8.1 పరిచయం

సవిత మరియు శమ అనే ఇద్దరు మార్కెట్కు కొన్ని స్టేషనరీ వస్తువులు కొనడానికి వెళ్తున్నారు. సవిత చెప్పింది, “నా దగ్గర 5 రూపాయలు 75 పైసలు ఉన్నాయి”. శమ చెప్పింది, “నా దగ్గర 7 రూపాయలు 50 పైసలు ఉన్నాయి”.

వారు దశాంశాలను ఉపయోగించి రూపాయలు మరియు పైసలను ఎలా రాయాలో తెలుసు.

కాబట్టి సవిత చెప్పింది, నా దగ్గర ₹ 5.75 ఉన్నాయి మరియు శమ చెప్పింది, “నా దగ్గర ₹ $7.50 “$ ఉన్నాయి”.

వారు సరిగ్గా రాశారా?

డాట్ ఒక దశాంశ బిందువును సూచిస్తుందని మనకు తెలుసు. ఈ అధ్యాయంలో, మనం దశాంశాలతో పని చేయడం గురించి మరింత తెలుసుకుంటాము.

8.2 దశాంశాలను పోల్చడం

0.07 మరియు 0.1 లలో ఏది ఎక్కువ అని మీరు చెప్పగలరా?

ఒకే పరిమాణం గల రెండు చదరపు కాగితాలను తీసుకోండి. వాటిని 100 సమాన భాగాలుగా విభజించండి. 0.07 కోసం మనం 100 లో 7 భాగాలను షేడ్ చేయాలి.

ఇప్పుడు, $0.1=\frac{1}{10}=\frac{10}{100}$, కాబట్టి, 0.1 కోసం, 100 లో 10 భాగాలను షేడ్ చేయండి.

దీని అర్థం $0.1>0.07$

ఇప్పుడు 32.55 మరియు 32.5 సంఖ్యలను పోల్చుకుందాం. ఈ సందర్భంలో, మనం మొదట పూర్ణాంక భాగాన్ని పోల్చుకుంటాము. రెండు సంఖ్యల పూర్ణాంక భాగం 32 అని మరియు అందువల్ల సమానం అని మనం చూస్తాము.

అయితే, ఆ రెండు సంఖ్యలు సమానం కాదని మనకు తెలుసు. కాబట్టి, ఇప్పుడు మనం దశాంశ భాగాన్ని పోల్చుకుంటాము. 32.55 మరియు 32.5 లకు, దశాంశ భాగం కూడా సమానం అని మనం కనుగొంటాము, అప్పుడు మనం శతాంశ భాగాన్ని పోల్చుకుంటాము.

మనం కనుగొంటాము,

$32.55=32+\frac{5}{10}+\frac{5}{100}$ మరియు $32.5=32+\frac{5}{10}+\frac{0}{100}$, కాబట్టి, $32.55>32.5$ ఎందుకంటే 32.55 యొక్క శతాంశ భాగం ఎక్కువ.

ఉదాహరణ 1 : ఏది ఎక్కువ?

(a) 1 లేదా 0.99

(b) 1.09 లేదా 1.093

సాధన : (a) $1=1+\frac{0}{10}+\frac{0}{100} ; \quad 0.99=0+\frac{9}{10}+\frac{9}{100}$

1 యొక్క పూర్ణాంక భాగం 0.99 కంటే ఎక్కువ.

అందువల్ల, $1>0.99$

(b) $1.09=1+\frac{0}{10}+\frac{9}{100}+\frac{0}{1000} ; 1.093=1+\frac{0}{10}+\frac{9}{100}+\frac{3}{1000}$

ఈ సందర్భంలో, రెండు సంఖ్యలు శతాంశం వరకు ఒకే భాగాలను కలిగి ఉన్నాయి.

కానీ 1.093 యొక్క సహస్రాంశ భాగం 1.09 కంటే ఎక్కువ.

అందువల్ల, $1.093>1.09$.

అభ్యాసం 8.1

1. ఏది ఎక్కువ?

(a) 0.3 లేదా 0.4
(b) 0.07 లేదా 0.02
(c) 3 లేదా 0.8
(d) 0.5 లేదా 0.05
(e) 1.23 లేదా 1.2
(f) 0.099 లేదా 0.19
(g) 1.5 లేదా 1.50
(h) 1.431 లేదా 1.490
(i) 3.3 లేదా 3.300
(j) 5.64 లేదా 5.603

2. మరో ఐదు ఉదాహరణలు తయారు చేయండి మరియు వాటిలో ఎక్కువ సంఖ్యను కనుగొనండి.

8.3 దశాంశాలను ఉపయోగించడం

8.3.1 డబ్బు

100 పైసలు = ₹$ 1$ అని మనకు తెలుసు.

అందువల్ల, $\quad 1$ పైసలు =₹ $\frac{1}{100}$=₹ $0.01$

కాబట్టి, 65 పైసలు =₹ $\frac{65}{100}$=₹ $0.65$

$\text{ and } 5 \text{ paise }$=₹ $\frac{5}{100}$=₹ $0.05$

105 పైసలు అంటే ఏమిటి? అది ₹ 1 మరియు 5 పైసలు =₹ $1.05$

ఇవి చేయండి

(i) 2 రూపాయలు 5 పైసలు మరియు 2 రూపాయలు 50 పైసలను దశాంశాలలో రాయండి.

(ii) 20 రూపాయలు 7 పైసలు మరియు 21 రూపాయలు 75 పైసలను దశాంశాలలో రాయండి?

8.3.2 పొడవు

మహేష్ తన టేబుల్ టాప్ పొడవును మీటర్లలో కొలవాలనుకున్నాడు. అతని దగ్గర $50 cm$ స్కేల్ ఉంది. టేబుల్ టాప్ పొడవు $156 cm$ అని అతను కనుగొన్నాడు. దాని పొడవు మీటర్లలో ఎంత ఉంటుంది?

మహేష్కి తెలుసు

$1 cm=\frac{1}{100} m$ లేదా $0.01 m$

అందువల్ల, $56 cm=\frac{56}{100} m=0.56 m$

ఈ విధంగా, టేబుల్ టాప్ పొడవు $156 cm=100 cm+56 cm$

$ =1 m+\frac{56}{100} m=1.56 m . $

మహేష్ ఈ పొడవును చిత్రాల రూపంలో కూడా చూపించాలనుకున్నాడు. అతను సమాన పరిమాణం గల చదరపు కాగితాలను తీసుకుని వాటిని 100 సమాన భాగాలుగా విభజించాడు. ప్రతి చిన్న చతురస్రాన్ని ఒక $cm$గా పరిగణించాడు.

ఇవి చేయండి

1. మీరు $4 mm$ ను ’ $cm$ ‘లో దశాంశాలను ఉపయోగించి రాయగలరా?

2. మీరు $7 cm 5 mm$ ను ’ $cm$ ‘లో దశాంశాలను ఉపయోగించి ఎలా రాస్తారు?

3. మీరు ఇప్పుడు $52 m$ ను ’ $km$ ‘గా దశాంశాలను ఉపయోగించి రాయగలరా? మీరు $340 m$ ను ’ $km$ ‘గా దశాంశాలను ఉపయోగించి ఎలా రాస్తారు? మీరు $2008 m$ ను ’ $k m$ ‘లో ఎలా రాస్తారు?

8.3.3 బరువు

నందు $500 g$ బంగాళాదుంపలు, $250 g$ క్యాప్సికం, $700 g$ ఉల్లిపాయలు, $500 g$ టమోటాలు, $100 g$ అల్లం మరియు $300 g$ ముల్లంగి కొన్నాడు. సంచిలోని కూరగాయల మొత్తం బరువు ఎంత? సంచిలోని అన్ని కూరగాయల బరువును కూడుదాం.

$500 g+250 g+700 g+500 g+100 g+300 g$ $=2350 g$

ఇవి చేయండి

1. మీరు ఇప్పుడు $456 g$ ను ’ $kg$ ‘గా దశాంశాలను ఉపయోగించి రాయగలరా?

2. మీరు $2 kg ~9 g$ ను ’ $kg$ ‘లో దశాంశాలను ఉపయోగించి ఎలా రాస్తారు?

మనకు తెలుసు $1000 g=1 kg$

అందువల్ల, $1 g=\frac{1}{1000} kg=0.001 kg$

$ \begin{aligned} \text{ అందువలన, } 2350 g & =2000 g+350 g \\ & =\frac{2000}{1000} kg+\frac{350}{1000} kg \\ & =2 kg+0.350 kg=2.350 kg \\ \text{ అనగా } 2350 g & =2 kg 350 g=2.350 kg \end{aligned} $

ఈ విధంగా, నందు సంచిలోని కూరగాయల బరువు $2.350 kg$.

అభ్యాసం 8.2

1. దశాంశాలను ఉపయోగించి రూపాయలుగా వ్యక్తపరచండి.

(a) 5 పైసలు
(b) 75 పైసలు
(c) 20 పైసలు
(d) 50 రూపాయలు 90 పైసలు
(e) 725 పైసలు

2. దశాంశాలను ఉపయోగించి మీటర్లుగా వ్యక్తపరచండి.

(a) $15 cm$
(b) $6 cm$
(c) $2 m ~45 cm$
(d) $9 m ~7 cm$
(e) $419 cm$

3. దశాంశాలను ఉపయోగించి సెం.మీ.గా వ్యక్తపరచండి.

(a) $5 mm$
(b) $60 mm$
(c) $164 mm$
(d) $9 cm ~8 mm$
(e) $93 mm$

4. దశాంశాలను ఉపయోగించి కి.మీ.గా వ్యక్తపరచండి.

(a) $8 m$
(b) $88 m$
(c) $8888 m$
(d) $70 km ~5 m$

5. దశాంశాలను ఉపయోగించి కి.గ్రా.గా వ్యక్తపరచండి.

(a) $2 g$
(b) $100 g$
(c) $3750 g$
(d) $5 kg 8 g$
(e) $26 kg 50 g$

8.4 దశాంశాలతో సంఖ్యల సంకలనం

ఇది చేయండి

0.35 మరియు 0.42 లను కూడండి.

ఒక చతురస్రాన్ని తీసుకుని దానిని 100 సమాన భాగాలుగా విభజించండి.

ఈ చతురస్రంలో 3 దశాంశాలను షేడ్ చేయడం ద్వారా మరియు 5 శతాంశాలను రంగు వేయడం ద్వారా 0.35 ను గుర్తించండి.

ఈ చతురస్రంలో 4 దశాంశాలను షేడ్ చేయడం ద్వారా మరియు 2 శతాంశాలను రంగు వేయడం ద్వారా 0.42 ను గుర్తించండి.

ఇప్పుడు చతురస్రంలోని మొత్తం దశాంశాల సంఖ్యను మరియు చతురస్రంలోని మొత్తం శతాంశాల సంఖ్యను లెక్కించండి.

అందువల్ల, $0.35+0.42=0.77$

ఈ విధంగా, మనం దశాంశాలను పూర్ణ సంఖ్యల మాదిరిగానే కూడగలం.

ఇవి చేయండి

కనుగొనండి.

(i) $0.29+0.36$

(ii) $0.7+0.08$

(iii) $1.54+1.80$

(iv) $2.66+1.85$

మీరు ఇప్పుడు 0.68 మరియు 0.54 లను కూడగలరా?

ఉదాహరణ 2 : లత ఒక పెన్ను కొనడానికి ₹ 9.50 మరియు ఒక పెన్సిల్ కొనడానికి ₹ 2.50 ఖర్చు చేసింది. ఆమె ఎంత డబ్బు ఖర్చు చేసింది?

సాధన :

పెన్ కోసం ఖర్చు చేసిన డబ్బు =₹ $9.50$

పెన్సిల్ కోసం ఖర్చు చేసిన డబ్బు =₹ $2.50$

మొత్తం ఖర్చు చేసిన డబ్బు $\quad$=₹ $9.50$+₹ $2.50$

మొత్తం ఖర్చు చేసిన డబ్బు $\quad$=₹ $12.00$

ఉదాహరణ 3 : సాంసన్ $5 km ~52 m$ బస్సు ద్వారా, $2 km ~265 m$ కారు ద్వారా మరియు మిగిలిన దూరం $1 km ~30 m$ నడక ద్వారా ప్రయాణించాడు. అతను మొత్తం ఎంత దూరం ప్రయాణించాడు?

సాధన: బస్సు ద్వారా ప్రయాణించిన దూరం $=5 km ~52 m=5.052 km$

కారు ద్వారా ప్రయాణించిన దూరం $=2 km ~265 m=2.265 km$

కాలినడకన ప్రయాణించిన దూరం $=1 km ~30 m=1.030 km$

అందువల్ల, మొత్తం ప్రయాణించిన దూరం

$ \begin{array}{r} 5.052 \text { km } \\ 2.265 \text { km } \\ +\quad 1.030 \text { km } \\ \hline 8.347 \text { km } \\ \hline \end{array} $

అందువల్ల, మొత్తం ప్రయాణించిన దూరం $=8.347 km$

ఉదాహరణ 4 : రాహుల్ $4 kg ~90 g$ ఆపిల్లు, $2 kg ~60 g$ ద్రాక్ష మరియు $5 kg ~300 g$ మామిడి పండ్లు కొన్నాడు. అతను కొన్న అన్ని పండ్ల మొత్తం బరువు కనుగొనండి.

సాధన:

$ \begin{aligned} & \text{ ఆపిల్ల బరువు }=4 kg ~90 g=4.090 kg \\ & \text{ ద్రాక్ష బరువు }=2 kg ~60 g=2.060 kg \\ & \text{ మామిడి పండ్ల బరువు }=5 kg ~300 g=5.300 kg \end{aligned} $

అందువల్ల, కొన్న పండ్ల మొత్తం బరువు

$ \begin{array}{r} 4.090 \text { kg } \\ 2.060 \text { kg } \\ +\quad 5.300 \text { kg } \\ \hline 11.450 \text { kg } \\ \hline \end{array} $

కొన్న పండ్ల మొత్తం బరువు $=11.450 kg$.

అభ్యాసం 8.3

1. క్రింది వాటిలో ప్రతిదానిలో మొత్తాన్ని కనుగొనండి :

(a) $0.007+8.5+30.08$

(b) $15+0.632+13.8$

(c) $27.076+0.55+0.004$

(d) $25.65+9.005+3.7$

(e) $0.75+10.425+2$

(f) $280.69+25.2+38$

2. రషీద్ గణిత పుస్తకం కోసం ₹ 35.75 మరియు సైన్స్ పుస్తకం కోసం ₹ 32.60 ఖర్చు చేసాడు. రషీద్ ఖర్చు చేసిన మొత్తం మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

3. రాధిక తల్లి ఆమెకు $₹ 10.50$ ఇచ్చారు మరియు ఆమె తండ్రి ఆమెకు $₹ 15.80$ ఇచ్చారు, తల్లిదండ్రులు రాధికకు ఇచ్చిన మొత్తం మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

4. నస్రీన్ తన చొక్కా కోసం $3 m ~20 cm$ బట్ట మరియు తన ప్యాంటు కోసం $2 m ~5 cm$ బట్ట కొన్నారు. ఆమె కొన్న మొత్తం బట్ట పొడవును కనుగొనండి.

5. నరేష్ ఉదయం $2 km ~35 m$ మరియు సాయంత్రం $1 km ~7 m$ నడిచాడు. అతను మొత్తం ఎంత దూరం నడిచాడు?

6. సునీత తన పాఠశాలకు చేరుకోవడానికి $15 km ~268 m$ బస్సు ద్వారా, $7 km ~7 m$ కారు ద్వారా మరియు $500 m$ కాలినడకన ప్రయాణించింది. ఆమె నివాసం నుండి ఆమె పాఠశాల ఎంత దూరంలో ఉంది?

7. రవి $5 kg ~400 g$ బియ్యం, $2 kg 20 g$ చక్కెర మరియు $10 kg ~850 g$ మైదా కొన్నాడు. అతను కొన్న వస్తువుల మొత్తం బరువును కనుగొనండి.

8.5 దశాంశాల వ్యవకలనం

ఇది చేయండి

2.58 నుండి 1.32 ను తీసివేయండి

దీన్ని టేబుల్ ద్వారా చూపించవచ్చు.

ఈ విధంగా, $2.58-1.32=1.26$

అందువల్ల, దశాంశాల వ్యవకలనం శతాంశాల నుండి శతాంశాలను, దశాంశాల నుండి దశాంశాలను, ఒకట్ల నుండి ఒకట్లను మరియు మొదలైనవాటిని తీసివేయడం ద్వారా చేయవచ్చని మనం చెప్పగలం, సంకలనంలో మనం చేసినట్లుగానే.

కొన్నిసార్లు దశాంశాలను తీసివేస్తున్నప్పుడు, సంకలనంలో మనం చేసినట్లుగా రీగ్రూప్ చేయవలసి రావచ్చు.

3.5 నుండి 1.74 ను తీసివేద్దాం.

శతాంశ స్థానంలో తీసివేయండి.

తీసివేయలేము! కాబట్టి రీగ్రూప్ చేయండి

$\begin{array}{r} 3. & 5 & 0 \\ -1. & 7 & 4 \\ \hline 1. & 7 & 6 \\ \hline \end{array}$

ఈ విధంగా, $3.5-1.74=1.76$

ఇవి చేయండి

1. 5.46 నుండి 1.85 ను తీసివేయండి;

2. 8.28 నుండి 5.25 ను తీసివేయండి;

3. 2.29 నుండి 0.95 ను తీసివేయండి;

4. 5.68 నుండి 2.25 ను తీసివేయండి.

ఉదాహరణ 5 : అభిషేక్ దగ్గర ₹ 7.45 ఉన్నాయి. అతను టాఫీల కోసం ₹ 5.30 ఖర్చు చేసాడు. అభిషేక్ వద్ద మిగిలిన బ్యాలెన్స్ మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

సాధన : మొత్తం డబ్బు మొత్తం $\quad$=₹ $7.45$

టాఫీలపై ఖర్చు చేసిన మొత్తం =₹ $5.30$

మిగిలిన డబ్బు మొత్తం =₹ $7.45$-₹ $5.30$=₹ $2.15$

ఉదాహరణ 6 : ఉర్మిల పాఠశాల ఆమె ఇంటి నుండి $5 km 350 m$ దూరంలో ఉంది. ఆమె $1 km 70 m$ కాలినడకన మరియు మిగిలిన దూరం బస్సు ద్వారా ప్రయాణిస్తుంది. ఆమె బస్సు ద్వారా ఎంత దూరం ప్రయాణిస్తుంది?

సాధన : ఇంటి నుండి పాఠశాల మొత్తం దూరం $=5.350 km$

కాలినడకన ప్రయాణించిన దూరం $=1.070 km$

అందువల్ల, బస్సు ద్వారా ప్రయాణించిన దూరం $\quad=5.350 km-1.070 km$ $=4.280 km$

ఈ విధంగా, బస్సు ద్వారా ప్రయాణించిన దూరం $=4.280 km$ లేదా $4 km ~280 m$

ఉదాహరణ 7 : కాంచన $5 kg 200 g$ బరువు గల పుచ్చకాయ కొన్నారు. దానిలో నుండి ఆమె తన పొరుగువారికి $2 kg 750 g$ ఇచ్చారు. కాంచన వద్ద మిగిలిన పుచ్చకాయ బరువు ఎంత?

సాధన : పుచ్చకాయ మొత్తం బరువు $\quad=5.200 kg$

పొరుగువారికి ఇచ్చిన పుచ్చకాయ $=2.750 kg$

అందువల్ల, మిగిలిన పుచ్చకాయ బరువు

$ =5.200 kg-2.750 kg=2.450 kg $

అభ్యాసం 8.4

1. తీసివేయండి:

(a) ₹ $18.25$ నుండి ₹ $20.75$
(b) $202.54 m$ నుండి $250 m$
(c) ₹ $5.36$ నుండి ₹ $8.40$
(d) $2.051 km$ నుండి $5.206 km$
(e) $0.314 kg$ నుండి $2.107 kg$

2. విలువను కనుగొనండి :

(a) $9.756-6.28$
(b) $21.05-15.27$
(c) $18.5-6.79$
(d) $11.6 - 9.847$

3. రాజు ఒక పుస్తకాన్ని ₹ 35.65 కు కొన్నాడు. అతను దుకాణదారుడికి ₹ 50 ఇచ్చాడు. దుకాణదారుడి నుండి అతను ఎంత డబ్బు తిరిగి పొందాడు?

4. రాణి దగ్గర ₹ 18.50 ఉన్నాయి. ఆమె ఒక ఐస్ క్రీమ్ కోసం ₹ 11.75 ఖర్చు చేసింది. ఇప్పుడు ఆమె దగ్గర ఎంత డబ్బు ఉంది?

5. టీనా దగ్గర $20 m ~5 cm$ పొడవు గల బట్ట ఉంది. ఆమె దీని నుండి పరదా తయారీ కోసం $4 m ~50 cm$ పొడవు గల బట్టను కత్తిరించింది. ఆమె వద్ద ఎంత బట్ట మిగిలి ఉంది?

6. నమిత ప్రతిరోజు $20 km 50$ m ప్రయాణిస్తుంది. దీనిలో ఆమె $10 km 200 m$ బస్సు ద్వారా మరియు మిగిలినది ఆటో ద్వారా ప్రయాణిస్తుంది. ఆమె ఆటో ద్వారా ఎంత దూరం ప్రయాణిస్తుంది?

7. ఆకాష్ $10 kg$ బరువు గల కూరగాయలు కొన్నాడు. దీనిలో, $3 kg 500 g$ ఉల్లిపాయలు, $2 kg 75 g$ టమోటాలు మరియు మిగిలినవి బంగాళాదుంపలు. బంగాళాదుంపల బరువు ఎంత?

మనం ఏమి చర్చించాము?

1. ప్రతి దశాంశాన్ని ఒక భిన్నంగా రాయవచ్చు.

2. ఏవైనా రెండు దశాంశ సంఖ్యలను వాటి మధ్య పోల్చవచ్చు. పోలిక పూర్ణాంక భాగంతో ప్రారంభించవచ్చు. పూర్ణాంక భాగాలు సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు దశాంశ భాగాలను పోల్చవచ్చు మరియు అలాగే చేయవచ్చు.

3. దశాంశాలు మన జీవితంలో అనేక విధాలుగా ఉపయోగించబడతాయి. ఉదాహరణకు, డబ్బు యొక్క యూనిట్లు, పొడవు మరియు బరువును సూచించడంలో.