2.1 அறிமுகம்

நாம் எண்களை எண்ணத் தொடங்கும்போது 1, 2, 3, 4,.. போன்ற எண்களைப் பயன்படுத்துகிறோம் என்பதை நாம் அறிந்திருக்கிறோம். எண்ணத் தொடங்கும்போது அவை நாம் அவ்வாறே வருகின்றன. எனவே, எண்களை எண்ணும் எண்களை இயற்கை எண்கள் என்று இயற்பியலாளர்கள் அழைக்கிறார்கள்.

முன்னொட்டு மற்றும் பின்னொட்டு

ஏதேனும் ஒரு இயற்கை எண்ணிற்கு 1 சேர்ப்பதன் மூலம் அதற்கு அடுத்த எண்ணைப் பெறலாம், அதாவது அதன் பின்னொட்டைப் பெறலாம்.

16 இன் பின்னொட்டு $16+1=17$, 19 இன் பின்னொட்டு $19+1=20$ மற்றும் போன்றவை.

16 எண் 17 எண்ணுக்கு முன்பு வரும், எனவே 17 எண்ணின் முன்னொட்டு $17-1=16$, 20 எண்ணின் முன்னொட்டு $20-1=19$ மற்றும் போன்றவை.

இதை முயற்சிக்கவும்

1. 19; 1997; 12000; 49; 100000 என்பவைகளின் முன்னொட்டு மற்றும் பின்னொட்டை எழுதுங்கள்.
2. முன்னொட்டு இல்லாத எந்த இயற்கை எண்ணும் இருக்கா?
3. பின்னொட்டு இல்லாத எந்த இயற்கை எண்ணும் இருக்கா? இயற்கை எண்களில் இறுதி எண் இருப்பதா?

எண் 3 முன்னொட்டு மற்றும் பின்னொட்டைக் கொண்டுள்ளது. 2 பற்றி என்ன சொல்வது? பின்னொட்டு 3 ஆகும் மேலும் முன்னொட்டு 1 ஆகும். 1 ஒரு பின்னொட்டு மற்றும் ஒரு முன்னொட்டையும் கொண்டுள்ளதா?

நமது பள்ளியில் உள்ள குழந்தைகளின் எண்ணிக்கையை எண்ணலாம்; நகரத்தில் உள்ள மக்களின் எண்ணிக்கையையும் எண்ணலாம்; இந்தியாவில் உள்ள மக்களின் எண்ணிக்கையையும் எண்ணலாம். உலகில் உள்ள மக்களின் எண்ணிக்கையையும் எண்ணலாம். நம்மால் வானம் அலையில் உள்ள நட்சத்திரங்களின் எண்ணிக்கை அல்லது எங்கள் தலையில் உள்ள முடிகளின் எண்ணிக்கையை எண்ண முடியாமல் இருக்கலாம் ஆனால் நம்மால் அவைகளை எண்ண முடியினால், அவைகளுக்கு ஒரு எண்ணும் இருக்கும். அப்போது அந்த எண்ணிற்கு 1 சேர்ப்பதன் மூலம் அதிகமான எண்ணைப் பெறலாம். அப்படியே இரு தலைகளிலும் உள்ள முடிகளின் எண்ணிக்கையையும் எண்ணலாம்.

இப்போது மிகவும் தெளிவாக இருக்கிறது என்னவென்றால், மிகப்பெரிய எண் இல்லை. மேலே பகிரப்பட்ட இந்த கேள்விகள் தவிர, இயற்கை எண்களைப் பற்றி வேலை செய்யும்போது நமக்கு பல மற்ற கேள்விகளும் வரலாம். இதில் சில கேள்விகளை நீங்கள் சிந்தித்து உங்கள் நண்பர்களுடன் விவாதிக்கலாம். அந்த கேள்விகளின் பல விடைகளை நீங்கள் தெளிவாக அறியாமல் இருக்கலாம்!

2.2 முழு எண்கள்

எண் 1 இயற்கை எண்களில் முன்னொட்டு இல்லை என்பதை நாம் கண்டிருக்கோம். 1 என்ப எண்ணிற்கு முன்னொட்டான 0 ஐ இயற்கை எண்களின் தொகுப்புக்கு சேர்ப்போம்.

இயற்கை எண்கள் அடிப்படையில் 0 ஐச் சேர்த்தல் முழு எண்களின் தொகுப்பைப் பெறுகிறது.

இதை முயற்சிக்கவும்

1. அனைத்து இயற்கை எண்களும் முழு எண்களா?
2. அனைத்து முழு எண்களும் இயற்கை எண்களா?
3. மிகப்பெரிய முழு எண்ணென்ன?

நீங்கள் முந்தைய வகுப்புகளில் எண்களில் அடிப்படை செயல்பாடுகளான கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தலை செய்ய ஏற்கனவே படித்திருக்கிறீர்கள். நீங்கள் அவற்றை பிரச்சினைகளுக்கு எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதையும் அறிந்திருக்கிறீர்கள். அவைகளை ஒரு எண் வரி அலகில் முயற்சிப்போம். நாம் தொடர வருவதற்கு முன், ஒரு எண் வரியைப் பற்றி என்ன என்பதை நாம் அறிந்துகொள்வோம்!

2.3 எண் வரி

ஒரு வரைபடத்தை வரையுங்கள். அதில் ஒரு புள்ளியை வரையுங்கள். அதை 0 என வையிடுங்கள். 0 அல்லது அதற்கு வலது பக்கத்தில் இரண்டாவது புள்ளியை வரையுங்கள். அதை 1 என வையிடுங்கள்.

0 மற்றும் 1 என்ற இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையேயான தூரம் ஒரு அலகு தூரம் என அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வரியில் 1 அல்லது 1 இலிருந்து வலது பக்கத்தில் ஒரு புள்ளியை ஒரு அலகு தூரத்தில் வரையுங்கள் மற்றும் அதை 2 என வையிடுங்கள். இப்படிப்பட்ட வழியில் வரியில் $3,4,5, \ldots$ என அலகு தூரங்களில் வரையப்பட்ட புள்ளிகளை வையிடுங்கள். இப்படிப்பட்ட வழியில் நீங்கள் வலது பக்கத்தில் எந்த முழு எண்ணிற்கும் சென்று செல்லலாம்.

இது முழு எண்களுக்கான ஒரு எண் வரி.

2 மற்றும் 4 என்ற இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையேயான தூரம் என்ன? அவ்வாறே 2 அலகுகள். 2 மற்றும் 6, 2 மற்றும் 7 என்ற புள்ளிகளுக்கு இடையேயான தூரம் என்ன என்பதை நீங்கள் சொல்ல முடியுமா?

எண் வரியில் நீங்கள் காண்பீர்கள், எண் 7 4 அல்லது 4 இன் வலது பக்கத்தில் உள்ளது. இந்த எண் 7 4 ஐ விட அதிகமாகும், அதாவது $7>4$. எண் 8 6 அல்லது 6 இன் வலது பக்கத்தில் உள்ளது $8>6$. இந்த கவனிப்புகள் இரு முழு எண்களுக்கிடையே, ஒரு எண்ணின் வலது பக்கத்தில் உள்ள எண் மிகப்பெரிய எண் என்பதை நமக்கு சொல்ல உதவுகிறது. நாம் இன்னும் எழுதலாம், வலது பக்கத்தில் உள்ள முழு எண் அதன் சிறிய எண்ணாகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, 9 இன் வலது பக்கத்தில் $4<9 ; 4$. இன்னும், 5 இன் வலது பக்கத்தில் $12>5 ; 12$.

10 மற்றும் 20 பற்றி நீங்கள் என்ன சொல்வீர்கள்?

எண் வரியில் 30, 12, 18 என்பவைகளை வரையுங்கள். வலது பக்கத்தில் மிகவும் பெரிய எண் எது? 1005 மற்றும் 9756 இரண்டு எண்களில் இரண்டு எண்களுக்கிடையே வலது பக்கத்தில் எண் எது இருக்கும் என்பதை நீங்கள் சொல்ல முடியுமா.

12 இன் பின்னொட்டு மற்றும் 7 இன் முன்னொட்டை எண் வரியில் வையிடுங்கள்.

எண் வரியில் கூட்டல்

முழு எண்களின் கூட்டலை எண் வரியில் காட்டலாம். 3 மற்றும் 4 இன் கூட்டலை பார்ப்போம்.

3 இருந்து தொடங்குங்கள். நாம் இந்த எண்ணிற்கு 4 சேர்ப்பதால், நாம் வலது பக்கத்தில் 4 அடிகளை எடுக்கிறோம்; 3 இருந்து 4, 4 இருந்து 5, 5 இருந்து 6 மற்றும் 6 இருந்து 7 என்பது போன்றவை மேலே காட்டப்பட்டுள்ளன. நாம் நான்காவது அடியில் இறுதியான நோக்குநிலை 7 என்ப புள்ளியில் இருக்கிறது.

3 மற்றும் 4 இன் சேகரிப்பு 7 ஆகும், அதாவது $3+4=7$.

இதை முயற்சிக்கவும்

$4+5$; $2+6 ; 3+5$ மற்றும் $1+6$ என்பவைகளை எண் வரியைப் பயன்படுத்தி காணுங்கள்.

எண் வரியில் கழித்தல்

இரு முழு எண்களின் கழித்தலையும் எண் வரியில் காட்டலாம். $7-5$ என்பதை காண்போம்.

7 இருந்து தொடங்குங்கள். 5 கழிக்கப்படுவதால், ஒரு அலகு தூரத்தில் 1 அடியை வலது பக்கத்தில் செல்லுங்கள். அத்தகைய 5 அடிகளை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். நாம் 2 என்ப புள்ளிக்கு சென்றுகொள்கிறோம். $7-5=2$ என நாம் பெறுகிறோம்.

இதை முயற்சிக்கவும்

$8-3$; $6-2 ; 9-6$ என்பவைகளை எண் வரியைப் பயன்படுத்தி காணுங்கள். எண் வரி.

எண் வரியில் பெருக்கல்

நாம் இப்போது முழு எண்களின் பெருக்கலை பார்ப்போம்.

$4 \times 3$ என்பதை காண்போம்.

0 இருந்து தொடங்குங்கள், ஒரு அடியை ஒரு அடியாக வலது பக்கத்தில் செல்லுங்கள், இத்தகைய 4 அடிகளை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். நீங்கள் எங்கு சென்றுகொள்கிறீர்கள்? நீங்கள் 12 என்ப புள்ளிக்கு சென்றுகொள்வீர்கள். எனவே, நாம் சொல்வோம், $3 \times 4=12$.

இதை முயற்சிக்கவும்

எண் வரியைப் பயன்படுத்தி $2 \times 6; 3\times3;4 \times 2 $ என்பதை காணுங்கள்

EXERCISE 2.1

1. 10999 அல்லது அதற்கு அடுத்த மூன்று இயற்கை எண்களை எழுதுங்கள்.

2. 10001 என்ப எண்ணுக்கு முன்பு இருந்து மூன்று முழு எண்களை எழுதுங்கள்.

3. சிறந்த முழு எண்ணென்ன?

4. 32 மற்றும் 53 இடையே உள்ள முழு எண்கள் எத்தனை?

5. பின்வரும் எண்களின் பின்னொட்டை எழுதுங்கள் :

(a) 2440701
(b) 100199
(c) 1099999
(d) 2345670

6. பின்வரும் எண்களின் முன்னொட்டை எழுதுங்கள் :

(a) 94
(b) 10000
(c) 208090
(d) 7654321

7. பின்வரும் இரு எண்களின் சூழ்நிலைகளில், எண் வரியில் இரு எண்களுக்கிடையே எந்த முழு எண் வலது பக்கத்தில் இருக்கிறது என்பதை அறிவிங்கள் மற்றும் அவற்றை அதற்கேற்ப $sign(>,<)$ இடம் பெற்று எழுதுங்கள்.

(a) 530, 503
(b) 370, 307
(c) 98765, 56789
(d) 9830415, 10023001

8. பின்வரும் பேச்சுகளில் சத்தமானவை $(T)$ மற்றும் புலம்பலானவை $(F)$ என்பதை அறிவிங்கள்?

(a) இயற்கை எண்களில் சிறந்த எண் பூஜ்ஜியம்.
(b) 399 இன் முன்னொட்டு 400.
(c) முழு எண்களில் சிறந்த எண் பூஜ்ஜியம்.
(d) 599 இன் பின்னொட்டு 600.
(e) அனைத்து இயற்கை எண்களும் முழு எண்களா.
(f) அனைத்து முழு எண்களும் இயற்கை எண்களா.
(g) இரட்டை இலக்க எண்ணின் முன்னொட்டு ஒரு இலக்க எண் இருப்பதில்லை.
(h) 1 என்ப முழு எண் சிறந்த எண்.
(i) இயற்கை எண் 1 முன்னொட்டு இல்லை.
(j) முழு எண் 1 முன்னொட்டு இல்லை.
(k) முழு எண் 13 11 மற்றும் 12 இடையே இருக்கிறது.
(l) முழு எண் 0 முன்னொட்டு இல்லை.
(m) இரட்டை இலக்க எண்ணின் பின்னொட்டு எப்போதும் இரட்டை இலக்க எண்.

நாம் என்ன விவாதித்தோம்?

1. நாம் எண்ண பயன்படுத்தும் எண்கள் $1,2,3, \ldots$ என அறியப்படுகின்றன.

2. ஒரு இயற்கை எண்ணிற்கு 1 சேர்ப்பதன் மூலம் அதன் பின்னொட்டைப் பெறலாம். ஒரு இயற்கை எண்ணில் 1 கழிப்பதன் மூலம் அதன் முன்னொட்டைப் பெறலாம்.

3. ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணிற்கும் பின்னொட்டு உள்ளது. 1 தவிர அனைத்து இயற்கை எண்களுக்கும் முன்னொட்டு உள்ளது.

4. இயற்கை எண்களின் தொகுப்புக்கு பூஜ்ஜியத்தை சேர்ப்பதன் மூலம் முழு எண்களின் தொகுப்பைப் பெறுகிறோம். எனவே, எண்கள் $0,1,2,3, \ldots$ முழு எண்களின் தொகுப்பைச் செய்கின்றன.

5. ஒவ்வொரு முழு எண்ணிற்கும் பின்னொட்டு உள்ளது. 0 தவிர அனைத்து முழு எண்களுக்கும் முன்னொட்டு உள்ளது.

6. அனைத்து இயற்கை எண்களும் முழு எண்களா, ஆனால் அனைத்து முழு எண்களும் இயற்கை எண்களா இல்லை.

7. நாம் ஒரு வரைபடத்தை எடுத்து, அதில் ஒரு புள்ளியை வரையும் மற்றும் அதை 0 என வையிடுவோம். பின்னர் 0 அல்லது அதற்கு வலது பக்கத்தில் சமன்பாட்டின் இடைவெளிகளில் புள்ளிகளை வரையும். அவைகளை $1,2,3, \ldots$ என வையிடுவோம். எனவே, முழு எண்களை அடைப்பதன் மூலம் ஒரு எண் வரியைப் பெறுகிறோம். எண் வரியில் கூட்டல், கழித்தல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளை எளிதாக செய்யலாம்.

8. கூட்டல் எண் வரியில் வலது பக்கத்தில் செல்வதைப் போல், கழித்தல் வலது பக்கத்தில் செல்வதைப் போல். பெருக்கல் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து சமன்பாட்டின் இடைவெளிகளில் அடிகளை எடுக்கும் வழியாக அமையும்.