३.१ प्रस्तावना

रमेशकडे ६ गोट्या आहेत. तो त्यांना पंक्तींमध्ये अशा प्रकारे मांडू इच्छितो की प्रत्येक पंक्तीत समान संख्येने गोट्या असतील. तो त्यांना पुढील प्रकारे मांडतो आणि एकूण गोट्यांची संख्या जुळवतो.

(i) प्रत्येक पंक्तीत १ गोटी

पंक्तींची संख्या $=6$

एकूण गोट्यांची संख्या $\quad=1 \times 6=6$

(ii) प्रत्येक पंक्तीत २ गोट्या पंक्तींची संख्या $=3$

एकूण गोट्यांची संख्या $\quad=2 \times 3=6$

(iii) प्रत्येक पंक्तीत ३ गोट्या

पंक्तींची संख्या $\quad=2$

एकूण गोट्यांची संख्या $\quad=3 \times 2=6$

(iv) त्याला अशी कोणतीही मांडणी सुचली नाही ज्यामध्ये प्रत्येक पंक्तीत ४ गोट्या किंवा ५ गोट्या असतील. म्हणून, शक्य असलेली एकच मांडणी म्हणजे सर्व ६ गोट्या एका पंक्तीत.

पंक्तींची संख्या $\quad=1$

एकूण गोट्यांची संख्या $=6 \times 1=6$

या गणनेवरून रमेश पाहतो की ६ ला दोन संख्यांचा गुणाकार म्हणून वेगवेगळ्या प्रकारे लिहिता येते

$ 6=1 \times 6 ; \quad 6=2 \times 3 ; \quad 6=3 \times 2 ; \quad 6=6 \times 1 $

$6=2 \times 3$ वरून असे म्हणता येते की २ आणि ३ ने ६ निःशेष भाग जातो. म्हणून, २ आणि ३ हे ६ चे निःशेष भाजक आहेत. इतर गुणाकार $6=1 \times 6$ वरून, ६ चे निःशेष भाजक १ आणि ६ आहेत असे आढळते.

अशाप्रकारे, १, २, ३ आणि ६ हे ६ चे निःशेष भाजक आहेत. त्यांना ६ चे अवयव म्हणतात. १८ गोट्या पंक्तींमध्ये मांडण्याचा प्रयत्न करा आणि १८ चे अवयव शोधा.

३.२ अवयव आणि विभाज्य

मेरीला अशा संख्या शोधायच्या आहेत ज्या ४ ला निःशेष भागतात. ती ४ ला ४ पेक्षा कमी संख्यांनी भागते.

भागाकार ४ आहे

बाकी ० आहे

$4 = 1 \times 4$

भागाकार २ आहे

बाकी ० आहे

$4 = 2 \times 2$

भागाकार १ आहे

बाकी १ आहे

भागाकार १ आहे

बाकी ० आहे

$ 4=4 \times 1 $

तिला असे आढळते की संख्या ४ अशी लिहिता येते: $4=1 \times 4 ; 4=2 \times 2$; $4=4 \times 1$ आणि तिला माहित आहे की संख्या १,२ आणि ४ हे ४ चे निःशेष भाजक आहेत.

या संख्यांना ४ चे अवयव म्हणतात.

एखाद्या संख्येचा अवयव म्हणजे त्या संख्येचा निःशेष भाजक होय.

लक्षात घ्या की ४ चा प्रत्येक अवयव ४ पेक्षा कमी किंवा समान आहे.

खेळ-१ : हा खेळ दोन व्यक्ती, समजा A आणि B, यांनी खेळायचा आहे. हा अवयव ओळखण्याबद्दलचा खेळ आहे.

यासाठी १ ते ५० क्रमांक असलेल्या ५० कार्डांची आवश्यकता आहे.

कार्डे टेबलावर अशी मांडा.

पायऱ्या

(a) A किंवा B मध्ये कोण आधी खेळेल ते ठरवा.

(b) समजा A आधी खेळतो. तो टेबलावरून एक कार्ड उचलतो आणि ते स्वतःकडे ठेवतो. समजा त्या कार्डावर २८ हा क्रमांक आहे.

(c) नंतर खेळाडू B ती सर्व कार्डे उचलतो ज्यांचे क्रमांक A च्या कार्डावरील संख्येचे (म्हणजे २८ चे) अवयव आहेत, आणि ती त्याच्या जवळच्या एका ढीगात ठेवतो.

(d) नंतर खेळाडू B टेबलावरून एक कार्ड उचलतो आणि ते स्वतःकडे ठेवतो. उरलेल्या कार्डांपैकी, A ती सर्व कार्डे उचलतो ज्यांचे क्रमांक B च्या कार्डावरील संख्येचे अवयव आहेत. A ती कार्डे त्याने आधी गोळा केलेल्या कार्डावर ठेवतो.

(e) सर्व कार्डे संपेपर्यंत खेळ अशाच प्रकारे चालू राहतो.

(f) A स्वतःकडे असलेल्या कार्डांवरील संख्यांची बेरीज करेल. B देखील त्याच्या कार्डांसोबत असेच करेल. ज्या खेळाडूची बेरीज जास्त असेल तो विजेता होईल.

कार्डांची संख्या वाढवून हा खेळ अधिक मनोरंजक बनवता येईल. हा खेळ तुमच्या मित्रासोबत खेळा. खेळ जिंकण्याचा काही मार्ग तुम्हाला सापडतो का?

जेव्हा आपण २० ही संख्या $20=4 \times 5$ अशी लिहितो, तेव्हा आपण म्हणतो की ४ आणि ५ हे २० चे अवयव आहेत. आपण असेही म्हणतो की २० ही ४ आणि ५ ची विभाज्य आहे.

$24=2 \times 12$ हे दर्शविते की २ आणि १२ हे २४ चे अवयव आहेत, तर २४ ही २ आणि १२ ची विभाज्य आहे.

हे करून पहा

४५, ३० आणि ३६ चे संभाव्य अवयव शोधा.

आपण असे म्हणू शकतो की एक संख्या तिच्या प्रत्येक अवयवाची विभाज्य असते

आता अवयव आणि विभाज्य यांच्याबद्दल काही मनोरंजक तथ्ये पाहू या.

(a) ३ एकक लांबीच्या अनेक लाकडी/कागदाच्या पट्ट्या गोळा करा.

(b) त्यांची टोके जोडून खालील आकृतीप्रमाणे मांडा.

वरच्या पट्टीची लांबी $3=1 \times 3$ एकक आहे.

त्याखालील पट्टीची लांबी $3+3=6$ एकक आहे. तसेच, $6=2 \times 3$. पुढील पट्टीची लांबी $3+3+$ $3=9$ एकक आहे, आणि $9=3 \times 3$. हे चालू ठेवल्यास आपण इतर लांबी अशा प्रकारे व्यक्त करू शकतो,

$ 12=4 \times 3 ; \quad 15=5 \times 3 $

आपण म्हणतो की संख्या $3,6,9,12,15$ ह्या ३ च्या विभाज्य आहेत.

३ च्या विभाज्यांची यादी $18,21,24, \ldots$ अशी चालू ठेवता येते

यापैकी प्रत्येक विभाज्य ३ पेक्षा मोठी किंवा समान आहे.

४ या संख्येच्या विभाज्य $4,8,12,16,20,24, \ldots$ आहेत

ही यादी अंतहीन आहे. यापैकी प्रत्येक संख्या ४ पेक्षा मोठी किंवा समान आहे.

आता अवयव आणि विभाज्य याबद्दल आपण काय निष्कर्ष काढतो ते पाहू या:

१. अशी काही संख्या आहे का जी प्रत्येक संख्येचा अवयव म्हणून येते? होय. ती १ आहे. उदाहरणार्थ $6=1 \times 6,18=1 \times 18$ इत्यादी. आणखी काही संख्यांसाठी ते तपासा.

आपण म्हणतो $\mathbf{1}$ हा प्रत्येक संख्येचा अवयव आहे.

२. ७ हा स्वतःचाच अवयव असू शकतो का? होय. तुम्ही ७ ला $7=7 \times 1$ असे लिहू शकता. १० बद्दल काय? आणि १५ बद्दल?

तुम्हाला असे आढळेल की प्रत्येक संख्या या प्रकारे व्यक्त करता येते.

आपण म्हणतो की प्रत्येक संख्या स्वतःची अवयव असते.

३. १६ चे अवयव काय आहेत? ते १, २, ४, ८, १६ आहेत. या अवयवांपैकी असे काही अवयव आढळतात का जे १६ ला भागत नाहीत? $20 ; 36$ साठी ते करून पहा.

तुम्हाला असे आढळेल की एखाद्या संख्येचा प्रत्येक अवयव त्या संख्येचा निःशेष भाजक असतो.

४. ३४ चे अवयव काय आहेत? ते १,२,१७ आणि ३४ स्वतः आहेत. यापैकी सर्वात मोठा अवयव कोणता? तो ३४ स्वतः आहे.

इतर अवयव १, २ आणि १७ हे ३४ पेक्षा लहान आहेत. हे ६४, ८१ आणि ५६ साठी तपासून पहा.

आपण म्हणतो की प्रत्येक अवयव दिलेल्या संख्येपेक्षा कमी किंवा समान असतो.

५. ७६ या संख्येचे ५ अवयव आहेत. १३६ किंवा ९६ चे किती अवयव आहेत? तुम्हाला असे आढळेल की तुम्ही यापैकी प्रत्येक संख्येच्या अवयवांची संख्या मोजू शकता.

जरी संख्या १०५७६, २५६४२ इतक्या मोठ्या किंवा त्याहून मोठ्या असल्या तरीही, तुम्ही अशा संख्यांच्या अवयवांची संख्या मोजू शकता (जरी अशा संख्यांचे अवयव पाडणे कठीण वाटेल).

आपण म्हणतो की एखाद्या दिलेल्या संख्येच्या अवयवांची संख्या मर्यादित असते.

६. ७ च्या विभाज्य कोणत्या? स्पष्टपणे, $7,14,21,28, \ldots$ तुम्हाला असे आढळेल की यापैकी प्रत्येक विभाज्य ७ पेक्षा मोठी किंवा समान आहे. प्रत्येक संख्येसोबत असे होईल का? हे ६,९ आणि १० च्या विभाज्यांसाठी तपासा.

आपल्याला असे आढळते की एखाद्या संख्येची प्रत्येक विभाज्य त्या संख्येपेक्षा मोठी किंवा समान असते.

७. ५ च्या विभाज्य लिहा. त्या $5,10,15,20, \ldots$ आहेत तुम्हाला असे वाटते का की ही यादी कुठेतरी संपेल? नाही! ही यादी अंतहीन आहे. हे ६,७ इत्यादी संख्यांच्या विभाज्यांसोबत करून पहा.

आपल्याला असे आढळते की एखाद्या दिलेल्या संख्येच्या विभाज्यांची संख्या अनंत असते.

८. ७ ही स्वतःची विभाज्य असू शकते का? होय, कारण $7=7 \times 1$. इतर संख्यांसाठी देखील हे खरे असेल का? हे ३,१२ आणि १६ सोबत करून पहा.

तुम्हाला असे आढळेल की प्रत्येक संख्या स्वतःची विभाज्य असते.

६ चे अवयव $1,2,3$ आणि ६ आहेत. तसेच, $1+2+3+6=12=2 \times 6$. आपल्याला असे आढळते की ६ च्या अवयवांची बेरीज ही ६ या संख्येच्या दुप्पट आहे. २८ चे सर्व अवयव १,२, $4,7,14$ आणि २८ आहेत. हे जोडल्यास, $1+2+4+7+14+28=56=2 \times 28$.

२८ च्या अवयवांची बेरीज ही २८ या संख्येच्या दुप्पट असते.

ज्या संख्येच्या सर्व अवयवांची बेरीज त्या संख्येच्या दुप्पट असते त्या संख्येला परिपूर्ण संख्या म्हणतात. संख्या ६ आणि २८ ह्या परिपूर्ण संख्या आहेत. १० ही परिपूर्ण संख्या आहे का?

उदाहरण १ : ६८ चे सर्व अवयव लिहा.

उकल : आपण लक्षात घेतो की

$ \begin{matrix} 68=1 \times 68 \quad \quad & 68=2 \times 34 \\ 68=4 \times 17 \quad \quad & 68=17 \times 4 \end{matrix} $

इथे थांबा, कारण ४ आणि १७ आधी आले आहेत.

अशाप्रकारे, ६८ चे सर्व अवयव १, २, ४, १७, ३४ आणि ६८ आहेत.

उदाहरण २ : ३६ चे अवयव शोधा.

उकल :

$ \begin{array}{lll} 36=1 \times 36 & 36=2 \times 18 & 36=3 \times 12 \\ 36=4 \times 9& 36=6 \times 6 & \end{array} $

इथे थांबा, कारण दोन्ही अवयव (६) समान आहेत. अशाप्रकारे, अवयव १,२, $3,4,6,9,12,18$ आणि ३६ आहेत.

उदाहरण ३ : ६ च्या पहिल्या पाच विभाज्य लिहा.

उकल : आवश्यक विभाज्य आहेत: $6 \times 1=6,6 \times 2=12,6 \times 3=18,6 \times 4=24$, $6 \times 5=30$ म्हणजेच $6,12,18,24$ आणि ३०.

कसोटी ३.१

१. खालील संख्यांचे सर्व अवयव लिहा :

(a) २४
(b) १५
(c) २१
(d) २७
(e) १२
(f) २०
(g) १८
(h) २३
(i) ३६

२. खालील संख्यांच्या पहिल्या पाच विभाज्य लिहा :

(a) ५
(b) ८
(c) ९

३. स्तंभ १ मधील घटकांची जुळवणी स्तंभ २ मधील घटकांशी करा.

स्तंभ१ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ स्तंभ२

(i) ३५ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (a) ८ ची विभाज्य
(ii) १५ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (b) ७ ची विभाज्य
(iii) १६ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (c) ७० ची विभाज्य
(iv) २० $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (d) ३० चा अवयव
(v) २५ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (e) ५० चा अवयव
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (f) (f) २० चा अवयव

४. ९ च्या १०० पर्यंतच्या सर्व विभाज्य शोधा.

३.३ मूळ आणि संयुक्त संख्या

आता आपण संख्येच्या अवयवांशी परिचित आहोत. या सारणीत मांडलेल्या काही संख्यांच्या अवयवांची संख्या पाहा.

आपल्याला असे आढळते की (a) संख्या १ ला फक्त एकच अवयव आहे (म्हणजे स्वतः).

(b) अशा संख्या आहेत, ज्यांचे फक्त दोन अवयव १ आणि स्वतः संख्या आहेत. अशा संख्या २, ३, ५, ७, ११ इत्यादी आहेत. या संख्यांना मूळ संख्या म्हणतात.

१ व्यतिरिक्त ज्या संख्यांचे फक्त अवयव १ आणि स्वतः संख्या आहेत त्यांना मूळ संख्या म्हणतात.

याखेरीज आणखी काही मूळ संख्या शोधण्याचा प्रयत्न करा.

(c) ४, ६, ८, ९, १० इत्यादी अशा संख्या आहेत ज्यांचे दोनपेक्षा जास्त अवयव आहेत.

या संख्यांना संयुक्त संख्या म्हणतात.

१ ही मूळ संख्या नाही किंवा संयुक्त संख्या नाही.

दोनपेक्षा जास्त अवयव असलेल्या संख्यांना संयुक्त संख्या म्हणतात.

१५ ही संयुक्त संख्या आहे का? का? १८ बद्दल काय? २५ बद्दल काय?

प्रत्यक्षात संख्येचे अवयव तपासल्याशिवाय, आपण एका सोप्या पद्धतीने १ ते १०० पर्यंतच्या मूळ संख्या शोधू शकतो. ही पद्धत एका

ग्रीक गणितज्ञ एराटोस्थेनिस यांनी इ.स.पू. तिसऱ्या शतकात दिली होती. ही पद्धत पाहू या. खालीलप्रमाणे १ ते १०० पर्यंतच्या सर्व संख्यांची यादी करा.

पायरी १ : १ ला ओलांडून टाका कारण ती मूळ संख्या नाही.

पायरी २ : २ ला वर्तुळात घ्या, २ व्यतिरिक्त २ च्या सर्व विभाज्यांना (म्हणजे ४, ६, ८ इत्यादी) ओलांडून टाका.

पायरी ३ : तुम्हाला असे आढळेल की पुढील न ओलांडलेली संख्या ३ आहे. ३ ला वर्तुळात घ्या आणि ३ व्यतिरिक्त ३ च्या सर्व विभाज्यांना ओलांडून टाका.

पायरी ४ : पुढील न ओलांडलेली संख्या ५ आहे. ५ ला वर्तुळात घ्या आणि ५ व्यतिरिक्त ५ च्या सर्व विभाज्यांना ओलांडून टाका.

पायरी ५ : यादीतील सर्व संख्या वर्तुळात घेतलेल्या किंवा ओलांडलेल्या होईपर्यंत ही प्रक्रिया चालू ठेवा.

सर्व वर्तुळात घेतलेल्या संख्या मूळ संख्या आहेत. १ व्यतिरिक्त सर्व ओलांडलेल्या संख्या संयुक्त संख्या आहेत.

या पद्धतीला एराटोस्थेनिसची चाळणी म्हणतात.

हे करून पहा

लक्षात घ्या की $2 \times 3+1=7$ ही मूळ संख्या आहे. इथे, २ च्या विभाज्यात १ मिळवून मूळ संख्या मिळाली आहे. तुम्हाला या प्रकारच्या आणखी काही संख्या सापडतात का?

उदाहरण ४ : १५ पेक्षा लहान सर्व मूळ संख्या लिहा.

उकल : चाळणी पद्धतीकडे पाहून, आपण सहजपणे आवश्यक मूळ संख्या २,३, ५, ७, ११ आणि १३ अशा लिहू शकतो.

सम आणि विषम संख्या

तुम्ही $2,4,6,8,10,12,14, \ldots$ या संख्यांमध्ये काही नमुना पाहता का? तुम्हाला असे आढळेल की त्यापैकी प्रत्येक २ ची विभाज्य आहे.

यांना सम संख्या म्हणतात. उर्वरित संख्या $1,3,5,7,9,11, \ldots$ यांना विषम संख्या म्हणतात.

दोन अंकी किंवा तीन अंकी संख्या सम आहे की नाही हे तुम्ही तपासू शकता. ७५६४८२ सारख्या संख्येची समता कशी ओळखाल? तिला २ ने भागून. हे कंटाळवाणे होणार नाही का?

आपण म्हणतो की एकक स्थानी $0,2,4,6,8$ असलेली संख्या सम संख्या असते. म्हणून, ३५०, ४८६२, ५९२४६ ह्या सम संख्या आहेत. संख्या $457,2359,8231$ ह्या सर्व विषम आहेत. काही मनोरंजक तथ्ये शोधण्याचा प्रयत्न करू या:

(a) सर्वात लहान सम संख्या कोणती? ती २ आहे. सर्वात लहान मूळ संख्या कोणती? ती पुन्हा २ आहे.

अशाप्रकारे, २ ही सर्वात लहान मूळ संख्या आहे जी सम आहे.

(b) इतर मूळ संख्या $3,5,7,11,13, \ldots$ आहेत. या यादीत तुम्हाला कोणतीही सम संख्या सापडते का? नक्कीच नाही, त्या सर्व विषम आहेत.

अशाप्रकारे, आपण असे म्हणू शकतो की २ व्यतिरिक्त प्रत्येक मूळ संख्या विषम असते.

कसोटी ३.२

१. कोणत्याही दोन (a) विषम संख्यांची बेरीज किती? (b) सम संख्यांची बेरीज किती?

२. खालील विधाने सत्य की असत्य ते सांगा:

(a) तीन विषम संख्यांची बेरीज सम असते.
(b) दोन विषम संख्या आणि एक सम संख्या यांची बेरीज सम असते.
(c) तीन विषम संख्यांचा गुणाकार विषम असतो.
(d) जर एखाद्या सम संख्येला २ ने भागले तर भागाकार नेहमी विषम येतो.
(e) सर्व मूळ संख्या विषम असतात.
(f) मूळ संख्यांना कोणतेही अवयव नसतात.
(g) दोन मूळ संख्यांची बेरीज नेहमी सम असते.
(h) २ ही एकमेव सम मूळ संख्या आहे.
(i) सर्व सम संख्या संयुक्त संख्या असतात.
(j) दोन सम संख्यांचा गुणाकार नेहमी सम असतो.

३. १३ आणि ३१ ह्या मूळ संख्या आहेत. या दोन्ही संख्यांमध्ये १ आणि ३ हे अंक समान आहेत. १०० पर्यंत अशा मूळ संख्यांच्या जोड्या शोधा.

४. २० पेक्षा लहान मूळ संख्या आणि संयुक्त संख्या वेगळ्या लिहा.

५. १ आणि १० मधील सर्वात मोठी मूळ संख्या कोणती?

६. खालील प्रत्येक संख्या दोन विषम मूळ संख्यांची बेरीज म्हणून लिहा.

(a) ४४
(b) ३६
(c) २४
(d) १८

७. अशा तीन जोड्या मूळ संख्या द्या ज्यांच्यातील फरक २ आहे.

[टिप्पणी : ज्या दोन मूळ संख्यांमधील फरक २ आहे त्यांना यमळ मूळ संख्या म्हणतात].

८. खालीलपैकी कोणत्या संख्या मूळ आहेत?

(a) २३
(b) ५१
(c) ३७
(d) २६

९. १०० पेक्षा लहान अशा सात सलग संयुक्त संख्या लिहा जेणेकरून त्यांच्यामध्ये कोणतीही मूळ संख्या नसेल.

१०. खालील प्रत्येक संख्या तीन विषम मूळ संख्यांची बेरीज म्हणून लिहा:

(a) २१
(b) ३१
(c) ५३
(d) ६१

११. २० पेक्षा लहान अशा पाच जोड्या मूळ संख्या लिहा ज्यांची बेरीज ५ ने निःशेष भाग जाते. (सूचना : $3+7=10$ )

१२. रिकाम्या जागा भरा :

(a) ज्या संख्येचे फक्त दोन अवयव असतात तिला ______ म्हणतात.
(b) ज्या संख्येचे दोनपेक्षा जास्त अवयव असतात तिला ______ म्हणतात.
(c) १ ही ______ नाही किंवा ______ नाही.
(d) सर्वात लहान मूळ संख्या ______ आहे.
(e) सर्वात लहान संयुक्त संख्या ______ आहे.
(f) सर्वात लहान सम संख्या ______ आहे.

३.४ संख्यांच्या विभाज्यतेच्या कसोट्या

३८ ही संख्या २ ने निःशेष भाग जाते का? ४ ने? ५ ने?

३८ ला या संख्यांनी प्रत्यक्ष भागल्यास आपल्याला असे आढळते की ती २ ने निःशेष भाग जाते पण ४ आणि ५ ने भाग जात नाही.

आपण $2,3,4,5,6,8,9,10$ किंवा ११ ने विभाज्यता दर्शविणारा नमुना शोधू शकतो का ते पाहू या. असे नमुने सहज दिसू शकतात असे तुम्हाला वाटते का?

१० ने विभाज्यता : चारू १० च्या विभाज्याकडे पाहत होती. विभाज्य $10,20,30,40,50,60, \ldots$ आहेत. या संख्यांमध्ये तिला काही साम्य आढळले. तुम्ही सांगू शकता का? यापैकी प्रत्येक संख्येच्या एकक स्थानी ० आहे.

तिने एकक स्थानी ० असलेल्या आणखी काही संख्या विचारात घेतल्या जसे $100,1000,3200,7010$. तिला असेही आढळले की अशा सर्व संख्या १० ने निःशेष भाग जातात.

तिला असे आढळते की **जर एखाद्या संख्येच्या एकक स्थानी ० असेल तर ती संख्या १०