13.1 அறிமுகம்

பத்திரிகைகளில், தொலைக்காட்சியில், மேஜைகளில், புத்தகங்களில் போன்றவற்றில் வடிவங்களை நீங்கள் பார்த்திருக்கிறீர்களா? வடிவங்களின் நோக்கம் எண்ணிக்கையான உண்மைகளை காட்சியில் காண்பிப்பதாகும் அதனால் அவை விரைவாக, எளிதாக, தெளிவாக புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாக இருக்கும். எனவே வடிவங்கள் சேகரிக்கப்பட்ட தரவின் காட்சிப்படுத்தலாகும். தரவை அட்டவணையின் வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தலாம்; ஆனால் காட்சிப்படுத்தல் வடிவத்தில் அது புரிந்துகொள்ள எளிதாகும். ஒரு பாதகம் அல்லது ஒப்பீடு காட்டப்பட வேண்டும் என்பதால் இது மிகவும் உண்மைப்பட்டது.

நாம் ஏற்கனவே சில வகையான வடிவங்களைப் பார்த்திருக்கிறோம். அவைகளை இங்கே விரைவாக நினைவூட்டுவோம்.

13.1.1 ஒரு வர வடிவம்

ஒரு வர வடிவம் நேரங்களின் போது தானாக மாறும் தரவைக் காட்டுகிறது.

ரெணு நோய்வாய்ப்பட்டபோது, அவளது மருத்துவர் அவளது உடல் வெப்பநிலையை நான்கு மணி நேரத்தில் ஒரு ஒப்பீட்டை வைத்திருந்தார். அது வடிவத்தில் இருந்தது (படம் 13.1 மற்றும் படம் 13.2 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது).

இதை “நேரம்-வெப்பநிலை வடிவத்தில்” அழைக்கலாம்.

இது அட்டவணையின் வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்ட பின்வருமான தரவின் படைப்பாடாகும்.

கிடைமணி நேரம் (பொதுவாக $x$-அச்சு எனப்படும்) வெப்பநிலைகள் எவ்வளவு நேரத்தில் பதிவு செய்யப்பட்டன என்பதைக் காட்டுகிறது. செங்குத்து நேரத்தில் (பொதுவாக $y$-அச்சு எனப்படும்) என்ன குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது?

படம் 13.1

ஒவ்வொரு தரவும் சதுர வலையில் ஒரு புள்ளியால் காட்டப்படுகிறது.

நேரம் $arrow$

படம் 13.1

புள்ளிகள் பின்னர் வரம் பிரிவுகளால் இணைக்கப்படும். இதன் விளைவாக வர வடிவம் உருவாகும்.

இந்த வடிவம் உங்களுக்கு என்ன தெரிவிக்கிறது? எடுத்துக்காட்டாக நீங்கள் வெப்பநிலையின் முறையை பார்க்கலாம்; அன்று பு. மேலானது (படம் 13.3 ஐப் பார்க்கவும்) பின்னர் அன்று பி. வரை குறைவாக இருந்தது. அன்று ஆம் முதல் $10 a . m$ வரை நேரத்தில் வெப்பநிலை $3^{\circ} C(=40^{\circ} C-37^{\circ} C)$ அதிகரித்ததைக் கவனியுங்கள்.

அன்று ஆம் மணி நேரத்தில் வெப்பநிலை பதிவு செய்யப்படவில்லை, ஆனால் வடிவம் அது $37^{\circ} C$ க்கு மேலானதாக இருப்பதைக் குறிக்கிறது (எப்படி?).

எடுத்துக்காட்டு 1 : (செயல்திறன் பற்றிய வடிவம்)

பின்வரும் வடிவம் (படம் 13.3) ஆண்டு 2007 இல் பத்து வெவ்வேறு போட்டிகளில் இரு பாட்டின்கள் A மற்றும் B ஆல் சேர்க்கப்பட்ட மொத்த ரன்ஸ் எண்ணிக்கையைக் காட்டுகிறது. வடிவத்தைப் பார்த்துப் பின்வருமான கேள்விகளுக்கு பதிலளிக்கவும்.

(i) இரு அச்சுகளில் என்ன தகவல் வழங்கப்பட்டுள்ளது?

(ii) எந்த வரம் பாட்டின் A ஆல் சேர்க்கப்பட்ட ரன்ஸ்களைக் காட்டுகிறது?

(iii) இருவருக்கும் 2007 இல் எந்த போட்டியில் அவர்கள் ஒரே மாதிரியான ரன்ஸ் சேர்த்திருந்தனர்? எனில், அந்த போட்டி எது?

(iii) இரு பாட்டின்களுக்கிடையே, எவர் நிலையானவர்? நீங்கள் அதை எவ்வாறு தீர்மானிக்கிறீர்கள்?

தீர்வு:

(i) கிடைமணி அச்சு (அல்லது $x$-அச்சு) ஆண்டு 2007 இல் செய்த போட்டிகளைக் குறிக்கிறது. செங்குத்து அச்சு (அல்லது $y$-அச்சு) ஒவ்வொரு போட்டியில் சேர்த்த மொத்த ரன்ஸ்களைக் காட்டுகிறது.

(ii) புள்ளியால் வரையப்பட்ட வரம் பாட்டின் A ஆல் சேர்த்த ரன்ஸ்களைக் காட்டுகிறது. (இது வடிவத்தின் மேலே ஏற்கனவே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது). (iii) 4வது போட்டியில், இருவரும் ஒரே மாதிரியான 60 ரன்ஸ்களை சேர்த்தனர். (இரு வடிவங்களும் ஒருவாறு இணைந்த புள்ளியில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது).

(iv) பாட்டின் A ஒரு மிகப்பெரிய “உயர்வு” உள்ளது ஆனால் பல ஆழமான “குறைவு” உள்ளன. அவர் ஒத்திசைவாக இருப்பதாகத் தெரியவில்லை. $B$, இருந்தாலும் ஒரு முடிவும் 40 ரன்ஸ்க்குக்கும் குறைவாக சேர்த்திருக்கவில்லை, அவரது மிகப்பெரிய மதிப்பு எனினும் பாட்டின் A இன்னும் 115 ஐ விட மட்டுமே 100 ஆகும். இன்னும் A இரு போட்டிகளிலும் பூஜையை சேர்த்திருக்கிறார் மற்றும் மொத்தம் 5 போட்டிகளிலும் 40 ரன்ஸ்க்குக்கும் குறைவாக சேர்த்திருக்கிறார். A மிகவும் மாறுபட்ட மதிப்புகளைக் கொண்டிருப்பதால், $B$ மிகவும் ஒத்திசைவான மற்றும் நம்பகத்தன்மை உள்ள பாட்டினாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2 : பின்வரும் வடிவம் (படம் 13.4) ஒரு காரின் ஒரு நகரத்திலிருந்து வெவ்வேறு நேரங்களில் நகரம் $P$ தொலைவில் இருப்பதை விவரிக்கிறது. இது நகரம் P இருந்து நகரம் Q க்கு பயணம் செய்யும்போது, இரண்டு நகரங்கள் $350 km$ பிரிந்துள்ளன. வடிவத்தைப் பார்த்துப் பின்வருமானவற்றுக்கு பதிலளிக்கவும்:

(i) இரு அச்சுகளில் என்ன தகவல் வழங்கப்பட்டுள்ளது?

(ii) எந்த இடமிருந்து மற்றும் எப்போது கார் பயணத்தைத் தொடங்கியது?

(iii) முதல் மணி நேரத்தில் கார் எவ்வளவு தூரம் பயணம் செய்தது?

படம் 13.3

(iv) கார் எவ்வளவு தூரம் பயணம் செய்தது (i) இரண்டாம் மணி? (ii) மூன்றாம் மணி?

(v) முதல் மூன்று மணி நேரத்தில் வேகம் ஒரே மாதிரியாக இருந்ததா? நீங்கள் அதை எவ்வாறு அறிவீர்கள்?

(vi) கார் எங்கேனும் சிறிது நேரம் நிறுத்தப்பட்டதா? உங்கள் பதிலை நியாயப்படுத்துங்கள்.

(vii) கார் நகரம் Q க்கு எப்போது சென்றது?

படம் 13.4

தீர்வு:

(i) கிடைமணி $(x)$ அச்சு நேரத்தைக் காட்டுகிறது. செங்குத்து $(y)$ அச்சு காரின் நகரம் $P$ இலிருந்து தொலைவைக் காட்டுகிறது.

(ii) கார் நகரம் P இலிருந்து ஆம் அன்று ஆம் மணி நேரத்தில் பயணத்தைத் தொடங்கியது.

(iii) கார் முதல் மணி நேரத்தில் $50 km$ பயணம் செய்தது. [இதை பின்வருமாறு பார்க்கலாம். ஆம் அன்று ஆம் மணி நேரத்தில் நகரம் P இலிருந்து தொடங்கியது. ஆம் அன்று ஆம் மணி நேரத்தில் அது 50வது கி.மீ இடத்தில் இருந்தது (வடிவத்திலிருந்து காணப்படுகிறது). எனவே ஆம் அன்று ஆம் மணி மற்றும் ஆம் அன்று ஆம் மணி நேரத்தின் ஒரு மணி நேர இடைவெளியில் கார் $50 km$ பயணம் செய்தது].

(iv) காரின் பயணத்தில் சேரப்பட்ட தூரம்

(a) ஆம் அன்று ஆம் மணி முதல் $10 am)$ வரை இரண்டாம் மணி நேரத்தில் $100 km,(150-50)$.

(b) ஆம் அன்று ஆம் மணி முதல் ஆம் அன்று ஆம் மணி வரை மூன்றாம் மணி நேரத்தில் $50 km(200-150)$.

(v) கேள்விகளின் (iii) மற்றும் (iv) பதில்களிலிருந்து, நாம் காண்கிறோம் காரின் வேகம் எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருந்ததில்லை. (அசல் வடிவம் வேகத்தின் மாறுபாட்டை எவ்வாறு காட்டும் என்பதைக் காட்டுகிறது).

(vi) நாம் காண்கிறோம் கார் நகரம் $P$ இலிருந்து $200 km$ தொலைவில் இருந்தது நேரம் $11 a . m$ ஆகும். மேலும் மாலை 12 மணி நேரத்திலும் இருந்தது. இது 11 மணி நேரத்திலிருந்து 12 மாலை வரை நேரத்தின் இடைவெளியில் கார் பயணம் செய்யவில்லை என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த காலத்திற்கான “பயணம்” எனப்படும் கிடைமணி நேர வரம் இந்த உண்மையை விளக்குகிறது.

(vii) கார் நகரம் $Q$ ஐ மாலை 2 மணி நேரத்தில் சென்றது.

பாடநூல் 13.1

1. பின்வரும் வடிவம் ஒரு மருத்துவகவளையில் இருந்த ஒரு நோயாளியின் உடல் வெப்பநிலையை ஒவ்வொரு மணி நேரத்திலும் பதிவு செய்ததைக் காட்டுகிறது.

(a) அன்று பி. ஆம் மணி நேரத்தில் நோயாளியின் உடல் வெப்பநிலை என்ன இருந்தது?

(b) நோயாளியின் உடல் வெப்பநிலை $38.5^{\circ} C$ ஆக எப்போது இருந்தது?

நேரம் $arrow$ (c) கொடுக்கப்பட்ட காலகட்டத்தில் நோயாளியின் உடல் வெப்பநிலை இரண்டு முறை ஒரே மாதிரியாக இருந்தது. இந்த இரண்டு முறைகள் எவ்வளவு நேரத்தில் இருந்தது?

(d) அன்று பி. ஆம் மணி மாலை 30 நிமிடங்களில் உடல் வெப்பநிலை என்ன இருந்தது? உங்கள் பதிலை எவ்வாறு பெற்றீர்கள்?

(e) நோயாளியின் உடல் வெப்பநிலை எந்த காலகட்டங்களில் ஏற்பாட்டைக் காட்டியது?

2. பின்வரும் வர வடிவம் ஒரு உற்பத்தி நிறுவனத்திற்கான வருடாந்த விற்பனை எண்ணிக்கைகளைக் காட்டுகிறது.

(a) (i) 2002 (ii) 2006 ஆம் ஆண்டில் எவ்வளவு விற்பனை இருந்தது?

(b) (i) 2003

(ii) 2005 ஆம் ஆண்டில் எவ்வளவு விற்பனை இருந்தது?

(c) 2002 மற்றும் 2006 ஆம் ஆண்டில் விற்பனை என்ன வித்தியாசம் இருந்தது?

(d) முந்தைய ஆண்டிற்கு ஒப்பிடும்போது எந்த ஆண்டில் விற்பனையில் மிகப்பெரிய வித்தியாசம் இருந்தது?

3. உயிரியலில் ஒரு பரிசோதனைக்கு, வெவ்வேறு இரு மரங்கள், மரம் $A$ மற்றும் மரம் $B$ ஒரே மாதிரியான ஆய்வக நிலைமைகளில் வளர்க்கப்பட்டன. அவற்றின் உயரத்தை ஒவ்வொரு வாரத்தின் முடிவிலும் 3 வாரங்களுக்கு மதிப்பிடப்பட்டது. பின்வரும் வடிவத்தில் இந்த முடிவுகள் காட்டப்பட்டுள்ளன.

(b) மரம் B ஆல் (i) 2 வாரங்களுக்குப் பிறகு (ii) 3 வாரங்களுக்குப் பிறகு எவ்வளவு உயரம் இருந்தது?

(c) மரம் A மூன்றாம் வாரத்தில் எவ்வளவு வளர்ச்சி அடைந்தது?

(d) மரம் B இரண்டாம் வாரத்தின் முடிவிலிருந்து மூன்றாம் வாரத்தின் முடிவிற்குப் பிறகு எவ்வளவு வளர்ச்சி அடைந்தது?

(e) மரம் A எந்த வாரத்தில் மிகவும் வளர்ந்தது?

(f) மரம் B எந்த வாரத்தில் மிகக் குறைவாக வளர்ந்தது?

(g) இங்கு காட்டப்பட்ட எந்த வாரத்திலும் இரு மரங்கள் ஒரே மாதிரியான உயரத்தில் இருந்தனமா? குறிப்பிடுங்கள்.

4. பின்வரும் வடிவம் ஒரு வாரத்தின் ஒவ்வொரு நாட்கிலும் முன்னறிவிப்பு மற்றும் உண்மையான உடல் வெப்பநிலையைக் காட்டுகிறது.

(a) முன்னறிவிப்பு உடல் வெப்பநிலை உண்மையான உடல் வெப்பநிலையை எந்த நாட்களில் ஒத்திருந்தது?

(b) வாரத்தில் முன்னறிவிப்பு உடல் வெப்பநிலை எவ்வளவு அதிகமாக இருந்தது?

(c) வாரத்தில் உண்மையான உடல் வெப்பநிலை எவ்வளவு குறைவாக இருந்தது?

(d) உண்மையான உடல் வெப்பநிலை முன்னறிவிப்பு உடல் வெப்பநிலையிலிருந்து எந்த நாளில் மிகவும் வித்தியாசமாக இருந்தது?

5. பின்வரும் அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி நேர வடிவங்களை வரையறையுங்கள்.

(a) ஒரு மலைப்பிரதேச நகரத்தில் வெவ்வேறு ஆண்டுகளில் பனியைப் பெற்ற நாட்களின் எண்ணிக்கை.

(b) ஒரு கிராமத்தில் வெவ்வேறு ஆண்டுகளில் மனிதர்களின் மற்றும் ஆண்மைகளின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின் மகளிரின