12.1 পরিচিতি

সামঞ্জস্যতা একটি গুরুত্বপূর্ণ জ্যামিতিক ধারণা, প্রাকৃতিকভাবে প্রচুর পরিমাণে প্রদর্শিত হয় এবং প্রায় প্রতিটি কার্যকালী ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়। শিল্পী, পেশাদার, বস্ত্র বা আভিধানিক জুতার ডিজাইনার, গাড়ি তৈরিকারক, স্থপতি এবং অনেক অন্যান্য ব্যক্তিই সামঞ্জস্যতার ধারণা ব্যবহার করে। মধুময়, ফুল, গাছের পাতা, ধর্মীয় প্রতীক, কাপড়, হ্যান্ডক্যাচার ইত্যাদি সবখানে আপনি সামঞ্জস্যপূর্ণ সংজ্ঞাকে দেখতে পাবেন।

আপনি ইতিমধ্যে আগের শ্রেণীতে রেখার সামঞ্জস্যতার কিছু অনুভূতি পেয়েছেন।

একটি আকৃতির রেখার সামঞ্জস্যতা থাকে, যদি আকৃতির উপর এমন একটি রেখা থাকে যাতে আকৃতিকে সেই রেখার ওপর ভাঁজ করা যায় এবং আকৃতির দুটি অংশ মেলে যায়।

এই ধারণাগুলি আপনি ভুলে যাইনি হওয়া উচিত। এখানে আপনাকে সাহায্য করার জন্য কিছু কার্যক্রম রয়েছে।

আপনার সংগ্রহ করা সংজ্ঞাগুলিতে সামঞ্জস্যতার রেখা (যেখানে একটি অক্ষ বলা হয়) সনাক্ত করতে আপনাকে আরামদায়ক লাগবে।

এখন আমরা সামঞ্জস্যতার সম্পর্কে আমাদের ধারণা আরও দৃঢ় করি। নিম্নলিখিত আকৃতিগুলি অধ্যয়ন করুন যেখানে সামঞ্জস্যতার রেখাগুলি ছকলিত রেখায় চিহ্নিত করা হয়েছে। [Fig 12.1 (i) থেকে (iv)]

12.2 সমষ্টিগত বহুভুজের জন্য সামঞ্জস্যতার রেখা

আপনি জানেন যে একটি বহুভুজ হলো কয়েকটি রেখাংশ দ্বারা তৈরি করা বন্ধ আকৃতি। সবচেয়ে কম সংখ্যক রেখাংশ দ্বারা তৈরি বহুভুজ হলো ত্রিভুজ। (আপনি কি এমন একটি বহুভুজ আঁকতে পারেন যার আরও কম রেখাংশ থাকে? এটি সম্পর্কে চিন্তা করুন।)

একটি বহুভুজকে সমষ্টিগত বলা হয় যদি এর প্রতিটি পাশের দৈর্ঘ্য সমান হয় এবং এর প্রতিটি কোণের পরিমাণ সমান হয়। অতএব, সমবাহু ত্রিভুজ হলো তিনটি পাশের সমষ্টিগত বহুভুজ। আপনি কি চারটি পাশের সমষ্টিগত বহুভুজটির নাম বলতে পারেন?

সমবাহু ত্রিভুজ হলো সমষ্টিগত কারণ এর প্রতিটি পাশের দৈর্ঘ্য একই এবং এর প্রতিটি কোণের পরিমাণ $60^{\circ}$ (Fig 12.2)।

Fig 12.2

একটি চতুর্ভুজও সমষ্টিগত কারণ এর সব পাশের দৈর্ঘ্য সমান এবং এর প্রতিটি কোণ একটি সূক্ষ্ম কোণ (অর্থাৎ, $90^{\circ}$)। এর বিপ্রবৃত্তি একে অপরের বিপ্রবৃত্তি বিপ্রবৃত্তি হিসাবে দেখা যায় (Fig 12.3)।

Fig 12.3

যদি একটি পঞ্চভুজ হয় সমষ্টিগত, তবে এর পাশের দৈর্ঘ্য অবশ্যই সমান হবে। আপনি পরে জানবেন যে এর প্রতিটি কোণের পরিমাণ $108^{\circ}$ (Fig 12.4)।

Fig 12.4

Fig 12.5

একটি সমষ্টিগত ষড়ভুজের সব পাশ সমান এবং এর প্রতিটি কোণের পরিমাণ $120^{\circ}$। আপনি পরে এই আকৃতিগুলি আরও বেশি জানবেন (Fig 12.5)।

সমষ্টিগত বহুভুজগুলি হলো সামঞ্জস্যপূর্ণ আকৃতি এবং তাই তাদের সামঞ্জস্যতার রেখাগুলি খুবই আকর্ষক,

প্রতিটি সমষ্টিগত বহুভুজের সামঞ্জস্যতার সংখ্যা তার পাশের সংখ্যার সমান হয় [Fig 12.6 (i) - (iv)]। আমরা বলি, এগুলির একাধিক সামঞ্জস্যতার রেখা আছে।

তাহলে সাপেপাতে এটি তদানুসন্ধান করতে চান? এগিয়ে যান!

রেখার সামঞ্জস্যতার ধারণা প্রতিফলনের সাথে তুলনামূলকভাবে সম্পর্কিত। একটি আকৃতির রেখার সামঞ্জস্যতা থাকে যখন এর এক অংশ অপর অংশের প্রতিফলন হয় (Fig 12.7)। অতএব, একটি প্রতিফলন রেখা সামঞ্জস্যতার রেখা বোঝার সাহায্য করে (Fig 12.8)।

আকৃতি একই কিন্তু অন্য পথে!

এই পাঙ্কিং গেমটি খেলুন!

ভাঁজ হলো একটি রেখা (বা অক্ষ) সামঞ্জস্যতা। ভাঁজ করা কাগজের বিভিন্ন অবস্থানে পাঙ্কগুলি এবং সংশ্লিষ্ট সামঞ্জস্যতার রেখাগুলি অধ্যয়ন করুন (Fig 12.10)।

অনুশীলন 12.1

1. পাঙ্ক করা ফাঁকে আকৃতিগুলি কপি করুন এবং নিম্নলিখিত জন্য সামঞ্জস্যতার অক্ষ সনাক্ত করুন:

2. সামঞ্জস্যতার রেখা(গুলি) দেওয়া আছে, অন্য ফাঁক(গুলি) খুঁজুন:

3. নিম্নলিখিত আকৃতিগুলিতে, প্রতিফলন রেখা (অর্থাৎ, সামঞ্জস্যতার রেখা) ছকলিত রেখায় দেওয়া আছে। প্রতিফলন করে প্রতিটি আকৃতি সম্পূর্ণ করুন (আপনি সম্ভবত ছকলিত রেখার সাথে একটি প্রতিফলন রেখা রাখতে পারেন এবং প্রতিফলনে চোখ ফিরিয়ে নিতে পারেন)। আপনি কি সম্পূর্ণ করা আকৃতির নাম মনে করতে পারেন?

4. নিম্নলিখিত আকৃতিগুলিতে একাধিক সামঞ্জস্যতার রেখা আছে। এই ধরনের আকৃতিকে একাধিক সামঞ্জস্যতার রেখা বলা হয়।

নিম্নলিখিত আকৃতিগুলিতে যদি কোনো ক্ষেত্রে একাধিক সামঞ্জস্যতার রেখা থাকে, তবে সেগুলি সনাক্ত করুন:

5. এখানে দেওয়া আকৃতি কপি করুন।

একটি বিপ্রবৃত্তি হিসাবে সামঞ্জস্যতার রেখা হিসাবে যেকোনো একটি বিপ্রবৃত্তি নিন এবং আকৃতিটি বিপ্রবৃত্তির সামঞ্জস্যতার কাছাকাছি করার জন্য কয়েকটি আরও বর্গাকার সাদা করুন। এটি করার একাধিক উপায় আছে? আকৃতিটি উভয় বিপ্রবৃত্তির সামঞ্জস্যতার কাছাকাছি হবে?

6. আঁকানো আকৃতি কপি করুন এবং প্রতিটি আকৃতি প্রতিফলন রেখার সাথে সামঞ্জস্যতার কাছাকাছি করুন:

7. নিম্নলিখিত আকৃতিগুলির জন্য সামঞ্জস্যতার রেখার সংখ্যা বলুন:

(a) একটি সমবাহু ত্রিভুজ

(b) একটি সমানকার ত্রিভুজ

(c) একটি বিসমবাহু ত্রিভুজ

(d) একটি চতুর্ভুজ

(e) একটি আয়তাকার চতুর্ভুজ

(f) একটি সমবাহু চতুর্ভুজ

(g) একটি সমবাবহু চতুর্ভুজ

(h) একটি চতুর্ভুজ

(i) একটি সমষ্টিগত ষড়ভুজ

(j) একটি বৃত্ত

8. ইংরেজি বর্ণমালার কোন বর্ণগুলির প্রতিফলন সামঞ্জস্যতা (অর্থাৎ, প্রতিফলন সাথে সম্পর্কিত সামঞ্জস্যতা) আছে:

(a) একটি উল্লম্ব প্রতিফলন রেখার সাথে

(b) একটি অনুভূমিক প্রতিফলন রেখার সাথে

(c) উল্লম্ব এবং অনুভূমিক প্রতিফলন রেখাগুলির সাথে

9. কোন রেখার সামঞ্জস্যতা ছাড়াই আকৃতির তিনটি উদাহরণ দিন।

10. আপনি কী অন্য নাম দিতে পারেন সামঞ্জস্যতার রেখার জন্য যেখানে

(a) একটি সমানকার ত্রিভুজের জন্য?

(b) একটি বৃত্তের জন্য?

12.3 বিপ্রবৃত্তি সামঞ্জস্যতা

আপনি কী বলেন যখন একটি ঘড়ির হাত ঘূর্ণায়?

আপনি বলেন যে এগুলি ঘূর্ণায়। ঘড়ির হাত শুধুমাত্র একটি দিকে ঘূর্ণায়, একটি স্থির বিন্দুর মাধ্যমে, ঘড়ির মুখের কেন্দ্রের মাধ্যমে।

ঘড়ির হাতের সমানুকূল ঘূর্ণনের মতো ঘূর্ণন হলো ঘূর্ণন; অন্যথায় এটি অসমানুকূল ঘূর্ণন বলা হয়।

ছাদের ফ্যানের পালকগুলির ঘূর্ণন সম্পর্কে আপনি কী বলতে পারেন? তারা ক্লকওয়াইজ নাকি অ্যান্টি ক্লকওয়াইজ ঘূর্ণায়? নাকি তারা উভয় পথেই ঘূর্ণায়?

যদি আপনি একটি বাইসাইকেলের চাকা ঘূর্ণানো করেন, তবে এটি ঘূর্ণায়। এটি উভয় পথেই ঘূর্ণায়: ক্লকওয়াইজ এবং অ্যান্টি ক্লকওয়াইজ উভয়ই। ক্লকওয়াইজ ঘূর্ণনের জন্য (i) এবং অ্যান্টি ক্লকওয়াইজ ঘূর্ণনের জন্য (ii) প্রতিটি জন্য তিনটি উদাহরণ দিন।

যখন একটি বস্তু ঘূর্ণায়, তখন এর আকৃতি এবং আকার পরিবর্তন হয় না। ঘূর্ণন একটি বস্তুকে একটি স্থির বিন্দুর মাধ্যমে ঘূর্ণায়। এই স্থির বিন্দুটি হলো ঘূর্ণনের কেন্দ্র। ঘড়ির হাতের ঘূর্ণনের ঘূর্ণনের কেন্দ্র কী? এটি সম্পর্কে চিন্তা করুন।

Fig 12.11

ঘূর্ণনের সময় ঘূর্ণানোর কোণটি হলো ঘূর্ণনের কোণ। একটি পূর্ণ ঘূর্ণন বলতে আপনি জানেন যে এটি $360^{\circ}$ ঘূর্ণন করে। (i) একটি অর্ধ ঘূর্ণনের জন্য (ii) একটি চতুর্থাংশ ঘূর্ণনের জন্য ঘূর্ণনের কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

একটি অর্ধ ঘূর্ণন হলো $180^{\circ}$ ঘূর্ণন; একটি চতুর্থাংশ ঘূর্ণন হলো $90^{\circ}$ ঘূর্ণন।

যখন সকাল 12টা, ঘড়ির হাত একসাথে থাকে। সকাল 3টার সময় মিনিট হাত তিনটি সম্পূর্ণ ঘূর্ণন করবে; কিন্তু ঘন্টা হাত শুধুমাত্র একটি চতুর্থাংশ ঘূর্ণন করবে। সকাল 6টার সময় তাদের অবস্থান সম্পর্কে আপনি কী বলতে পারেন?

আপনি কখনো কাগজের বায়ুময়ী মোটর তৈরি করেছেন? চিত্রে দেখানো কাগজের বায়ুময়ী সামঞ্জস্যপূর্ণ দেখায় (Fig 12.11); কিন্তু আপনি কোনো রেখার সামঞ্জস্যতা পাচ্ছেন না। কোনো ভাঁজ করে আপনি সামঞ্জস্যপূর্ণ অংশ পাওয়া যাবে না। তবে যদি আপনি এটিকে $90^{\circ}$ ঘূর্ণানো করেন একটি স্থির বিন্দুর মাধ্যমে, তবে বায়ুময়ী সম্পূর্ণরূপে একই দেখাবে। আমরা বলি বায়ুময়ীটির একটি বিপ্রবৃত্তি সামঞ্জস্যতা আছে।

Fig 12.12

একটি পূর্ণ ঘূর্ণনে, বায়ুময়ী সম্পূর্ণরূপে একই দেখার জন্য শুধুমাত্র চারটি অবস্থা ($90^{\circ}$, $180^{\circ}, 270^{\circ}$ এবং $360^{\circ}$ কোণের মাধ্যমে ঘূর্ণনের সময়) আছে। এই কারণে, আমরা বলি এটির একটি বিপ্রবৃত্তি সামঞ্জস্যতা 4 এর ক্রম আছে।

বিপ্রবৃত্তি সামঞ্জস্যতার জন্য একটি আরও উদাহরণ এখানে আছে।

একটি চতুর্ভুজ নিন $P$ হিসাবে তার একটি কোণ হিসাবে (Fig 12.13)।

চতুর্ভুজের কেন্দ্রে চতুর্থাংশ ঘূর্ণন করা হবে $\mathbf{x}$ চিহ্নিত করা হয়েছে।

Fig 12.13 (i) প্রাথমিক অবস্থা। কেন্দ্রের মাধ্যমে $90^{\circ}$ ঘূর্ণন এড়ায় Fig 12.13 (ii)। $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ �