গ্রাফের ভূমিকা চ্যাপ্টার 13

13.1 ভূমিকা

আপনি কি সংবাদপত্র, টেলিভিশন, ম্যাগাজিন, বই ইত্যাদিতে গ্রাফ দেখেছেন? গ্রাফের উদ্দেশ্য হলো সংখ্যাগত তথ্যকে দ্রুত, সহজে এবং পরিষ্কারভাবে বোঝার জন্য ভিজ্যুয়াল আকারে প্রদর্শন করা। তাই গ্রাফগুলি একটি গ্রাফ হলো সংগৃহীত তথ্যের ভিজ্যুয়াল প্রতিফলন। তথ্যও একটি টেবিলের আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে; তবে গ্রাফিকাল উপস্থাপনা আরও সহজে বোঝা যায়। এটি বিশেষ করে সত্য যখন একটি প্রবণতা বা তুলনা দেখানো হয়।

আমরা ইতিমধ্যে কিছু ধরনের গ্রাফ দেখেছি। আসুন এখানে তাদের দ্রুত পুনরাবেকারণ করি।

13.1.1 একটি রেখাচিত্র

রেখাচিত্র এমন তথ্য প্রদর্শন করে যা সময়ের সময়কালে ধীরে ধীরে পরিবর্তিত হয়।

রেনু অসুস্থ হওয়ার কারণে তার ডাক্তার তার শরীরের তাপমাত্রা প্রতি চার ঘণ্টা একবার নিয়ে একটি রেকর্ড রাখতে বলেন। এটি একটি গ্রাফের আকারে ছিল (চিত্র 13.1 এবং চিত্র 13.2 এ দেখা যায়)।

আমরা এটিকে “সময়-তাপমাত্রা গ্রাফ” বলতে পারি।

এটি নিম্নলিখিত তথ্যের একটি চিত্রাত্মক প্রতিফলন, যা টেবিলের আকারে দেওয়া হয়েছিল।

সময়	সকাল 6টা	সকাল 10টা	বিকাল 2টা	বিকাল 6টা
তাপমাত্রা $({ }^{\circ} \mathbf{C})$	37	40	38	35

অক্ষভুমিক রেখা (সাধারণত $x$-অক্ষ বলা হয়) তাপমাত্রা যে সময়ে রেকর্ড করা হয়েছিল তা দেখায়। উল্লম্ব রেখা (সাধারণত $y$-অক্ষ বলা হয়) এখানে কী লেবেল করা হয়েছে?

চিত্র 13.1

প্রতিটি তথ্য একটি বর্গক্ষেত্রের পয়েন্ট দ্বারা দেখানো হয়েছে।

সময় $arrow$

চিত্র 13.1

তারপর পয়েন্টগুলি রেখার অংশ দ্বারা সংযুক্ত করা হয়। ফলাফল হলো রেখাচিত্র।

এই গ্রাফ আপনাকে কী বলে? উদাহরণস্বরূপ আপনি তাপমাত্রার প্রবণতা দেখতে পারেন; সকাল 10টায় আরও বেশি (চিত্র 13.3 দেখুন) এবং তারপর বিকাল 6টায় তাপমাত্রা কমাচ্ছে। লক্ষ্য করুন যে সকাল 6টা থেকে $10 a . m$ এর মধ্যে তাপমাত্রা $3^{\circ} C(=40^{\circ} C-37^{\circ} C)$ বৃদ্ধি পেয়েছে।

সকাল 8টায় তাপমাত্রা রেকর্ড করা হয়নি, তবে গ্রাফ দেখতে পাচ্ছে যে এটি $37^{\circ} C$ এর চেয়ে বেশি ছিল (কিভাবে?).

উদাহরণ 1 : (পারফরম্যান্স সম্পর্কিত একটি গ্রাফ)

দেওয়া গ্রাফ (চিত্র 13.3) দশটি আলাদা ম্যাচে দুইজন ব্যাটসম্যান A এবং B দ্বারা স্কোর করা মোট রানগুলি প্রতিনিধিত্ব করে যা বছর 2007 এ হয়েছিল। গ্রাফটি অধ্যয়ন করুন এবং নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দিন।

(i) দুই অক্ষে কী তথ্য দেওয়া হয়েছে?

(ii) কোন রেখা ব্যাটসম্যান A দ্বারা স্কোর করা রান দেখায়?

(iii) 2007 এ তাদের কোনো ম্যাচে স্কোর একই ছিল? যদি হয়, তাহলে কোন ম্যাচে?

(iii) দুই ব্যাটসম্যানের মধ্যে কে আরও নির্ভরযোগ্য? আপনি কিভাবে এটি বিবেচনা করেন?

সমাধান:

(i) অক্ষভুমিক অক্ষ (অথবা $x$-অক্ষ) বছর 2007 এ খেলা হওয়া ম্যাচগুলি নির্দেশ করে। উল্লম্ব অক্ষ (অথবা $y$-অক্ষ) প্রতিটি ম্যাচে স্কোর করা মোট রানগুলি দেখায়।

(ii) ছদ্মবেশী রেখা ব্যাটসম্যান A দ্বারা স্কোর করা রান দেখায়। (এটি গ্রাফের উপরে ইতিমধ্যে নির্দেশিত হয়েছে)। (iii) ৪ম ম্যাচে, উভয় ব্যাটসম্যান 60 রান স্কোর করেছিলেন। (এটি উভয় গ্রাফের মিলনের পয়েন্ট দ্বারা নির্দেশিত হয়েছে)।

(iv) ব্যাটসম্যান A একটি বড় “পিক” এর সাথে সাথে অনেকগুলি গভীর “ভ্যালি” আছে। তিনি ধারাবাহিকতা দেখাচ্ছেন না। $B$, উল্লিখিত ব্যাটসম্যান, কখনোই 40 রানের নিচে স্কোর করেননি, যদিও তার সর্বোচ্চ স্কোর শুধু 100 এবং A এর তুলনায় 115। আবার A দুটি ম্যাচে শূন্য স্কোর করেছেন এবং মোট 5টি ম্যাচে তিনি 40 রানের নিচে স্কোর করেছেন। যেহেতু A এর অনেক উত্তরাধিকার এবং অনেক নীচু স্কোর আছে, $B$ একজন আরও ধারাবাহিক এবং নির্ভরযোগ্য ব্যাটসম্যান।

উদাহরণ 2 : দেওয়া গ্রাফ (চিত্র 13.4) একটি গাড়ির একটি শহর $P$ থেকে দূরত্ব বর্ণনা করে যা গাড়ি শহর P থেকে শহর Q এ যাত্রা শুরু করার সময় বিভিন্ন সময়ে হয়েছিল, যা $350 km$ দূরে আছে। গ্রাফটি অধ্যয়ন করুন এবং নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দিন:

(i) দুই অক্ষে কী তথ্য দেওয়া হয়েছে?

(ii) গাড়ি কোথা থেকে কখন তার যাত্রা শুরু করেছিল?

(iii) প্রথম ঘণ্টায় গাড়ি কত দূরে যেতে পারে?

চিত্র 13.3

(iv) গাড়ি কত দূরে যেতে পারে (i) দ্বিতীয় ঘণ্টায়? (ii) তৃতীয় ঘণ্টায়?

(v) প্রথম তিন ঘণ্টায় গাড়ির গতি একই ছিল? আপনি কিভাবে এটি জানেন?

(vi) গাড়ি কোথায় কোনো সময় থামেছিল? আপনার উত্তর যাচাই করুন।

(vii) গাড়ি কখন শহর Q এ পৌঁছেছিল?

চিত্র 13.4

সমাধান:

(i) অক্ষভুমিক $(x)$ অক্ষ সময় দেখায়। উল্লম্ব $(y)$ অক্ষ গাড়ির শহর $P$ থেকে দূরত্ব দেখায়।

(ii) গাড়ি শহর P থেকে সকাল 8টা শুরু করেছিল।

(iii) প্রথম ঘণ্টায় গাড়ি $50 km$ যেতে পারে। [এটি নিম্নলিখিত ভাবে দেখা যায়। সকাল 8টা তিনি শহর P থেকে শুরু করেছিলেন। সকাল 9টা তিনি 50তম কিমি দূরে ছিলেন (গ্রাফ থেকে দেখা যায়)। সুতরাং সকাল 8টা থেকে 9টা এর মধ্যে এক ঘণ্টার সময়ে গাড়ি $50 km$ যেতে পারে]।

(iv) গাড়ি দ্বিতীয় ঘণ্টায়

(a) $2 nd$ ঘণ্টা (অর্থাৎ, সকাল 9টা থেকে $10 am)$) দূরত্ব $100 km,(150-50)$ যেতে পারে।

(b) $3 rd$ ঘণ্টা (অর্থাৎ, $10 am$ থেকে $11 am)$) দূরত্ব $50 km(200-150)$ যেতে পারে।

(v) প্রশ্ন (iii) এবং (iv) এর উত্তর থেকে আমরা দেখব যে গাড়ির গতি সবসময় একই ছিল না। (বাস্তবে গ্রাফ গতি কিভাবে পরিবর্তিত হয় তা দেখায়)।

(vi) আমরা দেখব যে সময় $11 a . m$ গাড়ি শহর $P$ থেকে $200 km$ দূরে ছিল এবং আবার দুপুর 12টায় তিনি একই দূরত্বে ছিলেন। এটি দেখায় যে গাড়ি 11টা থেকে 12টায় এক ঘণ্টার মধ্যে যাত্রা করেননি। এই সময়ের জন্য “যাত্রা” নির্দেশক অক্ষভুমিক রেখার অংশ এই ঘটনা প্রতিফলন করে।

(vii) গাড়ি দুপুর 2টায় শহর $Q$ এ পৌঁছেছিল।

গ্রহণ 13.1

1. নিম্নলিখিত গ্রাফ একটি হাসপাতালে একজন রোগীর তাপমাত্রা প্রতি ঘণ্টা একবার রেকর্ড করেছে।

(a) বিকাল 1টায় রোগীর তাপমাত্রা কত ছিল?

(b) কখন রোগীর তাপমাত্রা $38.5^{\circ} C$ ছিল?

সময় $arrow$ (c) প্রদত্ত সময়ের মধ্যে রোগীর তাপমাত্রা দুবার একই ছিল। এই দুটি সময় কী ছিল?

(d) বিকাল 1:30টায় তাপমাত্রা কত ছিল? আপনি কিভাবে আপনার উত্তর পেয়েছেন?

(e) রোগীর তাপমাত্রা কোন সময়ের মধ্যে আপবৃদ্ধি পেয়েছিল?

2. নিম্নলিখিত রেখাচিত্র একটি নির্মাতা কোম্পানির বছরের ব্যবসায়িক হিসাব দেখায়।

(a) বছর (i) 2002 (ii) 2006 এ বিক্রয় কত ছিল?

(b) বছর (i) 2003

(ii) 2005 এ বিক্রয় কত ছিল?

(d) কোন বছরে বিক্রয়ের মধ্যে পূর্ববর্তী বছরের তুলনায় সবচেয়ে বড় পার্থক্য ছিল?

3. একটি বয়োলজি পরীক্ষার জন্য, দুটি আলাদা গাছ, গাছ $A$ এবং গাছ $B$ একই ল্যাবরেটরি শর্তে উন্নত করা হয়েছিল। তাদের উচ্চতা প্রতি সপ্তাহের শেষে তিন সপ্তাহের জন্য মাপা হয়েছিল। নিম্নলিখিত গ্রাফ দ্বারা ফলাফল দেখানো হয়েছে।

(a) গাছ A এর উচ্চতা (i) 2 সপ্তাহে (ii) 3 সপ্তাহে কত ছিল?

(b) গাছ B এর উচ্চতা (i) 2 সপ্তাহে (ii) 3 সপ্তাহে কত ছিল?

(d) গাছ B এর দ্বিতীয় সপ্তাহের শেষ থেকে তৃতীয় সপ্তাহের শেষ পর্যন্ত কত বৃদ্ধি পেয়েছিল?

(e) কোন সপ্তাহে গাছ A এর বৃদ্ধি সবচেয়ে বেশি হয়েছিল?

(f) কোন সপ্তাহে গাছ B এর বৃদ্ধি সবচেয়ে কম হয়েছিল?

(g) এই গ্রাফে দেখানো কোনো সপ্তাহে দুই গাছের একই উচ্চতা ছিল? বর্ণনা করুন।

4. নিম্নলিখিত গ্রাফ একটি সপ্তাহের প্রতিদিনের তাপমাত্রার পূর্বাভাস এবং বাস্তব তাপমাত্রা দেখায়।

(a) কোন দিনে পূর্বাভাস তাপমাত্রা বাস্তব তাপমাত্রার সাথে একই ছিল?

(b) সপ্তাহের সময়ে সর্বোচ্চ পূর্বাভাস তাপমাত্রা কত ছিল?

(d) কোন দিনে বাস্তব তাপমাত্রা পূর্বাভাস তাপমাত্রার থেকে সবচেয়ে বেশি পার্থক্য করেছিল?

5. নিম্নলিখিত টেবিলগুলি ব্যবহার করুন প্রতিটি গ্রাফের জন্য উপযুক্ত স্কেল দিয়ে রেখাচিত্র আঁকুন।

(a) একটি পাহাড়ি প্রান্তের নদীর বছরের পর পর বিভিন্ন বছরে বরফ পেতে পাওয়া দিনের সংখ্যা।

বছর	2003	2004	2005	2006
দিন	8	10	5	12

(b) একটি গ্রামের পুরুষ এবং নারীদের জনসংখ্যা (সহস্রাংশে) বিভিন্ন বছরে।

বছর	2003	2004	2005	2006	2007
পুরুষের সংখ্যা	12	12.5	13	13.2	13.5
নারীদের সংখ্যা	11.3	11.9	13	13.6	12.8

6. একজন কুরিয়র একটি শহর থেকে একটি আশপাশের উপনগরীতে একটি প্যারেল ডেলিভারি করার জন্য সাইকেল চালায়। তার সময়ের সাথে সাথে শহর থেকে দূরত্ব নিম্নলিখিত গ্রাফ দ্বারা দেখানো হয়েছে।

(a) সময় অক্ষের জন্য কী স্কেল নেওয়া হয়েছে?

(b) যাত্রার জন্য ব্যক্তি কত সময় নিল?

(d) ব্যক্তি তার পথে থামেছিল? ব্যাখ্যা করুন।

(e) কোন সময়ে তিনি সবচেয়ে দ্রুত চালায়?

7. কি এমন একটি সময়-তাপমাত্রা গ্রাফ থাকতে পারে? আপনার উত্তর যাচাই করুন।

13.2 কিছু প্রয়োগ

দৈনন্দিন জীবনে, আপনি হয়তো দেখেছেন যে আপনি যত বেশি একটি সুবিধা ব্যবহার করেন, তার জন্য আপনি তত বেশি অর্থ প্রদান করেন। যদি বেশি বিদ্যুৎ শক্তি ব্যবহার করা হয়, তাহলে বিল অবশ্যই বেশি হবে। যদি কম বিদ্যুৎ শক্তি ব্যবহার করা হয়, তাহলে বিল সহজেই ব্যবস্থাপনায় আসবে। এটি একটি ঘটনা যেখানে একটি পরিমাণ অন্যটিকে প্রভাবিত করে। বিদ্যুৎ বিলের পরিমাণ বিদ্যুৎ শক্তির পরিমাণের উপর নির্ভর করে। আমরা বলি যে বিদ্যুৎ শক্তির পরিমাণ একটি স্বাধীন চলক (কিছুক্ষণ নিয়ন্ত্রণ চলক বলা হয়) এবং বিদ্যুৎ বিলের পরিমাণ হলো নির্ভরশীল চলক। এই ধরনের চলকগুলির মধ্যে সম্পর্ক একটি গ্রাফ দ্বারা দেখানো যেতে পারে।

চিন্তা, আলোচনা এবং লেখা

আপনি যে লিটার পেট্রল কিনেন যাত্রার জন্য একটি গাড়ির পেট্রল ট্যাঙ্ক ভরার জন্য তা আপনার অর্থ প্রদান করতে বাধ্য করবে। এখানে কোন চলক হলো স্বাধীন চলক? এটি সম্পর্কে চিন্তা করুন।

উদাহরণ 3 : (পরিমাণ এবং মূল্য)

নিম্নলিখিত টেবিল পেট্রলের পরিমাণ এবং তার মূল্য দেখায়।

পেট্রলের লিটার সংখ্যা	10	15	20	25
পেট্রলের মূল্য (₹)	500	750	1000	1250

এই তথ্য প্রদর্শনের জন্য একটি গ্রাফ আঁকুন।

সমাধান: (i) আসুন উভয় অক্ষে একটি উপযুক্ত স্কেল নিই (চিত্র 13.5)।

চিত্র 13.5 (ii) অক্ষভুমিক অক্ষে পেট্রলের লিটার সংখ্যা চিহ্নিত করুন।

(iii) উল্লম্ব অক্ষে পেট্রলের মূল্য চিহ্নিত করুন।

(iv) পয়েন্টগুলি প্লট করুন: $(10,500),(15,750),(20,1000),(25,1250)$।

(v) পয়েন্টগুলি সংযুক্ত করুন।

আমরা দেখব যে গ্রাফ একটি রেখা। (এটি একটি রেখাচিত্র)। এই গ্রাফ কেন মূলবিন্দু দিয়ে যায়? এটি সম্পর্কে চিন্তা করুন।

এই গ্রাফ আমাদের কিছু বিষয় অনুমান করতে সাহায্য করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ যদি আমাদের 12 লিটার পেট্রল কিনতে কত টাকা লাগবে তা জানতে চাই। অক্ষভুমিক অক্ষে 12 অবস্থান করুন।

12 এর মধ্য দিয়ে উল্লম্ব রেখা অনুসরণ করুন যতক্ষণ পর্যন্ত আপনি গ্রাফে $P$ (বলে উল্লেখ করুন) পৌঁছান।

$P$ থেকে আপনি অক্ষভুমিক অক্ষে পৌঁছাতে একটি অক্ষভুমিক রেখা নিন। এই মিলনের বিন্দু উত্তর প্রদান করে।

এটি একটি পরিস্থিতির গ্রাফ যেখানে দুটি পরিমাণ, সরাসরি পরিবর্তনের মধ্যে আছে। (কিভাবে?)।

এই ধরনের পরিস্থিতিতে, গ্রাফগুলি সর্বদা রেখাচিত্র হবে।

চেষ্টা করুন

উর্ধ্বের উদাহরণে, গ্রাফ ব্যবহার করে জানুন ₹ 800 এর জন্য কত পেট্রল কিনা যেতে পারে।

উদাহরণ 4 : (মূলধন এবং সিম্পল ব্যয়)

একটি ব্যাংক সিনিয়র নাগরিকদের জন্য $10 %$ সিম্পল ব্যয় (S.I.) দেয়। জমা করা সমষ্টি এবং অর্জিত সিম্পল ব্যয়ের মধ্যে সম্পর্ক দেখানোর জন্য একটি গ্রাফ আঁকুন। আপনার গ্রাফ থেকে নিম্নলিখিত তথ্য খুঁজুন:

(a) ₹ 250 এর জন্য বার্ষিক ব্যয় কত পাওয়া যায়।

(b) ₹ 70 এর বার্ষিক সিম্পল ব্যয় পাওয়ার জন্য কত জমা করতে হবে।

সমাধান:

জমা করা সমষ্টি	বছরের জন্য সিম্পল ব্যয়
$₹ 100$	$₹ \frac{100 \times 1 \times 10}{100}=₹ 10$
$₹ 200$	$₹ \frac{200 \times 1 \times 10}{100}=₹ 20$
$₹ 300$	$₹ \frac{300 \times 1 \times 10}{100}=₹ 30$
500	$₹ \frac{500 \times 1 \times 10}{100}=₹ 50$
$₹ 1000$	$₹ 100$

অনুসরণ করার পদক্ষেপগুলি:

1. জমা এবং SI হিসাবে প্লট করার জন্য পরিমাণ খুঁজুন।

2. $x$-অক্ষ এবং $y$-অক্ষ নির্ধারণ করুন।

3. একটি স্কেল চয়ন করুন।

4. পয়েন্টগুলি প্লট করুন।

5. পয়েন্টগুলি সংযুক্ত করুন।

আমরা একটি মানের টেবিল পাই।

জমা (₹ এ)	100	200	300	500	1000
বার্ষিক S.I. (₹ এ)	10	20	30	50	100

(i) স্কেল: অক্ষভুমিক অক্ষে 1 ইউনিট $=₹ 100$; উল্লম্ব অক্ষে 1 ইউনিট $=₹ 10$।

(ii) অক্ষভুমিক অক্ষে জমাগুলি চিহ্নিত করুন।

(iii) উল্লম্ব অক্ষে সিম্পল ব্যয় চিহ্নিত করুন।

(iv) পয়েন্টগুলি প্লট করুন: $(100,10),(200,20),(300,30),(500,50)$ ইত্যাদি।

(v) পয়েন্টগুলি সংযুক্ত করুন। আমরা একটি রেখাচিত্র পাই (চিত্র 13.6)।

(a) ₹ 250 এর সাথে সাথে অক্ষভুমিক অক্ষে, আমরা উল্লম্ব অক্ষে ₹ 25 পাই।

চেষ্টা করুন

উদাহরণ 4 কি সরাসরি পরিবর্তনের একটি ঘটনা?

(b) ₹ 70 এর সাথে সাথে উল্লম্ব অক্ষে, আমরা অক্ষভুমিক অক্ষে $₹ 700$ পাই।

চিত্র 13.6

উদাহরণ 5 : (সময় এবং দূরত্ব)

একজন অজিত একটি স্কুটার চালানোর জন্য $30 kms / hour$ এর গতিতে স্থিরভাবে চালাতে পারেন। এই পরিস্থিতির জন্য একটি সময়-দূরত্ব গ্রাফ আঁকুন। এটি ব্যবহার করে নিম্নলিখিত তথ্য খুঁজুন:

(i) অজিত কয়েক কিমি যেতে কত সময় নেয়। (ii) অজিত $3 \frac{1}{2}$ ঘণ্টায় কত দূরে যেতে পারেন।

সমাধান:

যাত্রার ঘণ্টা	যেতে পারে
1 ঘণ্টা	$30 km$
2 ঘণ্টা	$2 \times 30 km=60 km$
3 ঘণ্টা	$3 \times 30 km=90 km$
4 ঘণ্টা	$4 \times 30 km=120 km$ এবং এইরকম।

আমরা একটি মানের টেবিল পাই।

সময় (ঘণ্টায়)	1	2	3	4
যেতে পারে (কিমি এ)	30	60	90	120

(i) স্কেল: (চিত্র 13.7)

অক্ষভুমিক: 2 ইউনিট $=1$ ঘণ্টা

উল্লম্ব: 1 ইউনিট $=10 km$

(ii) অক্ষভুমিক অক্ষে সময় চিহ্নিত করুন।

(iii) উল্লম্ব অক্ষে দূরত্ব চিহ্নিত করুন।

(iv) পয়েন্টগুলি প্লট করুন: $(1,30),(2,60),(3,90),(4,120)$।

চিত্র 13.7 (v) পয়েন্টগুলি সংযুক্ত করুন। আমরা একটি রেখাচিত্র পাই।

(a) উল্লম্ব অক্ষে $75 km$ এর সাথে সাথে, আমরা অক্ষভুমিক অক্ষে 2.5 ঘণ্টা পাই। সুতরাং $75 km$ যেতে 2.5 ঘণ্টা লাগে।

(b) অক্ষভুমিক অক্ষে $3 \frac{1}{2}$ ঘণ্টা এর সাথে সাথে, উল্লম্ব অক্ষে $105 km$ দূরত্ব পাওয়া যায়।

গ্রহণ 13.2

1. নিম্নলিখিত মানের টেবিলের জন্য উপযুক্ত স্কেল দিয়ে অক্ষগুলির সাথে গ্রাফ আঁকুন।

(a) আপেলের মূল্য

আপেলের সংখ্যা	1	2	3	4	5
মূল্য (₹ এ)	5	10	15	20	25

(b) একটি গাড়ি দ্বারা যেতে পারে

সময় (ঘণ্টায়)	সকাল 6টা	সকাল 7টা	সকাল 8টা	সকাল 9টা
দূরত্ব (কিমি এ)	40	80	120	160

(i) সকাল 7:30টা থেকে 8টা এর মধ্যে গাড়ি কত দূরে যেতে পারে?

(ii) গাড়ি তার শুরু থেকে কত দূরে যেতে পারে এমন সময় কত ছিল?

জমা (₹ এ)	1000	2000	3000	4000	5000
সিম্পল ব্যয় (₹ এ)	80	16