3.1 பிரதிநிதித்துவ மதிப்புகள்

உங்களுக்கு சராசரி என்ற சொல் பற்றி அறிவீர்கள். உங்கள் அன்றாட வாழ்க்கையில் சராசரி என்ற சொல்லை உள்ளடக்கிய வாக்கியங்களை நீங்கள் எதிர்காலத்தில் எழுதியிருக்கலாம்:

• இஷா அவர்கள் படிப்புகளுக்காக ஒரு நாளுக்கு சுமார் 5 மணி நேரத்தை சராசரியாக செலவிடுகிறார்கள்.
• இந்த ஆண்டின் இந்த நேரத்தில் வடிவேலும் சராசரி வெப்பநிலை சுமார் 40 டிகிரி செல்சியசிறு.
• எனது வகுப்பில் உள்ள மாணவர்களின் சராசரி வயது 12 வயதாகும்.
• ஒரு பள்ளியின் இறுதி பரீட்சையின் போது மாணவர்களின் சராசரி வருகை 98 சதவீதமாக இருந்தது.

இத்தகைய வாக்கியங்கள் மிகவும் பல இருக்கலாம். மேற்கூறிய வாக்கியங்களைப் பற்றி சிந்தியுங்கள்.

முதல் வாக்கியத்தில் உள்ள குழந்தை ஒரு நாளுக்கு சரியாக 5 மணி நேரம் படிக்கிறாளா?

அல்லது, அந்த சமயத்தில் அந்த இடத்தின் வெப்பநிலை எப்போதும் 40 டிகிரி செல்சியசிறு?

அல்லது, அந்த வகுப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு மாணவரின் வயதும் 12 வயதாகுமா? அது அந்த சொற்பொருள் அல்ல.

ஆனால் இந்த சராசரி என்பது என்ன சொல்கிறது?

சராசரி என்பது என்பதை நாம் புரிந்துகொள்கிறோம் என்பது இஷா பொதுவாக 5 மணி நேரம் படிக்கிறாள். சில நாட்களில் அவள் குறைந்த மணி நேரத்திற்கு படிக்கலாம் மற்றும் மற்றும் மற்ற நாட்களில் அவள் அதிகமாக படிக்கலாம்.

அதே வகையில், 40 டிகிரி செல்சியசிறு என்ற சராசரி வெப்பநிலை என்பது இந்த ஆண்டின் இந்த நேரத்தில் வெப்பநிலை பொதுவாக 40 டிகிரி செல்சியசிறு ஆகும். சில நேரங்களில், அது 40 டிகிரி செல்சியசிறு குறைவாக இருக்கலாம் மற்றும் மற்ற நேரங்களில் 40 டிகிரி செல்சியசிறு மேலாக இருக்கலாம்.

எனவே, நாம் புரிந்துகொள்கிறோம் என்பது சராசரி என்பது ஒரு எண் ஆகும் அது ஒரு குழு பரிசோதனைகள் அல்லது தரவுகளின் மைய முனைவை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறது அல்லது காட்டுகிறது. சராசரி என்பது அதிகபட்ச மதிப்பு மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்பின் இடையே இருப்பதால், நாம் சராசரி என்பதை குழு தரவின் மைய முனைவின் ஒரு அளவீடாக சொல்கிறோம். வெவ்வேறு வகையான தரவுகளுக்கு அவையை விளக்கும் ஒரு வகையான பிரதிநிதித்துவ அல்லது மைய மதிப்பு தேவைப்படுகிறது. இந்த பிரதிநிதித்துவ மதிப்புகளில் ஒன்று “கணக்கீட்டு சராசரி” ஆகும். இந்த அத்தியாயத்தின் பின்னால் நீங்கள் மற்ற பிரதிநிதித்துவ மதிப்புகளையும் படிக்கலாம்.

3.2 கணக்கீட்டு சராசரி

ஒரு குழு தரவின் மிகவும் பொதுவான பிரதிநிதித்துவ மதிப்பு கணக்கீட்டு சராசரி அல்லது சராசரி ஆகும். இதை சிறப்பாக புரிந்துகொள்ள, பின்வரும் உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

இரண்டு பாம்புகளில் இறைச்சி இருக்கிறது 20 லிட்டர் மற்றும் 60 லிட்டர் ஆகும். இரண்டும் சமமாக இறைச்சியை பகிர்ந்தால், ஒவ்வொரு பாம்புக்கும் எவ்வளவு இறைச்சி இருக்கும்? இந்த வினாடி வினாவை அமைதியாக கேட்பதால் நாம் கணக்கீட்டு சராசரியை பெற விரும்புகிறோம்.

மேற்கூறிய சம்பவத்தில், சராசரி அல்லது கணக்கீட்டு சராசரி என்பது

$ \frac{\text{ மொத்த இறைச்சி அளவு }}{\text{ பாம்புகளின் எண்ணிக்கை }}=\frac{20+60}{2} \text{ லிட்டர்கள் }=40 \text{ லிட்டர்கள். } $

எனவே, ஒவ்வொரு பாம்புக்கும் 40 லிட்டர் இறைச்சி இருக்கும்.

சராசரி அல்லது கணக்கீட்டு சராசரி (A.M.) அல்லது சராசரி என்பது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$ \text{ சராசரி }=\frac{\text{ அனைத்து பரிசோதனைகளின் கூட்டல் }}{\text{ பரிசோதனைகளின் எண்ணிக்கை }} $

இந்த உதாரணங்களைக் கவனியுங்கள்.

உதாரணம் 1 அசிஷ் மூன்று நேரடியான நாட்களில் இப்படி படிக்கிறார்: 4 மணி, 5 மணி மற்றும் 3 மணி. அவர் ஒரு நாளில் சராசரியாக எத்தனை மணி நேரம் படிக்கிறார்?

தீர்வு

அசிஷின் சராசரி படிப்பு நேரம் என்பது

$ \frac{\text{ படிப்பு நேரம் மொத்தம் }}{\text{ அவர் படித்த நாட்களின் எண்ணிக்கை }}=\frac{4+5+3}{3} \text{ மணி }=4 \text{ மணி நேரம் ஒரு நாளில் } $

எனவே, நாம் சொல்லலாம் என்பது அசிஷ் ஒரு நாளில் சராசரியாக 4 மணி நேரம் படிக்கிறார்.

உதாரணம் 2 ஒரு பிரிக்கெட் வீரர் ஆறு இன்சைன்களில் இப்படி இன்களை எட்டினார்:

$ 36,35,50,46,60,55 $

அவர் ஒரு இன்சைனில் சராசரியாக எத்தனை இன்களை எட்டினார்?

தீர்வு

மொத்த இன்கள் $=36+35+50+46+60+55=282$.

சராசரியைக் கணக்கிட, நாம் அனைத்து பரிசோதனைகளின் கூட்டலையும் கணக்கிட்டு அதை பரிசோதனைகளின் எண்ணிக்கையுடன் வகுப்போம்.

எனவே, இந்த சம்பவத்தில், சராசரி $=\frac{282}{6}=47$. எனவே, ஒரு இன்சைனில் எடுத்த சராசரி இன்கள் 47 ஆகும்.

கணக்கீட்டு சராசரி எங்கே இருக்கிறது

இதை முயற்சிக்கவும்

நீங்கள் ஒரு வாரத்திற்கான உங்கள் படிப்பு மணி நேரத்தின் சராசரியை எவ்வாறு கணக்கிடுவீர்கள்?

சிந்தியுங்கள், விவாதிக்கவும் எழுதுங்கள்

மேற்கூறிய உதாரணங்களில் உள்ள தரவைக் கவனித்து பின்வருமாறு சிந்தியுங்கள்:

• சராசரி ஒவ்வொரு பரிசோதனைக்கும் அதிகமாக இருக்கிறதா?
• அது ஒவ்வொரு பரிசோதனைக்கும் குறைவாக இருக்கிறதா?

உங்கள் நண்பர்களுடன் விவாதித்துக் கொள்ளுங்கள். இத்தகைய உதாரணத்திற்கு ஒரு மேலும் உதாரணத்தை உருவாக்கி அதே வினாக்களுக்கு பதிலளிக்கவும்.

நீங்கள் காண்பீர்கள் என்பது சராசரி அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச பரிசோதனைகளுக்கு இடையே இருக்கிறது.

இரண்டு எண்களின் சராசரி எப்போதும் இரண்டு எண்களுக்கு இடையே இருக்கும். உதாரணமாக, 5 மற்றும் 11 இன் சராசரி $\frac{5+11}{2}=8$, அதாவது 5 மற்றும் 11 இடையே இருக்கிறது.

இந்த ஐயத்தைப் பயன்படுத்தி, எந்த இரு பின்மங்கல் எண்களுக்கும் இடையே நீங்கள் எத்தனை பின்மங்கல் எண்களையும் காணலாம் என்பதை நீங்கள் காட்டலாம். உதாரணமாக, $\frac{1}{2}$ மற்றும் $\frac{1}{4}$ இடையே அவற்றின் சராசரி $\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{2}=\frac{3}{8}$ மற்றும் பின்னர் $\frac{1}{2}$ மற்றும் $\frac{3}{8}$ இடையே, அவற்றின் சராசரி $\frac{7}{16}$ மற்றும் அதற்கு மேலும்.

இதை முயற்சிக்கவும்

1. ஒரு வாரத்தில் உங்கள் தூக்க மணி நேரத்தின் சராசரியைக் கணக்கிடுங்கள்.

2. $\frac{1}{2}$ மற்றும் $\frac{1}{3}$ இடையே ஐந்து எண்களைக் கணக்கிடுங்கள்.

3.2.1 வரம்பு

அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச பரிசோதனைகளுக்கு இடையேயான வித்தியாசத்தை பரிசோதனைகளின் விரிவை புரிந்துகொள்ள நாம் காண்போம். இது குறைந்தபட்ச பரிசோதனையை அதிகபட்ச பரிசோதனையிலிருந்து கழித்தலால் காணலாம். நாம் இந்த முடிவை பரிசோதனைகளின் வரம்பாக அழைக்கிறோம். பின்வரும் உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்:

உதாரணம் 3 ஒரு பள்ளியின் 10 ஆசிரியர்களின் வயது (வயதுகள்) இப்படி இருக்கின்றன:

$ 32,41,28,54,35,26,23,33,38,40 $

(i) மிக பழைய ஆசிரியரும் மிக புதுயான ஆசிரியரும் எத்தனை வயதாக இருந்தார்கள்?

(ii) ஆசிரியர்களின் வயதுகளின் வரம்பு என்ன?

(iii) இந்த ஆசிரியர்களின் சராசரி வயது என்ன?

தீர்வு

(i) வயதுகளை ஏறுவர் அடிக்கடி வைத்தால், நாம் காண்கிறோம் என்பது மிக பழைய ஆசிரியர் 54 வயதாக இருந்தார் மற்றும் மிக புதுயான ஆசிரியர் 23 வயதாக இருந்தார்.

(ii) ஆசிரியர்களின் வயதுகளின் வரம்பு $=(54-23)$ வயது $=31$ வயது

(iii) ஆசிரியர்களின் சராசரி வயது

$=\frac{23+26+28+32+33+35+38+40+41+54}{10}$ வயது

$=\frac{350}{10}$ வயது $=35$ வயது

பயிற்சி 3.1

1. உங்கள் வகுப்பில் உள்ள பொதுவாக பதினைந்து மாணவர்களின் உயரத்தின் வரம்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

2. ஒரு வகுப்பு மதிப்பீட்டின் பின்னர் இப்படி மதிப்பெண்களை ஒரு அட்டவணை வடிவில் ஒழுங்கமைக்கவும்.

$ 4,6,7,5,3,5,4,5,2,6,2,5,1,9,6,5,8,4,6,7 $

(i) எத்தனை எண் மிக அதிகமாக இருக்கிறது?

(ii) எத்தனை எண் மிக குறைவாக இருக்கிறது?

(iii) இந்த தரவின் வரம்பு என்ன?

(iv) கணக்கீட்டு சராசரியைக் கணக்கிடுங்கள்.

3. முதல் ஐந்து முழு எண்களின் சராசரியைக் கணக்கிடுங்கள்.

4. ஒரு கிரிக்கெட் வீரர் எட்டு இன்சைன்களில் இப்படி இன்களை எட்டினார்:

$ 58,76,40,35,46,45,0,100 . $

அவர் இன்சைனில் எடுத்த சராசரி மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

5. பின்வரும் அட்டவணை ஒவ்வொரு வீரருக்கும் நான்கு விளையாட்டுகளில் எடுத்த புள்ளிகளைக் காட்டுகிறது:

இப்படி பின்வரும் வினாக்களுக்கு பதிலளிக்கவும்:

(i) A இன்னும் ஒவ்வொரு விளையாட்டிலும் எத்தனை புள்ளிகளை எட்டினார் என்பதை சராசரியாக கணக்கிடுங்கள்.

(ii) $C$ இன்னும் ஒவ்வொரு விளையாட்டிலும் எத்தனை புள்ளிகளை எட்டினார் என்பதைக் கணக்கிட, நீங்கள் மொத்த புள்ளிகளை 3 இல் அல்லது 4 இல் வகுக்கிறீர்களா? ஏன்?

(iii) B நான்கு விளையாட்டுகளிலும் விளையாடினார். நீங்கள் சராசரியை எவ்வாறு கணக்கிடுவீர்கள்?

(iv) யார் மிகவும் சிறந்த செயல்திறன் காட்டியவர்?

6. ஒரு அறிவியல் பரீட்சியில் ஒரு குழு மாணவர்களால் எடுத்த மதிப்பெண்கள் (100 இல்) இப்படி இருக்கின்றன: 85, 76, $90,85,39,48,56,95,81$ மற்றும் 75. கணக்கிடுங்கள்:

(i) மாணவர்களால் எடுத்த மிக அதிகமான மற்றும் மிக குறைவான மதிப்பெண்கள்.

(ii) எடுத்த மதிப்பெண்களின் வரம்பு.

(iii) குழுவால் எடுத்த சராசரி மதிப்பெண்.

7. ஆண்டுகளின் பின்னர் ஒரு பள்ளியில் பதிவு செய்யப்பட்ட மாணவர்களின் எண்ணிக்கை இப்படி இருக்கின்றன:

$1555,1670,1750,2013,2540,2820$

இந்தக் காலகட்டத்திற்கான பள்ளியின் சராசரி பதிவு செய்தலைக் கணக்கிடுங்கள்.

8. ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நாளில் ஒரு நா