৩.১ ভূমিকা

ৰমেশৰ ওচৰত ৬টা গুটি আছে। তেওঁ সেইবোৰ এনে ধৰণে শাৰীত সজাব বিচাৰে যাতে প্ৰতিটো শাৰীত গুটিসমূহৰ সংখ্যা একে হয়। তেওঁ তলত দিয়া ধৰণে সজাই মুঠ গুটিসমূহৰ সংখ্যা মিলাই চায়।

(i) প্ৰতিটো শাৰীত ১টা গুটি

শাৰীৰ সংখ্যা $=6$

গুটিসমূহৰ মুঠ সংখ্যা $\quad=1 \times 6=6$

(ii) প্ৰতিটো শাৰীত ২টা গুটি শাৰীৰ সংখ্যা $=3$

গুটিসমূহৰ মুঠ সংখ্যা $\quad=2 \times 3=6$

(iii) প্ৰতিটো শাৰীত ৩টা গুটি

শাৰীৰ সংখ্যা $\quad=2$

গুটিসমূহৰ মুঠ সংখ্যা $\quad=3 \times 2=6$

(iv) তেওঁ এনে কোনো বিন্যাস ভাবিব পৰা নাছিল য’ত প্ৰতিটো শাৰীত ৪টা বা ৫টা গুটি থাকে। গতিকে, বাকী থকা একমাত্ৰ সম্ভাব্য বিন্যাসটো আছিল ৬টা গুটিকে একে শাৰীত ৰাখি।

শাৰীৰ সংখ্যা $\quad=1$

গুটিসমূহৰ মুঠ সংখ্যা $=6 \times 1=6$

এই গণনাবোৰৰ পৰা ৰমেশে লক্ষ্য কৰে যে ৬ ক দুটা সংখ্যাৰ গুণফল হিচাপে বিভিন্ন ধৰণে লিখিব পাৰি

$ 6=1 \times 6 ; \quad 6=2 \times 3 ; \quad 6=3 \times 2 ; \quad 6=6 \times 1 $

$6=2 \times 3$ ৰ পৰা ক’ব পাৰি যে ২ আৰু ৩ ৰে ৬ ক নিঃশেষে হৰণ কৰিব পাৰি। গতিকে, ২ আৰু ৩ হৈছে ৬ ৰ নিখুঁত উৎপাদক। আন গুণফল $6=1 \times 6$ ৰ পৰা, ৬ ৰ নিখুঁত উৎপাদকবোৰ ১ আৰু ৬ বুলি পোৱা যায়।

এইদৰে, ১, ২, ৩ আৰু ৬ হৈছে ৬ ৰ নিখুঁত উৎপাদক। এইবোৰক ৬ ৰ উৎপাদক বোলে। ১৮টা গুটি শাৰীত সজাই ১৮ ৰ উৎপাদকবোৰ উলিওৱাৰ চেষ্টা কৰা।

৩.২ উৎপাদক আৰু গুণিতক

মেৰীয়ে সেই সংখ্যাবোৰ বিচাৰিব বিচাৰে যিবোৰে ৪ ক নিখুঁতভাৱে হৰণ কৰিব পাৰে। তেওঁ ৪ ক ৪ তকৈ সৰু সংখ্যাবোৰেৰে তলত দিয়া ধৰণে হৰণ কৰে।

ভাগফল ৪

ভাগশেষ ০

$4 = 1 \times 4$

ভাগফল ২

ভাগশেষ ০

$4 = 2 \times 2$

ভাগফল ১

ভাগশেষ ১

ভাগফল ১

ভাগশেষ ০

$ 4=4 \times 1 $

তেওঁ দেখে যে ৪ সংখ্যাটো এনেদৰে লিখিব পাৰি: $4=1 \times 4 ; 4=2 \times 2$; $4=4 \times 1$ আৰু জানে যে ১,২ আৰু ৪ সংখ্যাকেইটা হৈছে ৪ ৰ নিখুঁত উৎপাদক।

এই সংখ্যাবোৰক ৪ ৰ উৎপাদক বোলে।

এটা সংখ্যাৰ উৎপাদক হৈছে সেই সংখ্যাটোৰ এটা নিখুঁত উৎপাদক।

লক্ষ্য কৰা যে ৪ ৰ প্ৰতিটো উৎপাদক ৪ তকৈ সৰু বা সমান।

খেল-১ : এইটো দুজন ব্যক্তি যেনে A আৰু B ৰ দ্বাৰা খেলিবলগীয়া এটা খেল। ই উৎপাদক চিনাক্ত কৰাৰ বিষয়।

ইয়াক ১ ৰ পৰা ৫০ লৈ ক্ৰমাংকিত ৫০টা কাৰ্ডৰ প্ৰয়োজন।

টেবুলখনত কাৰ্ডবোৰ এনেদৰে সজোৱা।

পদক্ষেপসমূহ

(ক) সিদ্ধান্ত লোৱা কোনে প্ৰথমে খেলিব, A নে B।

(খ) A ক প্ৰথমে খেলিব দিয়া। তেওঁ টেবুলৰ পৰা এটা কাৰ্ড উঠাই লয়, আৰু নিজৰ ওচৰত ৰাখে। ধৰা হওক কাৰ্ডটোত ২৮ সংখ্যাটো আছে।

(গ) তাৰপিছত খেলুৱৈ B এ A ৰ কাৰ্ডটোৰ সংখ্যাটোৰ (অৰ্থাৎ ২৮ ৰ) উৎপাদক হোৱা সংখ্যাযুক্ত সকলো কাৰ্ড উঠাই লয়, আৰু সেইবোৰ নিজৰ ওচৰত এটা থূপ কৰি ৰাখে।

(ঘ) তাৰপিছত খেলুৱৈ B এ টেবুলৰ পৰা এটা কাৰ্ড উঠাই লয় আৰু নিজৰ ওচৰত ৰাখে। বাকী থকা কাৰ্ডবোৰৰ পৰা, A ৱে B ৰ কাৰ্ডটোৰ সংখ্যাটোৰ উৎপাদক হোৱা সংখ্যাযুক্ত সকলো কাৰ্ড উঠাই লয়। A ৱে সেইবোৰ আগতে সংগ্ৰহ কৰা কাৰ্ডটোৰ ওপৰত ৰাখে।

(ঙ) সকলো কাৰ্ড ব্যৱহৃত নোহোৱালৈকে খেলটো এনেদৰে চলি থাকে।

(চ) A ৱে নিজে সংগ্ৰহ কৰা কাৰ্ডবোৰৰ সংখ্যাবোৰ যোগ কৰিব। B ৱেও নিজৰ কাৰ্ডবোৰৰ সৈতে একে কাম কৰিব। বেছি যোগফল থকা খেলুৱৈজনে বিজয়ী হ’ব।

কাৰ্ডৰ সংখ্যা বঢ়াই খেলটো অধিক আকৰ্ষণীয় কৰিব পাৰি। এই খেলটো বন্ধুৰ সৈতে খেলা। খেলটো জিকিবলৈ কিবা উপায় বিচাৰি পাব পাৰিবানে?

যেতিয়া আমি ২০ সংখ্যাটো $20=4 \times 5$ হিচাপে লিখো, আমি কওঁ যে ৪ আৰু ৫ হৈছে ২০ ৰ উৎপাদক। আমি ইয়াকো কওঁ যে ২০ হৈছে ৪ আৰু ৫ ৰ গুণিতক।

$24=2 \times 12$ ৰ উপস্থাপনটোৱে দেখুৱায় যে ২ আৰু ১২ হৈছে ২৪ ৰ উৎপাদক, আনহাতে ২৪ হৈছে ২ আৰু ১২ ৰ গুণিতক।

ইহঁত চেষ্টা কৰা

৪৫, ৩০ আৰু ৩৬ ৰ সম্ভাব্য উৎপাদকবোৰ উলিওৱা।

আমি ক’ব পাৰো যে এটা সংখ্যা ইয়াৰ প্ৰতিটো উৎপাদকৰে এটা গুণিতক

আহা এতিয়া উৎপাদক আৰু গুণিতকৰ বিষয়ে কেইটামান আকৰ্ষণীয় তথ্য চাওঁ।

(ক) ৩ একক দৈৰ্ঘ্যৰ কাঠ/কাগজৰ ফিতাৰ সংখ্যা এটা সংগ্ৰহ কৰা।

(খ) তলৰ চিত্ৰত দেখুওৱাৰ দৰে সেইবোৰ মূৰে মূৰে সংলগ্ন কৰা।

ওপৰৰ ফিতাটোৰ দৈৰ্ঘ্য হৈছে $3=1 \times 3$ একক।

ইয়াৰ তলৰ ফিতাটোৰ দৈৰ্ঘ্য হৈছে $3+3=6$ একক। লগতে, $6=2 \times 3$। পৰৱৰ্তী ফিতাটোৰ দৈৰ্ঘ্য হৈছে $3+3+$ $3=9$ একক, আৰু $9=3 \times 3$। এইদৰে আগবাঢ়ি আমি বাকী দৈৰ্ঘ্যবোৰ এনেদৰে প্ৰকাশ কৰিব পাৰো,

$ 12=4 \times 3 ; \quad 15=5 \times 3 $

আমি কওঁ যে $3,6,9,12,15$ সংখ্যাবোৰ হৈছে ৩ ৰ গুণিতক।

৩ ৰ গুণিতকৰ তালিকাটো $18,21,24, \ldots$ হিচাপে আগবঢ়াব পাৰি।

এই গুণিতকবোৰৰ প্ৰতিটো ৩ তকৈ ডাঙৰ বা সমান।

৪ সংখ্যাটোৰ গুণিতকবোৰ হৈছে $4,8,12,16,20,24, \ldots$

তালিকাটো অন্তহীন। এই সংখ্যাবোৰৰ প্ৰতিটো ৪ তকৈ ডাঙৰ বা সমান।

আহা আমি উৎপাদক আৰু গুণিতকৰ বিষয়ে কি সিদ্ধান্তত উপনীত হওঁ চাওঁ:

১. এনে কোনো সংখ্যা আছেনে যি প্ৰতিটো সংখ্যাৰে উৎপাদক হিচাপে ওপজে? আছে। ই হৈছে ১। উদাহৰণস্বৰূপে $6=1 \times 6,18=1 \times 18$ ইত্যাদি। ইয়াক আৰু কেইটামান সংখ্যাৰ বাবে পৰীক্ষা কৰা।

আমি কওঁ $\mathbf{1}$ হৈছে প্ৰতিটো সংখ্যাৰ এটা উৎপাদক।

২. ৭ সংখ্যাটো নিজৰ উৎপাদক হ’ব পাৰেনে? হয়। তুমি ৭ ক $7=7 \times 1$ হিচাপে লিখিব পাৰা। ১০ ৰ বাবে কি? আৰু ১৫ ৰ বাবে?

তুমি দেখিবা যে প্ৰতিটো সংখ্যাক এনেদৰে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।

আমি কওঁ যে প্ৰতিটো সংখ্যা নিজৰ এটা উৎপাদক।

৩. ১৬ ৰ উৎপাদকবোৰ কি? সেইবোৰ হৈছে ১, ২, ৪, ৮, ১৬। এই উৎপাদকবোৰৰ মাজত তুমি এনে কোনো উৎপাদক পোৱানে যিয়ে ১৬ ক হৰণ নকৰে? $20 ; 36$ ৰ বাবে ইয়াক চেষ্টা কৰা।

তুমি দেখিবা যে এটা সংখ্যাৰ প্ৰতিটো উৎপাদক হৈছে সেই সংখ্যাটোৰ এটা নিখুঁত উৎপাদক।

৪. ৩৪ ৰ উৎপাদকবোৰ কি? সেইবোৰ হৈছে ১,২,১৭ আৰু ৩৪ নিজেই। এইবোৰৰ ভিতৰত কোনটো আটাইতকৈ ডাঙৰ উৎপাদক? ই হৈছে ৩৪ নিজেই।

বাকী উৎপাদকবোৰ ১, ২ আৰু ১৭ হৈছে ৩৪ তকৈ সৰু। ইয়াক ৬৪, ৮১ আৰু ৫৬ ৰ বাবে পৰীক্ষা কৰিবলৈ চেষ্টা কৰা।

আমি কওঁ যে প্ৰতিটো উৎপাদক হৈছে দিয়া সংখ্যাটোতকৈ সৰু বা সমান।

৫. ৭৬ সংখ্যাটোৰ ৫টা উৎপাদক আছে। ১৩৬ বা ৯৬ ৰ কিমানটা উৎপাদক আছে? তুমি দেখিবা যে তুমি এইবোৰৰ প্ৰতিটোৰ উৎপাদকৰ সংখ্যা গণনা কৰিবলৈ সক্ষম হোৱা।

সংখ্যাবোৰ ১০৫৭৬, ২৫৬৪২ আদিৰ দৰে ডাঙৰ হ’লেও বা আৰু ডাঙৰ হ’লেও, তুমি তেনে সংখ্যাবোৰৰ উৎপাদকৰ সংখ্যা গণনা কৰিব পাৰিবা, (যদিও তেনে সংখ্যাবোৰক উৎপাদকবোৰলৈ ভাঙিবলৈ তুমি অসুবিধা পাব পাৰা)।

আমি কওঁ যে এটা দিয়া সংখ্যাৰ উৎপাদকৰ সংখ্যা সসীম।

৬. ৭ ৰ গুণিতকবোৰ কি? স্পষ্টতঃ, $7,14,21,28, \ldots$ তুমি দেখিবা যে এই গুণিতকবোৰৰ প্ৰতিটো ৭ তকৈ ডাঙৰ বা সমান। ই প্ৰতিটো সংখ্যাৰ বাবে হ’বনে? ইয়াক ৬,৯ আৰু ১০ ৰ গুণিতকবোৰৰ বাবে পৰীক্ষা কৰা।

আমি দেখো যে এটা সংখ্যাৰ প্ৰতিটো গুণিতক হৈছে সেই সংখ্যাটোতকৈ ডাঙৰ বা সমান।

৭. ৫ ৰ গুণিতকবোৰ লিখা। সেইবোৰ হৈছে $5,10,15,20, \ldots$ তুমি ভাবানে এই তালিকাটো ক’ৰবাত শেষ হ’ব? নহয়! তালিকাটো অন্তহীন। ইয়াক ৬,৭ আদিৰ গুণিতকবোৰৰ সৈতে চেষ্টা কৰা।

আমি দেখো যে এটা দিয়া সংখ্যাৰ গুণিতকৰ সংখ্যা অসীম।

৮. ৭ সংখ্যাটো নিজৰ গুণিতক হ’ব পাৰেনে? হয়, কাৰণ $7=7 \times 1$। ই আন সংখ্যাবোৰৰ বাবেও সঁচা হ’বনে? ইয়াক ৩,১২ আৰু ১৬ ৰ সৈতে চেষ্টা কৰা।

তুমি দেখিবা যে প্ৰতিটো সংখ্যা হৈছে নিজৰ এটা গুণিতক।

৬ ৰ উৎপাদকবোৰ হৈছে $1,2,3$ আৰু ৬। লগতে, $1+2+3+6=12=2 \times 6$। আমি দেখো যে ৬ ৰ উৎপাদকবোৰৰ যোগফল হৈছে ৬ সংখ্যাটোৰ দুগুণ। ২৮ ৰ সকলো উৎপাদক হৈছে ১,২, $4,7,14$ আৰু ২৮। এইবোৰ যোগ কৰি আমি পাইছো, $1+2+4+7+14+28=56=2 \times 28$।

২৮ ৰ উৎপাদকবোৰৰ যোগফল হৈছে ২৮ সংখ্যাটোৰ দুগুণৰ সমান।

যি সংখ্যাৰ বাবে ইয়াৰ সকলো উৎপাদকৰ যোগফল সংখ্যাটোৰ দুগুণৰ সমান, তেনে সংখ্যাক একোটা পূৰ্ণ সংখ্যা বোলে। ৬ আৰু ২৮ সংখ্যাকেইটা পূৰ্ণ সংখ্যা। ১০ এটা পূৰ্ণ সংখ্যা নেকি?

উদাহৰণ ১ : ৬৮ ৰ সকলো উৎপাদক লিখা।

সমাধান : আমি লক্ষ্য কৰো যে

$ \begin{matrix} 68=1 \times 68 \quad \quad & 68=2 \times 34 \\ 68=4 \times 17 \quad \quad & 68=17 \times 4 \end{matrix} $

ইয়াত ৰ’দিয়া, কাৰণ ৪ আৰু ১৭ আগতে ওলাইছে।

এইদৰে, ৬৮ ৰ সকলো উৎপাদক হৈছে ১, ২, ৪, ১৭, ৩৪ আৰু ৬৮।

উদাহৰণ ২ : ৩৬ ৰ উৎপাদকবোৰ উলিওৱা।

সমাধান :

$ \begin{array}{lll} 36=1 \times 36 & 36=2 \times 18 & 36=3 \times 12 \\ 36=4 \times 9& 36=6 \times 6 & \end{array} $

ইয়াত ৰ’দিয়া, কাৰণ দুয়োটা উৎপাদক (৬) একে। এইদৰে, উৎপাদকবোৰ হৈছে ১,২, $3,4,6,9,12,18$ আৰু ৩৬।

উদাহৰণ ৩ : ৬ ৰ প্ৰথম পাঁচটা গুণিতক লিখা।

সমাধান : প্ৰয়োজনীয় গুণিতকবোৰ হৈছে: $6 \times 1=6,6 \times 2=12,6 \times 3=18,6 \times 4=24$, $6 \times 5=30$ অৰ্থাৎ $6,12,18,24$ আৰু ৩০।

অনুশীলনী ৩.১

১. তলত দিয়া সংখ্যাবোৰৰ সকলো উৎপাদক লিখা :

(ক) ২৪
(খ) ১৫
(গ) ২১
(ঘ) ২৭
(ঙ) ১২
(চ) ২০
(ছ) ১৮
(জ) ২৩
(ঝ) ৩৬

২. তলত দিয়া সংখ্যাবোৰৰ প্ৰথম পাঁচটা গুণিতক লিখা :

(ক) ৫
(খ) ৮
(গ) ৯

৩. স্তম্ভ ১ ৰ বস্তুবোৰ স্তম্ভ ২ ৰ বস্তুবোৰৰ সৈতে মিলোৱা।

স্তম্ভ১ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ স্তম্ভ২

(i) ৩৫ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (ক) ৮ ৰ গুণিতক
(ii) ১৫ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (খ) ৭ ৰ গুণিতক
(iii) ১৬ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (গ) ৭০ ৰ গুণিতক
(iv) ২০ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (ঘ) ৩০ ৰ উৎপাদক
(v) ২৫ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (ঙ) ৫০ ৰ উৎপাদক
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (চ) (চ) ২০ ৰ উৎপাদক

৪. ১০০ লৈকে ৯ ৰ সকলো গুণিতক উলিওৱা।

৩.৩ মৌলিক আৰু যৌগিক সংখ্যা

আমি এতিয়া এটা সংখ্যাৰ উৎপাদকবোৰৰ সৈতে পৰিচিত। তলৰ তালিকাত সজোৱা কেইটামান সংখ্যাৰ উৎপাদকৰ সংখ্যা লক্ষ্য কৰা।

আমি দেখো যে (ক) ১ সংখ্যাটোৰ মাত্ৰ এটাহে উৎপাদক আছে (অৰ্থাৎ নিজেই)।

(খ) এনে সংখ্যাবোৰ আছে, যিবোৰৰ ঠিক দুটাহে উৎপাদক আছে: ১ আৰু সংখ্যাটো নিজেই। এনে সংখ্যাবোৰ হৈছে ২, ৩, ৫, ৭, ১১ আদি। এই সংখ্যাবোৰ মৌলিক সংখ্যা।

১ বাদে যিবোৰ সংখ্যাৰ একমাত্ৰ উৎপাদক হৈছে ১ আৰু সংখ্যাটো নিজেই, সেইবোৰক মৌলিক সংখ্যা বোলে।

ইয়াৰ বাহিৰেও আৰু কেইটামান মৌলিক সংখ্যা উলিয়াবলৈ চেষ্টা কৰা।

(গ) ৪, ৬, ৮, ৯, ১০ আদিৰ দৰে দুটাতকৈ বেছি উৎপাদক থকা সংখ্যাবোৰ আছে।

এই সংখ্যাবোৰ যৌগিক সংখ্যা।

১ সংখ্যাটো মৌলিকো নহয়, যৌগিকো নহয়।

দুইটাতকৈ বেছি উৎপাদক থকা সংখ্যাবোৰক যৌগিক সংখ্যা বোলে।

১৫ এটা যৌগিক সংখ্যা নেকি? কিয়? ১৮ ৰ বাবে কি? ২৫ ৰ বাবে কি?

প্ৰকৃততে সংখ্যা এটাৰ উৎপাদক পৰীক্ষা নকৰাকৈয়ে, আমি ১ ৰ পৰা ১০০ লৈ মৌলিক সংখ্যাবোৰ এটা সহজ পদ্ধতিৰে উলিয়াব পাৰো। এই পদ্ধতিটো এজন

গ্ৰীক গণিতজ্ঞ এৰাট’স্থেনিছে, খ্ৰীষ্টপূৰ্ব তৃতীয় শতিকাত দিছিল। আহা পদ্ধতিটো চাওঁ। তলত দেখুওৱাৰ দৰে ১ ৰ পৰা ১০০ লৈ সকলো সংখ্যাৰ তালিকা কৰা।

পদক্ষেপ ১ : ১ ক কাটি দিয়া কাৰণ ই মৌলিক সংখ্যা নহয়।

পদক্ষেপ ২ : ২ ক বৃত্তাকাৰে ঘেৰা, ২ ৰ বাহিৰে ২ ৰ সকলো গুণিতক, অৰ্থাৎ ৪, ৬, ৮ আদি কাটি দিয়া।

পদক্ষেপ ৩ : তুমি দেখিবা যে পৰৱৰ্তী নকটা সংখ্যাটো হৈছে ৩। ৩ ক বৃত্তাকাৰে ঘেৰা আৰু ৩ ৰ বাহিৰে ৩ ৰ সকলো গুণিতক কাটি দিয়া।

পদক্ষেপ ৪ : পৰৱৰ্তী নকটা সংখ্যাটো হৈছে ৫। ৫ ক বৃত্তাকাৰে ঘেৰা আৰু ৫ ৰ বাহিৰে ৫ ৰ সকলো গুণিতক কাটি দিয়া।

পদক্ষেপ ৫ : তালিকাৰ সকলো সংখ্যা বৃত্তাকাৰে ঘেৰা বা কাটি দিয়া নোহোৱালৈকে এই প্ৰক্ৰিয়া চলাই যোৱা।

বৃত্তাকাৰে ঘেৰা সকলো সংখ্যা মৌলিক সংখ্যা। কাটি দিয়া সকলো সংখ্যা, ১ বাদে, যৌগিক সংখ্যা।

এই পদ্ধতিক এৰাট’স্থেনিছৰ চালনি বোলে।

ইহঁত চেষ্টা কৰা

লক্ষ্য কৰা যে $2 \times 3+1=7$ এটা মৌলিক সংখ্যা। ইয়াত, ২ ৰ এটা গুণিতকত ১ যোগ কৰি এটা মৌলিক সংখ্যা পোৱা গৈছে। এই ধৰণৰ আৰু কেইটামান সংখ্যা বিচাৰি পাব পাৰিবানে?

উদাহৰণ ৪ : ১৫ তকৈ সৰু সকলো মৌলিক সংখ্যা লিখা।

সমাধান : চালনি পদ্ধতি লক্ষ্য কৰি, আমি সহজে প্ৰয়োজনীয় মৌলিক সংখ্যাবোৰ ২,৩, ৫, ৭, ১১ আৰু ১৩ হিচাপে লিখিব পাৰো।

যুগ্ম আৰু অযুগ্ম সংখ্যা

তুমি $2,4,6,8,10,12,14, \ldots$ সংখ্যাবোৰত কোনো নমুনা লক্ষ্য কৰানে? তুমি দেখিবা যে ইয়াৰ প্ৰতিটো হৈছে ২ ৰ গুণিতক।

এইবোৰক যুগ্ম সংখ্যা বোলে। বাকী সংখ্যাবোৰ $1,3,5,7,9,11, \ldots$ ক অযুগ্ম সংখ্যা বোলে।

তুমি এটা দুটা-অংকীয় বা তিনিটা-অংকীয় সংখ্যা যুগ্ম নে নহয় পৰীক্ষা কৰিব পাৰিবা। ৭৫৬৪৮২ৰ দৰে এটা সংখ্যা যুগ্ম নে কেনেকৈ জানিবা? ইয়াক ২ ৰে হৰণ কৰি। ই কষ্টকৰ নহ’বনে?

আমি কওঁ যে একক স্থানত $0,2,4,6,8$ থকা সংখ্যা এটা যুগ্ম সংখ্যা। গতিকে, ৩৫০, ৪৮৬২, ৫৯২৪৬ যুগ্ম সংখ্যা। $457,2359,8231$ সংখ্যাবোৰ সকলো অযুগ্ম। আহা কেইটামান আকৰ্ষণীয় তথ্য বিচাৰিবলৈ চেষ্টা কৰো:

(ক) আটাইতকৈ সৰু যুগ্ম সংখ্যাটো কি? ই হৈছে ২। আটাইতকৈ সৰু মৌলিক সংখ্যাটো কি? ই আকৌ ২।

এইদৰে, ২ হৈছে আটাইতকৈ সৰু মৌলিক সংখ্যা যিটো যুগ্ম।

(খ) বাকী মৌলিক সংখ্যাবোৰ হৈছে $3,5,7,11,13, \ldots$। তুমি এই তালিকাত কোনো যুগ্ম সংখ্যা পোৱানে? নিশ্চয় নাপোৱা, সেইবোৰ সকলো অযুগ্ম।

এইদৰে, আমি ক’ব পাৰো যে ২ বাদে প্ৰতিটো মৌলিক সংখ্যা অযুগ্ম।

অনুশীলনী ৩.২

১. যিকোনো দুটাৰ যোগফল কি হয় (ক) অযুগ্ম সংখ্যাৰ? (খ) যুগ্ম সংখ্যাৰ?

২. তলৰ উক্তিবোৰ সঁচা নে মিছা লিখা:

(ক) তিনিটা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল যুগ্ম।
(খ) দুটা অযুগ্ম সংখ্যা আৰু এটা যুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল যুগ্ম।
(গ) তিনিটা অযুগ্ম সংখ্যাৰ গুণফল অযুগ্ম।
(ঘ) যদি এটা যুগ্ম সংখ্যাক ২ ৰে হৰণ কৰা হয়, ভাগফল সদায় অযুগ্ম।
(ঙ) সকলো মৌলিক সংখ্যা অযুগ্ম।
(চ) মৌলিক সংখ্যাবোৰৰ কোনো উৎপাদক নাথাকে।
(ছ) দুটা মৌলিক সংখ্যাৰ যোগফল সদায় যুগ্ম।
(জ) ২ হৈছে একমাত্ৰ যুগ্ম মৌলিক সংখ্যা।
(ঝ) সকলো যুগ্ম সংখ্যা যৌগিক সংখ্যা।
(ঞ) দুটা যুগ্ম সংখ্যাৰ গুণফল সদায় যুগ্ম।

৩. ১৩ আৰু ৩১ সংখ্যাকেইটা মৌলিক সংখ্যা। এই সংখ্যাকেইটাৰ একে অংক ১ আৰু ৩ আছে। ১০০ লৈকে এনে মৌলিক সংখ্যাৰ যোৰবোৰ উলিওৱা।

৪. ২০ তকৈ সৰু মৌলিক আৰু যৌগিক সংখ্যাবোৰ পৃথককৈ লিখা।

৫. ১ আৰু ১০ ৰ মাজৰ আটাইতকৈ ডাঙৰ মৌলিক সংখ্যাটো কি?

৬. তলত দিয়াবোৰ দুটা অযুগ্ম মৌলিক সংখ্যাৰ যোগফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰা।

(ক) ৪৪
(খ) ৩৬
(গ) ২৪
(ঘ) ১৮

৭. তিনিটাকৈ মৌলিক সংখ্যাৰ যোৰ দিয়া যিবোৰৰ পাৰ্থক্য ২।

[টোকা : দুটা মৌলিক সংখ্যা যাৰ পাৰ্থক্য ২, তেনেবোৰক যমজ মৌলিক সংখ্যা বোলে]।

৮. তলৰ কোনবোৰ সংখ্যা মৌলিক?

(ক) ২৩
(খ) ৫১
(গ) ৩৭
(ঘ) ২৬

৯. ১০০ তকৈ সৰু সাতটা ক্ৰমিক যৌগিক সংখ্যা লিখা যাতে সেইবোৰৰ মাজত কোনো মৌলিক সংখ্যা নাথাকে।

১০. তলত দিয়া প্ৰতিটো সংখ্যাক তিনিটা অযুগ্ম মৌলিক সংখ্যাৰ যোগফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰা:

(ক) ২১
(খ) ৩১
(গ) ৫৩
(ঘ) ৬১

১১. ২০ তকৈ সৰু মৌলিক সংখ্যাৰ পাঁচযোৰ লিখা যাৰ যোগফল ৫ ৰে বিভাজ্য। (ইংগিত : $3+7=10$ )

১২. খালী ঠাই পূৰ কৰা :

(ক) যি সংখ্যাৰ মাত্ৰ দুটা উৎপাদক থাকে তাক ______ বোলে।
(খ) যি সংখ্যাৰ দুইতকৈ বেছি উৎপাদক থাকে তাক ______ বোলে।
(গ) ১ সংখ্যাটো ______ নহয় নে ______ নহয়।
(ঘ) আটাইতকৈ সৰু মৌলিক সংখ্যাটো হৈছে ______।
(ঙ) আটাইতকৈ সৰু যৌগিক সংখ্যাটো হৈছে ______।
(চ) আটাইতকৈ সৰু যুগ্ম সংখ্যাটো হৈছে ______।

৩.৪ সংখ্যাৰ বিভাজ্যতাৰ পৰীক্ষা

৩৮ সংখ্যাটো ২ ৰে বিভাজ্য নেকি? ৪ ৰে নেকি? ৫ ৰে নেকি?

৩৮ ক এই সংখ্যাবোৰেৰে প্ৰকৃততে হৰণ কৰি আমি দেখো যে ই ২ ৰে বিভাজ্য কিন্তু ৪ আৰু ৫ ৰে নহয়।

আহা চাওঁ আমি এটা নমুনা বিচাৰি পাব পাৰোনে যিয়ে আমাক ক’ব পাৰিব যে এটা সংখ্যা $2,3,4,5,6,8,9,10$ বা ১১ ৰে বিভাজ্য নেকি। তুমি ভাবানে যে এনে নমুনাবোৰ সহজে দেখা পোৱা যায়?

১০ ৰে বিভাজ্যতা : চাৰুৱে ১০ ৰ গুণিতকবোৰ চাই আছিল। গুণিতকবোৰ হৈছে $10,20,30,40,50,60, \ldots$। তাই এই সংখ্যাবোৰত একোটা সাধাৰণ কথা পালে। তুমি ক’ব পাৰা কি? এই সংখ্যাবোৰৰ প্ৰতিটোৰ একক স্থানত ০ আছে।

তাই একক স্থানত ০ থকা আৰু কেইটামান সংখ্যাৰ কথা ভাবিলে যেনে $100,1000,3200,7010$। তাই ইয়াকো পালে যে এনে সকলো সংখ্যা ১০ ৰে বিভাজ্য।

তাই দেখে যে যদি এটা সংখ্যাৰ একক স্থানত ০ থাকে তেন্তে ই ১০ ৰে বিভাজ্য।

১০০ ৰ বিভাজ্যতাৰ নিয়মটো উলিয়াব পাৰিবানে?

৫ ৰে বিভাজ্যতা : মণিয়ে ৫, ১০, $15,20,25,30,35, \ldots$ সংখ্যাবোৰত কিছুমান আকৰ্ষণীয় নমুনা পালে। তুমি নমুনাটো ক’ব পাৰা? একক স্থানটোলৈ চোৱা। এই সংখ্যাবোৰৰ সকলোৰে একক স্থানত হয় ০ নহয় ৫ আছে। আমি জানো যে এই সংখ্যাবোৰ ৫ ৰে বিভাজ্য।

মণিয়ে ৫ ৰে বিভাজ্য আৰু কেইটামান সংখ্যা ল’লে, যেনে ১০৫, ২১৫, ৬২০৫,৩৫০০। আকৌ এই সংখ্যাবোৰৰ একক স্থানত হয় ০ নহয় ৫ আছে।

তেওঁ $23,56,97$ সংখ্যাবো