2.1 পরিচিতি

আমরা জানি যে গণনা শুরু করার সময় আমরা 1, 2, 3, 4,.. ব্যবহার করি। গণনা শুরু করার সময় এগুলি স্বাভাবিকভাবে আসে। অতএব, গণিতবিদরা গণনার সংখ্যাগুলিকে প্রাকৃতিক সংখ্যা বলে।

পূর্ববর্তী ও পরবর্তী সংখ্যা

যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য, আপনি সেই সংখ্যার সাথে 1 যোগ করে পরবর্তী সংখ্যা পাবেন অর্থাৎ আপনি তার পরবর্তী সংখ্যা পাবেন।

16 এর পরবর্তী সংখ্যা $16+1=17$, 19 এর পরবর্তী সংখ্যা $19+1=20$ এবং এভাবেই চলবে।

16 সংখ্যা 17 আগে আসে, আমরা বলি যে 17 এর পূর্ববর্তী সংখ্যা $17-1=16$, 20 এর পূর্ববর্তী সংখ্যা $20-1=19$, এবং এভাবেই চলবে।

চেষ্টা করুন

1. 19; 1997; 12000; 49; 100000 এর পূর্ববর্তী ও পরবর্তী সংখ্যা লিখুন।
2. কোন প্রাকৃতিক সংখ্যার কোন পূর্ববর্তী সংখ্যা নেই?
3. কোন প্রাকৃতিক সংখ্যার কোন পরবর্তী সংখ্যা নেই? কোন শেষ প্রাকৃতিক সংখ্যা আছে?

সংখ্যা 3 এর একটি পূর্ববর্তী ও পরবর্তী সংখ্যা আছে। 2 কিছু করে? পরবর্তী সংখ্যা 3 এবং পূর্ববর্তী সংখ্যা 1। 1 এর উভয় পূর্ববর্তী ও পরবর্তী সংখ্যা আছে?

আমরা আমাদের স্কুলে শিশুদের সংখ্যা গণনা করতে পারি; একটি শহরের মানুষের সংখ্যা গণনা করতে পারি; ভারতের মানুষের সংখ্যা গণনা করতে পারি। বিশ্বের সারাংশে মানুষের সংখ্যা গণনা করা যায়। আকাশের তারার সংখ্যা বা আমাদের মাথার চুলের সংখ্যা গণনা করতে পারলে না পারলে ভাবুক, কিন্তু যদি আমরা পারি, তাহলে তাদের জন্যও একটি সংখ্যা থাকবে। তখন আমরা এই সংখ্যার সাথে আরেকটি যোগ করে একটি বড় সংখ্যা পাব। এই ক্ষেত্রে আমরা মাথার দুটি চুলের সংখ্যা লিখতে পারি।

এখন সম্ভবত স্পষ্ট হয়ে উঠছে যে কোন বড় সংখ্যা নেই। উপরে উল্লিখিত এই প্রশ্নগুলি ছাড়াও, প্রাকৃতিক সংখ্যার সাথে কাজ করার সময় আমাদের মনে হতে পারে অনেক অন্যান্য প্রশ্ন। আপনি কয়েকটি এই প্রশ্ন চিন্তা করুন এবং আপনার বন্ধুদের সাথে আলোচনা করুন। অনেক প্রশ্নের উত্তর আপনার কাছে স্পষ্টভাবে জানা নেই!

2.2 সম্পূর্ণ সংখ্যা

আমরা দেখেছি যে প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলিতে সংখ্যা 1 এর কোন পূর্ববর্তী সংখ্যা নেই। 1 এর পূর্ববর্তী সংখ্যা হিসাবে 0 যোগ করে আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির সংগ্রহে যোগ করি।

প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি যুক্ত হয় শূন্যের সাথে এবং এই সংগ্রহটি সম্পূর্ণ সংখ্যাগুলির সংগ্রহ হয়।

চেষ্টা করুন

1. প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি কি সব সম্পূর্ণ সংখ্যা?
2. সম্পূর্ণ সংখ্যাগুলি কি সব প্রাকৃতিক সংখ্যা?
3. কোন সম্পূর্ণ সংখ্যা বড়?

আপনার পূর্ববর্তী শ্রেণীতে আপনি সংখ্যাগুলির উপর উপরের কাজ সম্পাদন করার মতো যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ করার মতো সব মৌলিক কাজ সম্পাদন করার জ্ঞান অর্জন করেছেন। আপনি তাদের সমস্যার উপর প্রয়োগ করতে জানেন। আসুন এগুলি একটি সংখ্যারেখায় চেষ্টা করি। আমরা এগিয়ে যেতে যাওয়ার আগে, আসুন আমরা জানি কী একটি সংখ্যারেখা!

2.3 সংখ্যারেখা

একটি রেখা আঁকুন। এর উপর একটি বিন্দু চিহ্নিত করুন। এটিকে 0 লেবেল করুন। 0 এর ডানদিকে দ্বিতীয় বিন্দু চিহ্নিত করুন। এটিকে 1 লেবেল করুন।

0 এবং 1 এর মধ্যে এই বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্বকে একক দূরত্ব বলা হয়। এই রেখায়, 1 এর ডানদিকে একক দূরত্বে একটি বিন্দু চিহ্নিত করুন এবং এটিকে 2 লেবেল করুন। এভাবে আপনি রেখায় $3,4,5, \ldots$ এর মতো বিন্দুগুলি লেবেল করতে পারেন। এই পদ্ধতিতে আপনি ডানদিকে যে কোন সম্পূর্ণ সংখ্যা পর্যন্ত যেতে পারেন।

এটি সম্পূর্ণ সংখ্যাগুলির জন্য একটি সংখ্যারেখা।

2 এবং 4 এর মধ্যে বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব কত? নিশ্চয়ই, এটি 2 একক। 2 এবং 6, 2 এবং 7 এর মধ্যে বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব কত বলতে পারেন?

সংখ্যারেখায় আপনি দেখবেন যে সংখ্যা 7 ডানদিকে 4 এর উপর আছে। এই সংখ্যা 7 4 থেকে বড়, অর্থাৎ $7>4$। সংখ্যা 8 6 এর ডানদিকে অবস্থিত এবং $8>6$। এই প্রত্যাখ্যানগুলি আমাদের বলতে সাহায্য করে যে, যেকোনো দুটি সম্পূর্ণ সংখ্যার মধ্যে, অন্য সংখ্যার ডানদিকে থাকা সংখ্যা হল বড় সংখ্যা। আমরা বলতে পারি যে বামদিকে থাকা সম্পূর্ণ সংখ্যা ছোট সংখ্যা।

উদাহরণস্বরূপ, $4<9 ; 4$ 9 এর বামদিকে। একইভাবে, $12>5 ; 12$ 5 এর ডানদিকে।

10 এবং 20 সম্পর্কে আপনি কি বলতে পারেন?

সংখ্যারেখায় 30, 12, 18 চিহ্নিত করুন। কোন সংখ্যা সর্বাপেক্ষা বামে আছে? 1005 এবং 9756 এর মধ্যে থেকে আপনি কোন সংখ্যা অন্য সংখ্যার সাপেক্ষে ডানদিকে আছে কিনা তা বলতে পারেন?

12 এর পরবর্তী সংখ্যা এবং 7 এর পূর্ববর্তী সংখ্যা সংখ্যারেখায় স্থাপন করুন।

সংখ্যারেখায় যোগ

সম্পূর্ণ সংখ্যাগুলির যোগ সংখ্যারেখায় দেখানো যায়। আসুন 3 এবং 4 এর যোগ দেখি।

3 থেকে শুরু করুন। আমরা এই সংখ্যার সাথে 4 যোগ করছি তাই আমরা ডানদিকে 4টি ছাপ দেব; 3 থেকে 4, 4 থেকে 5, 5 থেকে 6 এবং 6 থেকে 7 যেমন উপর দেখানো হয়েছে। চতুর্থ ছাপের শেষের \to এর তীব্রতা 7 এ আছে।

3 এবং 4 এর যোগফল 7, অর্থাৎ $3+4=7$।

চেষ্টা করুন

$4+5$; $2+6 ; 3+5$ এবং $1+6$ সংখ্যারেখার সাহায্যে খুঁজুন।

সংখ্যারেখায় বিয়োগ

দুটি সম্পূর্ণ সংখ্যার বিয়োগও সংখ্যারেখায় দেখানো যায়। আসুন $7-5$ খুঁজি।

7 থেকে শুরু করুন। 5 বিয়োগ করা হচ্ছে, তাই আমরা 1 এককের 1টি ছাপ দিয়ে বামদিকে যাব। 5টি এমন ছাপ দিন। আমরা 2 এই বিন্দুতে পৌঁছাই। আমরা $7-5=2$ পাই।

চেষ্টা করুন

$8-3$; $6-2 ; 9-6$ সংখ্যারেখার সাহায্যে খুঁজুন। সংখ্যারেখা।

সংখ্যারেখায় গুণ

এখন আমরা সম্পূর্ণ সংখ্যাগুলির গুণ সংখ্যারেখায় দেখব।

আসুন $4 \times 3$ খুঁজি।

0 থেকে শুরু করুন, ডানদিকে 3 একক পরিমাণ স্থান অতিক্রম করুন, এমন 4টি স্থান অতিক্রম করুন। আপনি কোথায় পৌঁছাবেন? আপনি 12 এ পৌঁছাবেন। তাই, আমরা বলি, $3 \times 4=12$।

চেষ্টা করুন

সংখ্যারেখার সাহায্যে $2 \times 6; 3\times3;4 \times 2 $ খুঁজুন

ব্যাক্যালয় 2.1

1. 10999 এর পর তিনটি পরবর্তী প্রাকৃতিক সংখ্যা লিখুন।

2. 10001 এর আগে তিনটি সম্পূর্ণ সংখ্যা লিখুন।

3. কোন হল সবচেয়ে ছোট সম্পূর্ণ সংখ্যা?

4. 32 এবং 53 এর মধ্যে কতগুলি সম্পূর্ণ সংখ্যা আছে?

5. পরবর্তী সংখ্যা লিখুন:

(a) 2440701
(b) 100199
(c) 1099999
(d) 2345670

6. পূর্ববর্তী সংখ্যা লিখুন:

(a) 94
(b) 10000
(c) 208090
(d) 7654321

7. নিম্নলিখিত প্রতিটি সংখ্যার জোড়ায়, সংখ্যারেখায় অন্য সংখ্যার বামদিকে কোন সম্পূর্ণ সংখ্যা আছে তা বর্ণনা করুন। এছাড়াও তাদের সঠিক $sign(>,<)$ এর মধ্যে লিখুন।

(a) 530, 503
(b) 370, 307
(c) 98765, 56789
(d) 9830415, 10023001

8. নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলি কোনগুলি $(T)$ এবং কোনগুলি $(F)$?

(a) শূন্য হল সবচেয়ে ছোট প্রাকৃতিক সংখ্যা।
(b) 400 হল 399 এর পূর্ববর্তী সংখ্যা।
(c) শূন্য হল সবচেয়ে ছোট সম্পূর্ণ সংখ্যা।
(d) 600 হল 599 এর পরবর্তী সংখ্যা।
(e) সব প্রাকৃতিক সংখ্যা হল সম্পূর্ণ সংখ্যা।
(f) সব সম্পূর্ণ সংখ্যা হল প্রাকৃতিক সংখ্যা।
(g) দ্বিআয়ত সংখ্যার পূর্ববর্তী সংখ্যা কখনো একক সংখ্যা হবে না।
(h) 1 হল সবচেয়ে ছোট সম্পূর্ণ সংখ্যা।
(i) প্রাকৃতিক সংখ্যা 1 এর কোন পূর্ববর্তী সংখ্যা নেই।
(j) সম্পূর্ণ সংখ্যা 1 এর কোন পূর্ববর্তী সংখ্যা নেই।
(k) সম্পূর্ণ সংখ্যা 13 11 এবং 12 এর মধ্যে অবস্থিত।
(l) সম্পূর্ণ সংখ্যা 0 এর কোন পূর্ববর্তী সংখ্যা নেই।
(m) দ্বিআয়ত সংখ্যার পরবর্তী সংখ্যা সর্বদা একটি দ্বিআয়ত সংখ্যা।

আমরা কি আলোচনা করেছি?

1. আমরা গণনার জন্য ব্যবহৃত সংখ্যা $1,2,3, \ldots$ প্রাকৃতিক সংখ্যা বলা হয়।

2. আপনি যদি একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার সাথে 1 যোগ করেন, তাহলে আপনি তার পরবর্তী সংখ্যা পাবেন। আপনি যদি একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা থেকে 1 বিয়োগ করেন, তাহলে আপনি তার পূর্ববর্তী সংখ্যা পাবেন।

3. প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি পরবর্তী সংখ্যা আছে। প্রাকৃতিক সংখ্যা 1 ছাড়া প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি পূর্ববর্তী সংখ্যা আছে।

4. আমরা যদি শূন্য সংখ্যাটি প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির সংগ্রহে যোগ করি, তাহলে আমরা সম্পূর্ণ সংখ্যাগুলির সংগ্রহ পাব। অতএব, সংখ্যা $0,1,2,3, \ldots$ সম্পূর্ণ সংখ্যাগুলির সংগ্রহ গঠন করে।

5. প্রতিটি সম্পূর্ণ সংখ্যার একটি পরবর্তী সংখ্যা আছে। শূন্য ছাড়া প্রতিটি সম্পূর্ণ সংখ্যার একটি পূর্ববর্তী সংখ্যা আছে।

6. সব প্রাকৃতিক সংখ্যা হল সম্পূর্ণ সংখ্যা, কিন্তু সব সম্পূর্ণ সংখ্যা হল প্রাকৃতিক সংখ্যা নয়।

7. আমরা একটি রেখা নিই, এর উপর একটি বিন্দু চিহ্নিত করি এবং এটিকে 0 লেবেল করি। এরপর আমরা 0 এর ডানদিকে সমান বিরতিতে বিন্দুগুলি চিহ্নিত করি। এগুলিকে $1,2,3, \ldots$ লেবেল করি। এভাবে, আমরা সংখ্যারেখায় সম্পূর্ণ সংখ্যাগুলি প্রতিনিধিত্ব করে থাকি। আমরা সংখ্যারেখার উপর যোগ, বিয়োগ এবং গুণের সংখ্যার কাজ সহজেই সম্পাদন করতে পারি।

8. যোগ সংখ্যারেখায় ডানদিকে চলার সম্পর্কিত হয়, অন্যদিকে বিয়োগ বামদিকে চলার সম্পর্কিত হয়। গুণ শূন্য থেকে সমান দূরত্বের ছাপ দেওয়ার সম্পর্কিত হয়।