અધ્યાય 01 પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ

1.1 પરિચય

ગણિતમાં, અમે વારંવાર ઉકેલવામાં આવેલી સરળ સમીકરણો સામે આવી રહ્યાં છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ

$$ \begin{equation*} x+2=13 \tag{1} \end{equation*} $$

નું ઉકેલ $x=11$ સાથે થાય છે, કારણ કે $x$ આ કિંમત આપેલ સમીકરણનું સંતૃપ્ત કરે છે. ઉકેલ 11 એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે. અનેક સમીકરણ

$$ \begin{equation*} x+5=5 \tag{2} \end{equation*} $$

ની ઉકેલ એટલે સંપૂર્ણ સંખ્યા 0 (શૂન્ય). જો અમે ફક્ત પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને ધ્યાનમાં લીધા હોય, તો સમીકરણ (2) નું ઉકેલ ન થઈ શકે. સમીકરણો જેવાં કે (2) નું ઉકેલ કરવા માટે, અમે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં શૂન્ય નંબરને ઉમેર્યો અને સંપૂર્ણ સંખ્યાઓનો પ્રાપ્ત થયો. આપણે સમીકરણોનું ઉકેલ કરવા માટે સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ પણ પૂરતી નહિં રહેશે.

શું તમે ‘શા માટે’ જોયું? અમને આપણે સંપૂર્ણ સંખ્યા નહીં હોય તેવી સંખ્યા -13 જોઈએ. આને બિન-ઘટાત્મક અને ઘટાત્મક સંખ્યાઓનો વિચાર કરવા લાગ્યા. નોંધો કે ઘટાત્મક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને સમાન રાખે છે. એક વ્યક્તિ વિચારી શકે છે કે આપણે ઉપલબ્ધ સંખ્યાઓની યાદીનો ઉપયોગ કરીને બધા સરળ સમીકરણોનું ઉકેલ કરવા માટે પૂરતી સંખ્યાઓ પૂરી પાડી શકાય છે. હવે સમીકરણોને ધ્યાનમાં લો

$$ \begin{matrix} 2 x=3 \\ 5 x+7=0 \tag{5} \end{matrix} $$

જેમાં અમે ઘટાત્મક સંખ્યાઓમાંથી ઉકેલ શોધી શકતા નથી. (આ તપાસો) સમીકરણ (4) નું ઉકેલ કરવા માટે અમને $\frac{3}{2}$ જ જરૂર છે અને સમીકરણ(5) નું ઉકેલ કરવા માટે $\frac{-7}{5}$. આને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહની દિશા આપે છે.

અમે પહેલેથી જ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ પર મૂલ્યોની મૂલ્યાત્મક પ્રવૃત્તિઓને જોયું છે. હવે અમે આપેલ સમય સુધી જોયેલા વિવિધ પ્રકારના સંખ્યાઓની પ્રવૃત્તિઓની કેટલીક ગુણવત્તાઓ અન્વેષણ કરવાનો પ્રયત્ન કરીએ છીએ.

1.2 પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની ગુણવત્તાઓ

1.2.1 બંધારણ

(i) સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ

આપણે સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ પર બધી પ્રવૃત્તિઓ માટે બંધારણ ગુણવત્તાને ફરીથી સંદર્ભમાં લો.

પ્રવૃત્તિ	સંખ્યાઓ	ટીકા
બારણા	$0+5=5$, એક સંપૂર્ણ સંખ્યા $4+7=\ldots$. તે એક સંપૂર્ણ સંખ્યા છે? સામાન્ય રીતે, $a+b$ એક સંપૂર્ણ સંખ્યા છે કોઈપણ બે સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે.	સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ બારણા હેતુમાં બંધારણપૂર્ણ છે.
બાદબાકી	$5-7=-2$, જે એક સંપૂર્ણ સંખ્યા નથી.	સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ બાદબાકી હેતુમાં બંધારણપૂર્ણ નથી.
ગુણાકાર	$3 \times 3=0$, સંપૂર્ણ સંખ્યા સામાન્ય રીતે, $a$ અને $b$ કોઈપણ બે સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ હોય તો તેમનો ગુણાકાર $a b$ એક સંપૂર્ણ સંખ્યા છે.	સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ ગુણાકાર હેતુમાં બંધારણપૂર્ણ છે.
ભાગાકાર	$5 \div 8=\frac{5}{8}$, જે એક સંપૂર્ણ સંખ્યા નથી.	સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ ભાગાકાર હેતુમાં બંધારણપૂર્ણ નથી.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે બધી ચારે પ્રવૃત્તિઓ હેતુમાં બંધારણ ગુણવત્તાને તપાસો.

(ii) ઘટાત્મક સંખ્યાઓ

હવે ઘટાત્મક સંખ્યાઓ કેટલીક પ્રવૃત્તિઓ હેતુમાં બંધારણપૂર્ણ છે તે પરિણામે પુનઃસંદર્ભમાં લો.

પ્રવૃત્તિ	સંખ્યાઓ	ટીકા
બારણા	$-6+5=-1$, એક ઘટાત્મક સંખ્યા	ઘટાત્મક સંખ્યાઓ બારણા હેતુમાં બંધારણપૂર્ણ છે.
	$-7+(-5)$ એક ઘટાત્મક સંખ્યા છે? $8+5$ એક ઘટાત્મક સંખ્યા છે? સામાન્ય રીતે, $a+b$ એક ઘટાત્મક સંખ્યા છે કોઈપણ બે ઘટાત્મક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે.
બાદબાકી	$7-5=2$, એક ઘટાત્મક સંખ્યા $5-7$ એક ઘટાત્મક સંખ્યા છે? $-6-8=-14$, એક ઘટાત્મક સંખ્યા	ઘટાત્મક સંખ્યાઓ બાદબાકી હેતુમાં બંધારણપૂર્ણ છે.
	$-6-(-8)=2$, એક ઘટાત્મક સંખ્યા $8-(-6)$ એક ઘટાત્મક સંખ્યા છે? સામાન્ય રીતે, કોઈપણ બે ઘટાત્મક સંખ્યાઓ $a$ અને $b, a-b$ માટે પ્રવૃત્તિ ફરીથી એક ઘટાત્મક સંખ્યા છે. $b-a$ પણ ઘટાત્મક સંખ્યા છે તે તપાસો.
ગુણાકાર	$5 \times 8=40$, એક ઘટાત્મક સંખ્યા $-5 \times 8$ એક ઘટાત્મક સંખ્યા છે? $-5 \times(-8)=40$, એક ઘટાત્મક સંખ્યા સામાન્ય રીતે, કોઈપણ બે ઘટાત્મક સંખ્યાઓ $a$ અને $b, a \times b$ માટે પ્રવૃત્તિ પણ એક ઘટાત્મક સંખ્યા છે.	ઘટાત્મક સંખ્યાઓ ગુણાકાર હેતુમાં બંધારણપૂર્ણ છે.
ભાગાકાર	$5 \div 8=\frac{5}{8}$, જે એક ઘટાત્મક સંખ્યા નથી.	ઘટાત્મક સંખ્યાઓ ભાગાકાર હેતુમાં બંધારણપૂર્ણ નથી.

તમે જોયું છો કે સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ બારણા અને ગુણાકાર હેતુમાં બંધારણપૂર્ણ છે પણ બાદબાકી અને ભાગાકાર હેતુમાં નથી. જોકે, ઘટાત્મક સંખ્યાઓ બારણા, બાદબાકી અને ગુણાકાર હેતુમાં બંધારણપૂર્ણ છે પણ ભાગાકાર હેતુમાં નથી.

(iii) પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ

પુનઃસંદર્ભમાં લો કે એવી સંખ્યા જે આ રીતે લખી શકાય $\frac{p}{q}$, જ્યાં $p$ અને $q$ ઘટાત્મક સંખ્યાઓ છે અને $q \neq 0$ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા કહેવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, $-\frac{2}{3}, \frac{6}{7}, \frac{9}{-5}$ બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે. કારણ કે સંખ્યાઓ $0,-2,4$ આ રીતે લખી શકાય $\frac{p}{q}$, તેઓ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે. (તે તપાસો!)

(અ) તમે બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને કેવી રીતે બારણા કરવું તે જાણો છો. આપણે કેટલાક જૂથો બારણા કરીએ છીએ.

$ \begin{aligned} \frac{3}{8}+\frac{(-5)}{7} & =\frac{21+(-40)}{56}=\frac{-19}{56} \quad \quad \text{(એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા)}\\ \frac{-3}{8}+\frac{(-4)}{5} & =\frac{-15+(-32)}{40}= \ldots \quad\quad \text{તે એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે?} \\ \frac{4}{7}+\frac{6}{11} & = \ldots\quad \quad\quad\quad \text{તે એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે?} \end{aligned} $

અમે શોધી શક્યા છે કે બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો બંધારણ ફરીથી એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા થાય છે. કેટલાક વધુ જૂથો માટે આ તપાસો.

અમે કહીએ છીએ કે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ બારણા હેતુમાં બંધારણપૂર્ણ છે. એટલે કે, કોઈપણ બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b, a+b$ માટે પ્રવૃત્તિ પણ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.

(બ) બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો તફાવત ફરીથી એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા થશે છે કે નહીં?

અમે પહેલેથી જ પહોંચ્યા છીએ,

$ \frac{-5}{7}-\frac{2}{3}=\frac{-5 \times 3-2 \times 7}{21}=\frac{-29}{21} \quad \text{ (એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા) } $

$ \begin{aligned} \frac{5}{8}-\frac{4}{5}=\frac{25-32}{40} & =\ldots \quad \text{તે એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે? }\\ \frac{3}{7}-(\frac{-8}{5}) & =\ldots \quad \text{તે એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે? } \end{aligned} $

કેટલાક વધુ જૂથો માટે આ પ્રયાસ કરો. અમે શોધી શક્યા છે કે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ બાદબાકી હેતુમાં બંધારણપૂર્ણ છે. એટલે કે, કોઈપણ બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b, a-b$ માટે પ્રવૃત્તિ પણ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.

(ક) હવે બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તપાસીએ.

$ \begin{matrix} \frac{-2}{3} \times \frac{4}{5} & =\frac{-8}{15} ; \frac{3}{7} \times \frac{2}{5}=\frac{6}{35} & \text{ (બંને ગુણાકારો પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે) } \\ -\frac{4}{5} \times \frac{-6}{11} & =\ldots & \text{તે એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે? } \end{matrix} $

કેટલાક વધુ જૂથો માટે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ લો અને તેમનો ગુણાકાર ફરીથી એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે તે તપાસો.

અમે કહીએ છીએ કે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ ગુણાકાર હેતુમાં બંધારણપૂર્ણ છે. એટલે કે $i s$, કોઈપણ બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b, a \times b$ માટે પ્રવૃત્તિ પણ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.

(દ) અમે નોંધીએ છીએ કે $\frac{-5}{3} \div \frac{2}{5}=\frac{-25}{6}$

(એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા)

$\frac{2}{7} \div \frac{5}{3}=\ldots$. તે એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે? $\frac{-3}{8} \div \frac{-2}{9}=\ldots$. તે એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે?

તમે કહી શકો છો કે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ ભાગાકાર હેતુમાં બંધારણપૂર્ણ છે કે નહીં?

અમે શોધી શક્યા છે કે કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $a, a \div 0$ માટે પ્રવૃત્તિ વ્યાખ્યાયિત નથી.

તેથી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ ભાગાકાર હેતુમાં બંધારણપૂર્ણ નથી. જોકે, જો અમે શૂન્યને બાકી રાખીએ તો બધી બીજી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ ભાગાકાર હેતુમાં બંધારણપૂર્ણ થાય છે.

આ પ્રયાસ કરો

નીચેની કોષ્ટકમાં ખાલી જગ્યાઓ ભરો.

સંખ્યાઓ	બંધારણપૂર્ણ છે
	બારણા	બાદબાકી	ગુણાકાર	ભાગાકાર
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ	હા	હા	$\ldots$	નહીં
ઘટાત્મક સંખ્યાઓ	$\ldots$	હા	$\ldots$	નહીં
સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ	$\ldots$	$\ldots$	હા	$\ldots$
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ	$\ldots$	નહીં	$\ldots$	$\ldots$

1.2.2 એકરૂપતા

(i) સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ

નીચેની કોષ્ટકમાં સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ માટે વિવિધ પ્રવૃત્તિઓની એકરૂપતા પુનઃસંદર્ભમાં લો.

પ્રવૃત્તિ	સંખ્યાઓ	ટીકા
બારણા	$0+7=7+0=7$ $2+3=\ldots+\ldots=\ldots$. કોઈપણ બે સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ $a$ અને $b$, $a+b=b+a$	બારણા એકરૂપ છે.
બાદબાકી	$\ldots \ldots . .$.
ગુણાકાર	$\ldots \ldots .$.	બાદબાકી એકરૂપ નથી.
ભાગાકાર	$\ldots \ldots . .$.	ભાગાકાર એકરૂપ નથી.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે પણ પ્રવૃત્તિઓની એકરૂપતા તપાસો.

(ii) ઘટાત્મક સંખ્યાઓ

નીચેની કોષ્ટકમાં ભરો અને ઘટાત્મક સંખ્યાઓ માટે વિવિધ પ્રવૃત્તિઓની એકરૂપતા તપાસો:

પ્રવૃત્તિ	સંખ્યાઓ	ટીકા
બારણા	$\ldots \ldots .$.	બારણા એકરૂપ છે.
બાદબાકી	$5-(-3)=-3-5 ?$ એકરૂપ છે?	બાદબાકી એકરૂપ નથી.
ગુણાકાર	$\ldots \ldots .$.	ગુણાકાર એકરૂપ છે.
ભાગાકાર	$\ldots . . .$.	ભાગાકાર એકરૂપ નથી.

(iii) પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ

(અ) બારણા

તમે બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને કેવી રીતે બારણા કરવું તે જાણો છો. આપણે કેટલાક જૂથો બારણા કરીએ છીએ.

$ \begin{aligned} & \quad \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{1}{21} \text{ અને } \frac{5}{7}+(\frac{-2}{3})=\frac{1}{21} \\ & \text{ તેથી, } \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{5}{7}+(\frac{-2}{3}) \\ & \text{ પણ, } \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=\ldots \text{ અને } \frac{-8}{3}+(\frac{-6}{5})=\ldots \\ & \text{ છે કે } \quad \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=(\frac{-8}{3})+(\frac{-6}{5}) ? \end{aligned} $

$\quad \frac{-3}{8}+\frac{1}{7}=\frac{1}{7}+(\frac{-3}{8})$ છે?

તમે શોધી શકો છો કે બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને કોઈપણ ક્રમમાં બારણા કરી શકાય છે. અમે કહીએ છીએ કે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે બારણા એકરૂપ છે. એટલે કે, કોઈપણ બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b, a+b=b+a$.

(બ) બાદબાકી

$\quad \frac{2}{3}-\frac{5}{4}=\frac{5}{4}-\frac{2}{3}$ છે?

$\quad \frac{1}{2}-\frac{3}{5}=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}$ છે?

તમે શોધી શકો છો કે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે બાદબાકી એકરૂપ નથી.

નોંધો કે ઘટાત્મક સંખ્યાઓ માટે બાદબાકી એકરૂપ નથી અને ઘટાત્મક સંખ્યાઓ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે. તેથી, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે બાદબાકી પણ એકરૂપ નથી.

(ક) ગુણાકાર

અમે પહેલેથી જ પહોંચ્યા છીએ, $\quad \frac{-7}{3} \times \frac{6}{5}=\frac{-42}{15}=\frac{6}{5} \times(\frac{-7}{3})$

છે: $ \frac{-8}{9} \times(\frac{-4}{7})=\frac{-4}{7} \times(\frac{-8}{9}) ? $

આ જેવા કેટલાક વધુ ગુણાકારો માટે તપાસો.

તમે શોધી શકો છો કે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે ગુણાકાર એકરૂપ છે.

સામાન્ય રીતે, $a \times b=b \times$ કોઈપણ બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$.

(દ) ભાગાકાર

છે: $ \frac{-5}{4} \div \frac{3}{7}=\frac{3}{7} \div(\frac{-5}{4}) ? $

તમે શોધી શકો છો કે બંને બાજુની અક્ષરોત્તેજન સમાન નથી.

તેથી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે ભાગાકાર એકરૂપ નથી.

આ પ્રયાસ કરો

નીચેની કોષ્ટકને પૂર્ણ કરો:

સંખ્યાઓ	એકરૂપ છે
	બારણા	બાદબાકી	ગુણાકાર	ભાગાકાર
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ	હા	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$
ઘટાત્મક સંખ્યાઓ	$\ldots$	નહીં	$\ldots$	$\ldots$
સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ	$\ldots$	$\ldots$	હા	$\ldots$
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	નહીં

1.2.3 સંયુક્તતા

(i) સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ

આ કોષ્ટક દ્વારા સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ માટે ચાર પ્રવૃત્તિઓની સંયુક્તતા પુનઃસંદર્ભમાં લો:

પ્રવૃત્તિ	સંખ્યાઓ	ટીકા
બારણા	$\ldots \ldots .$.	બારણા સંયુક્ત છે
બાદબાકી	$\ldots \ldots \ldots$	બાદબાકી સંયુક્ત નથી
ગુણાકાર	$7 \times(2 \times 5)=(7 \times 2) \times 5 ?$ સંયુક્ત છે? $4 \times(6 \times 0)=(4 \times 6) \times 0 ?$ સંયુક્ત છે? કોઈપણ ત્રણ સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ $a, b$ અને $c$ $a \times(b \times c)=(a \times b) \times c$	ગુણાકાર સંયુક્ત છે
ભાગાકાર	$\ldots \ldots \ldots .$.	ભાગાકાર સંયુક્ત નથી

આ કોષ્ટકને ભરો અને છેલ્લી કૉલમમાં આપેલી ટીકા તપાસો.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે વિવિધ પ્રવૃત્તિઓની સંયુક્તતા તમારા આપણે તપાસો.

(ii) ઘટાત્મક સંખ્યાઓ

ચાર પ્રવૃત્તિઓની સંયુક્તતા ઘટાત્મક સંખ્યાઓ માટે આ કોષ્ટકથી જોઈ શકાય છે

પ્રવૃત્તિ	સંખ્યાઓ	ટીકા
બારણા	$(-2)+[3+(-4)]$ સંયુક્ત છે? $=[(-2)+3)]+(-4) ?$ $(-6)+[(-4)+(-5)]$ સંયુક્ત છે? $=[(-6)+(-4)]+(-5) ?$ કોઈપણ ત્રણ ઘટાત્મક સંખ્યાઓ $a, b$ અને $c$ $a+(b+c)=(a+b)+c$
બાદબાકી	$5-(7-3)=(5-7)-3 ?$ સંયુક્ત છે?	બાદબાકી સંયુક્ત નથી
ગુણાકાર	$5 \times[(-7) \times(-8)$ સંય�