11.1 ಪರಿಚಯ

ಭೂಮಿಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಎಷ್ಟು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆಯೇ? ಅದು

$5,970,000,000,000,000,000,000,000 kg$ !

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವು ಓದಬಲ್ಲಿರಾ?

ಯುರೇನಸ್ ಗ್ರಹದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ 86,800,000,000,000,000,000,000,000 kg.

ಯಾವುದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಹೆಚ್ಚು, ಭೂಮಿಯದೋ ಅಥವಾ ಯುರೇನಸ್ನದೋ?

ಸೂರ್ಯ ಮತ್ತು ಶನಿ ಗ್ರಹಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ 1,433,500,000,000 m ಮತ್ತು ಶನಿ ಮತ್ತು ಯುರೇನಸ್ ಗ್ರಹಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ $1,439,000,000,000 m$. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಓದಬಲ್ಲಿರಾ? ಯಾವ ಅಂತರ ಕಡಿಮೆ?

ಈ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಓದುವುದು, ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಹೋಲಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಓದಲು, ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಹೋಲಿಸಲು, ನಾವು ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಘಾತಾಂಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಬೇಕೆಂದೂ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

11.2 ಘಾತಾಂಕಗಳು

ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

$\quad 10,000=10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{4}$ ಗಮನಿಸಿ

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸಂಕೇತ $10^{4}$ ಎಂಬುದು ಗುಣಲಬ್ಧ $10 \times 10 \times 10 \times 10$ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ‘10’ ಅನ್ನು ಆಧಾರ ಎಂದು ಮತ್ತು ‘4’ ಅನ್ನು ಘಾತಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ $10^{4}$ ಅನ್ನು 10 ರ 4 ನೇ ಘಾತ ಎಂದು ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ 10 ರ ನಾಲ್ಕನೇ ಘಾತ ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ. $\mathbf{1 0 . 1 0 ^ { 4 }}$ ಅನ್ನು 10,000 ರ ಘಾತೀಯ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅದೇ ರೀತಿ ನಾವು 1,000 ಅನ್ನು 10 ರ ಘಾತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಗಮನಿಸಿ

$ 1000=10 \times 10 \times 10=10^{3} $

ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ, $10^{3}$ ಎಂಬುದು 1,000 ರ ಘಾತೀಯ ರೂಪ.

ಅದೇ ರೀತಿ, $1,00,000=10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{5}$

$10^{5}$ ಎಂಬುದು $1,00,000$ ರ ಘಾತೀಯ ರೂಪ

ಈ ಎರಡೂ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಆಧಾರ 10; $10^{3}$ ರ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಘಾತಾಂಕ 3 ಮತ್ತು $10^{5}$ ರ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಘಾತಾಂಕ 5.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವಾಗ ನಾವು $10,100,1000$ ಮುಂತಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $47561=4 \times 10000+7 \times 1000+5 \times 100+6 \times 10+1$

ಇದನ್ನು $4 \times 10^{4}+7 \times 10^{3}+5 \times 10^{2}+6 \times 10+1$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿ ಬರೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ $172,5642,6374$.

ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಆಧಾರ 10 ಆಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಆಧಾರವು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

$81=3 \times 3 \times 3 \times 3$ ಅನ್ನು $81=3^{4}$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ 3 ಆಧಾರ ಮತ್ತು 4 ಘಾತಾಂಕ.

ಕೆಲವು ಘಾತಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷ ಹೆಸರುಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

$10^{2}$, ಇದು 10 ರ 2 ನೇ ಘಾತ, ಇದನ್ನು ‘10 ವರ್ಗ’ ಎಂದೂ ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು

$10^{3}$, ಇದು 10 ರ 3 ನೇ ಘಾತ, ಇದನ್ನು ‘10 ಘನ’ ಎಂದೂ ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ.

$5^{3}$ (5 ಘನ) ಎಂದರೇನು ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ?

$ 5^{3}=5 \times 5 \times 5=125 $

ಆದ್ದರಿಂದ, 125 ಎಂಬುದು 5 ರ ಮೂರನೇ ಘಾತ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

$5^{3}$ ರಲ್ಲಿ ಘಾತಾಂಕ ಮತ್ತು ಆಧಾರ ಯಾವುವು?

ಅದೇ ರೀತಿ, $2^{5}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=32$, ಇದು 2 ರ ಐದನೇ ಘಾತ.

$2^{5}, 2$ ರಲ್ಲಿ ಆಧಾರ ಮತ್ತು 5 ಘಾತಾಂಕ.

ಅದೇ ರೀತಿ,

$ \begin{aligned} 243 & =3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3=3^{5} \\ 64 & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^{6} \\ 625 & =5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{4} \end{aligned} $

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಇವುಗಳನ್ನು

ಐದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಘಾತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲೂ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.

ಆಧಾರ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದಾಗಲೂ ಈ ಬರೆಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.

$(-2)^{3}$ ಎಂದರೇನು?

ಅದು $\quad(-2)^{3}=(-2) \times(-2) \times(-2)=-8$

$\quad(-2)^{4}=16$ ಆಗಿದೆಯೇ? ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಬದಲು ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ $a$ ಅನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯೋಣ,

$ \begin{aligned} a \times a & =a^{2}(\text{ ‘a ವರ್ಗ’ ಅಥವಾ ‘a ರ 2 ನೇ ಘಾತ’ ಎಂದು ಓದಿ }) \\ a \times a \times a & =a^{3}(\text{ ‘a ಘನ’ ಅಥವಾ ‘a ರ 3 ನೇ ಘಾತ’ ಎಂದು ಓದಿ }) \\ a \times a \times a \times a & =a^{4}(\text{ a ರ 4 ನೇ ಘಾತ ಅಥವಾ a ರ ನಾಲ್ಕನೇ ಘಾತ ಎಂದು ಓದಿ }) \end{aligned} $

$a \times a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{7}($ ಅನ್ನು $a$ ರ 7 ನೇ ಘಾತ ಅಥವಾ $.a)$ ರ $7^{\text{th }}$ ಘಾತ ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

$a \times a \times a \times b \times b$ ಅನ್ನು $a^{3} b^{2}$ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ($a$ ಘನ $b$ ವರ್ಗ ಎಂದು ಓದಿ)

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಇವುಗಳನ್ನು

ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ:

(i) 729 ಅನ್ನು 3 ರ ಘಾತವಾಗಿ

(ii) 128 ಅನ್ನು 2 ರ ಘಾತವಾಗಿ

(iii) 343 ಅನ್ನು 7 ರ ಘಾತವಾಗಿ $a \times a \times b \times b \times b \times b$ ಅನ್ನು $a^{2} b^{4}$ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ($a$ ವರ್ಗ ಗುಣಿಸಿ $b$ ರ 4 ನೇ ಘಾತ ಎಂದು ಓದಿ).

ಉದಾಹರಣೆ 1 256 ಅನ್ನು 2 ರ ಘಾತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ

ನಮಗೆ $256=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ ಇದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ $256=2^{8}$ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಯಾವುದು ಹೆಚ್ಚು $2^{3}$ ಅಥವಾ $3^{2}$?

ಪರಿಹಾರ ನಮಗೆ, $2^{3}=2 \times 2 \times 2=8$ ಮತ್ತು $3^{2}=3 \times 3=9$ ಇದೆ.

$9>8$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, $3^{2}$ ಎಂಬುದು $2^{3}$ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು.

ಉದಾಹರಣೆ 3 ಯಾವುದು ಹೆಚ್ಚು $8^{2}$ ಅಥವಾ $2^{8}$?

ಪರಿಹಾರ

$\quad 8^{2}=8 \times 8=64$ $2^{8}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=256$

ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, $\quad 2^{8}>8^{2}$

ಉದಾಹರಣೆ 4 $a^{3} b^{2}, a^{2} b^{3}, b^{2} a^{3}, b^{3} a^{2}$ ವಿಸ್ತರಿಸಿ. ಅವೆಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಆಗಿದೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ

$a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}$

$ \begin{aligned} & =(a \times a \times a) \times(b \times b) \\ & =a \times a \times a \times b \times b \\ a^{2} b^{3} & =a^{2} \times b^{3} \\ & =a \times a \times b \times b \times b \\ b^{2} a^{3} & =b^{2} \times a^{3} \\ & =b \times b \times a \times a \times a \\ b^{3} a^{2} & =b^{3} \times a^{2} \\ & =b \times b \times b \times a \times a \end{aligned} $

$a^{3} b^{2}$ ಮತ್ತು $a^{2} b^{3}$ ಪದಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ $a$ ಮತ್ತು $b$ ರ ಘಾತಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ $a^{3} b^{2}$ ಮತ್ತು $a^{2} b^{3}$ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ.

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, $a^{3} b^{2}$ ಮತ್ತು $b^{2} a^{3}$ ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಎರಡು ಪದಗಳಲ್ಲಿ $a$ ಮತ್ತು $b$ ರ ಘಾತಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ. ಅಪವರ್ತನಗಳ ಕ್ರಮವು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ.

ಹೀಗಾಗಿ, $a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}=b^{2} \times a^{3}=b^{2} a^{3}$. ಅದೇ ರೀತಿ, $a^{2} b^{3}$ ಮತ್ತು $b^{3} a^{2}$ ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5 ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಘಾತಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ:

(i) 72

(ii) 432

(iii) 1000

(iv) 16000

ಪರಿಹಾರ

(i) $72=2 \times 36=2 \times 2 \times 18$

$ \begin{aligned} & =2 \times 2 \times 2 \times 9 \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3=2^{3} \times 3^{2} \end{aligned} $

ಹೀಗಾಗಿ, $72=2^{3} \times 3^{2} \quad$ (ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶ ಗುಣಲಬ್ಧ ರೂಪ)

$\begin{array}{l|l} 2 & 72 \\ \hline 2 & 36 \\ \hline 2 & 18 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline & 3 \end{array}$

(ii) $432=2 \times 216=2 \times 2 \times 108=2 \times 2 \times 2 \times 54$

$ \begin{aligned} & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 27=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 9 \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

ಅಥವಾ $\quad 432=2^{4} \times 3^{3}$

(ಅಗತ್ಯವಿರುವ ರೂಪ)

(iii) $1000=2 \times 500=2 \times 2 \times 250=2 \times 2 \times 2 \times 125$

$ =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 25=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 $

ಅಥವಾ: $ 1000=2^{3} \times 5^{3} $

ಅತುಲ್ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತಾನೆ:

$ \begin{aligned} 1000 & =10 \times 100=10 \times 10 \times 10 \\ & =(2 \times 5) \times(2 \times 5) \times(2 \times 5) \quad(\text{ ಏಕೆಂದರೆ } 10=2 \times 5) \\ & =2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \end{aligned} $

ಅಥವಾ: $ 1000=2^{3} \times 5^{3} $

ಅತುಲ್ನ ವಿಧಾನ ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೇ?

$ \begin{aligned} & \text{ (iv) } .16,000=16 \times 1000=(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times 1000=2^{4} \times 10^{3} \text{ (ಏಕೆಂದರೆ } 16=2 \times 2 \times 2 \times 2) \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5)=2^{4} \times 2^{3} \times 5^{3} \\ & (\text{ ಏಕೆಂದರೆ } 1000=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5) \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(5 \times 5 \times 5) \\ & \text{ ಅಥವಾ, } \quad 16,000=2^{7} \times 5^{3} \end{aligned} $

ಉದಾಹರಣೆ 6 $(1)^{5},(-1)^{3},(-1)^{4},(-10)^{3},(-5)^{4}$ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

(i) ನಮಗೆ $(1)^{5}=1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1=1$ ಇದೆ

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಘಾತಕ್ಕೆ 1 ಏರಿಸಿದಾಗ 1 ಎಂದು ನೀವು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ.

(ii) $(-1)^{3}=(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times(-1)=-1$

(iii) $(-1)^{4}=(-1) \times(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times 1=1$

$\begin{array}{|ll|} \hline(-1)^{\text{ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ }} & =-1 \\ (-1)^{\text{ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ }} & =+1 \\ \hline \end{array}$

$(-1)$ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಬೆಸ ಘಾತಕ್ಕೆ ಏರಿಸಿದರೆ $(-1)$ ಆಗುತ್ತದೆ,

ಮತ್ತು $(-1)$ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಮ ಘಾತಕ್ಕೆ ಏರಿಸಿದರೆ $(+1)$ ಆಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

(iv) $(-10)^{3}=(-10) \times(-10) \times(-10)=100 \times(-10)=-1000$

(v) $(-5)^{4}=(-5) \times(-5) \times(-5) \times(-5)=25 \times 25=625$

ಅಭ್ಯಾಸ 11.1

1. ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಮೌಲ್ಯ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(i) $2^{6}$

(ii) $9^{3}$

(iii) $11^{2}$

(iv) $5^{4}$

2. ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಘಾತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ:

(i) $6 \times 6 \times 6 \times 6$

(ii) $t \times t$

(iii) $b \times b \times b \times b$

(iv) $5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$

(v) $2 \times 2 \times a \times a$

(vi) $a \times a \times a \times c \times c \times c \times c \times d$

3. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಘಾತೀಯ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ:

(i) 512

(ii) 343

(iii) 729

(iv) 3125

4. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ, ಸಾಧ್ಯವಾದಲ್ಲಿ, ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ:

(i) $4^{3}$ ಅಥವಾ $3^{4}$

(ii) $5^{3}$ ಅಥವಾ $3^{5}$

(iii) $2^{8}$ ಅಥವಾ $8^{2}$

(iv) $100^{2}$ ಅಥವಾ $2^{100}$

(v) $2^{10}$ ಅಥವಾ $10^{2}$

5. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಅವುಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಘಾತಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ:

(i) 648

(ii) 405

(iii) 540

(iv) 3,600

6. ಸರಳೀಕರಿಸಿ:

(i) $2 \times 10^{3}$

(ii) $7^{2} \times 2^{2}$

(iii) $2^{3} \times 5$

(iv) $3 \times 4^{4}$

(v) $0 \times 10^{2}$

(vi) $5^{2} \times 3^{3}$

(vii) $2^{4} \times 3^{2}$

(viii) $3^{2} \times 10^{4}$

7. ಸರಳೀಕರಿಸಿ:

(i) $(-4)^{3}$

(ii) $(-3) \times(-2)^{3}$

(iii) $(-3)^{2} \times(-5)^{2}$

(iv) $(-2)^{3} \times(-10)^{3}$

8. ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ:

(i) $2.7 \times 10^{12} ; 1.5 \times 10^{8}$

(ii) $4 \times 10^{14} ; 3 \times 10^{17}$

11.3 ಘಾತಾಂಕಗಳ ನಿಯಮಗಳು

11.3.1 ಒಂದೇ ಆಧಾರವಿರುವ ಘಾತಗಳ ಗುಣಾಕಾರ

(i) $2^{2} \times 2^{3}$ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡೋಣ

$ \begin{aligned} 2^{2} \times 2^{3} & =(2 \times 2) \times(2 \times 2 \times 2) \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^{5}=2^{2+3} \end{aligned} $

$2^{2}$ ಮತ್ತು $2^{3}$ ರಲ್ಲಿ ಆಧಾರ ಒಂದೇ ಎಂದು ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತ, ಅಂದರೆ 2 ಮತ್ತು 3, 5 ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ.

(ii) $(-3)^{4} \times(-3)^{3}=[(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3)] \times[(-3) \times(-3) \times(-3)]$

$ \begin{aligned} & =(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \\ & =(-3)^{7} \\ & =(-3)^{4+3} \end{aligned} $

ಮತ್ತೆ, ಆಧಾರ ಒಂದೇ ಎಂದು ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತ, ಅಂದರೆ 4 ಮತ್ತು 3, 7 ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ.

(iii) $a^{2} \times a^{4}=(a \times a) \times(a \times a \times a \times a)$

$ =a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{6} $

(ಗಮನಿಸಿ: ಆಧಾರ ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತ $2+4=6$)

ಅದೇ ರೀತಿ, ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:

$ \begin{aligned} & 4^{2} \times 4^{2}=4^{2+2} \\ & 3^{2} \times 3^{3}=3^{2+3} \end{aligned} $

ನೀವು ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಬಲ್ಲಿರಾ.

$ \begin{aligned} & (-11)^{2} \times(-11)^{6}=\quad(-11) \square \\ & b^{2} \times b^{3}=b \square \text{ (ನೆನಪಿಡಿ, ಆಧಾರ ಒಂದೇ; } b \text{ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ). } \\ & c^{3} \times c^{4}=c \text{ (c ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ) } \\ & d^{10} \times d^{20}=d^{\square} \end{aligned} $

ಇದರಿಂದ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯೇತರ ಪೂರ್ಣಾಂಕ $a$ ಗೆ, ಇಲ್ಲಿ $m$ ಮತ್ತು $n$ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು,

$\begin{array}{|ll|} \hline a^{m} \times a^{n}=a^{m+n} \\ \hline \end{array}$

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಇವುಗಳನ್ನು

ಸರಳೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ:

(i) $2^{5} \times 2^{3}$

(ii) $p^{3} \times p^{2}$

(iii) $4^{3} \times 4^{2}$

(iv) $a^{3} \times a^{2} \times a^{7}$

(v) $5^{3} \times 5^{7} \times 5^{12}$

(vi) $(-4)^{100} \times(-4)^{20}$

ಎಚ್ಚರಿಕೆ!

$2^{3} \times 3^{2}$ ಪರಿಗಣಿಸಿ

ನೀವು ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಬಲ್ಲಿರಾ? ಇಲ್ಲ! ‘ಏಕೆ’ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಾ? $2^{3}$ ರ ಆಧಾರ 2 ಮತ್ತು $3^{2}$ ರ ಆಧಾರ 3. ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಅಲ್ಲ.

11.3.2 ಒಂದೇ ಆಧಾರವಿರುವ ಘಾತಗಳ ಭಾಗಾಕಾರ

$3^{7} \div 3^{4}$ ಸರಳೀಕರಿಸೋಣ?

ಹೀಗೆ: $ \begin{aligned} 3^{7} \div 3^{4} & =\frac{3^{7}}{3^{4}}=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 3 \times 3} \\ & =3 \times 3 \times 3=3^{3}=3^{7-4} \end{aligned} $

(ಗಮನಿಸಿ, $3^{7}$ ಮತ್ತು $3^{4}$ ರಲ್ಲಿ ಆಧಾರ ಒಂದೇ ಮತ್ತು $3^{7} \div 3^{4}$ ಆಗುತ್ತದೆ $3^{7-4}$)

ಅದೇ ರೀತಿ,

ಅಥವಾ: $ \begin{aligned} 5^{6} \div 5^{2} & =\frac{5^{6}}{5^{2}}=\frac{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5}{5 \times 5} \\ & =5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{4}=5^{6-2} \end{aligned} $

$a$ ಶೂನ್ಯೇತರ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ, ಆಗ,

ಅಥವಾ: $ \begin{aligned} & a^{4} \div a^{2}=\frac{a^{4}}{a^{2}}=\frac{a \times a \times a \times a}{a \times a}=a \times a=a^{2}=a^{4}{ }^{2} \\ & a^{4} \div a^{2}=a^{4-2} \end{aligned} $

ಈಗ ನೀವು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಉತ್ತರಿಸಬಲ್ಲಿರಾ?

$ \begin{aligned} 10^{8} \div 10^{3} & =10^{8-3}=10^{5} \\ 7^{9} \div 7^{6} & =7 \\ a^{8} \div a^{5} & =a \end{aligned} $

ಶೂನ್ಯೇತರ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು $b$ ಮತ್ತು $c$ ಗೆ,

$ \begin{aligned} & b^{10} \div b^{5}=b^{\square} \\ & c^{100} \div c^{90}=c^{\square} \end{aligned} $

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯೇತರ ಪೂರ್ಣಾಂಕ $a$ ಗೆ,

$ a^{m} \div a^{n}=a^{m-n} $

ಇಲ್ಲಿ $m$ ಮತ್ತು $n$ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು $m>n$.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಇವುಗಳನ್ನು

ಸರಳೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ: ಉದಾ.,$11^6 \div 11^2=11^4$

(i) $2^9 \div 2^3\qquad$ (ii) $10^8 \div 10^4$

(iii) $9^{11}\div 9^7\qquad$ (iv) $20^{15} \div 20^{13}$

(v) $7^{13} \div 7^{10}$

11.3.3 ಘಾತದ ಘಾತ

ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

$(2^{3})^{2} ;(3^{2})^{4}$ ಸರಳೀಕರಿಸಿ

ಈಗ, $(2^{3})^{2}$ ಎಂದರೆ $2^{3}$ ಅನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ತನ್ನಿಂದಲೇ ಗುಣಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಹೀಗೆ: $ \begin{aligned} (2^{3})^{2} & =2^{3} \times 2^{3} \\ & =2^{3+3}(\text{ ಏಕೆಂದರೆ } a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}) \\ & =2^{6}=2^{3 \times 2} \end{aligned} $

ಹೀಗೆ: $(2^{3})^{2}=2^{3 \times 2}$

ಅದೇ ರೀತಿ: $ \begin{aligned} (3^{2})^{4} & =3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2} \\ & =3^{2+2+2+2} \\ & =3^{8}(\text{ ಗಮನಿಸಿ } 8 \text{ ಎಂಬುದು 2 ಮತ್ತು 4 ರ ಗುಣಲಬ್ಧ }) . \\ & =3^{2 \times 4} \end{aligned} $

$(7^{2})^{10}$ ಎಷ್ಟಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ?

ಹೀಗೆ: $ \begin{aligned} (2^{3})^{2} & =2^{3 \times 2}=2^{6} \\ (3^{2})^{4} & =3^{2 \times 4}=3^{8} \\ & =7^{2 \times 10}=7^{20} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} (a^{2})^{3} & =a^{2 \times 3}=a^{6} \\ & =a^{m \times 3}=a^{3 m} \end{aligned} $

ಇದರಿಂದ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯೇತರ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ‘$a$’ ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ ‘$m$’ ಮತ್ತು ‘$n$’ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು,

$ (a^{m})^{n}=a^{m n} $

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಇವುಗಳನ್ನು

ಸರಳೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಘಾತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ:

(i) $(6^{2})^{4}\qquad$ (ii) $(2^{2})^{100}$

(iii) $(7^{50})^{2}\qquad$ (iv) $(5^{3})^{7}$

ಉದಾಹರಣೆ 7 ಯಾವುದು ಹೆಚ್ಚು ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ $(5^{2}) \times 3$ ಅಥವಾ $(5^{2})^{3}$?

ಪರಿಹಾರ

$(5^{2}) \times 3$ ಎಂದರೆ $5^{2}$ ಅನ್ನು 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಂದರೆ $5 \times 5 \times 3=75$

ಆದರೆ $(5^{2})^{3}$ ಎಂದರೆ $5^{2}$ ಅನ್ನು ಮೂರು ಬಾರಿ ತನ್ನಿಂದಲೇ ಗುಣಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಂದರೆ,

$ 5^{2} \times 5^{2} \times 5^{2}=5^{6}=15,625 $

ಆದ್ದರಿಂದ: $ (5^{2})^{3}>(5^{2}) \times 3 $

11.3.4 ಒಂದೇ ಘಾತಾಂಕಗಳಿರುವ ಘಾತಗಳ ಗುಣಾಕಾರ

$2^{3} \times 3^{3}$ ಸರಳೀಕರಿಸಬಲ್ಲಿರಾ? ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪದಗಳು $2^{3}$ ಮತ್ತು $3^{3}$ ಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಆಧಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದರೆ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ.

ಈಗ,

$ \begin{aligned} 2^{3} \times 3^{3} & =(2 \times 2 \times 2) \times(3 \times 3 \times 3) \\ & =(2 \times 3) \times(2 \times 3) \times(2 \times 3) \\ & =6 \times 6 \times 6 \\ & =6^{3} \quad(\text{ ಗಮನಿಸಿ } 6 \text{ ಎಂಬುದು ಆಧಾರಗಳು 2 ಮತ್ತು 3 ರ ಗುಣಲಬ್ಧ }) \\ & =(4 \times 4 \times 4 \times 4) \times(3 \times 3 \times 3 \times 3) \\ & =(4 \times 3) \times(4 \times 3) \times(4 \times 3) \times(4 \times 3) \\ & =12 \times 12 \times 12 \times 12 \end{aligned} $

$4^{4} \times 3^{4}$ ಪರಿಗಣಿಸಿ

$ =12^{4} $

$3^{2} \times a^{2}$ ಕೂಡ ಪರಿಗಣಿಸಿ

$ \begin{aligned} & =(3 \times 3) \times(a \times a) \\ & =(3 \times a) \times(3 \times a) \\ & =(3 \times a)^{2} \\ & =(3 a)^{2} \quad(\text{ ಗಮನಿಸಿ: } 3 \times a=3 a) \\ & =(a \times a \times a \times a) \times(b \times b \times b \times b) \\ & =(a \times b) \times(a \times b) \times(a \times b) \times(a \times b) \\ & =(a \times b)^{4} \\ & =(a b)^{4} \quad(\text{ ಗಮನಿಸಿ } a \times b=a b) \end{aligned} $

$ \text{ ಅದೇ ರೀತಿ, } a^{4} \times b^{4}=(a \times a \times a \times a) \times(b \times b \times b \times b) $

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯೇತರ ಪೂರ್ಣಾಂಕ $a$ ಗೆ

$ a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m} \quad \text{ (ಇಲ್ಲಿ } m \text{ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ) } $

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಇವುಗಳನ್ನು

$a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}$ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೇರೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ:

(i) $4^{3} \times 2^{3}$ (ii) $2^{5} \times b^{5}$

(iii) $a^{2} \times t^{2}$

(iv) $5^{6} \times(-2)^{6}$

(v) $(-2)^{4} \times(-3)^{4}$

ಉದಾಹರಣೆ 8 ಕೆಳಗಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಘಾತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ:

(i) $(2 \times 3)^{5}$

(ii) $(2 a)^{4}$

(iii) $(-4 m)^{3}$

ಪರಿಹಾರ

(i)

$ \begin{aligned} (2 \times 3)^{5} & =(2 \times 3) \