3.1 పరిచయం

రమేష్ వద్ద 6 గోళీలు ఉన్నాయి. అతను వాటిని వరుసల్లా అమర్చాలనుకుంటున్నాడు, ప్రతి వరుసలో ఒకే సంఖ్యలో గోళీలు ఉండేలా. అతను వాటిని కింది విధాలుగా అమర్చి, మొత్తం గోళీల సంఖ్యను సరిపోల్చాడు.

(i) ప్రతి వరుసలో 1 గోలీ

వరుసల సంఖ్య $=6$

మొత్తం గోళీల సంఖ్య $\quad=1 \times 6=6$

(ii) ప్రతి వరుసలో 2 గోళీలు వరుసల సంఖ్య $=3$

మొత్తం గోళీల సంఖ్య $\quad=2 \times 3=6$

(iii) ప్రతి వరుసలో 3 గోళీలు

వరుసల సంఖ్య $\quad=2$

మొత్తం గోళీల సంఖ్య $\quad=3 \times 2=6$

(iv) ప్రతి వరుసలో 4 గోళీలు లేదా 5 గోళీలు ఉండేలా ఎలాంటి అమరిక అతనికి తోచలేదు. కాబట్టి, మిగిలిన ఏకైక సాధ్యమైన అమరిక అన్ని 6 గోళీలను ఒకే వరుసలో ఉంచడం.

వరుసల సంఖ్య $\quad=1$

మొత్తం గోళీల సంఖ్య $=6 \times 1=6$

ఈ లెక్కల నుండి రమేష్ గమనించినది ఏమిటంటే, 6ని రెండు సంఖ్యల లబ్ధంగా వివిధ రకాలుగా ఇలా రాయవచ్చు:

$ 6=1 \times 6 ; \quad 6=2 \times 3 ; \quad 6=3 \times 2 ; \quad 6=6 \times 1 $

$6=2 \times 3$ నుండి 2 మరియు 3 లు 6ని ఖచ్చితంగా భాగిస్తాయని చెప్పవచ్చు. కాబట్టి, 2 మరియు 3 లు 6 యొక్క ఖచ్చితమైన భాజకాలు. ఇతర లబ్ధం $6=1 \times 6$ నుండి, 6 యొక్క ఖచ్చితమైన భాజకాలు 1 మరియు 6 అని తెలుస్తుంది.

అందువలన, 1, 2, 3 మరియు 6 లు 6 యొక్క ఖచ్చితమైన భాజకాలు. వాటిని 6 యొక్క కారణాంకాలు (అంశాలు) అంటారు. 18 గోళీలను వరుసల్లా అమర్చడానికి ప్రయత్నించి, 18 యొక్క కారణాంకాలను కనుగొనండి.

3.2 కారణాంకాలు మరియు గుణిజాలు

4ని ఖచ్చితంగా భాగించే సంఖ్యలను మేరీ కనుగొనాలనుకుంటుంది. ఆమె 4ని 4 కన్నా తక్కువ సంఖ్యలతో ఈ విధంగా భాగిస్తుంది.

భాగఫలం 4

శేషం 0

$4 = 1 \times 4$

భాగఫలం 2

శేషం 0

$4 = 2 \times 2$

భాగఫలం 1

శేషం 1

భాగఫలం 1

శేషం 0

$ 4=4 \times 1 $

ఆమె 4 సంఖ్యను ఇలా రాయవచ్చని కనుగొంది: $4=1 \times 4 ; 4=2 \times 2$; $4=4 \times 1$ మరియు 1,2 మరియు 4 సంఖ్యలు 4 యొక్క ఖచ్చితమైన భాజకాలు అని తెలుసుకుంది.

ఈ సంఖ్యలను 4 యొక్క కారణాంకాలు అంటారు.

ఒక సంఖ్య యొక్క కారణాంకం అనేది ఆ సంఖ్య యొక్క ఖచ్చితమైన భాజకం.

4 యొక్క ప్రతి కారణాంకం 4 కన్నా తక్కువ లేదా సమానం అని గమనించండి.

గేమ్-1 : ఇది ఇద్దరు వ్యక్తులు A మరియు B లు ఆడే ఆట. ఇది కారణాంకాలను గుర్తించడం గురించి.

దీనికి 1 నుండి 50 వరకు సంఖ్యలు ఉన్న 50 కార్డులు అవసరం.

కార్డులను టేబుల్ మీద ఇలా అమర్చండి.

దశలు

(a) ముందుగా ఎవరు ఆడతారో నిర్ణయించుకోండి, A లేదా B.

(b) A ముందుగా ఆడనివ్వండి. అతను టేబుల్ నుండి ఒక కార్డ్ తీసుకొని, తన వద్ద ఉంచుకుంటాడు. కార్డ్ మీద 28 సంఖ్య ఉందని అనుకోండి.

(c) ఆ తర్వాత B, A యొక్క కార్డ్ మీద ఉన్న సంఖ్య యొక్క కారణాంకాలు అయిన సంఖ్యలు ఉన్న అన్ని కార్డులను తీసుకొని, తన దగ్గర ఉన్న ఒక పెట్టెలో వేస్తాడు.

(d) ఆ తర్వాత B టేబుల్ నుండి ఒక కార్డ్ తీసుకొని తన వద్ద ఉంచుకుంటాడు. మిగిలిన కార్డుల నుండి, B యొక్క కార్డ్ మీద ఉన్న సంఖ్య యొక్క కారణాంకాలు అయిన సంఖ్యలు ఉన్న అన్ని కార్డులను A తీసుకుంటాడు. A వాటిని తాను ముందు సేకరించిన కార్డ్ మీద ఉంచుతాడు.

(e) అన్ని కార్డులు ఉపయోగించబడే వరకు ఈ ఆట ఇలాగే కొనసాగుతుంది.

(f) A తాను సేకరించిన కార్డుల మీద ఉన్న సంఖ్యలను కూడుతాడు. B కూడా తన కార్డులతో అదే చేస్తాడు. ఎక్కువ మొత్తం ఉన్న ఆటగాడు గెలుపు పొందుతాడు.

కార్డుల సంఖ్యను పెంచడం ద్వారా ఈ ఆటను మరింత ఆసక్తికరంగా చేయవచ్చు. ఈ ఆటను మీ స్నేహితుడితో ఆడండి. గెలవడానికి ఏదైనా మార్గం మీరు కనుగొనగలరా?

మనం 20 సంఖ్యను $20=4 \times 5$ గా రాస్తే, 4 మరియు 5 లు 20 యొక్క కారణాంకాలు అని చెప్తాము. 20 అనేది 4 మరియు 5 యొక్క గుణిజం అని కూడా చెప్తాము.

$24=2 \times 12$ సూచన 2 మరియు 12 లు 24 యొక్క కారణాంకాలు అని చూపిస్తుంది, అయితే 24 అనేది 2 మరియు 12 యొక్క గుణిజం.

ఇవి చేయండి

45, 30 మరియు 36 యొక్క సాధ్యమైన కారణాంకాలను కనుగొనండి.

ఒక సంఖ్య దాని ప్రతి కారణాంకం యొక్క గుణిజం అని మనం చెప్పవచ్చు

కారణాంకాలు మరియు గుణిజాల గురించి కొన్ని ఆసక్తికరమైన విషయాలు ఇప్పుడు చూద్దాం.

(a) 3 యూనిట్ల పొడవు ఉన్న అనేక కొయ్య/కాగితం పట్టీలను సేకరించండి.

(b) వాటిని కింది చిత్రంలో చూపినట్లుగా చివరి నుండి చివరి వరకు కలపండి.

పైన ఉన్న పట్టీ యొక్క పొడవు $3=1 \times 3$ యూనిట్లు.

దాని కింద ఉన్న పట్టీ యొక్క పొడవు $3+3=6$ యూనిట్లు. కూడా, $6=2 \times 3$. తర్వాతి పట్టీ యొక్క పొడవు $3+3+$ $3=9$ యూనిట్లు, మరియు $9=3 \times 3$. ఈ విధంగా కొనసాగిస్తే మనం ఇతర పొడవులను ఇలా వ్యక్తపరచవచ్చు,

$ 12=4 \times 3 ; \quad 15=5 \times 3 $

$3,6,9,12,15$ సంఖ్యలు 3 యొక్క గుణిజాలు అని మనం చెప్తాము.

3 యొక్క గుణిజాల జాబితాను $18,21,24, \ldots$ గా కొనసాగించవచ్చు

ఈ ప్రతి గుణిజం 3 కన్నా ఎక్కువ లేదా సమానం.

4 సంఖ్య యొక్క గుణిజాలు $4,8,12,16,20,24, \ldots$

ఈ జాబితా అంతం లేనిది. ఈ ప్రతి సంఖ్య 4 కన్నా ఎక్కువ లేదా సమానం.

కారణాంకాలు మరియు గుణిజాల గురించి మనం ఏమి ముగించామో చూద్దాం:

1. ప్రతి సంఖ్య యొక్క కారణాంకంగా ఏదైనా సంఖ్య ఉందా? ఉంది. అది 1. ఉదాహరణకు $6=1 \times 6,18=1 \times 18$ మరియు ముందుకు సాగించండి. మరికొన్ని సంఖ్యలకు దీన్ని తనిఖీ చేయండి.

$\mathbf{1}$ ప్రతి సంఖ్య యొక్క కారణాంకం అని మనం చెప్తాము.

2. 7 దానికదే కారణాంకం కాగలదా? కాగలదు. మీరు 7ని $7=7 \times 1$ గా రాయగలరు. 10 గురించి ఏమిటి? మరియు 15?

ప్రతి సంఖ్యను ఈ విధంగా వ్యక్తపరచవచ్చని మీరు కనుగొంటారు.

ప్రతి సంఖ్య దానికదే కారణాంకం అని మనం చెప్తాము.

3. 16 యొక్క కారణాంకాలు ఏమిటి? అవి 1, 2, 4, 8, 16. ఈ కారణాంకాలలో 16ని భాగించని ఏదైనా కారణాంకం మీరు కనుగొన్నారా? $20 ; 36$ కోసం దీన్ని ప్రయత్నించండి.

ప్రతి కారణాంకం ఆ సంఖ్య యొక్క ఖచ్చితమైన భాజకం అని మీరు కనుగొంటారు.

4. 34 యొక్క కారణాంకాలు ఏమిటి? అవి 1,2,17 మరియు 34 స్వయంగా. వీటిలో గరిష్ట కారణాంకం ఏది? అది 34 స్వయంగా.

ఇతర కారణాంకాలు 1, 2 మరియు 17 లు 34 కన్నా తక్కువ. 64, 81 మరియు 56 కోసం దీన్ని తనిఖీ చేయండి.

ప్రతి కారణాంకం ఇచ్చిన సంఖ్య కన్నా తక్కువ లేదా సమానం అని మనం చెప్తాము.

5. 76 సంఖ్యకు 5 కారణాంకాలు ఉన్నాయి. 136 లేదా 96 కి ఎన్ని కారణాంకాలు ఉన్నాయి? ఈ ప్రతి సంఖ్య యొక్క కారణాంకాల సంఖ్యను మీరు లెక్కించగలరని మీరు కనుగొంటారు.

సంఖ్యలు 10576, 25642 వంటి పెద్దవిగా లేదా అంతకన్నా పెద్దవిగా ఉన్నప్పటికీ, అటువంటి సంఖ్యల కారణాంకాల సంఖ్యను మీరు ఇప్పటికీ లెక్కించగలరు, (అయినప్పటికీ అటువంటి సంఖ్యలను కారణాంకాలుగా విభజించడం కష్టంగా ఉండవచ్చు).

ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క కారణాంకాల సంఖ్య పరిమితంగా ఉంటుంది అని మనం చెప్తాము.

6. 7 యొక్క గుణిజాలు ఏమిటి? స్పష్టంగా, $7,14,21,28, \ldots$ ఈ ప్రతి గుణిజం 7 కన్నా ఎక్కువ లేదా సమానం అని మీరు కనుగొంటారు. ఇది ప్రతి సంఖ్యతో జరుగుతుందా? 6,9 మరియు 10 యొక్క గుణిజాల కోసం దీన్ని తనిఖీ చేయండి.

ప్రతి గుణిజం ఆ సంఖ్య కన్నా ఎక్కువ లేదా సమానం అని మనం కనుగొంటాము.

7. 5 యొక్క గుణిజాలను రాయండి. అవి $5,10,15,20, \ldots$ ఈ జాబితా ఎక్కడైనా ముగుస్తుందని మీరు భావిస్తున్నారా? లేదు! జాబితా అంతం లేనిది. 6,7 మొదలైనవి యొక్క గుణిజాలతో దీన్ని ప్రయత్నించండి.

ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క గుణిజాల సంఖ్య అనంతం అని మనం కనుగొంటాము.

8. 7 దానికదే గుణిజం కాగలదా? కాగలదు, ఎందుకంటే $7=7 \times 1$. ఇది ఇతర సంఖ్యలకు కూడా సత్యమేనా? 3,12 మరియు 16 తో దీన్ని ప్రయత్నించండి.

ప్రతి సంఖ్య దానికదే గుణిజం అని మీరు కనుగొంటారు.

6 యొక్క కారణాంకాలు $1,2,3$ మరియు 6. కూడా, $1+2+3+6=12=2 \times 6$. 6 యొక్క కారణాంకాల మొత్తం 6 సంఖ్యకు రెట్టింపు అని మనం కనుగొంటాము. 28 యొక్క అన్ని కారణాంకాలు 1,2, $4,7,14$ మరియు 28. వీటిని కూడితే, మనకు $1+2+4+7+14+28=56=2 \times 28$ ఉంటుంది.

28 యొక్క కారణాంకాల మొత్తం 28 సంఖ్యకు రెట్టింపుకు సమానం.

దాని అన్ని కారణాంకాల మొత్తం రెండు రెట్లు సంఖ్యకు సమానమైన సంఖ్యను పరిపూర్ణ సంఖ్య (పర్ఫెక్ట్ నంబర్) అంటారు. 6 మరియు 28 సంఖ్యలు పరిపూర్ణ సంఖ్యలు. 10 ఒక పరిపూర్ణ సంఖ్యనా?

ఉదాహరణ 1 : 68 యొక్క అన్ని కారణాంకాలను రాయండి.

సాధన : మనం గమనించేది

$ \begin{matrix} 68=1 \times 68 \quad \quad & 68=2 \times 34 \\ 68=4 \times 17 \quad \quad & 68=17 \times 4 \end{matrix} $

ఇక్కడే ఆపండి, ఎందుకంటే 4 మరియు 17 లు ముందుగానే వచ్చాయి.

అందువలన, 68 యొక్క అన్ని కారణాంకాలు 1, 2, 4, 17, 34 మరియు 68.

ఉదాహరణ 2 : 36 యొక్క కారణాంకాలను కనుగొనండి.

సాధన :

$ \begin{array}{lll} 36=1 \times 36 & 36=2 \times 18 & 36=3 \times 12 \\ 36=4 \times 9& 36=6 \times 6 & \end{array} $

ఇక్కడే ఆపండి, ఎందుకంటే రెండు కారణాంకాలు (6) ఒకేలా ఉన్నాయి. అందువలన, కారణాంకాలు 1,2, $3,4,6,9,12,18$ మరియు 36.

ఉదాహరణ 3 : 6 యొక్క మొదటి ఐదు గుణిజాలను రాయండి.

సాధన : కావలసిన గుణిజాలు: $6 \times 1=6,6 \times 2=12,6 \times 3=18,6 \times 4=24$, $6 \times 5=30$ అంటే $6,12,18,24$ మరియు 30.

అభ్యాసం 3.1

1. కింది సంఖ్యల యొక్క అన్ని కారణాంకాలను రాయండి :

(a) 24
(b) 15
(c) 21
(d) 27
(e) 12
(f) 20
(g) 18
(h) 23
(i) 36

2. మొదటి ఐదు గుణిజాలను రాయండి :

(a) 5
(b) 8
(c) 9

3. కాలమ్ 1 లోని వస్తువులను కాలమ్ 2 లోని వస్తువులతో జతచేయండి.

కాలమ్1 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ కాలమ్2

(i) 35 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (a) 8 యొక్క గుణిజం
(ii) 15 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (b) 7 యొక్క గుణిజం
(iii) 16 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (c) 70 యొక్క గుణిజం
(iv) 20 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (d) 30 యొక్క కారణాంకం
(v) 25 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (e) 50 యొక్క కారణాంకం
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (f) (f) 20 యొక్క కారణాంకం

4. 100 వరకు 9 యొక్క అన్ని గుణిజాలను కనుగొనండి.

3.3 ప్రధాన మరియు భాజ్య సంఖ్యలు

ఇప్పుడు మనం ఒక సంఖ్య యొక్క కారణాంకాలతో పరిచితమయ్యాము. ఈ పట్టికలో అమర్చబడిన కొన్ని సంఖ్యల కారణాంకాల సంఖ్యను గమనించండి.

మనం కనుగొంటాము (a) సంఖ్య 1 కి ఒకే ఒక కారణాంకం ఉంటుంది (అంటే స్వయంగా).

(b) సరిగ్గా రెండు కారణాంకాలు 1 మరియు సంఖ్య స్వయంగా మాత్రమే ఉన్న సంఖ్యలు ఉన్నాయి. అటువంటి సంఖ్యలు 2, 3, 5, 7, 11 మొదలైనవి. ఈ సంఖ్యలు ప్రధాన సంఖ్యలు.

1 తప్ప మిగిలిన సంఖ్యలలో, 1 మరియు సంఖ్య స్వయంగా మాత్రమే కారణాంకాలుగా ఉండే సంఖ్యలను ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.

ఇవి తప్ప మరికొన్ని ప్రధాన సంఖ్యలను కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి.

(c) 4, 6, 8, 9, 10 మొదలైనవి వంటి రెండు కన్నా ఎక్కువ కారణాంకాలు ఉన్న సంఖ్యలు ఉన్నాయి.

ఈ సంఖ్యలు భాజ్య సంఖ్యలు.

1 ప్రధాన సంఖ్య కాదు లేదా భాజ్య సంఖ్య కాదు.

రెండు కన్నా ఎక్కువ కారణాంకాలు ఉన్న సంఖ్యలను భాజ్య సంఖ్యలు అంటారు.

15 ఒక భాజ్య సంఖ్యనా? ఎందుకు? 18 గురించి ఏమిటి? 25?

వాస్తవంగా ఒక సంఖ్య యొక్క కారణాంకాలను తనిఖీ చేయకుండా, మనం 1 నుండి 100 వరకు ప్రధాన సంఖ్యలను సులభమైన పద్ధతితో కనుగొనవచ్చు. ఈ పద్ధతిని ఒక

గ్రీకు గణిత శాస్త్రవేత్త ఎరాటోస్తనీస్, మూడవ శతాబ్దం B.C. లో ఇచ్చారు. ఆ పద్ధతిని చూద్దాం. కింద చూపినట్లుగా 1 నుండి 100 వరకు అన్ని సంఖ్యల జాబితాను తయారు చేయండి.

దశ 1 : 1 ప్రధాన సంఖ్య కాదు కాబట్టి దానిని దాటండి.

దశ 2 : 2ని చుట్టండి, 2 తప్ప 2 యొక్క అన్ని గుణిజాలను దాటండి, అంటే 4, 6, 8 మరియు ముందుకు సాగించండి.

దశ 3 : తర్వాతి దాటబడని సంఖ్య 3 అని మీరు కనుగొంటారు. 3ని చుట్టండి మరియు 3 తప్ప 3 యొక్క అన్ని గుణిజాలను దాటండి.

దశ 4 : తర్వాతి దాటబడని సంఖ్య 5. 5ని చుట్టండి మరియు 5 తప్ప 5 యొక్క అన్ని గుణిజాలను దాటండి.

దశ 5 : జాబితాలోని అన్ని సంఖ్యలు చుట్టబడ్డాయి లేదా దాటబడ్డాయి వరకు ఈ ప్రక్రియను కొనసాగించండి.

చుట్టబడిన అన్ని సంఖ్యలు ప్రధాన సంఖ్యలు. దాటబడిన అన్ని సంఖ్యలు, 1 తప్ప, భాజ్య సంఖ్యలు.

ఈ పద్ధతిని ఎరాటోస్తనీస్ జల్లెడ అంటారు.

ఇవి చేయండి

$2 \times 3+1=7$ ఒక ప్రధాన సంఖ్య అని గమనించండి. ఇక్కడ, 2 యొక్క గుణిజానికి 1 కలిపి ఒక ప్రధాన సంఖ్య వచ్చింది. ఈ రకమైన మరికొన్ని సంఖ్యలను మీరు కనుగొనగలరా?

ఉదాహరణ 4 : 15 కన్నా తక్కువ అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలను రాయండి.

సాధన : జల్లెడ పద్ధతిని గమనించడం ద్వారా, మనం కావలసిన ప్రధాన సంఖ్యలను సులభంగా 2,3, 5, 7, 11 మరియు 13 గా రాయగలము.

సరి మరియు బేసి సంఖ్యలు

$2,4,6,8,10,12,14, \ldots$ సంఖ్యలలో ఏదైనా నమూనా మీరు గమనించారా? వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి 2 యొక్క గుణిజం అని మీరు కనుగొంటారు.

వీటిని సరి సంఖ్యలు అంటారు. మిగిలిన సంఖ్యలు $1,3,5,7,9,11, \ldots$ బేసి సంఖ్యలు అంటారు.

ఒక రెండు అంకెల సంఖ్య లేదా మూడు అంకెల సంఖ్య సరి లేదా కాదా అని మీరు ధృవీకరించగలరు. 756482 వంటి సంఖ్య సరి సంఖ్యనా కాదనా అని మీరు ఎలా తెలుసుకుంటారు? దానిని 2 తో భాగించడం ద్వారా. అది దుర్భరంగా ఉండదా?

ఒకట్ల స్థానంలో $0,2,4,6,8$ ఉన్న సంఖ్య సరి సంఖ్య అని మనం చెప్తాము. కాబట్టి, 350, 4862, 59246 లు సరి సంఖ్యలు. $457,2359,8231$ సంఖ్యలు అన్నీ బేసి. కొన్ని ఆసక్తికరమైన విషయాలను కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

(a) అతి చిన్న సరి సంఖ్య ఏది? అది 2. అతి చిన్న ప్రధాన సంఖ్య ఏది? అది మళ్ళీ 2.

అందువలన, 2 అతి చిన్న ప్రధాన సంఖ్య మరియు అది సరి సంఖ్య.

(b) ఇతర ప్రధాన సంఖ్యలు $3,5,7,11,13, \ldots$. ఈ జాబితాలో మీరు ఏదైనా సరి సంఖ్యను కనుగొన్నారా? వాస్తవానికి లేదు