9.1 પરિચય

અમે જેમ જ્યારે બંધ પ્લેન ફિગર માટે, પરિમિટર તેના બાયપારામિટર તરફ આસપાસનું અંતર છે અને તેનો વિસ્તાર તે દ્વારા આચ્છાદિત થયેલો પ્રદેશ છે તેને સમજ્યું છે અને તેનો વિસ્તાર અને પરિમિટર ત્રિકોણ, આયત, વર્ગાકારી વગેરે જેવી વિવિધ પ્લેન ફિગર્સ જેવી ફિગર્સનો ઉપાડ્યો છે. અમે આયત આકારોમાં પાથરવારી અથવા બોર્ડર્સનો વિસ્તાર શોધવા માટે પણ સિખ્યું છું.

આ પ્રકરણમાં, અમે ચતુર્ભુજ જેવી અન્ય પ્લેન બંધ ફિગર્સના પરિમિટર અને વિસ્તાર સંબંધિત સમસ્યાઓનું ઉકેલવામાં પ્રયત્ન કરીશું.

અમે ક્યુબ, ક્યુબોઇડ અને સિલિંડર જેવા ત્રાકારના ત્રણ આકૃતિઓનો પૃષ્ઠભૂમિ અને અવકાશ પણ શીખીશું.

9.2 બહુકોણનો વિસ્તાર

અમે ચતુર્ભુજને ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરીને તેનો વિસ્તાર શોધીએ છીએ. બહુકોણનો વિસ્તાર શોધવા માટે આદર્શ જેટલા જ પદ્ધતિઓ વપરાતા હોય છે. આગામી પાંચકોણ માટે નીચે ધ્યાન આપો: (ચિત્ર 9.1, 9.2)

ચિત્ર 9.1

બે ડાયાગોનલ્સ $AC$ અને $AD$ બનાવીને પાંચકોણ $A B C D E$ ત્રણ ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે. તેથી, વિસ્તાર $ABCDE=$ પાંચકોણના વિસ્તાર $\triangle ABC+$ ત્રિકોણોના વિસ્તારોનો યોગાંતર $\triangle ACD+$ ત્રિકોણોના વિસ્તારોનો યોગાંતર $\triangle ADE$ ત્રિકોણોના વિસ્તારોનો યોગાંતર

ચિત્ર 9.1

એક ડાયાગોનલ $AD$ અને તે પર બે લંબોક્ષીય લંબાંતરો $BF$ અને $CG$ બનાવીને, પાંચકોણ $ABCDE$ ચાર ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે. તેથી, વિસ્તાર $ABCDE=$ પાંચકોણના વિસ્તાર $\triangle AFB+$ લંબોક્ષીય ત્રિકોણના વિસ્તાર $BFGC+$ ટ્રેપેઝિયમના વિસ્તાર $\Delta CGD+$ લંબોક્ષીય ત્રિકોણના વિસ્તાર $\triangle AED$. (ટ્રેપેઝિયમ BFGCના સમલંબ બાજુઓને ઓળખો.)

આ પ્રયત્ન કરો

(i) નીચેના બહુકોણો (ચિત્ર 9.3)ને ત્રિકોણો અને ટ્રેપેઝિયમની બાજુઓમાં ભાગોમાં વિભાજિત કરો તેનો વિસ્તાર શોધવા માટે.

FI પાંચકોણ EFGHનો એક ડાયાગોનલ છે

NQ પાંચકોણ MNOPQRનો એક ડાયાગોનલ છે

(ii) બહુકોણ $ABCDE$ નીચે જેવી રીતે ભાગોમાં વિભાજિત છે (ચિત્ર 9.4). $AD=8 cm, AH=6 cm, AG=4 cm, AF=3 cm$ અને લંબોક્ષીય લંબાંતરો $BF=2 cm$, $CH=3 cm, FG=2.5 cm$ હેઠળ તેનો વિસ્તાર શોધો.

બહુકોણનો વિસ્તાર $ABCDE=$ ભાગોના વિસ્તારોનો યોગાંતર.

ભાગોના વિસ્તારોનો યોગાંતર $\triangle AFB+\ldots$.

ભાગોના વિસ્તારોનો યોગાંતર $\triangle AFB=\frac{1}{2} \times AF \times BF=\frac{1}{2} \times 3 \times 2=\ldots$

ટ્રેપેઝિયમના વિસ્તાર $FBCH=FH \times \frac{(BF+CH)}{2}$

$ =3 \times \frac{(2+3)}{2} \quad[FH=AH-AF] $

ચિત્ર 9.4

ભાગોના વિસ્તારોનો યોગાંતર $\triangle CHD=\frac{1}{2} \times HD \times CH=\ldots . ;$ ભાગોના વિસ્તારોનો યોગાંતર $\triangle ADE=\frac{1}{2} \times AD \times GE=$ તેથી, બહુકોણનો વિસ્તાર $ABCDE=$…

(iii) બહુકોણ MNOPQRનો વિસ્તાર શોધો (ચિત્ર 9.5) જો $MP=9 cm, MD=7 cm, MC=6 cm, MB=4 cm$, $MA=2 cm$

$NA, OC, QD$ અને $RB$ ડાયાગોનલ MP પર લંબોક્ષીય લંબાંતરો છે.

ચિત્ર 9.5

ઉદાહરણ 1 : ટ્રેપેઝિયમ આકારના ખેતરનો વિસ્તાર $480 m^{2}$, બે સમલંબ બાજુઓ વચ્ચેનું અંતર $15 m$ અને એક સમલંબ બાજુ $20 m$. બીજી સમલંબ બાજુને શોધો.

ઉકેલ: ટ્રેપેઝિયમની એક સમલંબ બાજુ $a=20 m$, બીજી સમલંબ બાજુ $b$ તરીકે રાખીએ છીએ, ઊંચાઈ $h=15 m$.

આપેલ ટ્રેપેઝિયમનો વિસ્તાર $=480 m^{2}$.

$ \begin{alignedat} \text{ ટ્રેપેઝિયમનો વિસ્તાર } & =\frac{1}{2} h(a+b) \\ \text{ તેથી } 480 & =\frac{1}{2} \times 15 \times(20+b) \quad \text{ અથવા } \quad \frac{480 \times 2}{15}=20+b \\ \text{ અથવા } 64 & =20+b \text{ અથવા } b=44\text{ m} \end{aligned} $

તેથી ટ્રેપેઝિયમની બીજી સમલંબ બાજુ $44\ \text{m}$.

ઉદાહરણ 2 : રોમ્બસનો વિસ્તાર $240 cm^{2}$ અને એક ડાયાગોનલની લંબાઈ $16 cm$. બીજી ડાયાગોનલની લંબાઈ શોધો.

એક ડાયાગોનલની લંબાઈ $d_1=16 cm$ તરીકે રાખીએ છીએ

અને $\quad\quad$ બીજી ડાયાગોનલની લંબાઈ $=d_2$

$\quad\quad$ રોમ્બસનો વિસ્તાર $=\frac{1}{2} d_1 \cdot d_2=240$

તેથી, $ \begin{alignedat} \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot d_2 & =240 \\ d_2 & =30 cm \end{aligned} $

તેથી બીજી ડાયાગોનલની લંબાઈ $30 cm$.

ત્રણ બાજુઓનો ષટ્કોણ MNOPQR હશેન પર છે $5\ cm$ (ચિત્ર 9.6). આમન અને રિધિમા તેને બે અલગ અલગ રીતે વિભાજિત કરી છે (ચિત્ર 9.7).

આ ષટ્કોણનો વિસ્તાર બે રીતે બંને રીતે શોધો.

ઉકેલ: આમનની પદ્ધતિ:

ચિત્ર 9.7

કેટલીક સમય સુધી તે એક નિયમિત ષટ્કોણ છે, NQ ષટ્કોણને બે સમાન ટ્રેપેઝિયમમાં વિભાજિત કરે છે. તેને કાગળ ફોલ્ડિંગ દ્વારા ચકાસીએ છીએ (ચિત્ર 9.8).

હવે ટ્રેપેઝિયમનો વિસ્તાર, MNQR $= \frac{(11+5)}{2} \times 4 = 2 \times 16 = 32 cm^{2}$.

ચિત્ર 9.9 તેથી ષટ્કોણ MNOPQRનો વિસ્તાર $=2 \times 32=64\ cm^{2}$.

રિધિમાની પદ્ધતિ:

$\Delta MNO$ અને $\Delta RPQ$ સમાન ત્રિકોણ છે જેમાં સંબંધિત ઊંચાઈઓ $3 cm$ છે (ચિત્ર 9.9).

તેને આ બે ત્રિકોણોને કાપીને એકબીજા પર મૂકીને ચકાસીએ છીએ.

$ \text{ ત્રિકોણ } \Delta MNOનો \text{ વિસ્તાર}=\frac{1}{2} \times 8 \times 3=12 cm^{2}=\text{ ત્રિકોણ } \Delta RPQનો \text{ વિસ્તાર} $

આયત MOPRનો વિસ્તાર $=8 \times 5=40 cm^{2}$.

હવે, ષટ્કોણ MNOPQRનો વિસ્તાર $=40+12+12=64\ cm^{2}$.

અભ્યાસક્રમ 9.1

1. ટેબલની ટોચની પાસેની આકૃતિ ટ્રેપેઝિયમ છે. તેનો વિસ્તાર શોધો જો તેની સમલંબ બાજુઓ $1 m$ અને $1.2 m$ અને તેમની વચ્ચેની લંબોક્ષીય લંબાંતર $0.8 m$.

ટ્રેપેઝિયમનો વિસ્તાર $34 , \text{cm}^{2}$ અને એક સમલંબ બાજુની લંબાઈ $10 cm$ અને તેની ઊંચાઈ $4 cm$. બીજી સમલંબ બાજુની લંબાઈ શોધો.

3. ટ્રેપેઝિયમ આકારના ખેતરની લંબાઈ $A B C D$ છે $120 m$. જો $B C=48 m, C D=17 m$ અને $A D=40 m$, તો આ ખેતરનો વિસ્તાર શોધો. બાજુ $AB$ સમલંબ બાજુઓ $AD$ અને $BC$ પર લંબોક્ષીય છે.

4. ચતુર્ભુજ આકારના ખેતરની ડાયાગોનલ $24 m$ છે અને તેની પર બાકાતા બીજા વિરુદ્ધ શીર્ષ બિંદુઓથી કાપેલા લંબોક્ષીય લંબાંતરો $8 m$ અને $13 m$. ખેતરનો વિસ્તાર શોધો.

5. રોમ્બસના ડાયાગોનલ્સ $7.5 cm$ અને $12 cm$. તેનો વિસ્તાર શોધો.

6. રોમ્બસની બાજુ $5 cm$ અને તેની ઊંચાઈ $4.8 cm$ હોય તેવા રોમ્બસનો વિસ્તાર શોધો. જો તેની એક ડાયાગોનલ $8 cm$ લાંબી હોય, તો બીજી ડાયાગોનલની લંબાઈ શોધો.

7. એક ભવનની ફ્લોર 3000 ટાઇલોથી બનેલી છે જે રોમ્બસ આકારની છે અને તેમાંના દરેક ટાઇલના ડાયાગોનલ્સ $45 cm$ અને $30 cm$ લાંબા છે. જો દર $m^{2}$ માટે પોલિશિંગની કિંમત ₹ 4 છે, તો ફ્લોરની કુલ કિંમત શોધો.

8. મોહન ટ્રેપેઝિયમ આકારનું ખેતર ખરીદવા માંગે છે. તેની નદી કિનારે રાસ્તા કિનારેની બાજુની બે ગણ પણ સમલંબ છે. જો આ ખેતરનો વિસ્તાર $10500 m^{2}$ અને બે સમલંબ બાજુઓ વચ્ચેની લંબોક્ષીય લંબાંતર

ચિત્ર https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_cropped_2024_04_10_dad5bc1278243302516bg-120_jpg_height_231_width_289_top_left_y_1331_top_left_x_228.jpg" પર છે $100\ \text{m}$, તો નદી કિનારે બાજુની લંબાઈ શોધો.

9. ઉત્તોલિત પ્લેટફોર્મની ટોચ નીચે જેવી રીતે એક નિયમિત અષ્ટકોણની આકૃતિમાં છે. અષ્ટકોણની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પાસેની પ