1.1 পরিচিতি

গণিততে, আমি আমাদের সামনে সহজ সমীকরণগুলো সমাধান করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ

$$ \begin{equation*} x+2=13 \tag{1} \end{equation*} $$

যখন $x=11$ সমাধান করে, কারণ $x$ এই মানটি প্রদত্ত সমীকরণটি পূরণ করে। সমাধান 11 একটি প্রাকৃত সংখ্যা। উল্লেখ্য, সমীকরণ

$$ \begin{equation*} x+5=5 \tag{2} \end{equation*} $$

সমাধান দিয়ে সম্পূর্ণ সংখ্যা 0 (শূন্য)। যদি আমি শুধু প্রাকৃত সংখ্যাগুলো ধরি, তবে সমীকরণ (2) সমাধান করা যায় না। সমীকরণগুলো যেমন (2) সমাধান করতে, আমি প্রাকৃত সংখ্যাগুলোর সমষ্টিতে সংখ্যা শূন্য যোগ করেছি এবং সম্পূর্ণ সংখ্যাগুলো পেয়েছি। এমনকি সম্পূর্ণ সংখ্যাগুলোও প্রকৃতির ধরনের সমীকরণ

$$ \begin{equation*} x+18=5 \tag{3} \end{equation*} $$

সমাধান করতে পারবে না। তুমি ‘কেন’ দেখ? আমাদের সংখ্যা -13 দরকার যা একটি সম্পূর্ণ সংখ্যা নয়। এটি আমাদের পূর্ণসংখ্যা, (ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক) চিন্তা করতে নিয়ে যায়। লক্ষ্য করো যে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা প্রাকৃত সংখ্যাগুলোর সংশ্লিষ্ট। একজন চিন্তা করতে পারে যে আমাদের সমস্ত সহজ সমীকরণগুলো সমাধান করতে পারি যেখানে প্রাপ্ত পূর্ণসংখ্যাগুলোর তালিকা থাকে। এখন সমীকরণগুলো বিবেচনা করো

$$ \begin{matrix} 2 x=3 \\ 5 x+7=0 \tag{5} \end{matrix} $$

যেনো আমি পূর্ণসংখ্যাগুলো থেকে একটি সমাধান খুঁজতে পারি না। (এটি যাচাই করো) আমাদের সমীকরণ (4) সমাধান করতে $\frac{3}{2}$ সংখ্যাগুলো দরকার এবং সমীকরণ (5) সমাধান করতে $\frac{-7}{5}$। এটি আমাদের অনুপাতিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টিতে পরিণত করে।

আমি ইতিমধ্যে অনুপাতিক সংখ্যাগুলোর উপর প্রাথমিক কার্যকলাপগুলো দেখেছি। এখন আমি আগের দেখা গণিতের বিভিন্ন ধরনের সংখ্যাগুলোর উপর কার্যকলাপের কিছু গুণগত বৈশিষ্ট্য অন্বেষণ করার চেষ্টা করি।

1.2 অনুপাতিক সংখ্যাগুলোর গুণগত বৈশিষ্ট্য

1.2.1 বন্ধতা

(i) সম্পূর্ণ সংখ্যা

আসুন সম্পূর্ণ সংখ্যাগুলোর উপর সব কার্যকলাপের জন্য বন্ধতার গুণগত বৈশিষ্ট্যটি সংক্ষেপে পুনরাবলোকন করি।

প্রাকৃত সংখ্যাগুলোর জন্য সব চারটি কার্যকলাপের উপর বন্ধতার গুণগত বৈশিষ্ট্য যাচাই করো।

(ii) পূর্ণসংখ্যা

আসুন এখন পূর্ণসংখ্যাগুলো কোন কার্যকলাপের অধীনে বন্ধ হয় তা মনয়ন করি।

আপনি দেখেছেন যে সম্পূর্ণ সংখ্যাগুলো যোগ এবং গুণের অধীনে বন্ধ কিন্তু বিয়োগ এবং ভাগের অধীনে বন্ধ নয়। তবে, পূর্ণসংখ্যাগুলো যোগ, বিয়োগ এবং গুণের অধীনে বন্ধ কিন্তু ভাগের অধীনে বন্ধ নয়।

(iii) অনুপাতিক সংখ্যা

মনে করো যে একটি সংখ্যা যা এমন আকারে লেখা যায় $\frac{p}{q}$, যেখানে $p$ এবং $q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$ একটি অনুপাতিক সংখ্যা বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, $-\frac{2}{3}, \frac{6}{7}, \frac{9}{-5}$ সবগুলো অনুপাতিক সংখ্যা। কারণ সংখ্যা $0,-2,4$ আকারে লেখা যায় $\frac{p}{q}$, তাই তারা আবার অনুপাতিক সংখ্যা। (এটি যাচাই করো!)

(অ) তুমি দুটি অনুপাতিক সংখ্যা যোগ করতে জানো। আসুন কয়েকটি জোড়া যোগ করি।

$ \begin{aligned} \frac{3}{8}+\frac{(-5)}{7} & =\frac{21+(-40)}{56}=\frac{-19}{56} \quad \quad \text{(একটি অনুপাতিক সংখ্যা)}\\ \frac{-3}{8}+\frac{(-4)}{5} & =\frac{-15+(-32)}{40}= \ldots \quad\quad \text{এটি একটি অনুপাতিক সংখ্যা?} \\ \frac{4}{7}+\frac{6}{11} & = \ldots\quad \quad\quad\quad \text{এটি একটি অনুপাতিক সংখ্যা?} \end{aligned} $

আমি দেখি যে দুটি অনুপাতিক সংখ্যার যোগফল আবার একটি অনুপাতিক সংখ্যা। কয়েকটি আরও অনুপাতিক সংখ্যার জোড়ার জন্য এটি যাচাই করো।

আমি বলি যে অনুপাতিক সংখ্যাগুলো যোগের অধীনে বন্ধ। অর্থাৎ, যেকোনো দুটি অনুপাতিক সংখ্যা $a$ এবং $b, a+b$ জন্য $a$ আবার একটি অনুপাতিক সংখ্যা।

(ব) দুটি অনুপাতিক সংখ্যার ভেতর ভেতর ভেদ আবার একটি অনুপাতিক সংখ্যা হবে?

আমি আছি,

$ \frac{-5}{7}-\frac{2}{3}=\frac{-5 \times 3-2 \times 7}{21}=\frac{-29}{21} \quad \text{ (একটি অনুপাতিক সংখ্যা) } $

$ \begin{aligned} \frac{5}{8}-\frac{4}{5}=\frac{25-32}{40} & =\ldots \quad \text{এটি একটি অনুপাতিক সংখ্যা? }\\ \frac{3}{7}-(\frac{-8}{5}) & =\ldots \quad \text{এটি একটি অনুপাতিক সংখ্যা? } \end{aligned} $

কিছু আরও অনুপাতিক সংখ্যার জোড়ার জন্য এটি চেষ্টা করো। আমি দেখি যে অনুপাতিক সংখ্যাগুলো বিয়োগের অধীনে বন্ধ। অর্থাৎ, যেকোনো দুটি অনুপাতিক সংখ্যা $a$ এবং $b, a-b$ জন্য $i s$ আবার একটি অনুপাতিক সংখ্যা।

(ক) আসুন এখন দুটি অনুপাতিক সংখ্যার গুণ দেখি।

$ \begin{matrix} \frac{-2}{3} \times \frac{4}{5} & =\frac{-8}{15} ; \frac{3}{7} \times \frac{2}{5}=\frac{6}{35} & \text{ (উভয় গুণফলই অনুপাতিক সংখ্যা) } \\ -\frac{4}{5} \times \frac{-6}{11} & =\ldots & \text{ এটি একটি অনুপাতিক সংখ্যা? } \end{matrix} $

কিছু আরও অনুপাতিক সংখ্যার জোড়া নিয়ে চেক করো যে তাদের গুণফল আবার একটি অনুপাতিক সংখ্যা।

আমি বলি যে অনুপাতিক সংখ্যাগুলো গুণের অধীনে বন্ধ। যে $i s$, যেকোনো দুটি অনুপাতিক সংখ্যা $a$ এবং $b, a \times b$ জন্য $\frac{-5}{3} \div \frac{2}{5}=\frac{-25}{6}$ আবার একটি অনুপাতিক সংখ্যা।

(খ) আমি লক্ষ্য করি $\frac{-5}{3} \div \frac{2}{5}=\frac{-25}{6}$

(একটি অনুপাতিক সংখ্যা)

$\frac{2}{7} \div \frac{5}{3}=\ldots$। এটি একটি অনুপাতিক সংখ্যা? $\frac{-3}{8} \div \frac{-2}{9}=\ldots$। এটি একটি অনুপাতিক সংখ্যা?

আপনি বলতে পারেন যে অনুপাতিক সংখ্যাগুলো ভাগের অধীনে বন্ধ?

আমি দেখি যে যেকোনো অনুপাতিক সংখ্যা $a, a \div 0$ সংজ্ঞায়িত হয় না।

তাই অনুপাতিক সংখ্যাগুলো ভাগের অধীনে বন্ধ নয়।

তবে, যদি আমি শূন্য বাদ দিই তবে সব অন্যান্য অনুপাতিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি ভাগের অধীনে বন্ধ হয়।

এই কাজগুলো করো

নিম্নলিখিত টেবিলে ফাঁকাগুলো পূরণ করো।

1.2.2 পরিবৃত্তিতা

(i) সম্পূর্ণ সংখ্যা

নিম্নলিখিত টেবিল পূরণ করে সম্পূর্ণ সংখ্যাগুলোর বিভিন্ন কার্যকলাপের পরিবৃত্তিতাটি মনয়ন করো।

প্রাকৃত সংখ্যাগুলোর জন্য কার্যকলাপের পরিবৃত্তিতা কি আছে তা যাচাই করো।

(ii) পূর্ণসংখ্যা

নিম্নলিখিত টেবিল পূরণ করে এবং পূর্ণসংখ্যাগুলোর বিভিন্ন কার্যকলাপের পরিবৃত্তিতা যাচাই করো:

(iii) অনুপাতিক সংখ্যা

(অ) যোগ

তুমি দুটি অনুপাতিক সংখ্যা যোগ করতে জানো। আসুন এখানে কয়েকটি জোড়া যোগ করি।

$ \begin{aligned} & \quad \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{1}{21} \text{ এবং } \frac{5}{7}+(\frac{-2}{3})=\frac{1}{21} \\ & \text{ সুতরাং, } \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{5}{7}+(\frac{-2}{3}) \\ & \text{ আবার, } \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=\ldots \text{ এবং } \frac{-8}{3}+(\frac{-6}{5})=\ldots \\ & \text{ হয় কি? } \quad \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=(\frac{-8}{3})+(\frac{-6}{5}) ? \end{aligned} $

$\quad \frac{-3}{8}+\frac{1}{7}=\frac{1}{7}+(\frac{-3}{8})$?

তুমি দেখবে যে দুটি অনুপাতিক সংখ্যা যেকোনো ক্রমে যোগ করা যায়। আমি বলি যে যোগ অনুপাতিক সংখ্যাগুলোর জন্য পরিবৃত্তিতা। অর্থাৎ, যেকোনো দুটি অনুপাতিক সংখ্যা $a$ এবং $b, a+b=b+a$ জন্য $\quad \frac{2}{3}-\frac{5}{4}=\frac{5}{4}-\frac{2}{3}$।

(ব) বিয়োগ

$\quad \frac{2}{3}-\frac{5}{4}=\frac{5}{4}-\frac{2}{3}$?

$\quad \frac{1}{2}-\frac{3}{5}=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}$?

তুমি দেখবে যে বিয়োগ অনুপাতিক সংখ্যাগুলোর জন্য পরিবৃত্তিতা নয়।

লক্ষ্য করো যে বিয়োগ পূর্ণসংখ্যাগুলোর জন্য পরিবৃত্তিতা নয় এবং পূর্ণসংখ্যাগুলোও অনুপাতিক সংখ্যা। সুতরাং, বিয়োগ অনুপাতিক সংখ্যাগুলোর জন্যও পরিবৃত্তিতা নয়।

(ক) গুণ

আমি, $\quad \frac{-7}{3} \times \frac{6}{5}=\frac{-42}{15}=\frac{6}{5} \times(\frac{-7}{3})$

হয় কি:

$ \frac{-8}{9} \times(\frac{-4}{7})=\frac{-4}{7} \times(\frac{-8}{9}) ? $

এমন কিছু আরও গুণের জন্য চেক করো।

তুমি দেখবে যে গুণ অনুপাতিক সংখ্যাগুলোর জন্য পরিবৃত্তিতা।

সাধারণত, $a \times b=b \times$ যেকোনো দুটি অনুপাতিক সংখ্যা $a$ এবং $b$ জন্য।

(খ) ভাগ

হয় কি:

$ \frac{-5}{4} \div \frac{3}{7}=\frac{3}{7} \div(\frac{-5}{4}) ? $

তুমি দেখবে যে উভয় পাশের অভিব্যক্তি সমান নয়।

সুতরাং ভাগ অনুপাতিক সংখ্যাগুলোর জন্য পরিবৃত্তিতা নয়।

এই কাজগুলো করো

নিম্নলিখিত টেবিল সম্পূরণ করো:

1.2.3 অ্যাসোসিয়েটিভিটি

(i) সম্পূর্ণ সংখ্যা

নিম্নলিখিত টেবিল মাধ্যমে সম্পূর্ণ সংখ্যাগুলোর চারটি কার্যকলাপের অ্যাসোসিয়েটিভিটি মনয়ন করো:

এই টেবিল পূরণ করো এবং শেষ কলামে প্রদত্ত মন্তব্যগুলো যাচাই করো।

নিজের হাতে বিভিন্ন কার্যকলাপের অ্যাসোসিয়েটিভিটি প্রাকৃত সংখ্যাগুলোর জন্য যাচাই করো।

(ii) পূর্ণসংখ্যা

পূর্ণসংখ্যাগুলোর চারটি কার্যকলাপের অ্যাসোসিয়েটিভিটি এই টেবিল দ্বারা দেখা যায়

(iii) অনুপাতিক সংখ্যা

(অ)

যোগ: আমি $\frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=\frac{-2}{3}+(\frac{-7}{30})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10}$

$ [\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})=\frac{-1}{15}+(\frac{-5}{6})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10} $

সুতরাং, $\quad \frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=[\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})$

$\frac{-1}{2}+[\frac{3}{7}+(\frac{-4}{3})]$ এবং $[\frac{-1}{2}+\frac{3}{7}]+(\frac{-4}{3})$ খুঁজো। উভয় যোগফল সমান? কিছু আরও অনুপাতিক সংখ্যা নিয়ে উপরোক্ত পদ্ধতিতে তাদের যোগ করো এবং দেখো যে উভয় যোগফল সমান। আমি দেখি যে যোগ অনুপাতিক সংখ্যাগুলোর জন্য অ্যাসোসিয়েটিভ। যে $i$, যেকোনো তিনটি অনুপাতিক সংখ্যা $a, b$ এবং $c, a+(b+c)=(a+b)+c$ জন্য।

(ব) বিয়োগ

তুমি ইতিমধ্যে জানো যে বিয়োগ পূর্ণসংখ্যাগুলোর জন্য অ্যাসোসিয়েটিভ নয়, তাহলে অনুপাতিক সংখ্যাগুলোর কি?

$\quad \frac{-2}{3}-[\frac{-4}{5}-\frac{1}{2}]=[\frac{2}{3}-(\frac{-4}{5})]-\frac{1}{2} ?$

নিজের হাতে যাচাই করো।

বিয়োগ অনুপাতিক সংখ্যাগুলোর জন্য অ্যাসোসিয়েটিভ নয়।

(ক) গুণ

আসুন গুণের অ্যাসোসিয়েটিভিটি যাচাই করি।

$ \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=\frac{-7}{3} \times \frac{10}{36}=\frac{-70}{108}=\frac{-35}{54} $

$ (\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}=\ldots $

আমি দেখি $\quad \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=(\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}$

হয় কি:

$ \frac{2}{3} \times(\frac{-6}{7} \times \frac{4}{5})=(\frac{2}{3} \times \frac{-6}{7}) \times \frac{4}{5} ? $

কিছু আরও অনুপাতিক সংখ্যা নিয়ে নিজের হাতে যাচাই করো।

আমি দেখি যে গুণ অনুপাতিক সংখ্যাগুলোর জন্য অ্যাসোসিয়েটিভ। অর্থাৎ যেকোনো তিনটি অনুপাতিক সংখ্যা $a, b$ এবং $c, a \times(b \times c)=(a \times b) \times c$ জন্য। (খ) ভাগ

মনে করো যে ভাগ পূর্ণসংখ্যাগুলোর জন্য অ্যাসোসিয়েটিভ নয়, তাহলে অনুপাতিক সংখ্যাগুলোর কি?

আসুন $\frac{1}{2} \div[\frac{-1}{3} \div \frac{2}{5}]=[\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3})] \div \frac{2}{5}$ দেখি।

আমি, LHS $=\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3} \div \frac{2}{5})=\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3} \times \frac{5}{2}) \quad(.$ ঋণাত্মক হিসাবে $\frac{2}{5}$ এর প্রতিপাত হলো $\frac{5}{2}$ )

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} \div(-\frac{5}{6})=\ldots \\ \text{ RHS } & =[\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3})] \div \frac{2}{5} \\ & =(\frac{1}{2} \times \frac{-3}{1}) \div \frac{2}{5}=\frac{-3}{2} \div \frac{2}{5}=\ldots \end{aligned} $

LHS = RHS? নিজের হাতে যাচাই করো। তুমি দেখবে যে ভাগ অনুপাতিক সংখ্যাগুলোর জন্য অ্যাসোসিয়েটিভ নয়।

এই কাজগুলো করো

নিম্নলিখিত টেবিল সম্পূরণ করো:

উদাহরণ 1 : $\frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+(\frac{5}{22})$ খুঁজো

সমাধান: $\frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+(\frac{5}{22})$

$=\frac{198}{462}+(\frac{-252}{462})+(\frac{-176}{462})+(\frac{105}{462})$ (লক্ষ্য করো 462 হলো 7, 11, 21 এবং 22 এর ক্ষোভনীয় সংখ্যা)

$=\frac{198-252-176+105}{462}=\frac{-125}{462}$

আমি এটি আবার এভাবে সমাধান করতে পারি।

$ \begin{aligned} & \frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+\frac{5}{22} \\ & =[\frac{3}{7}+(\frac{-8}{21})]+[\frac{-6}{11}+\frac{5}{22}] \quad \text{ (পরিবৃত্তিতা এবং অ্যাসোসিয়েটিভিটি ব্যবহার করে) } \\ & =[\frac{9+(-8)}{21}]+[\frac{-12+5}{22}] \quad \text{ (7 এবং 21 এর ক্ষোভনীয় সংখ্যা 21; 11 এবং 22 এর ক্ষোভনীয় সংখ্যা 22) } \\ & =\frac{1}{21}+(\frac{-7}{22})=\frac{22-147}{462}=\frac{-125}{462} \end{aligned} $

আপনি ভাবেন যে পরিবৃত্তিতা এবং অ্যাসোসিয়েটিভিটির গুণগত বৈশিষ্ট্য গণনা সহজ করে তুলেছে?

উদাহরণ 2 : $\frac{-4}{5} \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9})$ খুঁজো

সমাধান: আমি আছি

$ \begin{aligned} \frac{-4}{5} & \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9}) \\ & =(-\frac{4 \times 3}{5 \times 7}) \times(\frac{15 \times(-14)}{16 \times 9}) \\ & =\frac{-12}{35} \times(\frac{-35}{24})=\frac{-12 \times(-35)}{35 \times 24}=\frac{1}{2} \end{aligned} $

আমি এটি আবার এভাবে করতে পারি।

$ \begin{aligned} \frac{-4}{5} & \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9}) \\ & =(\frac{-4}{5} \times \frac{15}{16}) \times[\frac{3}{7} \times(\frac{-14}{9})] \text{ (পরিবৃত্তিতা এবং অ্যাসোসিয়েটিভিটি ব্যবহার করে) } \\ & =\frac{-3}{4} \times(\frac{-2}{3})=\frac{1}{2} \end{aligned} $

1.2.4 শূন্য (0) এর ভূমিকা

নিম্নলিখিত বিষয়গুলো দেখো।

$ \begin{aligned} 2+0 & =0+2=2 \\ -5+0 & =\ldots+\ldots=-5 \\ \frac{-2}{7}+\ldots & =0+(\frac{-2}{7})=\frac{-2}{7} \end{aligned} $

(একটি সম্পূর্ণ সংখ্যার সাথে 0 যোগ) (একটি পূর্ণসংখ্যার সাথে 0 যোগ)

(একটি অনুপাতিক সংখ্যার সাথে 0 যোগ)

আপনি এমন যোগগুলো আগে করেছেন। কয়েকটি আরও এমন যোগ করো।

আপনি কি লক্ষ্য করেন? আপনি দেখবেন যে আপনি 0 যোগ করলে একটি সম্পূর্ণ সংখ্যার সাথে, ফলফল আবার সেই সম্পূর্ণ সংখ্যা। এটি পূর্ণসংখ্যা এবং অনুপাতিক সংখ্যাগুলোর ক্ষেত্রেও ঘটে।

সাধারণত,

$ \begin{matrix} a+0 & =0+a=a, & \text{ যেখানে } a \text{ একটি সম্পূর্ণ সংখ্যা } \\ b+0 & =0+b=b, & \text{ যেখানে } b \text{ একটি পূর্ণসংখ্যা } \\ c+0 & =0+c=c, & \text{ যেখানে } c \text{ একটি অনুপাতিক সংখ্যা } \end{matrix} $

শূন্যটি অনুপাতিক সংখ্যাগুলোর যোগের পরিচয় বলা হয়। এটি পূর্ণসংখ্যা এবং সম্পূর্ণ সংখ্যাগুলোর জন্যও যোগের পরিচয়।