12.1 પરિચય

સમાનતા (Symmetry) એ એક મહત્વપૂર્ણ જ્યોમેટ્રીક ધારણા છે, જે પ્રકૃતિમાં વધુમાં વધુ દેખાય છે અને પ્રતિયોગી પ્રવૃત્તિના દરેક ક્ષેત્રમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે. કલાકારો, વ્યવસાયિકો, વસ્ત્ર અથવા આભૂષણ ડિઝાઇનરો, કાર ઉત્પાદકો, વાસ્તુશિલ્પીઓ અને અનેકો અન્યોને સમાનતાની વિચારધારાનો ઉપયોગ થાય છે. બીજના ઘરો, ફૂલો, વૃક્ષના પાંદડાઓ, ધાર્મિક ચિહ્નો, રસ્તાઓ, અને હેન્ડકેપ્સ તરીકે તમે દરેક જગ્યાએ સમાનતાપૂર્ણ ડિઝાઇનો મળી શકે છે.

તમે પહેલાં ક્લાસમાં લાઇન સમાનતાનો એક ‘અનુભવ’ પૂર્ણ કર્યો છે.

જો એવી એક રેખા હોય, જે ઉપર આધારે આ આકારને ફેલાવી શકાય કે જ્યાં આકારના બે ભાગો એકબીજાને મેળવી લે, તો આ આકારને લાઇન સમાનતા ધારણા કહેવામાં આવે.

આ વિચારોને યાદ કરવાની તમને પણ મજા થશે. તમને મદદ કરવા માટે અહીં કેટલીક પ્રવૃત્તિઓ છે.

તમે જે ડિઝાઇનો ભરી રહ્યા છો તેમાં સમાનતાની રેખાઓ (જેને આધારો કહેવામાં આવે છે) ઓળખવાનો આનંદ માણો.

હવે આપણે સમાનતા વિશેના આપણા વિચારોને અહીં થોડો વધુ મજબૂત બનાવીએ. નીચેના આકારોનું અભ્યાસ કરો, જેમાં સમાનતાની રેખાઓ ડોટેડ રેખાઓ દ્વારા ચિહ્નિત કરવામાં આવી છે. [ચિત્ર 12.1 (i) થી (iv)]

12.2 નિયમિત બહુકોણો માટેની સમાનતાની રેખાઓ

તમે જાણો છો કે બહુકોણ એ એવો એક બંધ આકાર છે જે ઘણા લંબચોરાઓથી બનેલો છે. લંબચોરાઓની ઓછામાં ઓછી સંખ્યામાં બનેલો બહુકોણ ત્રિકોણ છે. (શું તમે એવો બહુકોણ આઁઝી શકો છો જેને હજુ ઓછામાં ઓછા લંબચોરાઓથી આઁઝી કરવામાં આવે? તે વિચારોને ધ્યાનમાં રાખો).

જો એવો બહુકોણ હોય કે જેના તમામ બાજુઓ સમાન લંબાઇના હોય અને તમામ કોણો સમાન માપનામાં હોય, તો તે નિયમિત બહુકોણ કહેવામાં આવે છે. આદિત્ય ત્રિકોણ એ ત્રણ બાજુઓનો નિયમિત બહુકોણ છે. તમે ચાર બાજુઓનો નિયમિત બહુકોણ કહી શકો છો?

સમાન લંબાઇના ત્રણ બાજુઓનો ત્રિકોણ નિયમિત છે કારણ કે તેના ત્રણ બાજુઓની લંબાઇ સમાન છે અને તેના ત્રણ કોણોનો માપ $60^{\circ}$ છે (ચિત્ર 12.2).

<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_snip_images_5PEMdnuXxbsbGY8dnLZyUqElLfLLtDw27abCLwZo_K8_original_fullsize_png.jpg"/ height=“160px”>

ચિત્ર 12.2

ચોરસ પણ નિયમિત છે કારણ કે તેના તમામ બાજુઓની લંબાઇ સમાન છે અને તેના ત્રણ કોણો લંબકોણ (અર્થાત $90^{\circ}$) છે. તેની વિસ્તરાઓ એકબીજાના લંબ ભાગદર્શક તરીકે જોઈ શકાય છે (ચિત્ર 12.3).

ચિત્ર 12.3

જો પંચકોણ નિયમિત હોય, તો તેના બાજુઓની લંબાઇ સમાન હોવી જોઈએ. તમે પછી જાણી શકશો કે તેના ત્રણ કોણોનો માપ $108^{\circ}$ છે (ચિત્ર 12.4).

ચિત્ર 12.4

ચિત્ર 12.5

નિયમિત ષટ્કોણના તમામ બાજુઓ સમાન છે અને તેના ત્રણ કોણોનો માપ $120^{\circ}$. તમે પછી આ આકારો વધુ વિશ્લેષણ કરી શકો છો (ચિત્ર 12.5).

નિયમિત બહુકોણો સમાનતાપૂર્ણ આકારો છે અને તેથી તેની સમાનતાની રેખાઓ ખૂબ જ રસપ્રદ છે,

દરેક નિયમિત બહુકોણની તેના બાજુઓની સંખ્યાની જ તેટલી સમાનતાની રેખાઓ છે [ચિત્ર 12.6 (i) - (iv)]. અમે કહીએ છીએ, તેમાં ઘણીવાર સમાનતાની રેખાઓ હોય છે.

શાબ્દિક રીતે, તમે કાગળ ફેલાવીને આ વિષે તપાસ કરવા માગી શકો છો. આગળ વધો!

લાઇન સમાનતાની વિચારધારા એ જાળવણીની પ્રતિબિંબને સંબંધિત છે. જો એવો એક આકાર હોય કે જેના એક ભાગને બીજા ભાગની જાળવણીની પ્રતિબિંબ બની જાય (ચિત્ર 12.7), તો આ આકારને લાઇન સમાનતા ધારણા કહેવામાં આવે છે. આદિત્ય જાળવણી, આદિત્ય સમાનતાની રેખાને વિજ્ઞાપન કરવામાં મદદ કરે છે (ચિત્ર 12.8).

આકાર એક જ છે, પણ બીજી રીતે જોવામાં આવે છે!

આ પંચાઇની રમત ખેલો!

ફોલ્ડ (અથવા આધાર) એ સમાનતાની રેખા છે. ફોલ્ડ કરેલા કાગળમાં વિવિધ સ્થાનો પર પંચાઇઓ અને તેની સંબંધિત સમાનતાની રેખાઓ વિશ્લેષણ કરો (ચિત્ર 12.10).

અભ્યાસક્રમ 12.1

1. પંચાઇઓ દ્વારા ચિહ્નિત આકારોની નકલ કરો અને નીચેના માટે સમાનતાની આધારો શોધો:

2. આધારો દર્શાવેલ હોય તેમાં, બીજી ફૂલ(ઓ) શોધો:

3. નીચેના આકારોમાં, જાળવણીની રેખા (અર્થાત સમાનતાની રેખા) ડોટેડ રેખા તરીકે આપવામાં આવી છે. દર્શાવેલ રેખા (જાળવણીની રેખા) પર પ્રતિબિંબ કરીને દરેક આકારને પૂર્ણ કરો. (તમે શાબ્દિક રીતે દર્શાવેલ રેખા પર જાળવણી મૂકીને જાળવણીમાં પ્રતિબિંબ જોઈ શકો છો). તમે પૂર્ણ કરેલા આકારનું નામ યાદ કરી શકો છો?

4. નીચેના આકારોમાં એક જ સમાનતાની રેખા હોય છે. આદિત્ય આકારો ઘણીવાર સમાનતાની રેખાઓ ધારણ કરે છે.

નીચેના દરેક આકારમાં ઘણીવાર સમાનતાની રેખાઓ, જો હોય તો ઓળખો:

5. અહીં આપવામાં આવેલા આકારની નકલ કરો.

એક જ વિસ્તરાને સમાનતાની રેખા તરીકે લો અને આકારને વિસ્તરા પર સમાનતા બનાવવા માટે થોડાક અનેક ચોરસો છાયા કરો. તે એવી રીતે કરવામાં આવી શકે છે કે જે રીતે એક જ રીતે છે? આકાર તેના બનાવાયેલા રેખાઓ પર પણ સમાનતા ધારણ કરશે?

6. ડિઝાઇન નકલ કરો અને દરેક આકારને જાળવણીની રેખા(ઓ) પર સમાનતા બનાવવા માટે પૂર્ણ કરો:

7. નીચેના આકારો માટે સમાનતાની રેખાઓની સંખ્યા સ્થાપિત કરો:

(એ) સમાન લંબાઇના ત્રિકોણ
(બ) સમાન બાજુઓનો ત્રિકોણ
(વ) અસમાન બાજુઓનો ત્રિકોણ
(ગ) ચોરસ
(ઘ) આયત
(ઙ) ડ્રોમબ
(ચ) સમલંબ
(છ) ચારકોણ
(જ) નિયમિત ષટ્કોણ
(ઝ) ગળા

8. અંગ્રેજી અક્ષરોમાંના કેટલાક અક્ષરોને જાળવણીની પ્રતિબિંબની સમાનતા (અર્થાત જાળવણીની પ્રતિબિંબની સમાનતા) કહેવામાં આવે છે.

(એ) ઊભી જાળવણી પર
(બ) આડી જાળવણી પર
(વ) આડી અને ઊભી જાળવણી બંને પર

9. કોઈપણ સમાનતાની રેખા ધારણ કરતા વિનાના આકારોની ત્રણ ઉદાહરણો આપો.

10. નીચેના માટે સમાનતાની રેખાને તમે કઈ બીજું નામ આપી શકો છો:

(એ) સમાન બાજુઓનો ત્રિકોણ?
(બ) ગળા?

12.3 ઘૂમણીની સમાનતા

તમે કહો છો કે જ્યારે ઘડિયાળની હાથી ઘૂમી જાય છે?

તમે કહો છો કે તે ઘૂમી જાય છે. ઘડિયાળની હાથી ફક્ત એક દિશામાં ઘૂમી જાય છે, એક ફિક્સ પોઇન્ટની સાથે, ઘડિયાળની ચાલનપુસ્તકના કેન્દ્રમાં.

ઘડિયાળની હાથીની જેમ ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમે તેવી ગમ�