9.1 அறிமுகம்

ஒரு மூடிய தள உருவத்திற்கு, சுற்றளவு என்பது அதன் எல்லையைச் சுற்றியுள்ள தூரம் மற்றும் அதன் பரப்பளவு என்பது அது மூடிய பகுதி என்பதை நாம் கற்றுக்கொண்டோம். முக்கோணங்கள், செவ்வகங்கள், வட்டங்கள் போன்ற பல்வேறு தள உருவங்களின் பரப்பளவு மற்றும் சுற்றளவைக் கண்டறிந்தோம். செவ்வக வடிவங்களில் உள்ள பாதைகள் அல்லது எல்லைகளின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும் கற்றுக்கொண்டோம்.

இந்த அத்தியாயத்தில், நாற்கரங்கள் போன்ற பிற மூடிய தள உருவங்களின் சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவு தொடர்பான சிக்கல்களைத் தீர்க்க முயற்சிப்போம்.

கனசதுரம், கனசெவ்வகம் மற்றும் உருளை போன்ற திடப்பொருட்களின் புறப்பரப்பு மற்றும் கனஅளவு பற்றியும் கற்றுக்கொள்வோம்.

9.2 பலகோணத்தின் பரப்பளவு

ஒரு நாற்கரத்தை முக்கோணங்களாகப் பிரித்து அதன் பரப்பளவைக் காண்கிறோம். ஒரு பலகோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிய இதே போன்ற முறைகளைப் பயன்படுத்தலாம். ஒரு ஐங்கோணத்திற்கு பின்வருவனவற்றைக் கவனிக்கவும்: (படம் 9.1, 9.2)

படம் 9.1

இரண்டு மூலைவிட்டங்கள் $AC$ மற்றும் $AD$ ஐக் கட்டமைப்பதன் மூலம் ஐங்கோணம் $A B C D E$ மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்படுகிறது. எனவே, பரப்பளவு $ABCDE=$ = $\triangle ABC+$ இன் பரப்பளவு + $\triangle ACD+$ இன் பரப்பளவு + $\triangle ADE$ இன் பரப்பளவு

படம் 9.1

ஒரு மூலைவிட்டம் $AD$ மற்றும் அதன் மீது இரண்டு செங்குத்துகள் $BF$ மற்றும் $CG$ ஐக் கட்டமைப்பதன் மூலம், ஐங்கோணம் $ABCDE$ நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்படுகிறது. எனவே, $ABCDE=$ இன் பரப்பளவு = செங்கோண முக்கோணம் $\triangle AFB+$ இன் பரப்பளவு + சரிவகம் $BFGC+$ இன் பரப்பளவு + செங்கோண முக்கோணம் $\Delta CGD+$ இன் பரப்பளவு + $\triangle AED$ இன் பரப்பளவு. (சரிவகம் BFGC இன் இணை பக்கங்களை அடையாளம் காணவும்.)

முயற்சி செய்க

(i) பின்வரும் பலகோணங்களை (படம் 9.3) அதன் பரப்பளவைக் கண்டறிய பகுதிகளாக (முக்கோணங்கள் மற்றும் சரிவகம்) பிரிக்கவும்.

(ii) பலகோணம் $ABCDE$ கீழே காட்டப்பட்டுள்ளபடி (படம் 9.4) பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. $AD=8 cm, AH=6 cm, AG=4 cm, AF=3 cm$ மற்றும் செங்குத்துகள் $BF=2 cm$, $CH=3 cm, FG=2.5 cm$ எனில் அதன் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

பலகோணத்தின் பரப்பளவு $ABCDE=$ = $\triangle AFB+\ldots$ இன் பரப்பளவுகளின் கூட்டுத்தொகை.

$\triangle AFB=\frac{1}{2} \times AF \times BF=\frac{1}{2} \times 3 \times 2=\ldots$ இன் பரப்பளவு

சரிவகத்தின் பரப்பளவு $FBCH=FH \times \frac{(BF+CH)}{2}$

$ =3 \times \frac{(2+3)}{2} \quad[FH=AH-AF] $

படம் 9.4

$\triangle CHD=\frac{1}{2} \times HD \times CH=\ldots . ;$ இன் பரப்பளவு = $\triangle ADE=\frac{1}{2} \times AD \times GE=$ இன் பரப்பளவு எனவே, பலகோணத்தின் பரப்பளவு $ABCDE=$…

(iii) பலகோணம் MNOPQR இன் பரப்பளவைக் கண்டறியவும் (படம் 9.5), $MP=9 cm, MD=7 cm, MC=6 cm, MB=4 cm$, $MA=2 cm$

$NA, OC, QD$ மற்றும் $RB$ ஆகியவை மூலைவிட்டம் MP க்கு செங்குத்தாக உள்ளன.

படம் 9.5

எடுத்துக்காட்டு 1 : ஒரு சரிவக வடிவ நிலத்தின் பரப்பளவு $480 m^{2}$, இரண்டு இணை பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள தூரம் $15 m$ மற்றும் ஒரு இணை பக்கம் $20 m$. மற்றொரு இணை பக்கத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: சரிவகத்தின் ஒரு இணை பக்கம் $a=20 m$, மற்றொரு இணை பக்கம் $b$, உயரம் $h=15 m$ என்க.

சரிவகத்தின் கொடுக்கப்பட்ட பரப்பளவு $=480 m^{2}$.

$ \begin{alignedat} \text{ சரிவகத்தின் பரப்பளவு } & =\frac{1}{2} h(a+b) \\ \text{ எனவே } 480 & =\frac{1}{2} \times 15 \times(20+b) \quad \text{ அல்லது } \quad \frac{480 \times 2}{15}=20+b \\ \text{ அல்லது } 64 & =20+b \text{ அல்லது } b=44\text{ m} \end{aligned} $

எனவே சரிவகத்தின் மற்றொரு இணை பக்கம் $44\ \text{m}$.

எடுத்துக்காட்டு 2 : ஒரு சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவு $240 cm^{2}$ மற்றும் அதன் ஒரு மூலைவிட்டம் $16 cm$. மற்ற மூலைவிட்டத்தைக் கண்டறியவும்.

ஒரு மூலைவிட்டத்தின் நீளம் $d_1=16 cm$

மற்றும் $\quad\quad$ மற்ற மூலைவிட்டத்தின் நீளம் $=d_2$

$\quad\quad$ சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவு $=\frac{1}{2} d_1 \cdot d_2=240$

எனவே, $ \begin{alignedat} \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot d_2 & =240 \\ d_2 & =30 cm \end{aligned} $

எனவே இரண்டாவது மூலைவிட்டத்தின் நீளம் $30 cm$.

$5\ cm$ பக்கமுள்ள ஒரு அறுகோணம் MNOPQR உள்ளது (படம் 9.6). அமன் மற்றும் ரிதிமா அதை இரண்டு வெவ்வேறு வழிகளில் பிரித்தனர் (படம் 9.7).

இந்த அறுகோணத்தின் பரப்பளவை இரண்டு வழிகளிலும் கண்டறியவும்.

தீர்வு: அமனின் முறை:

படம் 9.7

இது ஒரு சீரான அறுகோணம் என்பதால், NQ அறுகோணத்தை இரண்டு சர்வசமமான சரிவகங்களாகப் பிரிக்கிறது. காகிதம் மடிப்பதன் மூலம் இதைச் சரிபார்க்கலாம் (படம் 9.8).

இப்போது சரிவகம் MNQR இன் பரப்பளவு $= \frac{(11+5)}{2} \times 4 = 2 \times 16 = 32 cm^{2}$.

படம் 9.9 எனவே அறுகோணம் MNOPQR இன் பரப்பளவு $=2 \times 32=64\ cm^{2}$.

ரிதிமாவின் முறை:

$\Delta MNO$ மற்றும் $\Delta RPQ$ ஆகியவை $3 cm$ தொடர்புடைய உயரங்களைக் கொண்ட சர்வசமமான முக்கோணங்கள் (படம் 9.9).

இந்த இரண்டு முக்கோணங்களை வெட்டி ஒன்றின் மேல் ஒன்றை வைப்பதன் மூலம் இதைச் சரிபார்க்கலாம்.

$ \text{ } \Delta MNO \text{ இன் பரப்பளவு }=\frac{1}{2} \times 8 \times 3=12 cm^{2}=\text{ } \Delta RPQ \text{ இன் பரப்பளவு } $

செவ்வகம் MOPR இன் பரப்பளவு $=8 \times 5=40 cm^{2}$.

இப்போது, அறுகோணம் MNOPQR இன் பரப்பளவு $=40+12+12=64\ cm^{2}$.

பயிற்சி 9.1

1. ஒரு மேசையின் மேற்பரப்பின் வடிவம் ஒரு சரிவகம். அதன் இணை பக்கங்கள் $1 m$ மற்றும் $1.2 m$ மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான செங்குத்து தூரம் $0.8 m$ எனில் அதன் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

ஒரு சரிவகத்தின் பரப்பளவு $34 , \text{cm}^{2}$ மற்றும் ஒரு இணை பக்கத்தின் நீளம்

$10 cm$ மற்றும் அதன் உயரம் $4 cm$. மற்றொரு இணை பக்கத்தின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

3. ஒரு சரிவக வடிவ நிலத்தின் வேலியின் நீளம் $A B C D$ $120 m$. $B C=48 m, C D=17 m$ மற்றும் $A D=40 m$ எனில், இந்த நிலத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும். பக்கம் $AB$ ஆனது இணை பக்கங்கள் $AD$ மற்றும் $BC$ க்கு செங்குத்தாக உள்ளது.

4. ஒரு நாற்கர வடிவ நிலத்தின் மூலைவிட்டம் $24 m$ மற்றும் மீதமுள்ள எதிர் முனைகளிலிருந்து அதன் மீது விடப்பட்ட செங்குத்துகள் $8 m$ மற்றும் $13 m$. நிலத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

5. ஒரு சாய்சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் $7.5 cm$ மற்றும் $12 cm$. அதன் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

6. ஒரு சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும், அதன் பக்கம் $5 cm$ மற்றும் அதன் உயரம் $4.8 cm$. அதன் மூலைவிட்டங்களில் ஒன்று $8 cm$ நீளம் கொண்டது எனில், மற்ற மூலைவிட்டத்தின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

7. ஒரு கட்டிடத்தின் தளம் 3000 ஓடுகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை சாய்சதுர வடிவில் உள்ளன மற்றும் ஒவ்வொன்றின் மூலைவிட்டங்களும் $45 cm$ மற்றும் $30 cm$ நீளம் கொண்டவை. தளத்தை மெருகூட்டுவதற்கான மொத்த செலவைக் கண்டறியவும், ஒரு $m^{2}$ க்கான செலவு ₹ 4.

8. மோகன் ஒரு சரிவக வடிவ நிலத்தை வாங்க விரும்புகிறார். ஆற்றின் ஓரத்தில் அமைந்துள்ள பக்கம், சாலையின் ஓரத்தில் அமைந்துள்ள பக்கத்திற்கு இணையாகவும் இரட்டிப்பாகவும் உள்ளது. இந்த நிலத்தின் பரப்பளவு $10500 m^{2}$ மற்றும் செங்குத்து தூரம்

இரண்டு இணை பக்கங்களுக்கு இடையே $100\ \text{m}$ எனில், ஆற்றின் ஓரத்தில் அமைந்துள்ள பக்கத்தின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

9. உயர்த்தப்பட்ட மேடையின் மேற்பரப்பு படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி ஒரு சீரான எண்கோண வடிவில் உள்ளது. எண்கோண மேற்பரப்பின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

10. படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி ஒரு ஐங்கோண வடிவ பூங்கா உள்ளது.

அதன் பரப்பளவைக் கண்டறிய ஜோதி மற்றும் கவிதா இரண்டு வெவ்வேறு வழிகளில் பிரித்தனர்.

இந்த பூங்காவின் பரப்பளவை இரண்டு வழிகளிலும் கண்டறியவும். அதன் பரப்பளவைக் கண்டறிய வேறு சில வழிகளை நீங்கள் பரிந்துரைக்க முடியுமா?

11. அடுத்துள்ள படச் சட்டத்தின் வரைபடத்தின் வெளிப்புற அளவுகள் $=24 cm \times 28 cm$ மற்றும் உள் அளவுகள் $16 cm \times 20 cm$. சட்டத்தின் ஒவ்வொரு பிரிவின் பரப்பளவையும் கண்டறியவும், ஒவ்வொரு பிரிவின் அகலமும் சமமாக இருந்தால்.

9.3 திட வடிவங்கள்

முப்பரிமாண வடிவங்களின் முகங்களாக இரு பரிமாண உருவங்களை அடையாளம் காண முடியும் என்பதை நீங்கள் முந்தைய வகுப்புகளில் படித்துள்ளீர்கள். இதுவரை நாம் விவாதித்த திடப்பொருட்களைக் கவனிக்கவும் (படம் 9.10).

படம் 9.10

சில வடிவங்களுக்கு இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட ஒரே மாதிரியான (சர்வசமமான) முகங்கள் உள்ளன என்பதைக் கவனிக்கவும். அவற்றின் பெயர்களைக் கூறுக. எந்த திடப்பொருளுக்கு அனைத்து முகங்களும் சர்வசமமாக உள்ளன?

செய்க

சோப்புகள், பொம்மைகள், பேஸ்ட்கள், சிற்றுண்டிகள் போன்றவை பெரும்பாலும் கனசெவ்வக, கனசதுர அல்லது உருளை பெட்டிகளில் பேக்கிங் செய்யப்படுகின்றன. அத்தகைய பெட்டிகளைச் சேகரிக்கவும் (படம் 9.11).

$$\hspace{90 mm} \begin{array}{|r|} \hline \text{All six faces} \\ \text{are quadrilaterals} \ \text{and identical} \\ \hline \end{array} $$

இப்போது ஒரு நேரத்தில் ஒரு வகை பெட்டியை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். அதில் உள்ள அனைத்து முகங்களையும் வெட்டி எடுக்கவும். ஒவ்வொரு முகத்தின் வடிவத்தையும் கவனித்து, அவற்றை ஒன்றன் மேல் ஒன்றாக வைப்பதன் மூலம் பெட்டியின் ஒரே மாதிரியான முகங்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும். உங்கள் கவனிப்புகளை எழுதுங்கள்.

படம் 9.12

(இது ஒரு நேர்வட்ட உருளை)

பின்வருவனவற்றை நீங்கள் கவனித்தீர்களா:

உருளையில் ஒன்றுக்கொன்று இணையாக இருக்கும் சர்வசமமான வட்ட முகங்கள் உள்ளன (படம் 9.12). வட்ட முகங்களின் மையத்தை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டு அடித்தளத்திற்கு செங்குத்தாக இருப்பதைக் கவனிக்கவும். இத்தகைய உருளைகள் நேர்வட்ட உருளைகள் என அறியப்படுகின்றன. மற்ற வகை உருளைகளும் இருந்தாலும் (படம் 9.13), இந்த வகை உருளைகளை மட்டுமே நாம் படிக்கப் போகிறோம்.

படம். 9.13

(இது ஒரு நேர்வட்ட உருளை அல்ல)

சிந்தியுங்கள், விவாதியுங்கள் மற்றும் எழுதுங்கள்

இங்கே காட்டப்பட்டுள்ள திடப்பொருளை உருளை என்று அழைப்பது ஏன் தவறானது?

9.4 கனசதுரம், கனசெவ்வகம் மற்றும் உருளையின் புறப்பரப்பு

இம்ரான், மோனிகா மற்றும் ஜஸ்பால் ஆகியோர் முறையே ஒரே உயரம் கொண்ட கனசெவ்வக, கனசதுர மற்றும் உருளை பெட்டிகளை வரைந்து கொண்டிருக்கிறார்கள் (படம் 9.4).

யார் அதிக பரப்பளவை வரைந்தார்கள் என்பதைக் கண்டறிய அவர்கள் முயற்சிக்கிறார்கள். ஒவ்வொரு பெட்டியின் புறப்பரப்பைக் கண்டறிவது அதைக் கண்டறிய உதவும் என்று ஹரி பரிந்துரைத்தார்.

மொத்த புறப்பரப்பைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு முகத்தின் பரப்பளவையும் கண்டறிந்து பின்னர் கூட்டவும். ஒரு திடப்பொருளின் புறப்பரப்பு என்பது அதன் முகங்களின் பரப்பளவுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். மேலும் தெளிவுபடுத்த, ஒவ்வொரு வடிவத்தையும் ஒவ்வொன்றாக எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

9.4.1 கனசெவ்வகம்

நீங்கள் ஒரு கனசெவ்வக பெட்டியை வெட்டித் திறந்து அதை தட்டையாக வைத்திருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம் (படம் 9.15). கீழே காட்டப்பட்டுள்ளபடி (படம் 9.16) ஒரு வலைப்பின்னலைக் காணலாம்.

ஒவ்வொரு பக்கத்தின் பரிமாணத்தையும் எழுதுங்கள். ஒரு கனசெவ்வகத்தில் மூன்று ஜோடி ஒரே மாதிரியான முகங்கள் உள்ளன என்பது உங்களுக்குத் தெரியும். ஒவ்வொரு முகத்தின் பரப்பளவையும் கண்டறிய நீங்கள் எந்த வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம்?

அனைத்து முகங்களின் மொத்த பரப்பளவைக் கண்டறியவும்

படம் 9.16 பெட்டியின். ஒரு கனசெவ்வகத்தின் மொத்த புறப்பரப்பு = பரப்பளவு I + பரப்பளவு II + பரப்பளவு III + பரப்பளவு IV +பரப்பளவு $V+$ + பரப்பளவு $VI$

$ =h \times l + b \times l + b \times h + l \times h + b \times h + l \times b $

எனவே மொத்த புறப்பரப்பு $=2(h \times l+b \times h+b \times l)=2(l b+b h+h l)$ இங்கு $h, l$, $b$ மற்றும் $20 cm, 15 cm$ ஆகியவை முறையே கனசெவ்வகத்தின் உயரம், நீளம் மற்றும் அகலம்.

மேலே காட்டப்பட்டுள்ள பெட்டியின் உயரம், நீளம் மற்றும் அகலம் முறையே $20 cm, 15 cm$ மற்றும் $10 cm$ என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

$ \begin{alignedat} \text{ மொத்த புறப்பரப்பு } & =2(20 \times 15+20 \times 10+10 \times 15) \\ & = 2(300 + 200 + 150) = 1300 , \text{m}^{2} . \end{aligned} $

முயற்சி செய்க

பின்வரும் கனசெவ்வகங்களின் மொத்த புறப்பரப்பைக் கண்டறியவும் (படம் 9.17):

படம் 9.17

• பக்கச் சுவர்கள் (மேல் மற்றும் அடி தவிர்த்த முகங்கள்) கனசெவ்வகத்தின் பக்கப் புறப்பரப்பை உருவாக்குகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் அமர்ந்திருக்கும் கனசெவ்வக அறையின் நான்கு சுவர்களின் மொத்த பரப்பளவு இந்த அறையின் பக்கப் புறப்பரப்பு ஆகும் (படம் 9.18). எனவே, ஒரு கனசெவ்வகத்தின் பக்கப் புறப்பரப்பு $2(h \times l + h \times b)$ அல்லது $2 h(l + b)$ ஆல் கொடுக்கப்படுகிறது.

செய்க

(i) ஒரு கனசெவ்வக தூசி துணியின் (உங்கள் ஆசிரியர் வகுப்பறையில் பயன்படுத்தும்) பக்கப் புறப்பரப்பை பழுப்பு நிற காகிதத் துண்டைப் பயன்படுத்தி மூடவும், அது புறப்பரப்பைச் சுற்றி சரியாக பொருந்தும் வகையில். காகிதத்தை அகற்றவும். காகிதத்தின் பரப்பளவை அளவிடவும். அது தூசி துணியின் பக்கப் புறப்பரப்பா?

(ii) உங்கள் வகுப்பறையின் நீளம், அகலம் மற்றும் உயரத்தை அளவிடவும் மற்றும் கணக்கிடவும்

(a) சாளரங்கள் மற்றும் கதவுகளின் பரப்பளவைப் புறக்கணித்து, அறையின் மொத்த புறப்பரப்பு.

(b) இந்த அறையின் பக்கப் புறப்பரப்பு.

(c) வெள்ளை அடிக்கப்பட வேண்டிய அறையின் மொத்த பரப்பளவு.

சிந்தியுங்கள், விவாதியுங்கள் மற்றும் எழுதுங்கள்

1. கனசெவ்வகத்தின் மொத்த புறப்பரப்பு = பக்கப் புறப்பரப்பு $+2 \times$ அடித்தளத்தின் பரப்பளவு என்று சொல்ல முடியுமா?

2. ஒரு கனசெவ்வகத்தின் (படம் 9.19(i)) அடித்தளத்தின் நீளம் மற்றும் உயரத்தை மாற்றி மற்றொரு கனசெவ்வகத்தைப் பெற்றால் (படம் 9.19(ii)), அதன் பக்கப் புறப்பரப்பு மாறுமா?

(i)

9.4.2 கனசதுரம்

செய்க

சதுர காகிதத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வடிவத்தை வரைந்து வெட்டி எடுக்கவும் [படம் 9.20(i)]. (இந்த வடிவம் ஒரு கனசதுரத்தின் வலைப்பின்னல் என்பது உங்களுக்குத் தெரியும். கோடுகளுடன் [படம் 9.20(ii)] மடித்து, விளிம்புகளை ஒட்டி ஒரு கனசதுரத்தை உருவாக்கவும் [படம் 9.20(iii)]).

படம் 9.20

(i)

படம் 9.21

(a) கனசதுரத்தின் நீளம், அகலம் மற்றும் உயரம் என்ன? ஒரு கனசதுரத்தின் அனைத்து முகங்களும் சதுர வடிவில் உள்ளன என்பதைக் கவனிக்கவும். இது கனசதுரத்தின் நீளம், உயரம் மற்றும் அகலம் சமமாக இருக்கும் (படம் 9.21(i)).

(b) ஒவ்வொரு முகத்தின் பரப்பளவையும் எழுதுங்கள். அவை சமமாக உள்ளனவா?

(c) இந்த கனசதுரத்தின் மொத்த புறப்பரப்பை எழுதுங்கள்.

(d) கனசதுரத்தின் ஒவ்வொரு பக்கமும் $l$ எனில், ஒவ்வொரு முகத்தின் பரப்பளவு என்னவாக இருக்கும்? (படம் 9.21(ii)). பக்கம் $l$ கொண்ட கனசதுரத்தின் மொத்த புறப்பரப்பு $6 l^{2}$ என்று சொல்ல முடியுமா?

முயற்சி செய்க

கனசதுரம் A இன் புறப்பரப்பு மற்றும் கனசதுரம் B இன் பக்கப் புறப்பரப்பைக் கண்டறியவும் (படம் 9.22).

படம் 9.22

சிந்தியுங்கள், விவாதியுங்கள் மற்றும் எழுதுங்கள்

(i) ஒவ்வொன்றும் பக்கம் $b$ கொண்ட இரண்டு கனசதுரங்கள் ஒரு கனசெவ்வகத்தை உருவாக்க இணைக்கப்பட்டுள்ளன (படம் 9.23). இந்த கனசெவ்வகத்தின் புறப்பரப்பு என்ன? அது $6 b^{2}$ ஆகுமா? மூன்று அத்தகைய கனசதுரங்களை இணைப்பதன் மூலம் உருவாகும் கனசெவ்வகத்தின் புறப்பரப்பு, $14 b^{2}$ ஆகுமா? ஏன்?

படம் 9.23

(ii) சிறிய புறப்பரப்பைக் கொண்ட கனசெவ்வகத்தை உருவாக்க சம நீளமுள்ள 12 கனசதுரங்களை எவ்வாறு அமைப்பீர்கள்?

(iii) ஒரு கனசதுரத்தின் புறப்பரப்பு வரையப்பட்ட பிறகு, அந்த கனசதுரம் 64 சிறிய கனசதுரங்களாக ஒரே பரிமாணங்களுடன் வெட்டப்படுகிறது (படம் 9.24).

எத்தனை கனசதுரங்களுக்கு எந்த முகமும் வரையப்படவில்லை? 1 முகம் வரையப்பட்டது? 2 முகங்கள் வரையப்பட்டன? 3 முகங்கள் வரையப்பட்டன?

படம் 9.24

9.4.3 உருளைகள்

நாம் காணும் பெரும்பாலான உருளைகள் நேர்வட்ட உருளைகள். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு தகர டின், வட்ட தூண்கள், குழாய் விளக்குகள், நீர் குழாய்கள் போன்றவை.

செய்க

(i) ஒரு உருளை டின் அல்லது பெட்டியை எடுத்து, அதன் அடிப்பகுதியை வரைபட காகிதத்தில் தடயமிடவும் மற்றும் வெட்டவும் [படம் 9.25(i)]. வரைபட காகிதத்தை டினின் உயரத்திற்கு சமமான அகலத்துடன் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். காகிதத் துண்டை டினைச் சுற்றி (அதிகப்படியான காகிதத்தை அகற்றி) சுற்றி [படம் 9.25(ii)].

துண்டுகளை ஒன்றாக ஒட்டி [படம் 9.25(iii)] ஒரு உருளையை உருவாக்கவும் [படம் 9.25(iv)]. டினைச் சுற்றிச் செல்லும் காகிதத்தின் வடிவம் என்ன?

நிச்சயமாக அது செவ்வக வடிவில் உள்ளது. இந்த உருளையின் பகுதிகளை ஒன்றாக ஒட்டும்போது, செவ்வக துண்டின் நீளம் வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கு சமமாக இருக்கும். வட்ட அடித்தளத்தின் ஆரம் $(r)$, செவ்வக துண்டின் நீளம் $(l)$ மற்றும் அகலம் $(h)$ ஆகியவற்றைப் பதிவு செய்யவும். $2 \pi r=$ துண்டின் நீளம். செவ்வக துண்டின் பரப்பளவு $2 \pi r h$ என்பதைச் சரிபார்க்கவும். உருளையை உருவாக்க சதுர காகிதத்தின் எத்தனை சதுர அலகுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன என எண்ணுங்கள்.

இந்த எண்ணிக்கை தோராயமாக $2 \pi r(r+h)$ க்கு சமமாக உள்ளதா என சரிபார்க்கவும்.

(ii) ஒரு உருளையின் புறப்பரப்புக்கான தொடர்பை $2 \pi r(r+h)$ மற்றொரு