1.1 পরিচিতি

গণিতে, আমরা প্রায়শই সমাধান করতে হবে এমন সহজ সমীকরণগুলিতে পৌঁছাই। উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ

$$ \begin{equation*} x+2=13 \tag{1} \end{equation*} $$

যখন $x=11$ দ্বারা সমাধান করা হয়, কারণ $x$ এর এই মান প্রদত্ত সমীকরণটি সঠিক করে। সমাধান 11 একটি প্রাকৃত সংখ্যা। অন্যদিকে, সমীকরণের জন্য

$$ \begin{equation*} x+5=5 \tag{2} \end{equation*} $$

সমাধান শূন্য (শূন্য) পূর্ণ সংখ্যা দেয়। শুধু প্রাকৃত সংখ্যাগুলি মাত্র বিবেচনা করলে, সমীকরণ (2) সমাধান করা যায় না। সমীকরণের মতো সমীকরণ (2) সমাধানের জন্য, আমরা প্রাকৃত সংখ্যাগুলির সমষ্টিতে সংখ্যা শূন্য যোগ করেছি এবং পূর্ণ সংখ্যাগুলি পেয়েছি। তবে পূর্ণ সংখ্যাগুলি যোগাযোগের ধরনের সমীকরণগুলি সমাধানের জন্য পর্যাপ্ত হবে না

আপনি ‘কেন’ দেখছেন? আমাদের পূর্ণ সংখ্যা নয় এমন -13 সংখ্যাটি দরকার যা পূর্ণ সংখ্যা নয়। এটি আমাদের পূর্ণসংখ্যা (ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক) সম্পর্কে চিন্তা করতে নিয়ে যায়। লক্ষ্য করুন যে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলি প্রাকৃত সংখ্যাগুলির সমষ্টির সাথে সম্পর্কিত। আপনি চিন্তা করতে পারেন যে আমরা সমস্ত সহজ সমীকরণ সমাধানের জন্য প্রযোজ্য তালিকার সাথে পূর্ণসংখ্যাগুলি পর্যাপ্ত আছি। এখন সমীকরণগুলি বিবেচনা করুন

$$ \begin{matrix} 2 x=3 \\ 5 x+7=0 \tag{5} \end{matrix} $$

যার জন্য আমরা পূর্ণসংখ্যাগুলি থেকে সমাধান খুঁজে পাই না। (এটি যাচাই করুন) আমাদের সমীকরণ (4) সমাধানের জন্য আমাদের $\frac{3}{2}$ সংখ্যাগুলি দরকার এবং সমীকরণ (5) সমাধানের জন্য $\frac{-7}{5}$। এটি আমাদের অনুপাতিক সংখ্যাগুলির সমষ্টিতে পরিণত করে।

আমরা ইতিমধ্যেই অনুপাতিক সংখ্যাগুলির উপর প্রাথমিক অপারেশনগুলি দেখেছি। এখন আমরা পরিচিত সমস্ত ধরনের সংখ্যাগুলির উপর অপারেশনগুলির কিছু গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গুণগত গু�