলগ কৰি টেপ কৰে, আয়তাকাৰ ফালিৰ দৈৰ্ঘ্য বৃত্তটোৰ পৰিধিৰ সমান। বৃত্তাকাৰ ভূমিৰ ব্যাসাৰ্ধ $(r)$, আয়তাকাৰ ফালিৰ দৈৰ্ঘ্য $(l)$ আৰু প্ৰস্থ $(h)$ ৰেকৰ্ড কৰা। $2 \pi r=$ ফালিৰ দৈৰ্ঘ্য নেকি? পৰীক্ষা কৰা আয়তাকাৰ ফালিৰ কালি $2 \pi r h$ নেকি। চিলিণ্ডাৰটো গঠন কৰিবলৈ স্কোৱাৰ কাগজৰ কিমান বৰ্গ একক ব্যৱহাৰ কৰা হৈছে গণনা কৰা।

পৰীক্ষা কৰা এই গণনাটো প্ৰায় $2 \pi r(r+h)$ ৰ সমান নেকি।

(ii) আমি চিলিণ্ডাৰ এটাৰ পৃষ্ঠকালিৰ সম্পৰ্ক $2 \pi r(r+h)$ আন এটা ধৰণেৰে উলিয়াব পাৰো। চিলিণ্ডাৰ এটা তলত দেখুওৱাৰ দৰে কাটি উলিওৱাৰ কথা কল্পনা কৰা (চিত্ৰ 9.26)।

চিত্ৰ 9.26

টোকা: আমি $\pi$ ক $\frac{22}{7}$ বুলি ধৰো যদি আনকৈ উল্লেখ নাথাকে।

চিলিণ্ডাৰ এটাৰ পাৰ্শ্বীয় (বা বক্ৰ) পৃষ্ঠকালি হৈছে $2 \pi r h$।

চিলিণ্ডাৰ এটাৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি $=\pi r^{2}+2 \pi r h$

$ =2 \pi r^{2}+2 \pi r h \text{ বা } 2 \pi r(r+h) $

চেষ্টা কৰা

তলৰ চিলিণ্ডাৰবোৰৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা (চিত্ৰ 9.27)

চিন্তা কৰা, আলোচনা কৰা আৰু লিখা

লক্ষ্য কৰা যে চিলিণ্ডাৰ এটাৰ পাৰ্শ্বীয় পৃষ্ঠকালি হৈছে ভূমিৰ পৰিধি $\times$ চিলিণ্ডাৰৰ উচ্চতা। আমি আয়তঘনক এটাৰ পাৰ্শ্বীয় পৃষ্ঠকালি ভূমিৰ পৰিসীমা $\times$ আয়তঘনকৰ উচ্চতা হিচাপে লিখিব পাৰোনে?

উদাহৰণ 4 : এটা একুৱেৰিয়াম আয়তঘনক আকৃতিৰ যাৰ বাহ্যিক মাপ $80 cm \times 30 cm \times 40 cm$। ভূমি, পাৰ্শ্বীয় মুখ আৰু পিছফালৰ মুখ ৰঙীন কাগজেৰে ঢাকিব লাগিব। প্ৰয়োজনীয় কাগজৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা?

সমাধান: একুৱেৰিয়ামটোৰ দৈৰ্ঘ্য $=l=80 cm$

একুৱেৰিয়ামটোৰ প্ৰস্থ $=b=30 cm$

একুৱেৰিয়ামটোৰ উচ্চতা $=h=40 cm$

ভূমিৰ কালি $=l \times b=80 \times 30=2400 cm^{2}$

পাৰ্শ্বীয় মুখৰ কালি $=b \times h=30 \times 40=1200 cm^{2}$

পিছফালৰ মুখৰ কালি $=l \times h=80 \times 40=3200 cm^{2}$

প্ৰয়োজনীয় কালি $=$ = ভূমিৰ কালি + পাৰ্শ্বীয় মুখৰ কালি

$ \begin{alignedat} & +(2 \times \text{ এটা পাৰ্শ্বীয় মুখৰ কালি }) \\ = & 2400+3200+(2 \times 1200)=8000 cm^{2} \end{aligned} $

গতিকে প্ৰয়োজনীয় ৰঙীন কাগজৰ কালি হৈছে $8000 cm^{2}$।

উদাহৰণ 5 : আয়তঘনকীয় কোঠা এটাৰ আভ্যন্তৰীণ মাপ $12 m \times 8 m \times 4 m$। কোঠাটোৰ চাৰিওটা দেৱাল বগা ৰং কৰাৰ মুঠ খৰচ নিৰ্ণয় কৰা, যদি বগা ৰং কৰাৰ খৰচ ₹ 5 প্ৰতি $m^{2}$। যদি কোঠাটোৰ ছাদো বগা ৰং কৰা হয় তেন্তে বগা ৰং কৰাৰ মুঠ খৰচ কিমান হ’ব।

কোঠাটোৰ দৈৰ্ঘ্য $=l=12\ \text{m}$ ধৰা হ’ল

কোঠাটোৰ প্ৰস্থ $=b=8 m$ ধৰা হ’ল

কোঠাটোৰ উচ্চতা $=h=4 m$ ধৰা হ’ল

কোঠাটোৰ চাৰিওটা দেৱালৰ কালি $=$ = ভূমিৰ পৰিসীমা $\times$ × কোঠাটোৰ উচ্চতা

$ \begin{alignedat} & =2(l+b) \times h=2(12+8) \times 4 \\ & =2 \times 20 \times 4=160 m^{2} \end{aligned} $

প্ৰতি $m^{2}=₹ 5$ বগা ৰং কৰাৰ খৰচ

গতিকে কোঠাটোৰ চাৰিওটা দেৱাল বগা ৰং কৰাৰ মুঠ খৰচ $=₹(160 \times 5)=₹ 800$

ছাদৰ কালি $12 \times 8=96 m^{2}$

ছাদ বগা ৰং কৰাৰ খ