३.१ प्रातिनिधिक मूल्ये

तुम्ही ‘सरासरी’ या शब्दाबद्दल नक्कीच ऐकले असेल आणि तुमच्या दैनंदिन जीवनात ‘सरासरी’ या शब्दाचा समावेश असलेली विधाने तुमच्या नजरेस आली असतील:

• इशा दररोज सरासरी सुमारे ५ तास तिच्या अभ्यासासाठी घालवते.
• या वर्षाच्या या काळात सरासरी तापमान सुमारे ४० अंश सेल्सिअस असते.
• माझ्या वर्गातील विद्यार्थ्यांचे सरासरी वय १२ वर्षे आहे.
• अंतिम परीक्षेदरम्यान शाळेतील विद्यार्थ्यांची सरासरी उपस्थिती ९८ टक्के होती.

अशी अनेक विधाने असू शकतात. वरील विधानांबद्दल विचार करा.

तुम्हाला वाटते का की पहिल्या विधानातील मूल दररोज नक्की ५ तास अभ्यास करते?

किंवा, त्या विशिष्ट वेळी त्या ठिकाणचे तापमान नेहमीच ४० अंश असते का?

किंवा, त्या वर्गातील प्रत्येक विद्यार्थ्याचे वय १२ वर्षे आहे का? स्पष्टच आहे की नाही.

मग ही विधाने तुम्हाला काय सांगतात?

सरासरी म्हणजे आपल्याला समजते की इशा साधारणपणे ५ तास अभ्यास करते. काही दिवशी ती कमी तास अभ्यास करू शकते आणि इतर दिवशी ती जास्त काळ अभ्यास करू शकते.

त्याचप्रमाणे, ४० अंश सेल्सिअसचे सरासरी तापमान म्हणजे, बऱ्याचदा, या वर्षाच्या या काळात तापमान सुमारे ४० अंश सेल्सिअस असते. कधीकधी, ते ४० अंश सेल्सिअसपेक्षा कमी असू शकते आणि इतर वेळी, ते $40^{\circ} C$ पेक्षा जास्त असू शकते.

अशाप्रकारे, आपल्याला समजते की सरासरी ही एक अशी संख्या आहे जी निरीक्षणांच्या किंवा डेटाच्या गटाची केंद्रीय प्रवृत्ती दर्शवते किंवा दाखवते. सरासरी दिलेल्या डेटाच्या सर्वोच्च आणि सर्वात कमी मूल्याच्या दरम्यान असल्याने, आपण असे म्हणतो की सरासरी हे डेटाच्या गटाच्या केंद्रीय प्रवृत्तीचे माप आहे. डेटाच्या विविध स्वरूपांना त्याचे वर्णन करण्यासाठी प्रातिनिधिक किंवा केंद्रीय मूल्याच्या विविध स्वरूपांची आवश्यकता असते. यापैकी एक प्रातिनिधिक मूल्य म्हणजे “अंकगणितीय मध्य”. या प्रकरणाच्या नंतरच्या भागात तुम्ही इतर प्रातिनिधिक मूल्यांबद्दल शिकाल.

३.२ अंकगणितीय मध्य

डेटाच्या गटाचे सर्वात सामान्य प्रातिनिधिक मूल्य म्हणजे अंकगणितीय मध्य किंवा मध्य. हे चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी, खालील उदाहरण पाहू:

दोन भांड्यांमध्ये अनुक्रमे २० लिटर आणि ६० लिटर दूध आहे. जर दोघेही दूध समान प्रमाणात वाटून घेतले तर प्रत्येक भांड्यात किती प्रमाणात दूध असेल? जेव्हा आपण हा प्रश्न विचारतो, तेव्हा आपण अंकगणितीय मध्य शोधत असतो.

वरील प्रकरणात, सरासरी किंवा अंकगणितीय मध्य असेल

$ \frac{\text{ दुधाचे एकूण प्रमाण }}{\text{ भांड्यांची संख्या }}=\frac{20+60}{2} \text{ लिटर }=40 \text{ लिटर. } $

अशाप्रकारे, प्रत्येक भांड्यात ४० लिटर दूध असेल.

सरासरी किंवा अंकगणितीय मध्य (A.M.) किंवा फक्त मध्य याची व्याख्या खालीलप्रमाणे केली जाते:

$ \text{ मध्य }=\frac{\text{ सर्व निरीक्षणांची बेरीज }}{\text{ निरीक्षणांची संख्या }} $

ही उदाहरणे विचारात घ्या.

उदाहरण १ आशिष तीन सलग दिवस अनुक्रमे ४ तास, ५ तास आणि ३ तास अभ्यास करतो. तो दररोज सरासरी किती तास अभ्यास करतो?

उकल

आशिषचा सरासरी अभ्यासाचा काळ असेल

$ \frac{\text{ अभ्यासाच्या एकूण तासांची संख्या }}{\text{ ज्या दिवसांसाठी त्याने अभ्यास केला }}=\frac{4+5+3}{3} \text{ तास }=4 \text{ तास प्रतिदिन } $

अशाप्रकारे, आपण असे म्हणू शकतो की आशिष सरासरी दररोज ४ तास अभ्यास करतो.

उदाहरण २ एका फलंदाजाने सहा डावांमध्ये खालील धावा केल्या:

$ 36,35,50,46,60,55 $

त्याने एका डावात केलेल्या सरासरी धावा काढा.

उकल

एकूण धावा $=36+35+50+46+60+55=282$.

मध्य शोधण्यासाठी, आपण सर्व निरीक्षणांची बेरीज काढतो आणि ती निरीक्षणांच्या संख्येने भागतो.

म्हणून, या प्रकरणात, मध्य $=\frac{282}{6}=47$. अशाप्रकारे, एका डावात सरासरी धावा ४७ आहेत.

अंकगणितीय मध्य कुठे असते

हे करून पाहा

तुम्ही संपूर्ण आठवड्यासाठी तुमच्या अभ्यासाच्या तासांची सरासरी कशी काढाल?

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

वरील उदाहरणांतील डेटा आणि खालील गोष्टींवर विचार करा:

• मध्य प्रत्येक निरीक्षणापेक्षा मोठे आहे का?
• ते प्रत्येक निरीक्षणापेक्षा लहान आहे का?

तुमच्या मित्रांशी चर्चा करा. या प्रकारचे आणखी एक उदाहरण तयार करा आणि तेच प्रश्नांची उत्तरे द्या.

तुम्हाला असे आढळेल की मध्य सर्वात मोठ्या आणि सर्वात लहान निरीक्षणांच्या दरम्यान असते.

विशेषतः, दोन संख्यांचा मध्य नेहमीच त्या दोन संख्यांच्या दरम्यान असतो. उदाहरणार्थ ५ आणि ११ चा मध्य $\frac{5+11}{2}=8$ आहे, जो ५ आणि ११ च्या दरम्यान असतो.

तुम्ही ही कल्पना वापरून दाखवू शकता की कोणत्याही दोन अपूर्णांक संख्यांच्या दरम्यान, तुम्हाला जितक्या अपूर्णांक संख्या हव्या तितक्या शोधू शकता. उदाहरणार्थ $\frac{1}{2}$ आणि $\frac{1}{4}$ च्या दरम्यान त्यांची सरासरी $\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{2}=\frac{3}{8}$ आहे आणि नंतर $\frac{1}{2}$ आणि $\frac{3}{8}$ च्या दरम्यान, त्यांची सरासरी $\frac{7}{16}$ आहे आणि असेच चालू राहते.

हे करून पाहा

१. एका आठवड्यात तुमच्या झोपेच्या तासांचा मध्य काढा.

२. $\frac{1}{2}$ आणि $\frac{1}{3}$ च्या दरम्यान किमान ५ संख्या शोधा.

३.२.१ विस्तार

सर्वोच्च आणि सर्वात कमी निरीक्षणातील फरक आपल्याला निरीक्षणांच्या प्रसाराची कल्पना देतो. हे सर्वात कमी निरीक्षणाला सर्वोच्च निरीक्षणातून वजा करून शोधता येते. आपण या निकालाला निरीक्षणांचा विस्तार म्हणतो. खालील उदाहरण पाहा:

उदाहरण ३ एका शाळेतील १० शिक्षकांचे वय (वर्षांमध्ये) आहे:

$ 32,41,28,54,35,26,23,33,38,40 $

(i) सर्वात वयस्कर शिक्षकाचे वय आणि सर्वात तरुण शिक्षकाचे वय किती आहे?

(ii) शिक्षकांच्या वयाचा विस्तार किती आहे?

(iii) या शिक्षकांचे सरासरी वय किती आहे?

उकल

(i) वय चढत्या क्रमाने मांडल्यास, आपल्याला मिळते:

$23,26,28,32,33,35,38,40,41,54$

आपल्याला आढळते की सर्वात वयस्कर शिक्षकाचे वय ५४ वर्षे आहे आणि सर्वात तरुण शिक्षकाचे वय २३ वर्षे आहे.

(ii) शिक्षकांच्या वयाचा विस्तार $=(54-23)$ वर्षे $=31$ वर्षे

(iii) शिक्षकांचे सरासरी वय

$=\frac{23+26+28+32+33+35+38+40+41+54}{10}$ वर्षे

$=\frac{350}{10}$ वर्षे $=35$ वर्षे

उदाहरणे ३.१

१. तुमच्या वर्गातील कोणत्याही दहा विद्यार्थ्यांच्या उंचीचा विस्तार शोधा.

२. वर्ग मूल्यांकनातील खालील गुण सारणीबद्ध स्वरूपात मांडा.

$ 4,6,7,5,3,5,4,5,2,6,2,5,1,9,6,5,8,4,6,7 $

(i) कोणती संख्या सर्वोच्च आहे?

(ii) कोणती संख्या सर्वात कमी आहे?

(iii) डेटाचा विस्तार किती आहे?

(iv) अंकगणितीय मध्य शोधा.

३. पहिल्या पाच पूर्ण संख्यांचा मध्य शोधा.

४. एका क्रिकेट खेळाडूने आठ डावांमध्ये खालील धावा केल्या:

$ 58,76,40,35,46,45,0,100 . $

सरासरी धावा शोधा.

५. खालील सारणी प्रत्येक खेळाडूने चार सामन्यांमध्ये केलेले गुण दर्शवते:

आता खालील प्रश्नांची उत्तरे द्या:

(i) A चा प्रति सामना सरासरी गुणसंख्या शोधण्यासाठी मध्य काढा.

(ii) $C$ साठी प्रति सामना सरासरी गुणसंख्या शोधण्यासाठी, तुम्ही एकूण गुणांना ३ ने भागाल की ४ ने? का?

(iii) B सर्व चार सामन्यांमध्ये खेळला. तुम्ही मध्य कसा काढाल?

(iv) सर्वोत्तम कामगिरी कोणाची आहे?

६. विज्ञान चाचणीत विद्यार्थ्यांच्या गटाने मिळवलेले गुण (१०० पैकी) ८५, ७६, $90,85,39,48,56,95,81$ आणि ७५ आहेत. शोधा:

(i) विद्यार्थ्यांनी मिळवलेले सर्वोच्च आणि सर्वात कमी गुण.

(ii) मिळवलेल्या गुणांचा विस्तार.

(iii) गटाने मिळवलेले सरासरी गुण.

७. सलग सहा वर्षांदरम्यान शाळेतील प्रवेश खालीलप्रमाणे होता:

$1555,1670,1750,2013,2540,2820$

या कालावधीसाठी शाळेचा सरासरी प्रवेश शोधा.

८. एका विशिष्ट आठवड्याच्या ७ दिवसांसाठी शहरातील पाऊस ($mm$ मध्ये) खालीलप्रमाणे नोंदवला गेला:

(i) वरील डेटामधील पावसाचा विस्तार शोधा.

(ii) आठवड्यासाठी सरासरी पाऊस शोधा.

(iii) किती दिवसांसाठी पाऊस सरासरी पावसापेक्षा कमी होता.

९. १० मुलींची उंची $~cm$ मध्ये मोजली गेली आणि निकाल खालीलप्रमाणे आहेत: १३५, १५०, १३९, १२८, १५१, १३२, १४६, १४९, १४३, १४१.

(i) सर्वात उंच मुलीची उंची किती आहे?

(ii) सर्वात लहान मुलीची उंची किती आहे?

(iii) डेटाचा विस्तार किती आहे?

(iv) मुलींची सरासरी उंची किती आहे?

(v) किती मुलींची उंची सरासरी उंचीपेक्षा जास्त आहे.

३.३ बहुलक

जसे आपण म्हटले आहे की मध्य हे एकमेव केंद्रीय प्रवृत्तीचे माप किंवा एकमेव प्रातिनिधिक मूल्याचे स्वरूप नाही. डेटामधून विविध आवश्यकतांसाठी, केंद्रीय प्रवृत्तीची इतर मापे वापरली जातात.

खालील उदाहरण पाहा

विविध आकारांच्या शर्टची साप्ताहिक मागणी शोधण्यासाठी, एक दुकानदार $90 ~cm, 95 ~cm, 100 ~cm, 105 ~cm, 110 ~cm$ आकारांच्या शर्टच्या विक्रीची नोंद ठेवतो. एका आठवड्यासाठीची नोंद खालीलप्रमाणे आहे:

जर त्याने विकल्या गेलेल्या शर्टची सरासरी संख्या शोधली, तर तुम्हाला वाटते का की तो कोणता शर्ट आकार स्टॉकमध्ये ठेवायचा हे ठरवू शकेल?

$ \text{ एकूण विकल्या गेलेल्या शर्टची सरासरी }=\frac{\text{ विकल्या गेलेल्या शर्टची एकूण संख्या }}{\text{ शर्टच्या विविध आकारांची संख्या }}=\frac{105}{5}=21 $

त्याने प्रत्येक आकाराचे २१ शर्ट मिळवायला हवेत का? जर तो असे करतो, तर तो ग्राहकांच्या गरजा पूर्ण करू शकेल का?

दुकानदार, नोंद पाहून, $95 ~cm$, $100 ~cm, 105 ~cm$ आकाराचे शर्ट खरेदी करण्याचा निर्णय घेतो. इतर आकारांच्या शर्टची खरेदी त्यांच्या खरेदीदारांची संख्या कमी असल्याने पुढे ढकलण्याचा निर्णय घेतो.

दुसरे उदाहरण पाहा

रेडीमेड ड्रेस दुकानाची मालकीण म्हणते, “मी विकत असलेल्या ड्रेसचा सर्वात लोकप्रिय आकार म्हणजे $90 ~cm$ आकार.

लक्षात घ्या की येथेही, मालकीण विकल्या गेलेल्या विविध आकारांच्या शर्टच्या संख्येबद्दल काळजी करत आहे. तथापि, ती सर्वात जास्त विकल्या गेलेल्या शर्ट आकाराकडे पाहत आहे. हे डेटासाठीचे आणखी एक प्रातिनिधिक मूल्य आहे. सर्वाधिक वेळा घडणारी घटना म्हणजे $90 ~cm$ आकाराची विक्री. या प्रातिनिधिक मूल्याला डेटाचा बहुलक म्हणतात.

निरीक्षणांच्या संचाचा बहुलक म्हणजे सर्वात जास्त वेळा आढळणारे निरीक्षण.

उदाहरण ४ दिलेल्या संख्यांचा बहुलक शोधा: १, १, २, ४, ३, २, १, २, २, ४

उकल

समान मूल्ये असलेल्या संख्या एकत्र मांडल्यास, आपल्याला मिळते

$ 1,1,1,2,2,2,2,3,4,4 $

या डेटाचा बहुलक २ आहे कारण ते इतर निरीक्षणांपेक्षा अधिक वेळा येते.

३.३.१ मोठ्या डेटाचा बहुलक

निरीक्षणांची संख्या मोठी असल्यास समान निरीक्षणे एकत्र ठेवून त्यांची गणना करणे सोपे नसते. अशा प्रकरणांमध्ये आपण डेटाचे सारणीकरण करतो. तुम्ही मागील वर्गात केल्याप्रमाणे, तालिका चिन्हे ठेवून आणि वारंवारता शोधून सारणीकरण सुरू करता येते. खालील उदाहरण पाहा:

उदाहरण ५ लीगच्या फुटबॉल सामन्यांमध्ये विजयाचे फरक खालीलप्रमाणे आहेत.

$ \begin{aligned} & 1,3,2,5,1,4,6,2,5,2,2,2,4,1,2,3,1,1,2,3,2 \\ & 6,4,3,2,1,1,4,2,1,5,3,3,2,3,2,4,2,1,2 \end{aligned} $

या डेटाचा बहुलक शोधा.

उकल

चला डेटा सारणी स्वरूपात ठेवूया:

सारणी पाहता, आपण पटकन म्हणू शकतो की २ हा ‘बहुलक’ आहे कारण २ सर्वाधिक वेळा आला आहे. अशाप्रकारे, बहुतेक सामने २ गोलांच्या विजय फरकाने जिंकले गेले आहेत.

हे करून पाहा

बहुलक शोधा

(i) $2,6,5,3,0,3,4,3,2,4,5$, 2,4

(ii) $2,14,16,12,14,14,16$, $14,10,14,18,14$

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

संख्यांच्या संचाला एकापेक्षा जास्त बहुलक असू शकतात का?

उदाहरण ६ संख्यांचा बहुलक शोधा: २, २, २, ३, ३, ४, ५, ५, ५, ६, ६, ८

उकल

येथे, २ आणि ५ दोन्ही तीन वेळा येतात. म्हणून, ते दोन्ही डेटाचे बहुलक आहेत.

हे करा

१. तुमच्या सर्व वर्गमित्रांचे वय (वर्षांमध्ये) नोंदवा. डेटाचे सारणीकरण करा आणि बहुलक शोधा.

२. तुमच्या वर्गमित्रांची उंची सेंटीमीटरमध्ये नोंदवा आणि बहुलक शोधा.

हे करून पाहा

१. खालील डेटाचा बहुलक शोधा:

$12,14,12,16,15,13,14,18,19,12,14,15,16,15,16,16,15$,

$17,13,16,16,15,15,13,15,17,15,14,15,13,15,14$

२. २५ मुलांची उंची ($~cm$ मध्ये) खालीलप्रमाणे दिली आहे:

$168,165,163,160,163,161,162,164,163,162,164,163,160,163,160$,

$165,163,162,163,164,163,160,165,163,162$

त्यांच्या उंचीचा बहुलक काय आहे? येथे बहुलकद्वारे आपल्याला काय समजते?

मध्य आपल्याला डेटाच्या सर्व निरीक्षणांची सरासरी देतो, तर बहुलक आपल्याला ते निरीक्षण देतो जे डेटामध्ये सर्वात जास्त वेळा येते.

चला खालील उदाहरणे विचारात घेऊ:

(a) मेजवानीसाठी बोलावलेल्या २५ लोकांसाठी आवश्यक असलेल्या चपात्यांची संख्या ठरवायची आहे.

(b) शर्ट विकणाऱ्या दुकानदाराने तिचा स्टॉक पुन्हा भरण्याचा निर्णय घेतला आहे.

(c) आपल्या घरात आवश्यक असलेल्या दरवाजाची उंची शोधायची आहे.

(d) पिकनिकवर जाताना, जर प्रत्येकासाठी फक्त एक फळ विकत घेता येते, तर आपण कोणते फळ घेऊ.

या परिस्थितींपैकी कोणत्या परिस्थितीत आपण बहुलकाचा चांगला अंदाज म्हणून वापर करू शकतो?

पहिले विधान विचारात घ्या. समजा प्रत्येक व्यक्तीला आवश्यक असलेल्या चपात्यांची संख्या

आहे: $2,3,2,3,2,1,2,3,2,2,4,2,2,3,2,4,4,2,3,2,4,2,4,3,5$

डेटाचा बहुलक २ चपात्या आहे. जर आपण या डेटासाठी प्रातिनिधिक मूल्य म्हणून बहुलक वापरतो, तर आपल्याला फक्त ५० चपात्या आवश्यक आहेत, २५ व्यक्तींपैकी प्रत्येकासाठी २. तथापि एकूण संख्या स्पष्टपणे अपुरी असेल. मध्य हे योग्य प्रातिनिधिक मूल्य असेल का?

तिसऱ्या विधानासाठी दरवाजाची उंची त्या दरवाजाचा वापर करणाऱ्या व्यक्तींच्या उंचीशी संबंधित आहे. समजा त्या दरवाजाचा वापर करणारे ५ मुले आणि ४ प्रौढ आहेत आणि ५ मुलांपैकी प्रत्येकाची उंची सुमारे १३५ $~cm$ आहे. उंचीचा बहुलक $135 ~cm$ आहे. आपण $144 ~cm$ उंचीचा दरवाजा घ्यायला हवा का? त्या दरवाजातून सर्व प्रौढ जाऊ शकतील का? हे स्पष्ट आहे की बहुलक हे या डेटासाठी योग्य प्रातिनिधिक मूल्य नाही. येथे मध्य हे योग्य प्रातिनिधिक मूल्य असेल का?

का नाही? दरवाजाची उंची ठरवण्यासाठी उंचीचे कोणते प्रातिनिधिक मूल्य वापरले पाहिजे?

त्याचप्रमाणे उर्वरित विधानांचे विश्लेषण करा आणि त्या समस्येसाठी उपयुक्त असलेले प्रातिनिधिक मूल्य शोधा.

हे करून पाहा

तुमच्या मित्रांशी चर्चा करा आणि द्या

(a) दोन अशा परिस्थिती जेथे मध्य वापरण्यासाठी योग्य प्रातिनिधिक मूल्य असेल, आणि

(b) दोन अशा परिस्थिती जेथे बहुलक वापरण्यासाठी योग्य प्रातिनिधिक मूल्य असेल.

३.४ मध्यक

आपण पाहिले आहे की काही परिस्थितीत, अंकगणितीय मध्य हे केंद्रीय प्रवृत्तीचे योग्य माप असते तर काही इतर परिस्थितीत, बहुलक हे केंद्रीय प्रवृत्तीचे योग्य माप असते.

चला आता दुसरे उदाहरण पाहू. १७ विद्यार्थ्यांचा गट विचारात घ्या ज्यांची उंची (सेमी मध्ये) खालीलप्रमाणे आहे: १०६, ११०, १२३, १२५, ११७, १२०, ११२, ११५, ११०, १२०, ११५, १०२, ११५, ११५, १०९, ११५, १०१.

खेळ शिक्षक वर्गाचे दोन गटांमध्ये विभाजन करू इच्छितात जेणेकरून प्रत्येक गटात समान संख्येने विद्यार्थी असतील, एका गटात विद्यार्थ्यांची उंची एका विशिष्ट उंचीपेक्षा कमी असेल आणि दुसऱ्या गटात विद्यार्थ्यांची उंची त्या विशिष्ट उंचीपेक्षा जास्त असेल. ती ते कसे करेल?

तील पर्याय पाहू:

(i) ती मध्य शोधू शकते. मध्य आहे

$ \begin{aligned} & \frac{106+110+123+125+117+120+112+115+110+120+115+102+115+115+109+115+101}{17} \\ & =\frac{1930}{17}=113.5 \end{aligned} $

म्हणून, जर शिक्षक विद्यार्थ्यांना या सरासरी उंचीच्या आधारे दोन गटांमध्ये विभागत असेल, जसे की एका गटात विद्यार्थ्यांची उंची सरासरी उंचीपेक्षा कमी असेल आणि दुसऱ्या गटात विद्यार्थ्यांची उंची सरासरी उंचीपेक्षा जास्त असेल, तर गट असमान आकाराचे असतील. त्यांच्याकडे अनुक्रमे ७ आणि १० सदस्य असतील.

(ii) तिच्यासाठी दुसरा पर्याय म्हणजे बहुलक शोधणे. सर्वाधिक वारंवारता असलेले निरीक्षण $115 ~cm$ आहे, जे बहुलक म्हणून घेतले जाईल.

बहुलकापेक्षा कमी ७ मुले आहेत आणि बहुलकावर आणि बहुलकापेक्षा जास्त १० मुले आहेत. म्हणून, आपण गटाचे समान भागांमध्ये विभाजन करू शकत नाही.

म्हणून चला केंद्रीय प्रवृत्तीचे पर्यायी प्रातिनिधिक मूल्य किंवा माप विचारात घेऊ. हे करण्यासाठी आपण पुन्हा