ಅಧ್ಯಾಯ 01 ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

1.1 ಪರಿಚಯ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣ

$$ \begin{equation*} x+2=13 \tag{1} \end{equation*} $$

ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ $x=11$, ಏಕೆಂದರೆ $x$ ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರ 11 ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸಮೀಕರಣ

$$ \begin{equation*} x+5=5 \tag{2} \end{equation*} $$

ಗಾಗಿ ಪರಿಹಾರವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆ 0 (ಶೂನ್ಯ) ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಾವು ಕೇವಲ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಸಮೀಕರಣ (2) ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಮೀಕರಣ (2) ನಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡೆವು. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಸಹ ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ

$$ \begin{equation*} x+18=5 \tag{3} \end{equation*} $$

‘ಏಕೆ’ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಾ? ನಮಗೆ -13 ಸಂಖ್ಯೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ. ಇದು ನಮ್ಮನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ (ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ) ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸುವಂತೆ ಮಾಡಿತು. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಲಭ್ಯವಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಯಾರಾದರೂ ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಈಗ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

$$ \begin{matrix} 2 x=3 \\ 5 x+7=0 \tag{5} \end{matrix} $$

ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. (ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ) ಸಮೀಕರಣ (4) ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಮಗೆ $\frac{3}{2}$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣ(5) ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು $\frac{-7}{5}$ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ನಮ್ಮನ್ನು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಮೂಲಭೂತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಈವರೆಗೆ ನೋಡಿದ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಈಗ ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.

1.2 ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1.2.1 ಸಂವೃತ ಗುಣ (Closure)

(i) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಸಂವೃತ ಗುಣವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ.

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ	ಸಂಖ್ಯೆಗಳು	ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು
ಸಂಕಲನ	$0+5=5$, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ $4+7=\ldots$. ಇದು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವೇ? ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ $a$ ಮತ್ತು $b$, $a+b$ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ.	ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಸಂಕಲನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವೃತವಾಗಿವೆ.
ವ್ಯವಕಲನ	$5-7=-2$, ಅದು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ.	ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ವ್ಯವಕಲನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವೃತವಾಗಿಲ್ಲ.
ಗುಣಾಕಾರ	$3 \times 3=0$, ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, $a$ ಮತ್ತು $b$ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ $a b$ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.	ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವೃತವಾಗಿವೆ.
ಭಾಗಾಕಾರ	$5 \div 8=\frac{5}{8}$, ಅದು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ.	ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಭಾಗಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವೃತವಾಗಿಲ್ಲ.

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವೃತ ಗುಣವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

(ii) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು (Integers)

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಸಂವೃತವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಈಗ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ	ಸಂಖ್ಯೆಗಳು	ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು
ಸಂಕಲನ	$-6+5=-1$, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ	ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಸಂಕಲನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವೃತವಾಗಿವೆ
	$-7+(-5)$ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವೇ? $8+5$ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವೇ? ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ $a$ ಮತ್ತು $b$, $a+b$ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ವ್ಯವಕಲನ	$7-5=2$, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ $5-7$ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವೇ? $-6-8=-14$, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ	ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ವ್ಯವಕಲನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವೃತವಾಗಿವೆ.
	$-6-(-8)=2$, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ $8-(-6)$ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವೇ? ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ $a$ ಮತ್ತು $b, a-b$ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. $b-a$ ಸಹ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.
ಗುಣಾಕಾರ	$5 \times 8=40$, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ $-5 \times 8$ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವೇ? $-5 \times(-8)=40$, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ $a$ ಮತ್ತು $b, a \times b$ ಸಹ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.	ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವೃತವಾಗಿವೆ.
ಭಾಗಾಕಾರ	$5 \div 8=\frac{5}{8}$, ಅದು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ.	ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಭಾಗಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವೃತವಾಗಿಲ್ಲ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವೃತವಾಗಿವೆ ಆದರೆ ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವೃತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಿದ್ದೀರಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವೃತವಾಗಿವೆ ಆದರೆ ಭಾಗಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವೃತವಾಗಿಲ್ಲ.

(iii) ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

$\frac{p}{q}$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಇಲ್ಲಿ $p$ ಮತ್ತು $q$ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು $q \neq 0$. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $-\frac{2}{3}, \frac{6}{7}, \frac{9}{-5}$ ಎಲ್ಲವೂ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $0,-2,4$ ಅನ್ನು $\frac{p}{q}$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳು ಸಹ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. (ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ!)

(a) ಎರಡು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೇರಿಸಬೇಕೆಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಕೆಲವು ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ.

$ \begin{aligned} \frac{3}{8}+\frac{(-5)}{7} & =\frac{21+(-40)}{56}=\frac{-19}{56} \quad \quad \text{(ಒಂದು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆ)}\\ \frac{-3}{8}+\frac{(-4)}{5} & =\frac{-15+(-32)}{40}= \ldots \quad\quad \text{ಇದು ಒಂದು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ?} \\ \frac{4}{7}+\frac{6}{11} & = \ldots\quad \quad\quad\quad \text{ಇದು ಒಂದು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ?} \end{aligned} $

ಎರಡು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಒಂದು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಜೋಡಿ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಕಲನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವೃತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $a$ ಮತ್ತು $b, a+b$ ಸಹ ಒಂದು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

(b) ಎರಡು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಒಂದು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆಯೇ?

ನಮ್ಮಲ್ಲಿ,

$ \frac{-5}{7}-\frac{2}{3}=\frac{-5 \times 3-2 \times 7}{21}=\frac{-29}{21} \quad \text{ (ಒಂದು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆ) } $

$ \begin{aligned} \frac{5}{8}-\frac{4}{5}=\frac{25-32}{40} & =\ldots \quad \text{ಇದು ಒಂದು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ? }\\ \frac{3}{7}-(\frac{-8}{5}) & =\ldots \quad \text{ಇದು ಒಂದು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ? } \end{aligned} $

ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಜೋಡಿ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವ್ಯವಕಲನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವೃತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $a$ ಮತ್ತು $b, a-b$ ಸಹ ಒಂದು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

$ \begin{matrix} \frac{-2}{3} \times \frac{4}{5} & =\frac{-8}{15} ; \frac{3}{7} \times \frac{2}{5}=\frac{6}{35} & \text{ (ಎರಡೂ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) } \\ -\frac{4}{5} \times \frac{-6}{11} & =\ldots & \text{ ಇದು ಒಂದು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ? } \end{matrix} $

ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಜೋಡಿ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಒಂದು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವೃತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ $i s$, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $a$ ಮತ್ತು $b, a \times b$ ಸಹ ಒಂದು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

(d) ನಾವು ಗಮನಿಸಿದರೆ $\frac{-5}{3} \div \frac{2}{5}=\frac{-25}{6}$

(ಒಂದು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆ)

$\frac{2}{7} \div \frac{5}{3}=\ldots$. ಇದು ಒಂದು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ? $\frac{-3}{8} \div \frac{-2}{9}=\ldots$. ಇದು ಒಂದು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ?

ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಾಗಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವೃತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳಬಹುದೇ?

ಯಾವುದೇ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ $a, a \div 0$ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಾಗಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವೃತವಾಗಿಲ್ಲ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿದರೆ, ಉಳಿದ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ಭಾಗಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವೃತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಖಾಲಿ ಜಾಗಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು	ಸಂವೃತ ಗುಣ
	ಸಂಕಲನ	ವ್ಯವಕಲನ	ಗುಣಾಕಾರ	ಭಾಗಾಕಾರ
ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು	ಹೌದು	ಹೌದು	$\ldots$	ಇಲ್ಲ
ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು	$\ldots$	ಹೌದು	$\ldots$	ಇಲ್ಲ
ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು	$\ldots$	$\ldots$	ಹೌದು	$\ldots$
ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು	$\ldots$	ಇಲ್ಲ	$\ldots$	$\ldots$

1.2.2 ವಿನಿಮಯ ನಿಯಮ (Commutativity)

(i) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು

ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಮೂಲಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ವಿನಿಮಯ ನಿಯಮವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ	ಸಂಖ್ಯೆಗಳು	ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು
ಸಂಕಲನ	$0+7=7+0=7$ $2+3=\ldots+\ldots=\ldots$. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ $a$ ಮತ್ತು $b$, $a+b=b+a$	ಸಂಕಲನವು ವಿನಿಮಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ.
ವ್ಯವಕಲನ	$\ldots \ldots . .$.
ಗುಣಾಕಾರ	$\ldots \ldots .$.	ವ್ಯವಕಲನವು ವಿನಿಮಯಾತ್ಮಕವಲ್ಲ.
ಭಾಗಾಕಾರ	$\ldots \ldots . .$.	ಭಾಗಾಕಾರವು ವಿನಿಮಯಾತ್ಮಕವಲ್ಲ.

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ವಿನಿಮಯ ನಿಯಮವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

(ii) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು (Integers)

ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪೂರೈಸಿ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ವಿನಿಮಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ	ಸಂಖ್ಯೆಗಳು	ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು
ಸಂಕಲನ	$\ldots \ldots .$.	ಸಂಕಲನವು ವಿನಿಮಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ.
ವ್ಯವಕಲನ	$5-(-3)=-3-5 ?$ ಆಗಿದೆಯೇ	ವ್ಯವಕಲನವು ವಿನಿಮಯಾತ್ಮಕವಲ್ಲ.
ಗುಣಾಕಾರ	$\ldots \ldots .$.	ಗುಣಾಕಾರವು ವಿನಿಮಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ.
ಭಾಗಾಕಾರ	$\ldots . . .$.	ಭಾಗಾಕಾರವು ವಿನಿಮಯಾತ್ಮಕವಲ್ಲ.

(iii) ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

(a) ಸಂಕಲನ

ಎರಡು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೇರಿಸಬೇಕೆಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ.

$ \begin{aligned} & \quad \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{1}{21} \text{ ಮತ್ತು } \frac{5}{7}+(\frac{-2}{3})=\frac{1}{21} \\ & \text{ ಆದ್ದರಿಂದ, } \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{5}{7}+(\frac{-2}{3}) \\ & \text{ ಹಾಗೆಯೇ, } \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=\ldots \text{ ಮತ್ತು } \frac{-8}{3}+(\frac{-6}{5})=\ldots \\ & \text{ } \quad \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=(\frac{-8}{3})+(\frac{-6}{5}) \text{ ಆಗಿದೆಯೇ? } \end{aligned} $

$\quad \frac{-3}{8}+\frac{1}{7}=\frac{1}{7}+(\frac{-3}{8})$ ಆಗಿದೆಯೇ?

ಎರಡು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಕಲನವು ವಿನಿಮಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $a$ ಮತ್ತು $b, a+b=b+a$.

(b) ವ್ಯವಕಲನ

$\quad \frac{2}{3}-\frac{5}{4}=\frac{5}{4}-\frac{2}{3}$ ಆಗಿದೆಯೇ?

$\quad \frac{1}{2}-\frac{3}{5}=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}$ ಆಗಿದೆಯೇ?

ವ್ಯವಕಲನವು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿನಿಮಯಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ವ್ಯವಕಲನವು ವಿನಿಮಯಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಸಹ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ವ್ಯವಕಲನವು ವಿನಿಮಯಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ನಮ್ಮಲ್ಲಿ, $\quad \frac{-7}{3} \times \frac{6}{5}=\frac{-42}{15}=\frac{6}{5} \times(\frac{-7}{3})$

ಇದು: $ \frac{-8}{9} \times(\frac{-4}{7})=\frac{-4}{7} \times(\frac{-8}{9}) \text{ ಆಗಿದೆಯೇ? } $

ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಅಂತಹ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಗುಣಾಕಾರವು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿನಿಮಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $a$ ಮತ್ತು $b$, $a \times b=b \times$.

(d) ಭಾಗಾಕಾರ

ಇದು: $ \frac{-5}{4} \div \frac{3}{7}=\frac{3}{7} \div(\frac{-5}{4}) \text{ ಆಗಿದೆಯೇ? } $

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರವು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿನಿಮಯಾತ್ಮಕವಲ್ಲ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ:

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು	ವಿನಿಮಯಾತ್ಮಕ ಗುಣ
	ಸಂಕಲನ	ವ್ಯವಕಲನ	ಗುಣಾಕಾರ	ಭಾಗಾಕಾರ
ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು	ಹೌದು	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$
ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು	$\ldots$	ಇಲ್ಲ	$\ldots$	$\ldots$
ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು	$\ldots$	$\ldots$	ಹೌದು	$\ldots$
ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	ಇಲ್ಲ

1.2.3 ಸಹವರ್ತಿತ್ವ ನಿಯಮ (Associativity)

(i) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು

ಈ ಕೋಷ್ಟಕದ ಮೂಲಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಾಲ್ಕು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಹವರ್ತಿತ್ವ ನಿಯಮವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ:

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ	ಸಂಖ್ಯೆಗಳು	ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು
ಸಂಕಲನ	$\ldots \ldots .$.	ಸಂಕಲನವು ಸಹವರ್ತಿಯಾಗಿದೆ
ವ್ಯವಕಲನ	$\ldots \ldots \ldots$	ವ್ಯವಕಲನವು ಸಹವರ್ತಿಯಾಗಿಲ್ಲ
ಗುಣಾಕಾರ	$7 \times(2 \times 5)=(7 \times 2) \times 5 ?$ ಆಗಿದೆಯೇ $4 \times(6 \times 0)=(4 \times 6) \times 0 ?$ ಆಗಿದೆಯೇ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ $a, b$ ಮತ್ತು $c$ $a \times(b \times c)=(a \times b) \times c$	ಗುಣಾಕಾರವು ಸಹವರ್ತಿಯಾಗಿದೆ
ಭಾಗಾಕಾರ	$\ldots \ldots \ldots .$.	ಭಾಗಾಕಾರವು ಸಹವರ್ತಿಯಾಗಿಲ್ಲ

ಈ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪೂರೈಸಿ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಕಾಲಂನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಹವರ್ತಿತ್ವವನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

(ii) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು (Integers)

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಾಲ್ಕು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಹವರ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಈ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನೋಡಬಹುದು

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ	ಸಂಖ್ಯೆಗಳು	ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು
ಸಂಕಲನ	$(-2)+[3+(-4)]$ ಆಗಿದೆಯೇ $=[(-2)+3)]+(-4) ?$ $(-6)+[(-4)+(-5)]$ ಆಗಿದೆಯೇ $=[(-6)+(-4)]+(-5) ?$ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ $a, b$ ಮತ್ತು $c$ $a+(b+c)=(a+b)+c$
ವ್ಯವಕಲನ	$5-(7-3)=(5-7)-3 ?$ ಆಗಿದೆಯೇ	ವ್ಯವಕಲನವು ಸಹವರ್ತಿಯಾಗಿಲ್ಲ
ಗುಣಾಕಾರ	$5 \times[(-7) \times(-8)$ ಆಗಿದೆಯೇ $=[5 \times(-7)] \times(-8) ?$ $(-4) \times[(-8) \times(-5)]$ ಆಗಿದೆಯೇ $=[(-4) \times(-8)] \times(-5) ?$ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ $a, b$ ಮತ್ತು $c$ $a \times(b \times c)=(a \times b) \times c$	ಗುಣಾಕಾರವು ಸಹವರ್ತಿಯಾಗಿದೆ
	$[(-10) \div 2] \div(-5)$ ಆಗಿದೆಯೇ $=(-10) \div[2 \div(-5)]$	ಭಾಗಾಕಾರವು ಸಹವರ್ತಿಯಾಗಿಲ್ಲ
ಭಾಗಾಕಾರ

(iii) ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

(a)

ಸಂಕಲನ: ನಮ್ಮಲ್ಲಿ $\frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=\frac{-2}{3}+(\frac{-7}{30})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10}$

$ [\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})=\frac{-1}{15}+(\frac{-5}{6})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=[\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})$

$\frac{-1}{2}+[\frac{3}{7}+(\frac{-4}{3})]$ ಮತ್ತು $[\frac{-1}{2}+\frac{3}{7}]+(\frac{-4}{3})$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಎರಡೂ ಮೊತ್ತಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಯೇ?

ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಮೇಲಿನಂತೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಮೊತ್ತಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ನೋಡಿ. ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಕಲನವು ಸಹವರ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ $i$, ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $a, b$ ಮತ್ತು $c, a+(b+c)=(a+b)+c$.

(b) ವ್ಯವಕಲನ

ವ್ಯವಕಲನವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಹವರ್ತಿಯಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ, ಆಗ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೇಗೆ?

$\quad \frac{-2}{3}-[\frac{-4}{5}-\frac{1}{2}]=[\frac{2}{3}-(\frac{-4}{5})]-\frac{1}{2} ?$ ಆಗಿದೆಯೇ

ನೀವೇ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ವ್ಯವಕಲನವು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಹವರ್ತಿಯಾಗಿಲ್ಲ.

ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಹವರ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

$ \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=\frac{-7}{3} \times \frac{10}{36}=\frac{-70}{108}=\frac{-35}{54} $

$ (\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}=\ldots $

$\quad \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=(\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}$ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಇದು: $ \frac{2}{3} \times(\frac{-6}{7} \times \frac{4}{5})=(\frac{2}{3} \times \frac{-6}{7}) \times \frac