8.1 পরিচিতি

সাভিতা ও শামা মার্কেটে কিছু স্টেশনারি আইটেম কিনতে যাচ্ছিল। সাভিতা বলল, “আমার ৫ রুপি এবং ৭৫ পয়েন্ট আছে।” শামা বলল, “আমার ৭ রুপি এবং ৫০ পয়েন্ট আছে।”

তারা রুপি এবং পয়েন্ট দশমিক হিসাবে লিখতে জানতো।

সুতরাং সাভিতা বলল, আমার ₹ 5.75 আছে এবং শামা বলল, “আমার ₹ $7.50 “$ আছে।”

তারা সঠিকভাবে লিখেছে?

আমরা জানি যে ডটটি একটি দশমিক বিন্দু প্রতীক। এই অধ্যায়ে আমরা দশমিক সহযোগে কাজ করার আরও বেশি জ্ঞান শিখব।

8.2 দশমিক সমীকরণ

আপনি কি বলতে পারেন, 0.07 অথবা 0.1 কোনটি বড়?

একই আকারের দুটি বর্গাকার কাগজ নিন। তাদেরকে ১০০টি সমান অংশে ভাগ করুন। 0.07 এর জন্য আমাদের ১০০টির মধ্যে ৭টি অংশ ছাড়াতে হবে।

এখন, $0.1=\frac{1}{10}=\frac{10}{100}$, সুতরাং, 0.1 এর জন্য ১০০টির মধ্যে ১০টি অংশ ছাড়াতে হবে।

এর অর্থ $0.1>0.07$

এখন আসুন সংখ্যা 32.55 এবং 32.5 তুলনা করি। এই ক্ষেত্রে আমরা প্রথমে পূর্ণাংক অংশ তুলনা করি। আমরা দেখব যে উভয় সংখ্যার পূর্ণাংক অংশ 32 এবং, সুতরাং, সমান।

তবুও, আমরা জানি যে দুটি সংখ্যা সমান নয়। সুতরাং, আমরা এখন দশমিক অংশ তুলনা করি। আমরা পাই যে 32.55 এবং 32.5 এর দশমিক অংশও সমান, তাহলে আমরা শতকরা অংশ তুলনা করি।

আমরা পাই,

$32.55=32+\frac{5}{10}+\frac{5}{100}$ এবং $32.5=32+\frac{5}{10}+\frac{0}{100}$, সুতরাং, $32.55>32.5$ কারণ 32.55 এর শতকরা অংশ বেশি।

উদাহরণ 1 : কোনটি বড়?

(a) 1 অথবা 0.99

(b) 1.09 অথবা 1.093

সমাধান : (a) $1=1+\frac{0}{10}+\frac{0}{100} ; \quad 0.99=0+\frac{9}{10}+\frac{9}{100}$

1 এর পূর্ণাংক অংশ 0.99 এর চেয়ে বড়।

সুতরাং, $1>0.99$

(b) $1.09=1+\frac{0}{10}+\frac{9}{100}+\frac{0}{1000} ; 1.093=1+\frac{0}{10}+\frac{9}{100}+\frac{3}{1000}$

এই ক্ষেত্রে, দুটি সংখ্যার শতকরা অংশ সমান।

কিন্তু 1.093 এর হাজারকরা অংশ 1.09 এর চেয়ে বড়।

সুতরাং, $1.093>1.09$।

অনুশীলন 8.1

1. কোনটি বড়?

(a) 0.3 অথবা 0.4
(b) 0.07 অথবা 0.02
(c) 3 অথবা 0.8
(d) 0.5 অথবা 0.05
(e) 1.23 অথবা 1.2
(f) 0.099 অথবা 0.19
(g) 1.5 অথবা 1.50
(h) 1.431 অথবা 1.490
(i) 3.3 অথবা 3.300
(j) 5.64 অথবা 5.603

2. আরও পাঁচটি উদাহরণ তৈরি করুন এবং তাদের মধ্যে বড় সংখ্যা খুঁজুন।

8.3 দশমিক ব্যবহার

8.3.1 অর্থ

আমরা জানি যে ১০০ পয়েন্ট ₹=$ 1$

সুতরাং, $\quad 1$ পয়েন্ট =₹ $\frac{1}{100}$=₹ $0.01$

সুতরাং, ৬৫ পয়েন্ট =₹ $\frac{65}{100}$=₹ $0.65$

$\text{ and } 5 \text{ paise }$=₹ $\frac{5}{100}$=₹ $0.05$

১০৫ পয়েন্ট কত? এটি ₹ 1 এবং ৫ পয়েন্ট =₹ $1.05$

চেষ্টা করুন

(i) ২ রুপি ৫ পয়েন্ট এবং ২ রুপি ৫০ পয়েন্ট দশমিক হিসাবে লিখুন।

(ii) ২০ রুপি ৭ পয়েন্ট এবং ২১ রুপি ৭৫ পয়েন্ট দশমিক হিসাবে লিখুন?

8.3.2 দৈর্ঘ্য

মহেশ তার টেবিলের উপরের দিকের দৈর্ঘ্য মিটারে মাপতে চাইলেন। তার কাছে একটি $50 cm$ স্কেল ছিল। তিনি পাই যে টেবিলের দৈর্ঘ্য $156 cm$। এটি মিটারে কত হবে?

মহেশ জানতেন যে

$1 cm=\frac{1}{100} m$ অথবা $0.01 m$

সুতরাং, $56 cm=\frac{56}{100} m=0.56 m$

সুতরাং, টেবিলের দৈর্ঘ্য $156 cm=100 cm+56 cm$

$ =1 m+\frac{56}{100} m=1.56 m . $

মহেশ এই দৈর্ঘ্যটি চিত্রাত্মকভাবেও প্রতিফলিত করতে চাইলেন। তিনি সমান আকারের বর্গাকার কাগজ নিলেন এবং তাদেরকে ১০০টি সমান অংশে ভাগ করলেন। তিনি প্রতিটি ছোট বর্গক্ষেত্রকে একটি $cm$ হিসাবে বিবেচনা করলেন।

চেষ্টা করুন

1. আপনি কি $4 mm$ ’ $cm$ ’ দশমিক ব্যবহার করে লিখতে পারেন?

2. আপনি কি $7 cm 5 mm$ ’ $cm$ ’ দশমিক ব্যবহার করে লিখতে পারেন?

3. এখন আপনি কি $52 m$ ’ $km$ ’ দশমিক ব্যবহার করে লিখতে পারেন? আপনি কি $340 m$ ’ $km$ ’ দশমিক ব্যবহার করে লিখতে পারেন? আপনি কি $2008 m$ ’ $k m$ ’ দশমিক ব্যবহার করে লিখতে পারেন?

8.3.3 ওজন

নান্দু $500 g$ আলু, $250 g$ ক্যাপসিকাম, $700 g$ পেঁয়াজ, $500 g$ টমেটো, $100 g$ আদা এবং $300 g$ মল্লিকা কিনলেন। ব্যাগে সমগ্র শাকসবজির ওজন কত? আসুন ব্যাগে সমগ্র শাকসবজির ওজন যোগ করি।

$500 g+250 g+700 g+500 g+100 g+300 g$ $=2350 g$

চেষ্টা করুন

1. এখন আপনি কি $456 g$ ’ $kg$ ’ দশমিক ব্যবহার করে লিখতে পারেন?

2. আপনি কি $2 kg ~9 g$ ’ $kg$ ’ দশমিক ব্যবহার করে লিখতে পারেন?

আমরা জানি যে $1000 g=1 kg$

সুতরাং, $1 g=\frac{1}{1000} kg=0.001 kg$

$ \begin{aligned} \text{ সুতরাং, } 2350 g & =2000 g+350 g \\ & =\frac{2000}{1000} kg+\frac{350}{1000} kg \\ & =2 kg+0.350 kg=2.350 kg \\ \text{ অর্থাৎ, } 2350 g & =2 kg 350 g=2.350 kg \end{aligned} $

সুতরাং, নান্দুর ব্যাগে শাকসবজির ওজন $2.350 kg$।

অনুশীলন 8.2

1. দশমিক ব্যবহার করে রুপি হিসাবে প্রকাশ করুন।

(a) 5 পয়েন্ট
(b) 75 পয়েন্ট
(c) 20 পয়েন্ট
(d) 50 রুপি 90 পয়েন্ট
(e) 725 পয়েন্ট

2. দশমিক ব্যবহার করে মিটার হিসাবে প্রকাশ করুন।

(a) $15 cm$
(b) $6 cm$
(c) $2 m ~45 cm$
(d) $9 m ~7 cm$
(e) $419 cm$

3. দশমিক ব্যবহার করে সেমিমিটার হিসাবে প্রকাশ করুন।

(a) $5 mm$
(b) $60 mm$
(c) $164 mm$
(d) $9 cm ~8 mm$
(e) $93 mm$

4. দশমিক ব্যবহার করে কিলোমিটার হিসাবে প্রকাশ করুন।

(a) $8 m$
(b) $88 m$
(c) $8888 m$
(d) $70 km ~5 m$

5. দশমিক ব্যবহার করে কিলোগ্রাম হিসাবে প্রকাশ করুন।

(a) $2 g$
(b) $100 g$
(c) $3750 g$
(d) $5 kg 8 g$
(e) $26 kg 50 g$

8.4 দশমিক সহ সংখ্যাগুলির যোগ

এটা করুন

0.35 এবং 0.42 যোগ করুন।

একটি বর্গ নিন এবং তাকে ১০০টি সমান অংশে ভাগ করুন।

0.35 এটিতে এক দশমিক অংশ ছাড়ানো হবে এবং শতকরা অংশ কালো রঙ করা হবে।

0.42 এটিতে চার দশমিক অংশ ছাড়ানো হবে এবং দুটি শতকরা অংশ কালো রঙ করা হবে।

এখন বর্গের মধ্যে মোট দশমিক অংশ এবং মোট শতকরা অংশ গণনা করুন।

সুতরাং, $0.35+0.42=0.77$

সুতরাং, আমরা দশমিক সহযোগে যোগ করতে পারি যেমন পূর্ণাংক হিসাবে।

চেষ্টা করুন

পূর্ণাংক হিসাবে নিয়ম অনুসরণ করে নিম্নলিখিত যোগ করুন।

(i) $0.29+0.36$

(ii) $0.7+0.08$

(iii) $1.54+1.80$

(iv) $2.66+1.85$

এখন আপনি 0.68 এবং 0.54 যোগ করতে পারেন?

উদাহরণ 2 : লাতা একটি কলমের জন্য ₹ 9.50 খরচ করেছেন এবং একটি পেনসিলের জন্য ₹ 2.50 খরচ করেছেন। লাতা কোন পরিমাণ অর্থ খরচ করেছেন?

সমাধান :

কলমের জন্য খরচ করা অর্থ =₹ $9.50$

পেনসিলের জন্য খরচ করা অর্থ =₹ $2.50$

মোট খরচ করা অর্থ $\quad$=₹ $9.50$+₹ $2.50$

মোট খরচ করা অর্থ $\quad$=₹ $12.00$

উদাহরণ 3 : স্যামসন বাসে $5 km ~52 m$ যান, গাড়িতে $2 km ~265 m$ যান এবং শেষ অংশ $1 km ~30 m$ হাঁটেন। স্যামসন মোট কত দূরত্ব যান?

সমাধান: বাসে যাওয়ার দূরত্ব $=5 km ~52 m=5.052 km$

গাড়িতে যাওয়ার দূরত্ব $=2 km ~265 m=2.265 km$

হাঁটার দূরত্ব $=1 km ~30 m=1.030 km$

সুতরাং, মোট যাওয়ার দূরত্ব হল

$ \begin{array}{r} 5.052 \text { km } \\ 2.265 \text { km } \\ +\quad 1.030 \text { km } \\ \hline 8.347 \text { km } \\ \hline \end{array} $

সুতরাং, মোট যাওয়ার দূরত্ব $=8.347 km$

উদাহরণ 4 : রাহুল $4 kg ~90 g$ আপেল, $2 kg ~60 g$ আঙুর এবং $5 kg ~300 g$ আম কিনেছেন। তিনি কিনেছেন সমগ্র ফলের মোট ওজন খুঁজুন।

সমাধান:

$ \begin{aligned} & \text{ আপেলের ওজন }=4 kg ~90 g=4.090 kg \\ & \text{ আঙুর ওজন }=2 kg ~60 g=2.060 kg \\ & \text{ আমের ওজন }=5 kg ~300 g=5.300 kg \end{aligned} $

সুতরাং, কিনেছেন ফলের মোট ওজন হল

$ \begin{array}{r} 4.090 \text { kg } \\ 2.060 \text { kg } \\ +\quad 5.300 \text { kg } \\ \hline 11.450 \text { kg } \\ \hline \end{array} $

কিনেছেন ফলের মোট ওজন $=11.450 kg$।

অনুশীলন 8.3

1. নিম্নলিখিত যোগ করুন :

(a) $0.007+8.5+30.08$

(b) $15+0.632+13.8$

(c) $27.076+0.55+0.004$

(d) $25.65+9.005+3.7$

(e) $0.75+10.425+2$

(f) $280.69+25.2+38$

2. রশীদ গণিত বইয়ের জন্য ₹ 35.75 এবং প্রযুক্তি বইয়ের জন্য ₹ 32.60 খরচ করেছেন। রশীদের মোট খরচ করা অর্থ কত ছিল?

3. রধিকার মা তাকে $₹ 10.50$ এবং তার বাবা $₹ 15.80$ দিয়েছেন, মা-বাবার দ্বারা রধিকাকে দেওয়া মোট অর্থ কত ছিল?

4. নাসরীন তার শার্টের জন্য $3 m ~20 cm$ কাপড় এবং তার ট্রাউজারের জন্য $2 m ~5 cm$ কাপড় কিনেছেন। তার দ্বারা কিনেছেন মোট কাপড়ের দৈর্ঘ্য কত ছিল?

5. নারেশ সকালে $2 km ~35 m$ এবং সন্ধ্যায় $1 km ~7 m$ হাঁটেন। তিনি মোট কত দূরত্ব হাঁটেন?

6. সুনিতা বাসে $15 km ~268 m$, গাড়িতে $7 km ~7 m$ এবং পায়ে হাঁটে $500 m$ যান যাতে তার স্কুলে পৌঁছান। তার স্কুল তার বাড়ি থেকে কত দূরে অবস্থিত?

7. রভি $5 kg ~400 g$ চাল, $2 kg 20 g$ চিনি এবং $10 kg ~850 g$ আটা কিনেছেন। তার কিনা সমগ্র সম্পদের মোট ওজন কত?

8.5 দশমিক বিয়োগ

এটা করুন

2.58 থেকে 1.32 বিয়োগ করুন

এটি টেবিল দ্বারা দেখানো যেতে পারে।

সুতরাং, $2.58-1.32=1.26$

সুতরাং, আমরা বলতে পারি, দশমিক বিয়োগ করা যায় শতকরা থেকে শতকরা, দশমিক থেকে দশমিক, পূর্ণাংক থেকে পূর্ণাংক এইভাবে যেমন আমরা যোগ করেছি।

কখনো কখনো দশমিক বিয়োগের সময় আমাদের যোগের মতো পুনর্গঠন করতে হয়।

আসুন 3.5 থেকে 1.74 বিয়োগ করি।

শতকরা অংশ থেকে বিয়োগ করুন।

বিয়োগ করা যায় না! সুতরাং পুনর্গঠন করুন

$\begin{array}{r} 3. & 5 & 0 \\ -1. & 7 & 4 \\ \hline 1. & 7 & 6 \\ \hline \end{array}$

সুতরাং, $3.5-1.74=1.76$

চেষ্টা করুন

1. 5.46 থেকে 1.85 বিয়োগ করুন;

2. 8.28 থেকে 5.25 বিয়োগ করুন;

3. 2.29 থেকে 0.95 বিয়োগ করুন;

4. 5.68 থেকে 2.25 বিয়োগ করুন।

উদাহরণ 5 : অভিষেকের কাছে ₹ 7.45 ছিল। তিনি টফি কিনতে ₹ 5.30 খরচ করেছেন। অভিষেকের কাছে বাকি অর্থের পরিমাণ কত?

সমাধান : মোট অর্থের পরিমাণ $\quad$=₹ $7.45$

টফি কিনতে খরচ করা অর্থ =₹ $5.30$

বাকি অর্থের পরিমাণ =₹ $7.45$-₹ $5.30$=₹ $2.15$

উদাহরণ 6 : উর্মিলার স্কুল তার বাড়ি থেকে $5 km 350 m$ দূরে অবস্থিত। তারা হাঁটে $1 km 70 m$ যান এবং শেষ অংশ বাসে যান। বাসে যাওয়ার দূরত্ব কত?

সমাধান : স্কুল থেকে বাড়ির মোট দূরত্ব $=5.350 km$

হাঁটার দূরত্ব $=1.070 km$

সুতরাং, বাসে যাওয়ার দূরত্ব $\quad=5.350 km-1.070 km$ $=4.280 km$

সুতরাং, বাসে যাওয়ার দূরত্ব $=4.280 km$ অথবা $4 km ~280 m$

উদাহরণ 7 : কান্চন একটি তরমুজ কিনেছেন যার ওজন $5 kg 200 g$। এর মধ্যে থেকে তিনি $2 kg 750 g$ তার পক্ষান্তরে দিয়েছেন। কান্চনের কাছে বাকি তরমুজের ওজন কত?

সমাধান : তরমুজের মোট ওজন $\quad=5.200 kg$

পক্ষান্তরে দেওয়া তরমুজের ওজন $=2.750 kg$

সুতরাং, বাকি তরমুজের ওজন

$ =5.200 kg-2.750 kg=2.450 kg $

অনুশীলন 8.4

1. বিয়োগ করুন:

(a) ₹ $18.25$ থেকে ₹ $20.75$
(b) $202.54 m$ থেকে $250 m$
(c) ₹ $5.36$ থেকে ₹ $8.40$
(d) $2.051 km$ থেকে $5.206 km$
(e) $0.314 kg$ থেকে $2.107 kg$

2. নিম্নলিখিত পরিমাণ খুঁজুন :

(a) $9.756-6.28$
(b) $21.05-15.27$
(c) $18.5-6.79$
(d) $11.6 - 9.847$

3. রাজু একটি বইয়ের জন্য ₹ 35.65 কিনেছেন। তিনি দোকানদারকে ₹ 50 দিয়েছেন। রাজু দোকানদারের কাছ থেকে কত অর্থ পান?

4. রাণীর কাছে ₹ 18.50 ছিল। তিনি একটি আইস-ক্রিম কিনতে ₹ 11.75 খরচ করেছেন। এখন রাণীর কাছে কত অর্থ আছে?

5. তিনা কাপড়ের দৈর্ঘ্য $20 m ~5 cm$ ছিল। তিনি এটি থেকে কাপড়ের একটি কাঁচামাল তৈরি করতে $4 m ~50 cm$ দৈর্ঘ্যের কাপড় কাটলেন। তিনার কাছে কত কাপড় বাকি আছে?

6. নামিতা প্রতিদিন $20 km 50$ মিটার যায়। এর মধ্যে থেকে তিনি $10 km 200 m$ বাসে যায় এবং শেষ অংশ অটোতে যায়। তিনি অটোতে কত দূরত্ব যায়?

7. আকাশ শাকসবজি কিনলেন যার ওজন $10 kg$। এর মধ্যে থেকে $3 kg 500 g$ পেঁয়াজ, $2 kg 75 g$ টমেটো এবং শেষ অংশ আলু। আলুর ওজন কত?

আমরা কি আলোচনা করেছি?

1. প্রতিটি দশমিক একটি ভগ্নাংশ হিসাবে লিখা যায়।

2. যেকোনো দুটি দশমিক সংখ্যা তাদের মধ্যে তুলনা করা যায়। তুলনা পূর্ণাংক অংশ দ্বারা শুরু হয়। যদি পূর্ণাংক অংশ সমান হয় তবে দশমিক অংশ তুলনা করা যায় এবং এভাবেই।

3. আমাদের জীবনে দশমিক ব্যবহার করা হয় অনেক উপায়ে। যেমন, অর্থের একক, দৈর্ঘ্য এবং ওজন প্রতিফলিত করায়।