२.१ परिचय

जसे आपल्याला माहित आहे, आपण मोजणी सुरू करताना 1, 2, 3, 4,.. वापरतो. आपण मोजायला सुरुवात करतो तेव्हा त्या स्वाभाविकपणे येतात. म्हणून, गणितज्ञ मोजणीच्या संख्यांना नैसर्गिक संख्या म्हणतात.

पूर्ववर्ती आणि उत्तरवर्ती

कोणतीही नैसर्गिक संख्या दिली असता, त्या संख्येत 1 मिळवून तुम्हाला पुढील संख्या मिळते म्हणजेच तुम्हाला तिचा उत्तरवर्ती मिळतो.

16 चा उत्तरवर्ती $16+1=17$ आहे, 19 चा उत्तरवर्ती $19+1=20$ आहे आणि असेच.

संख्या 17 च्या आधी 16 येते, आपण म्हणतो की 17 चा पूर्ववर्ती $17-1=16$ आहे, 20 चा पूर्ववर्ती $20-1=19$ आहे, आणि असेच.

हे करून पहा

1. 19; 1997; 12000; 49; 100000 यांचे पूर्ववर्ती आणि उत्तरवर्ती लिहा.
2. अशी काही नैसर्गिक संख्या आहे का जिचा कोणताही पूर्ववर्ती नाही?
3. अशी काही नैसर्गिक संख्या आहे का जिचा कोणताही उत्तरवर्ती नाही? शेवटची नैसर्गिक संख्या आहे का?

संख्या 3 ला एक पूर्ववर्ती आणि एक उत्तरवर्ती आहे. 2 चे काय? उत्तरवर्ती 3 आहे आणि पूर्ववर्ती 1 आहे. 1 ला उत्तरवर्ती आणि पूर्ववर्ती दोन्ही आहेत का?

आपण आपल्या शाळेतील मुलांची संख्या मोजू शकतो; आपण शहरातील लोकांची संख्या देखील मोजू शकतो; आपण भारतातील लोकांची संख्या मोजू शकतो. संपूर्ण जगातील लोकांची संख्या देखील मोजता येऊ शकते. आपण आकाशातील ताऱ्यांची संख्या किंवा आपल्या डोक्यावरील केसांची संख्या मोजू शकत नाही, परंतु जर आपण सक्षम असू, तर त्यांच्यासाठी देखील एक संख्या असेल. तर आपण अशा संख्येत आणखी एक मिळवू शकतो आणि एक मोठी संख्या मिळवू शकतो. त्या परिस्थितीत आपण दोन डोक्यांवरील केसांची संख्या एकत्रितपणे देखील लिहू शकतो.

आता कदाचित हे स्पष्ट आहे की सर्वात मोठी संख्या नाही. वर सामायिक केलेल्या या प्रश्नांव्यतिरिक्त, जेव्हा आपण नैसर्गिक संख्यांसोबत काम करतो तेव्हा आपल्या मनात आणखी अनेक प्रश्न येऊ शकतात. तुम्ही असे काही प्रश्न विचार करू शकता आणि ते तुमच्या मित्रांसोबत चर्चा करू शकता. त्यापैकी अनेकांची उत्तरे तुम्हाला स्पष्टपणे माहिती नसतील!

२.२ पूर्ण संख्या

आपण पाहिले आहे की संख्या 1 ला नैसर्गिक संख्यांमध्ये कोणताही पूर्ववर्ती नाही. नैसर्गिक संख्यांच्या संग्रहात आपण 1 चा पूर्ववर्ती म्हणून शून्य मिळवतो.

नैसर्गिक संख्या आणि शून्य मिळून पूर्ण संख्यांचा संग्रह बनतो.

हे करून पहा

1. सर्व नैसर्गिक संख्या पूर्ण संख्या देखील आहेत का?
2. सर्व पूर्ण संख्या नैसर्गिक संख्या देखील आहेत का?
3. सर्वात मोठी पूर्ण संख्या कोणती?**

तुमच्या मागील इयत्तांमध्ये तुम्ही सर्व मूलभूत क्रिया जसे की बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार संख्यांवर करायला शिकलात आहात. तसेच त्या समस्यांवर कशा लागू करायच्या हे देखील तुम्हाला माहित आहे. चला त्या संख्या रेषेवर वापरून पाहूया. आपण पुढे जाण्यापूर्वी, संख्या रेषा म्हणजे काय ते शोधून काढूया!

२.३ संख्या रेषा

एक रेषा काढा. त्यावर एक बिंदू चिन्हांकित करा. त्यावर 0 असे नाव द्या. 0 च्या उजवीकडे दुसरा बिंदू चिन्हांकित करा. त्यावर 1 असे नाव द्या.

0 आणि 1 असे नाव दिलेल्या या बिंदूंमधील अंतराला एकक अंतर म्हणतात. या रेषेवर, 1 च्या उजवीकडे आणि 1 पासून एकक अंतरावर एक बिंदू चिन्हांकित करा आणि त्यावर 2 असे नाव द्या. या पद्धतीने रेषेवर $3,4,5, \ldots$ असे एकक अंतरावर बिंदूंना नावे देत रहा. या पद्धतीने तुम्ही उजवीकडील कोणत्याही पूर्ण संख्येवर जाऊ शकता.

ही पूर्ण संख्यांसाठीची संख्या रेषा आहे.

बिंदू 2 आणि 4 मधील अंतर किती? नक्कीच, ते 2 एकक आहे. तुम्ही बिंदू 2 आणि 6, 2 आणि 7 मधील अंतर सांगू शकता का?

संख्या रेषेवर तुम्ही पाहाल की संख्या 4 च्या उजवीकडे 7 आहे. ही संख्या 7 ही 4 पेक्षा मोठी आहे, म्हणजेच $7>4$. संख्या 6 च्या उजवीकडे 8 आहे आणि $8>6$. ही निरीक्षणे आपल्याला असे सांगण्यास मदत करतात की, कोणत्याही दोन पूर्ण संख्यांपैकी, दुसऱ्या संख्येच्या उजवीकडील संख्या मोठी संख्या आहे. आपण असेही म्हणू शकतो की डावीकडील पूर्ण संख्या लहान संख्या आहे.

उदाहरणार्थ, $4<9 ; 4$ ही 9 च्या डावीकडे आहे. त्याचप्रमाणे, $12>5 ; 12$ ही 5 च्या उजवीकडे आहे.

10 आणि 20 बद्दल तुम्ही काय म्हणू शकता?

संख्या रेषेवर 30, 12, 18 चिन्हांकित करा. कोणती संख्या सर्वात डावीकडे आहे? 1005 आणि 9756 पैकी, कोणती संख्या दुसऱ्या संख्येच्या तुलनेत उजवीकडे असेल ते तुम्ही सांगू शकता का?

12 चा उत्तरवर्ती आणि 7 चा पूर्ववर्ती संख्या रेषेवर ठेवा.

संख्या रेषेवर बेरीज

पूर्ण संख्यांची बेरीज संख्या रेषेवर दाखवता येते. 3 आणि 4 ची बेरीज पाहूया.

3 पासून सुरुवात करा. आपण या संख्येत 4 मिळवत असल्याने आपण उजवीकडे 4 उड्या मारतो; 3 ते 4, 4 ते 5, 5 ते 6 आणि 6 ते 7 वर दाखवल्याप्रमाणे. चौथ्या उडीतील शेवटच्या \to चा टोकबिंदू 7 वर आहे.

3 आणि 4 ची बेरीज 7 आहे, म्हणजेच $3+4=7$.

हे करून पहा

संख्या रेषा वापरून $4+5$; $2+6 ; 3+5$ आणि $1+6$ शोधा.

संख्या रेषेवर वजाबाकी

दोन पूर्ण संख्यांची वजाबाकी देखील संख्या रेषेवर दाखवता येते. चला $7-5$ शोधूया.

7 पासून सुरुवात करा. 5 वजा केले जात असल्याने, डावीकडे 1 एककाची 1 उडी मारा. अशा 5 उड्या मारा. आपण बिंदू 2 वर पोहोचतो. आपल्याला $7-5=2$ मिळते.

हे करून पहा

संख्या रेषा वापरून $8-3$; $6-2 ; 9-6$ शोधा.

संख्या रेषेवर गुणाकार

आता आपण संख्या रेषेवर पूर्ण संख्यांचा गुणाकार पाहू.

चला $4 \times 3$ शोधूया.

0 पासून सुरुवात करा, एकावेळी 3 एकक उजवीकडे सरकत, अशा 4 हालचाली करा. तुम्ही कोठे पोहोचता? तुम्ही 12 वर पोहोचाल. म्हणून, आपण म्हणतो, $3 \times 4=12$.

हे करून पहा

संख्या रेषा वापरून $2 \times 6; 3\times3;4 \times 2 $ शोधा

उदाहरणे २.१

1. 10999 नंतरच्या तीन नैसर्गिक संख्या लिहा.

2. 10001 च्या आधी येणाऱ्या तीन पूर्ण संख्या लिहा.

3. सर्वात लहान पूर्ण संख्या कोणती?

4. 32 आणि 53 यांच्यामध्ये किती पूर्ण संख्या आहेत?

5. खालील संख्यांचे उत्तरवर्ती लिहा :

(a) 2440701
(b) 100199
(c) 1099999
(d) 2345670

6. खालील संख्यांचे पूर्ववर्ती लिहा :

(a) 94
(b) 10000
(c) 208090
(d) 7654321

7. खालील संख्यांच्या प्रत्येक जोडीमध्ये, संख्या रेषेवर कोणती पूर्ण संख्या दुसऱ्या संख्येच्या डावीकडे आहे ते सांगा. तसेच त्यांच्यामध्ये योग्य $sign(>,<)$ ठेवून त्या लिहा.

(a) 530,503
(b) 370,307
(c) 98765,56789
(d) 9830415,10023001

8. खालीलपैकी कोणती विधाने सत्य $(T)$ आहेत आणि कोणती असत्य $(F)$ आहेत?

(a) शून्य ही सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या आहे.
(b) 400 ही 399 ची पूर्ववर्ती आहे.
(c) शून्य ही सर्वात लहान पूर्ण संख्या आहे.
(d) 600 ही 599 ची उत्तरवर्ती आहे.
(e) सर्व नैसर्गिक संख्या पूर्ण संख्या आहेत.
(f) सर्व पूर्ण संख्या नैसर्गिक संख्या आहेत.
(g) दोन अंकी संख्येचा पूर्ववर्ती कधीही एक अंकी संख्या नसतो.
(h) 1 ही सर्वात लहान पूर्ण संख्या आहे.
(i) नैसर्गिक संख्या 1 ला कोणताही पूर्ववर्ती नाही.
(j) पूर्ण संख्या 1 ला कोणताही पूर्ववर्ती नाही.
(k) पूर्ण संख्या 13 ही 11 आणि 12 यांच्यामध्ये आहे.
(l) पूर्ण संख्या 0 ला कोणताही पूर्ववर्ती नाही.
(m) दोन अंकी संख्येचा उत्तरवर्ती नेहमी दोन अंकी संख्या असतो.

आपण काय चर्चा केली?

1. ज्या संख्या आपण मोजणीसाठी वापरतो त्यांना $1,2,3, \ldots$ म्हणतात.

2. जर तुम्ही नैसर्गिक संख्येत 1 मिळवाल, तर तुम्हाला तिचा उत्तरवर्ती मिळतो. जर तुम्ही नैसर्गिक संख्येतून 1 वजा कराल, तर तुम्हाला तिचा पूर्ववर्ती मिळतो.

3. प्रत्येक नैसर्गिक संख्येला एक उत्तरवर्ती असतो. 1 वगळता प्रत्येक नैसर्गिक संख्येला एक पूर्ववर्ती असतो.

4. जर आपण नैसर्गिक संख्यांच्या संग्रहात शून्य ही संख्या मिळवली, तर आपल्याला पूर्ण संख्यांचा संग्रह मिळतो. अशाप्रकारे, $0,1,2,3, \ldots$ या संख्या पूर्ण संख्यांचा संग्रह बनवतात.

5. प्रत्येक पूर्ण संख्येला एक उत्तरवर्ती असतो. शून्य वगळता प्रत्येक पूर्ण संख्येला एक पूर्ववर्ती असतो.

6. सर्व नैसर्गिक संख्या पूर्ण संख्या आहेत, परंतु सर्व पूर्ण संख्या नैसर्गिक संख्या नाहीत.

7. आपण एक रेषा घेतो, त्यावर एक बिंदू चिन्हांकित करतो आणि त्यावर 0 असे नाव देतो. नंतर आपण 0 च्या उजवीकडे, समान अंतरावर बिंदू चिन्हांकित करतो. त्यांना $1,2,3, \ldots$ असे नाव देतो. अशाप्रकारे, आपल्याकडे एक संख्या रेषा असते ज्यावर पूर्ण संख्या दर्शविल्या जातात. आपण संख्या रेषेवर बेरीज, वजाबाकी आणि गुणाकार या संख्या क्रिया सहजपणे करू शकतो.

8. बेरीज ही संख्या रेषेवर उजवीकडे सरकण्याशी संबंधित आहे, तर वजाबाकी ही डावीकडे सरकण्याशी संबंधित आहे. गुणाकार ही शून्यापासून सुरुवात करून समान अंतराच्या उड्या मारण्याशी संबंधित आहे.