3.1 પરિચય

રમેશ પાસે 6 માર્બલ છે. તે તેમને એવી રીતે ક્રમાંકીત રાખવા માંગે છે કે દરેક ક્રમમાં એક જ સંખ્યાના માર્બલો હોય. તે નીચેની રીતે તેમને રેખોમાં રાખ્યા છે અને કુલ માર્બલોની સંખ્યાને મેળવી રહ્યા છે.

(i) દરેક ક્રમમાં 1 માર્બલ

ક્રમોની સંખ્યા $=6$

કુલ માર્બલોની સંખ્યા $\quad=1 \times 6=6$

(ii) દરેક ક્રમમાં 2 માર્બલ ક્રમોની સંખ્યા $=3$

કુલ માર્બલોની સંખ્યા $\quad=2 \times 3=6$

(iii) દરેક ક્રમમાં 3 માર્બલ

ક્રમોની સંખ્યા $\quad=2$

કુલ માર્બલોની સંખ્યા $\quad=3 \times 2=6$

(iv) તે દરેક ક્રમમાં 4 અથવા 5 માર્બલ હોય એવી રચના માટે આગળ વધવામાં આવી શક્યા નહીં. તેથી, બાકી જોવામાં આવી શકે તેટલી એક જ રચના એ હતી કે તેમાં બધા 6 માર્બલ એક ક્રમમાં હોય.

ક્રમોની સંખ્યા $\quad=1$

કુલ માર્બલોની સંખ્યા $=6 \times 1=6$

આ ગણતરીઓમાંથી રમેશે નિષ્કર્ષણ કર્યું કે 6 ને બે સંખ્યાઓની ગુણાકારમાં વિવિધ રીતે લખી શકાય છે કે

$ 6=1 \times 6 ; \quad 6=2 \times 3 ; \quad 6=3 \times 2 ; \quad 6=6 \times 1 $

થોડું સમય સુધી પછી થોડી વાતો કરીને કહીશું કે 2 અને 3 શુદ્ધ રીતે 6 ને વિભાજિત કરે છે. તેથી 2 અને 3 એ 6 ના શુદ્ધ વિભાજક છે. બીજા ગુણાકાર $6=2 \times 3$ માંથી, 6 ના શુદ્ધ વિભાજકો મળ્યા છે 1 અને 6.

તેથી, 1, 2, 3 અને 6 એ 6 ના શુદ્ધ વિભાજક છે. તેમને 6 ના કારક કહેવાય છે. મેરી માર્બલ 18 ને ક્રમાંકીત રાખવાનો પ્રયાસ કરશે અને 18 ના કારકો શોધી જુઓ.

3.2 કારક અને ગુણાકારો

મેરી માટે આવી જ વાત છે કે તે તે સંખ્યાઓ શોધવા માંગે છે જે 4 ને શુદ્ધ રીતે વિભાજિત કરે. તે 4 ને 4 કરતાં ઓછી સંખ્યાઓથી આવી રીતે વિભાજિત કરે છે.

ભાગફળ 4 છે

બાકી શૂન્ય છે

$4 = 1 \times 4$

ભાગફળ 2 છે

બાકી શૂન્ય છે

$4 = 2 \times 2$

ભાગફળ 1

બાકી 1 છે

ભાગફળ 1

બાકી 0 છે

$ 4=4 \times 1 $

તે શોધી લે છે કે સંખ્યા 4 ને આવી રીતે લખી શકાય છે: $4=1 \times 4 ; 4=2 \times 2$; $4=4 \times 1$ અને તે જાણે છે કે સંખ્યાઓ 1,2 અને 4 એ 4 ના શુદ્ધ વિભાજક છે.

આ સંખ્યાઓને 4 ના કારક કહેવાય છે.

સંખ્યાના કારક એ તે સંખ્યાનું શુદ્ધ વિભાજક છે.

4 ના દરેક કારક નીચેના અથવા તેની સમાન છે તે જુઓ.

રમત-1: આ બે વ્યક્તિઓ દ્વારા રમાય તેવી રમત છે કે જેની વાત કારકો શોધવા વિશે છે.

તેમાં 1 થી 50 સુધીના પાંચ્યું કાર્ડોની જરૂર હોય છે.

કાર્ડોને આવી રીતે પટ્ટી પર રેખાંકિત કરો.

પગલાં

(a) કોણ પ્રથમ રમે છે, A કે B તે નક્કી કરો.

(b) ચાલુ રાખો કે A પ્રથમ રમે છે. તે પટ્ટીથી એક કાર્ડ લઈ જાય છે અને તેને તેની બાજુમાં રાખે છે. ધોવાણ કાર્ડ પર 28 નંબર હોય છે.

(c) પ્લેયર B પછી તે કાર્ડો લઈ જાય છે જેમાં નંબરો હોય છે જે એક A ના કાર્ડ પર હોય છે તેના કારકો છે (અર્થાત્ 28), અને તેમને તેની બાજુમાં એક પાઇલમાં મૂકે છે.

(d) પ્લેયર B પછી પટ્ટીથી એક કાર્ડ લઈ જાય છે અને તેને તેની બાજુમાં રાખે છે. બાકી રહેલા કાર્ડોમાંથી, A તે કાર્ડો લઈ જાય છે જેમાં નંબરો હોય છે જે B ના કાર્ડ પર હોય છે તેના કારકો છે. A તેમને તેની પહેલી કાર્ડ પર મૂકે છે.

(e) રમત આવી રીતે ચાલુ રહે છે જ્યાં સુધી બધા કાર્ડો વપરાતા ન થાય ત્યાં સુધી.

(f) A તે કાર્ડો પર હોય છે તેના નંબરોનો સરવર કરશે. B પણ તેની સમાન રીતે કરશે. વધારે સરવર ધરાવતા વ્યક્તિ બનશે જેને જીતવામાં આવશે.

આ રમતને વધુ રસપ્રદ બનાવી શકાય છે જ્યાં સુધી કાર્ડોની સંખ્યા વધુ થાય. તમારા મિત્ર સાથે આ રમત રમો. શક્ય હોય તો રમત જીતવાનો કોઈક રસપ્રદ ઉપાય શોધી શકાય છે?

જ્યારે આપ સંખ્યા 20 ને લખીએ છે તેમાં $20=4 \times 5$, ત્યારે આપ કહી શકો છો કે 4 અને 5 એ 20 ના કારક છે. આપ પણ કહી શકો છો કે 20 એ 4 અને 5 ના ગુણાકાર છે.

રજૂઆત $24=2 \times 12$ દર્શાવે છે કે 2 અને 12 એ 24 ના કારક છે, ત્યારે જ 24 એ 2 અને 12 ના ગુણાકાર છે.

આપણે પણ પણ કરીએ

45, 30 અને 36 ના સંભવિત કારકો શોધો.

આપ કહી શકો છો કે સંખ્યા તેના દરેક કારક ના ગુણાકાર છે

આપ હવે કારકો અને ગુણાકારો વિશે કેટલીક રસપ્રદ વાતો જોઈએ.

(a) આપ 3 એકમની લંબાઈ ધરાવતી કાગળો/કાગ્યો એક સંખ્યા લીધે એકત્ર કરો.

(b) આની જેમ કે નીચે મુજબ દર્શાવેલ રીતે તેમને એકબીજાની ટૂંકાઈ સાથે જોડો.

ઉપરની કાગળની લંબાઈ $3=1 \times 3$ એકમ છે.

તેની નીચેની કાગળની લંબાઈ $3+3=6$ એકમ છે. તેની પણ રીતે $6=2 \times 3$. આગામી કાગળની લંબાઈ $3+3+$ $3=9$ એકમ છે, અને $9=3 \times 3$. આ રીતે ચાલુ રાખતાં આપ બીજી લંબાઈઓને લખી શકો છો,

$ 12=4 \times 3 ; \quad 15=5 \times 3 $

આપ કહી શકો છો કે સંખ્યાઓ $3,6,9,12,15$ એ 3 ના ગુણાકાર છે.

સંખ્યા 3 ના ગુણાકારોની યાદી આવી શકે છે $18,21,24, \ldots$

આ દરેક ગુણાકાર 3 કરતાં વધુ અથવા તેની સમાન છે.

સંખ્યા 4 ના ગુણાકારો છે $4,8,12,16,20,24, \ldots$

આ યાદી અંત નથી થતી. આ દરેક સંખ્યા 4 કરતાં વધુ અથવા તેની સમાન છે.

આપ હવે આપ કારકો અને ગુણાકારો વિશે કરી લેવાના નિષ્કર્ષણો જોઈએ:

1. દરેક સંખ્યાના કારક હોય એવી કોઈપણ સંખ્યા છે? હા. તે 1 છે. ઉદાહરણ તરીકે $6=1 \times 6,18=1 \times 18$ અને ત્યાં સુધી. કેટલીક વધુ સંખ્યાઓ માટે તે જોવો.

આપ કહી શકો છો કે $\mathbf{1}$ દરેક સંખ્યાના કારક છે.

2. 7 તોસફર તેના કારક હોય શકે છે? હા. તમે 7 ને લખી શકો છો $7=7 \times 1$. 10 માટે કેટલું હશે? અને 15?

તમે શોધી શકો છો કે દરેક સંખ્યા આ રીતે લખાય છે.

આપ કહી શકો છો કે દરેક સંખ્યા તોસફર તેના કારક છે.

3. 16 ના કારકો કેટલા છે? તેમાં 1, 2, 4, 8, 16 છે. આ કારકોમાંથી તમે શોધી શકો છો કે કોઈપણ કારક જે 16 ને વિભાજિત ન કરે? $20 ; 36$ માટે તે જ પ્રયાસ કરો.

તમે શોધી શકો છો કે સંખ્યાના દરેક કારક એ તે સંખ્યાનું શુદ્ધ વિભાજક છે.

4. 34 ના કારકો કેટલા છે? તેમાં 1,2,17 અને 34 તોસફર છે. આ કારકોમાંથી કોણ એ મહત્તમ કારક છે? તે 34 તોસફર છે.

બીજા કારકો 1, 2 અને 17 એ 34 કરતાં ઓછા છે. આ જ ચેતવણી 64, 81 અને 56 માટે કરો.

આપ કહી શકો છો કે દિત સંખ્યાના દરેક કારક એ તે સંખ્યા કરતાં ઓછો અથવા તેની સમાન છે.

5. સંખ્યા 76 એ 5 કારકો ધરાવે છે. સંખ્યા 136 અથવા 96 એ કેટલા કારકો ધરાવે છે? તમે શોધી શકો છો કે આ દરેક સંખ્યાના કારકોની સંખ્યા ગણી શકાય છે.

જો આ સંખ્યાઓ 10576, 25642 અને તેના કરતાં મોટા હોય તો પણ આ સંખ્યાઓના કારકોની ગણતરી કરી શકાય છે, (જો કદી તે આ સંખ્યાઓને કારકીકરણ કરવામાં મુશ્કેલ લાગે).

આપ કહી શકો છો કે દિત સંખ્યાના કારકોની સંખ્યા મર્યાદિત છે.

6. સંખ્યા 7 ના ગુણાકારો કેટલા છે? અત્યારે, $7,14,21,28, \ldots$ તમે શોધી શકો છો કે આ દરેક ગુણાકાર 7 કરતાં વધુ અથવા તેની સમાન છે. આ રીતે દરેક સંખ્યા માટે એ થશે શકે છે? આ ચેતવણી 6,9 અને 10 ના ગુણાકારો માટે કરો.

તમે શોધી શકો છો કે દિત સંખ્યાના દરેક ગુણાકાર એ સંખ્યા કરતાં વધુ અથવા તેની સમાન છે.

7. સંખ્યા 5 ના ગુણાકારો લખો. તેમાં છે $5,10,15,20, \ldots$ તમે માનો છો કે આ યાદી ક્યાંય અંત થશે? નહીં! આ યાદી અંત નથી થતી. 6,7 વગેરે ના ગુણાકારો માટે આ જ પ્રયાસ કરો.

તમે શોધી શકો છો કે દિત સંખ્યાના ગુણાકારોની સંખ્યા અનંત છે.

8. સંખ્યા 7 તોસફર તેના ગુણાકાર હોય શકે છે? હા, કારણ કે $7=7 \times 1$. બીજી સંખ્યાઓ માટે પણ આ જ રીતે હશે શકે છે? 3,12 અને 16 સાથે આ જ પ્રયાસ કરો.

તમે શોધી શકો છો કે દરેક સંખ્યા તોસફર તેના ગુણાકાર છે.

સંખ્યા 6 ના કારકો છે $1,2,3$ અને 6. તેની પણ રીતે $1+2+3+6=12=2 \times 6$. તમે શોધી શકો છો કે સંખ્યા 6 ના કારકોનો સરવર એ સંખ્યા 6 ના બે ગુણ છે. સંખ્યા 28 ના બધા કારકો છે 1,2, $4,7,14$ અને 28. આ બધાને બંધ કરતાં આપ, આપ મેળવી શકો છો, $1+2+4+7+14+28=56=2 \times 28$.

સંખ્યા 28 ના કારકોનો સરવર એ સંખ્યા 28 ના બે ગુણ છે.

જે સંખ્યાના કારકોનો સરવર એ તે સંખ્યાના બે ગુણ હોય તે સંખ્યાને પૂર્ણ સંખ્યા કહેવાય છે. સંખ્યાઓ 6 અને 28 એ પૂર્ણ સંખ્યાઓ છે. શું 10 એ પૂર્ણ સંખ્યા છે?

ઉદાહરણ 1 : સંખ્યા 68 ના બધા કારકો લખો.

ઉકેલ : આપ નોંધી લેતા હોય કે

$ \begin{matrix} 68=1 \times 68 \quad \quad & 68=2 \times 34 \\ 68=4 \times 17 \quad \quad & 68=17 \times 4 \end{matrix} $

આ પછી થોડું થાય, કારણ કે 4 અને 17 પહેલેથી જ આવ્યા હતા.

તેથી, સંખ્યા 68 ના બધા કારકો છે 1, 2, 4, 17, 34 અને 68.

ઉદાહરણ 2 : સંખ્યા 36 ના કારકો શોધો.

ઉકેલ :

$ \begin{array}{lll} 36=1 \times 36 & 36=2 \times 18 & 36=3 \times 12 \\ 36=4 \times 9& 36=6 \times 6 & \end{array} $

આ પછી થોડું થાય, કારણ કે બંને કારકો (6) એક જ છે. તેથી, કારકો છે 1,2, $3,4,6,9,12,18$ અને 36.

ઉદાહરણ 3 : સંખ્યા 6 ના પહેલાં પાંચ ગુણાકારો લખો.

ઉકેલ : આવા ગુણાકારો છે: $6 \times 1=6,6 \times 2=12,6 \times 3=18,6 \times 4=24$, $6 \times 5=30$ એટલે $6,12,18,24$ અને 30.

અભ્યાસક્રમ 3.1

1. નીચેની સંખ્યાઓના બધા કારકો લખો:

(a) 24
(b) 15
(c) 21
(d) 27
(e) 12
(f) 20
(g) 18
(h) 23
(i) 36

2. નીચેની સંખ્યાઓના પહેલાં પાંચ ગુણાકારો લખો:

(a) 5
(b) 8
(c) 9

3. કૉલમ 1 ની વસ્તુઓને કૉલમ 2 ની વસ્તુઓ સાથે મેળ ખાવો.

કૉલમ 1 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ કૉલમ 2

(i) 35 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (a) 8 ના ગુણાકાર
(ii) 15 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (b) 7 ના ગુણાકાર
(iii) 16 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (c) 70 ના ગુણાકાર
(iv) 20 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (d) 30 ના કારક
(v) 25 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (e) 50 ના કારક
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (f) (f) 20 ના કારક

4. 100 સુધી સંખ્યા 9 ના બધા ગુણાકારો શોધો.

3.3 અપૂર્ણ અને સમાપ્ત સંખ્યાઓ

આપ હવે સંખ્યાના કારકો વિશે જાણી છે. થોડી સંખ્યાઓના કારકોની સંખ્યા આ કોષોમાં રાખીને જુઓ.

આપ શોધી શકો છો કે (a) સંખ્યા 1 માત્ર એક જ કારક ધરાવે છે (અર્થાત્ તોસફર તેનો કારક છે).

(b) એવી સંખ્યાઓ છે જેમાં તે સંખ્યા અને 1 જ બે કારકો હોય છે. આવી રીતે સંખ્યાઓ છે 2, 3, 5, 7, 11 વગેરે. આ સંખ્યાઓ અપૂર્ણ સંખ્યાઓ છે.

જે સંખ્યાઓ 1 અને તે સંખ્યા જ તેના કારકો છે, તે સંખ્યાઓને અપૂર્ણ સંખ્યાઓ કહેવાય છે.

આ વિનાશ કરવાની બીજી વધુ સંખ્યાઓ શોધો.

(c) બે કરતાં વધુ કારકો ધરાવતી સંખ્યાઓ છે જેમ કે 4, 6, 8, 9, 10 વગેરે.

આ સંખ્યાઓ સમાપ્ત સંખ્યાઓ છે.

1 એ અપૂર્ણ અથવા સમાપ્ત સંખ્યા નથી.

બે કરતાં વધુ કારકો ધરાવતી સંખ્યાઓને સમાપ્ત સંખ્યાઓ કહેવાય છે.

શું 15 એ સમાપ્ત સંખ્યા છે? શા માટે? 18 માટે કેટલું હશે? 25?

સંખ્યાના કારકોની સ્પષ્ટ રીતે ચેક કર્યા વિના, આપ 1 થી 100 સુધીના અપૂર્ણ સંખ્યાઓને સરળ રીતે શોધી શકો છો. આ રીત એક ગ્રીક ગણિતગણ એરાતોસ્થીને આપત્તિ કરવામાં આવી હતી, તેના તૃતીય સદીના પહેલાં. આપ આ રીત જોઈએ. 1 થી 100 સુધીના બધા સંખ્યાઓની યાદી કરો કે જેમ નીચે મુજબ છે.

પગલાં 1 : તે અપૂર્ણ સંખ્યા નથી તેથી 1 ને ક્રોસ કરો.

પગલાં 2 : 2 ને એન્કાર્ક કરો, 2 ના બીજા ગુણાકારો જ ક્રોસ કરો, અર્થાત્ 4, 6, 8 વગેરે.

પગલાં 3 : તમે શોધી શકો છો કે પહેલાં ક્રોસ કરેલ નંબર ના પછીનો નંબર 3 છે. 3 ને એન્કાર્ક કરો અને 3 ના બીજા ગુણાકારો જ ક્રોસ કરો, અર્થાત્ 3 ના બીજા ગુણાકારો.

પગલાં 4 : પછીનો ક્રોસ કરેલ નંબર 5 છે. 5 ને એન્કાર્ક કરો અને 5 ના બીજા ગુણાકારો જ ક્રોસ કરો, અર્થાત્ 5 ના બીજા ગુણાકારો.

પગલાં 5 : આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખો જ્યાં સુધી યાદીમાં હોય તે બધા નંબરો એન્કાર્ક કરાયેલા અથવા ક્રોસ કરાયેલા ન હોય ત્યાં સુધી.

બધા એન્કાર્ક કરાયેલા નંબરો એ અપૂર્ણ સંખ્યાઓ છે. બધા ક્રોસ કરાયેલા નંબરો, 1 ના કરતાં બીજા એ સમાપ્ત સંખ�